用向量知识解决立体几何中典型问题

A B

C

D

E F

x y

z P

用向量知识解决立体几何中典型问题

空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题，下面就谈一谈向量知识在立体几何中运用。

大家自学时注意方法的理解，黑体字内容就是一些关键的讲解。

什么是法向量？平面垂直的向量称为法向量。法向量是解决与面有关问题时必须要用到的。

一、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

线面角：

方法点评：设n r

是平面α的法向量，PM 是平面α的一条斜线，则PM 与平面α所成的角

为PM 与法向量成角的余角。即PM n

PM n θ••u u u u r r u u u u r r =arcsin ，如图：

所以解决问题关键就在于求出法向量n r

，下例将介绍法向量求法。

例1：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ，F 分别CD 、PB 的中点.

（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）设2BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小. （Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=2a （0a >），则E(a,0,0), C(2a,0,0),

A(0,1,0),

B(2a,1,0),

P(0,0,1),

11

(,,)22

F a .得

11

(0,,)22

EF =u u u v ，(2,1,1)PB a =-u u u v ，(2,0,0)AB a =u u u v . 由

11

(0,,)(2,0,0)022

EF AB a ⋅=⋅=u u u v u u u v ，得EF AB ⊥u u u v u u u v ，即EF AB ⊥，

同理EF PB ⊥，又AB PB B =I ， 所以，EF ⊥平面PAB.

（注：此小问所用即向量法证明线面垂直）

C1

A1

B

A

（Ⅱ）解：由AB =

，得2a =

2

a =

. 得,0,0)2

E ，1

1,)222

F ，

C . 有1,0)AC =-u u u v ，1,0)2AE =-u u u v ，11

(0,,)22EF =u u u v . 设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =r

，

（如何来求这个法向量呢？注意到，既然要垂直平面，则要垂直平面内两相交直线，所以

可以在平面内任意选择两条出来，然后分别和n r

做数量积，利用数量积为0建立两个等式，）

由00

n EF n

AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u v r u u u v 11(,,)(0,,)022(,,)(1,0)

02x y z x y z ⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎪⋅-=⎪⎩1102202

y z x y ⎧+=⎪

⎪⇒⎪-=⎪⎩， （两个条件肯定是求不出三个变量的，是因为平面的法向量不唯一，长度可以任意，但肯

定都是和平面垂直的，所以我们只需要把其中一个数随意令成一个非0数，就可以得到一个法向量，）

令1z

=，可得1y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 于是(1,1)n =-r .

则cos ,6AC n AC n AC n

⋅<>===

⋅u u u v

u u u v u u u v

. 所以，AC 与平面AEF 所成角的大小为arcsin

6

. （注意为什么在这里加上了个绝对值，是因为我们在令z 时，有人令1，有人令-1，这样得

到的法向量方向是相反的，求出来的cos ,AC n <>u u u v

就有可能为负，但是线面角是锐角，所

以只需要取正数。）

二面角：

方法：设12,n n u r u u r

是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则

121212

,cos n n n n arc n n •<>=•u r u u r

u r u u r u r u u r 就是二面角的平面角或补角的

大小。

例2：如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知

122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,//AB DC .

(I)设E 是DC 的中点,求证:11//D E A BD 平面; (II)求二面角11A BD C --的余弦值.

解:(I)连结BE ，则四边形DABE 为正方形，

11BE AD A D ∴==，且11////BE A A D ， 11A D EB ∴四边形为平行四边形， 11//D E A B ∴.

1111D E A BD A B A BD ⊄⊂Q 平面，平面， 11//.D E A BD ∴平面

（另：向量法证明线面平行：易得1(0,1,2)D E =-u u u u r

，可求得面1A BD 的一个法向量为

(2,2,1)n =--r ，由10D E n ⋅=u u u u r r

，又11D E A BD ⊄面，所以11//D E A BD 平面）

(II) 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A

1(1,0,2),(1,1,0).DA DB ∴==u u u u r u u u r

设(,,)n x y z =r

为平面1A BD 的一个法向量，

由1,n DA n DB ⊥⊥r u u u u r r u u u r 得200x z x y +=⎧⎨+=⎩

， 取1z =，则(2,2,1)n =--r

.

设111(,,)m x y z =u r

为平面1C BD 的一个法向量，

由,m DC m DB ⊥⊥u r u u u r u r u u u r 得1111

2200y z x y +=⎧⎨+=⎩，

取11z =,则(1,1,1)m =-u r

.