练习08_命题、定理与证明- (华东师大版)(解析版)

练习8 命题、定理与证明一、单选题1.下列命题是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．过一点有且只有一条直线平行于已知直线C．同位角相等D．平面内，垂直于同一直线的两直线平行【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题；C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；D、平面内，垂直于同一直线的两直线平行，是真命题；故选：D．【知识点】命题与定理2.为说明命题“若a＞b，则a2＞b2．”是假命题，所列举反例正确的是（）A．a＝5，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣6C．a＝0.2，b＝0.1 D．a＝﹣，b＝﹣【解答】解：“若a＞b，则a2＞b2．”是假命题，反例，a＝﹣2，b＝﹣6，﹣2＞﹣6，而（﹣2）2＜（﹣6）2，∴“若a＞b，则a2＞b2．”是假命题，故选：B．【知识点】命题与定理3.若A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在反比例函数y＝的图象上，①过点B作BC⊥x轴，C为垂足，连接OB．若△BCO的面积为2，则k＝9；②若x1＝2x2，则2y1﹣y2＝0；③若y1＜0＜y2，且x1＞x2，则k ＞5其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在反比例函数y＝的图象上，∴过点B作BC⊥x轴，C为垂足，连接OB．若△BCO的面积为2，则|k﹣5|＝2×2，得k＝9或k＝1，故①中的命题是假命题；若x1＝2x2，则y2＝2y1，故2y1﹣y2＝0，故②中的命题是真命题；若y1＜0＜y2，且x1＞x2，则k﹣5＜0，故k＜5，故③中的命题是假命题；故选：B．【知识点】命题与定理4.布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（）A．布鲁斯先生B．布鲁斯先生的妹妹C．布鲁斯先生的儿子D．布鲁斯先生的女儿【解答】解：由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，则一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿，故选：D．【知识点】推理与论证5.某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示：科目小制作足球英语口语计划人数1009060科目小制作英语口语中国象棋报名人数280250200若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数就越高．那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（）A．足球B．小制作C．英语口语D．中国象棋【解答】解：由表知，小制作：；英语口语：；足球：计划招生90人，报名数不在前三名，即少于200人，所以比值大于，即大于0.45；中国象棋：报名200人，计划数不在前三名，即少于60人，所以比值小于，即小于0.3；∴足球科目的满足指数最高（即比值最大）；故选：A．【知识点】推理与论证二、填空题6.把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式：．【解答】解：定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．【知识点】命题与定理7.说明命题“若x＜2，则＞”是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是．【解答】解：当x＝﹣1时，满足x＜2，，但不能得到＞，故答案为：x＝﹣1，（答案不唯一）．【知识点】命题与定理8.用一组a，b，c的值说明命题“若ac＝bc，则a＝b”是错误的，这组值可以是a＝，b＝，c＝．【解答】解：当c＝0，a＝﹣1，b＝﹣2，所以ac＝bc，但a≠b，当c＝0，a＝3，b＝﹣2，所以ac＝bc，但a≠b，故答案不唯一；故答案为：﹣1，﹣2（答案不唯一），0．【知识点】命题与定理9.下列给出的四个命题：①关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足a≥1且a≠5；②若a2﹣5a+5＝0，则；③若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解；④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，q＝0．其中是真命题是．【解答】解：①当a＝5时，原方程变形为﹣4x﹣1＝0，解得x＝﹣；当a≠5时，△＝（﹣4）2﹣4（a﹣5）×（﹣1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1，故此选项不符合题意；②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴；此选项符合题意；③∵b2+4ac＝b2﹣（﹣4ac）＜0，∴﹣4ac＞b2，∴﹣4ac＞0，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有解，故此选项不符合题意；④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；故答案为：②④．【知识点】命题与定理10.破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是．【解答】解：∵密码532，三个号码都不正确，∴密码中没有数字：2，3，5，∵密码257只有一个号码正确但位置不正确，∴密码中必有数字7，并且不能在个位，∵密码876只有两个号码正确，但位置都不正确，∴密码7不能再十位，密码中8，6只有一个正确，∴密码中的7只能在百位，∵密码628中只有一个号码正确且位置正确，∴密码中必有数字8，且在个位，∵密码619中只有一个号码正确当位置不正确，∴密码中只有数字9，且在十位，∴正确的密码为798，故答案为：798．【知识点】推理与论证三、解答题11.命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例，【解答】解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；在Rt△BCE与Rt△CBD中．∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL），∴∠DCB＝∠EBC．【知识点】命题与定理12.如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②⇒③；B：①③⇒②；C：②③⇒①请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．【解答】已知：AB＝AC，BD＝CE，求证：AD＝AE．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE．故答案为：①③②．【知识点】命题与定理探究题：13.A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．【解答】解：至少要7分才能保证一定出线；每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．若A队两胜一平，则积7分．因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，每场比赛，两队得分的和是3分或2分．6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，∴最多只有两个队得7分．所以积7分保证一定出线．若A队两胜一负，积6分．如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．总之，至少7分才能保证一定出线．【知识点】推理与论证14.如图，分别将“∠1＝∠2“记为a，“∠B＝∠D“记为b，“CB＝CD”记为c．（1）填空：“如图，如果CB＝CD，∠B＝∠D，那么∠1＝∠2“是命题；（填“真”或“假“）（2）以a、b、c中的两个为条件，第三个为结论，写出一个真命题，并加以证明．【解答】解：（1）如果CB＝CD，∠B＝∠D，那么∠1＝∠2，是假命题；故答案为：假；（2）如果∠1＝∠2，∠B＝∠D，那么BC＝CD，∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴BC＝DC．【知识点】命题与定理15.如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．（1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“⊗⊗⇒⊗”的形式一一书写出来；（2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明．【解答】解：（1）上述问题有三种正确命题，分别是：命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①．（2）解：选择命题2：①③⇒②．证明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．∴∠A＝∠B．【知识点】命题与定理16.（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．（3）灵活应用如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．【解答】（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D＝∠BED；故答案为：＝；（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；该逆命题为真命题；理由如下：过E作EF∥AB，如图①所示：则∠B＝∠BEF，∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD；（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：则NG∥AB∥CD，∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，∵CN平分∠ACD，∴∠ACM＝∠NCD，∴∠CAM＝∠BAN．【知识点】命题与定理。