深圳中考专项练习-胡不归和阿氏圆学案

“PA+k·PB”型的最值问题

【问题背景】

“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无

法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】

线段最值问题常用原理：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

【模型初探】

（一）点P在直线上运动“胡不归”问题

如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

图1-1-1图1-1-2图1-1-3

思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？

提取系数k即可哦！！！

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

P C O 【模型初探】

（二）点P 在圆上运动“阿氏圆”问题如图所示2-1-1，⊙O 的半径为r,点A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

A A

B B 图2-1-1图2-1-2图2-1-3

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB 上截取OC 使OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C 三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

A P

B O P

C O

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；

第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；

第三步：计算这两条线段长度的比

OP

=k；OB

第四步：在OB上取点C，使得OC

=

OP

；

OP OB

第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．

【模型类比】

①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数

起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题

②“阿氏圆”构造共边共角型相似

构造△OPC∽△OBP，OP2=OB·OC

即：半径的平方=原有线段 构造线段

【典型例题】

1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线

BD（不含B点）上任意一点,则AM+1

2

BM的最小值为.

变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？

(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？

答案：（1）63（2）63

2．(阿氏圆问题)如图，点A、B在☉O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA 的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在☉O上，则2PC+PD的最小值为．

变式思考：(1)本题如要求“PC+1PD”的最小值你会求吗？2

(2)本题如要求“PC+3PD”的最小值你会求吗？

2

答案：（1）210（2）310

【变式训练】(胡不归问题)

1.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为

AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC 运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒.

2.如图，在菱形ABCD中，AB=6，

且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，

则PA+PB+PD的最小值为.

（也可运用费马点解题）

3【中考真题】

(胡不归问题)

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过

点A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其中对称轴与x 轴交于点D。

若P 为y 轴上的一个动点，连接PD，则1PB PD 的最小值为。2