培优专题七 三角形中的动点问题

三角形中的动点问题运动型问题综合性较强，涉及的知识面．在中考命题中一般设置为压轴题．解题的一般思路是化动为静，数形结合．分析此类题时要明确运动的起始点、运动方向和过程、终点，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动），结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据，分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏，最后结合所求问题思考解题过程。

1、如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？

（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°；

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图所示，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．

2、如图1，若△ABC和△ADE为正三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是正三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE，△AMN是正三角形是否仍然成立？

图1 图 2 （2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．

3、如图,△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF=FP.

(1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；

(2)将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连接AP ，BQ ，

猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

(3)将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连接AP ，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4.如图，已知△ABC 中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D 为AB 的中点．

（1）若点P 在线段BC 上以3厘米/秒得速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CPQ ？

(2)若点Q 以(1)②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？