四边形经典证明与计算题 2014

《四边形》专题复习 2014-5-6

1、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．

求证：PA ＝PF ．

2·如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是线段OD 上一点，连接EC ，作B F C E ⊥于点F ，交OC 于点G ．

(1)求证：BG=CE; (2)若AB=4．BF 是DBC ∠的角平分线，求OG 的长．

3．如图，正方形ABCD 中，以对角线BD 为边作菱形BDFE ，使B ，C ，E 三点在同一直线上，连结BF ，交CD 与点G （1）求证：CG=CE

（2）若正方形边长为4，求四边形CEFG 的面积

F D C B A

4.已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF 、CF.

求证：(1)∠ADF=∠BCF ； (2) AF ⊥CF.

5. 在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ，G 是EF 的中点，且 AD=5，DC=3. （1）求AG 的长度。 （2）求证：DG BD 2

6．如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上的中点，过A 作AF ⊥BE ，交CD 边于F ，M 是AD 边上一点，且有BM ＝DM ＋CD ．

⑴求证：点F 是CD 边的中点； ⑵求证：∠MBC ＝2∠ABE ．

M

F

E C

D

B A

N

M

P

D

C

B

A

7．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =．

（1）求证：BG FG =；

（2）若2AD DC ==，求AB 的长．

8. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线.点P 为矩形外一点且满足AP PC =，

AP PC ⊥.PC 交AD 于点N ，连接DP ，过点P 作PM PD ⊥交AD 于M .

（1）

：若1

3

AP AB BC ==，求矩形ABCD 的面积；

（2）：若CD PM =，求证：AC AP PN =+.

9．如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点,点Q 是AB 上一点,连接CQ ，

DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ； 求证:(1)△BCQ ≌△CDP; (2)OP=OQ.

D C

E

B G A

F C

P

图1

B

A

D C 图2

F

E

D C

B 图3D C

B A 10、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，

G 为EF 的中点．

求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．

11.如图所示，ABCD 为正方形。

（1）如图1，点P 为△ABC 的内心，问：DP 与DA 有何数量关系？证明你的结论。 （2）如图2，若点E 在CB 边上（不与点C 、B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF ＝CE ，点P 为△FPE 的内心，则DP 与DF 有何数量关系？证明你的结论。 （3）如图3，若点E 在CB 边上（不与点B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF ＝CE ，点

P 是△FEB 中与∠FEB 、∠FBE 相邻的两个外角平分线的交点，完成图3，判断DP 与DF 之间的数量关系（直接写出结论，不证明）。

12、如图1，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD ，点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，连接BE 、CF ．

（1）判断BE 与CF 的位置、数量关系，并说明理由；

（2）若连接BF 、CE ，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC 能形成哪些特殊四边形； （3）如图2，将△ABC 中AB ＝BC 改成AB ≠BC 时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．

A B C F E D 图1 A B C D

备用图 A B C

D

图2

13.在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，如图1． （1）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想； （2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；

（3）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

C A B

D

E G

F 图2 C

A B

D

G

F 图4 C

A B D E

G F 图3 C A B

D E F

图1

M

H G

B

F E

D

C

A

14．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上两点，且BE =BF ，过点B 作AE 的垂线交AC 于点G ，过点G 作CF 的垂线交BC 于点H ，延长线段AE 、GH 交于点M . （1）求证：∠BFC =∠BEA ； （2）求证：AM =BG +GM .

15．已知，ABC Rt ∆中，90,30.ACB CAB ∠=∠=分别以AB 、

AC 为边，向形外作等边ABD ∆和等边.ACE ∆

（1）如图1，连结线段BE 、CD ．求证：BE =CD ； （2）如图2，连接DE 交AB 于点F ．求证：F 为DE 中点．