高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答

习题10—1

1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）L

I xds =

⎰

，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A

到B 之间的一段劣弧； 解:

(1+．

（2）(1)L x y ds ++⎰

，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及

(0,1)B 所成三角形的边界；

解

:(1)3L

x y ds -+=+⎰．

（3）22L

x y ds +⎰

，其中L 为圆周22x y x +=；

解:222L

x y ds +=⎰

．

（4）

2 L

x yzds ⎰

，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C

(1,2,3)D ；

解: 2

L

x y z d =⎰

2 求八分之一球面2

2

2

1(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥

度1ρ=。

解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫

⎪⎝⎭

．

习题10—2

1 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明

x

y

o

A

B

C

(,)0L

Q x y dy =⎰。

证明：略.

2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）L

xydx ⎰

，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :

45

L

xydx =

⎰

。

（2）

⎰

-++L

dy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到

2=x 时的点的一段弧；

解

3

4)()( 2222=

-++⎰

L

dy y x dx y x ．

（3）

,L

ydx xdy +⎰

L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；

解 0.L

ydx xdy +=⎰

（4）22L

xy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)

C a 到终点(0,)B a -的路径；

解 22L

xy dy x ydx -⎰

44

a π

=-

。

（5）3223L

x dx zy dy x ydz +-⎰

，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；

解 3223L

x dx zy dy x ydz +-⎰

31

87

874

t dt ==-

⎰。

（6）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-⎰，L 为椭圆周22 1 ,

2 ,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩

且从z 轴

正方向看去，L 取顺时针方向。

解: 2π=-。

习题10—3

1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

(1) 星形线33

cos ,

sin ,

x a t y a t ⎧=⎨=⎩ (02t π≤≤)；） 解: 2

3

8

a π=。

(2) 圆2

2

2x y by +=，（0b >）； 解: 2b π=。

2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) ()(3)L

y x dx x y dy -++⎰，其中L 是圆9)4()1(22=-+-y x ，方向是逆时针

方向；

解: 18π=。

(2)

)L

ydx x dy +⎰

，其中L 是依次连接(1,0),A -(2,1),B (1,0)C 三点的折线

段，方向是顺时针方向。

解 :2 . (3)

(sin )(cos )x x L

e y my dx e y m dy -+-⎰

，其中m 为常数，L 为圆222x y ax

+=上从点(,0)A a 到点(0,0)O 的一段有向弧； 解 : 212m a π=

0-21

2

m a π=。 (4) 22

L xdy ydx x y -+⎰，其中L 为椭圆22

41x y +=，取逆时针方向；

解 20

2d π

θπ==⎰．

(5)

L u ds n ∂∂⎰，其中22(,)u x y x y =+，L 为圆周22

6x y x +=取逆时针方向，u n

∂∂是u 沿L 的外法线方向导数。

解 36L u

ds n

π∂=∂⎰

。

3 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值: (1)

(2,1)

(0,0)

(2)(2)x y dx x y dy ++-⎰

；

解 令2P x y =+，2Q x y =-，则

1P y ∂=∂Q x

∂=∂在整个y

o

0(0,0)

(2,0)A a x