基本不等式知识点和基本题型

基本不等式知识点和基

本题型

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+（2）若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*

,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小

特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论

（1）若0x >，则1

2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”）

（2）若0x <，则1

2x x

+≤-(当且仅当1x =-时取“=”）

（3）若0>ab ，则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*,R b a ∈，则2

2111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当

b a =时取“=” （1）若,,,a b

c

d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+ 二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥

b

a 112+

2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2

2

2

3、已知1a b c ++=，求证：2221

3

a b c ++≥

4、已知,,a b c R +

∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---

5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6、选修4—5：不等式选讲

设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤;(Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

7、选修4—5：不等式选讲：已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域

（1）22213x x y +=（2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1

<+=x x

x y

题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）

1、已知2>x ，求函数4

24

42-+-=x x y 的最小值；

变式1：已知2>x ，求函数424

2-+=x x y 的最小值；

变式2：已知2

24

2-+=x x y 的最大值；

练习：1、已知5

4x >，求函数14245

y x x =-+-的最小值；

2、已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值；

题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数） 1、当时，求(82)y x x =-的最大值； 变式1：当

时，求4(82)y x x =-的最大值；

变式2：设2

3

0<

2、若02<

3、求函数)2

52

1(2512<<-+-=x x x y 的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）

变式：求函数)4

114

3(41134<<-+-=x x x y 的最大值；

题型五：巧用“1”的代换求最值问题

1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值；

法一： 法二：

变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值；

变式2：已知28

,0,1x y x y

>+=，求xy 的最小值；

变式3：已知0,>y x ，且11

9x y +=，求x y +的最小值。

变式4：已知0,>y x ，且19

4x y

+=，求x y +的最小值；

变式5：（1）若0,>y x 且12=+y x ，求11x y +的最小值；（2）若+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y

x +的最小值；