复变函数第2章(钟玉泉)

f ( z Dz ) f ( z ) u( x Dx, y Dy) u( x, y) i[v( x Dx, y Dy) v( x, y) Dz Dx iDy
u ( x, y ) v( x, y ) f ( z ) i u x ivx x x u ( x, y ) v( x, y ) f ( z ) i v y iu y y y 即f ( z ) u x ivx v y iu y 由此得u x v y 及vx u y u ( x, y ) v( x, y ) v( x, y ) u ( x, y ) , x y x y
定理一 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D 内, 而f(z)在D内一点z=x+iy可导的充分必要条 件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 并且在该点 满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程
u v u v , x y y x u v 1 u v 这时f ( z ) i x x i y y
当沿着x轴方向趋向z时，极限为1； 当沿着y轴方向趋向z时，极限为2. 所有，极限不存在。
z x
ii)可导与连续: 在z0点可导的函数必定在z0点 连续. 事实上, 由在z0点可导的定义, 对于任给的e>0, 相应地有一个d>0, 使得当0<|Dz|<d时, 有
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) f ( z0 ) e Δz f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) 令 (Δ z ) f ( z0 ), Δz 则 lim (Δ z ) 0
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) f ( z0 ) e Δz

应当注意, 定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式 是任意的, 定义中极限值存在的要求与 z0+Dzz0的方式无关, 也就是说, 当z0+Dz在区 域D内以任何方式趋于z0时, 比值
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数. Δz
例4 如果f(z)=u+iv为一解析函数, 且f ‘(z)0, 则曲线族 u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交, 其中c1, c2为常数. [证] 由于f ’(x)=-iuy+vy0, 故uy与vy不全为零. 如果在曲线的交点处uy与vy都不为零, 由隐函数求导 法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为 k1=-ux/uy k2=-vx/vy, 利用柯西-黎曼方程得 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1 因此, 二曲线族互相正交. 如果uy与vy其中有一个为零, 则另一个必不为零, 此时易知交点的切线一条是垂直, 一条是水平,仍然正交.
x

[解] 1) 因为u=x, v=-y,
u u v v 1, 0, 0, 1 x y x y
可知柯西-黎曼方程不满足, 所以w=z在复平 面内处处不可导, 处处不解析
2) 因为u=excos y, v=exsin y,
u u x e cos y, e x sin y x y v v x x e sin y, e cos y x y
例3 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内 为一常数. [证] 因为
u v v u f ( z ) i i 0 x x y y u u v v 故 0 x y x y

所以u=常数, v=常数, 因而f(z)在D内是常数.
定理二 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内 解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并满足柯西-黎曼方程。
例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1)w z ; 2) f ( z ) e (cos y i sin y); 3)w z Re( z )
2. 解析函数的概念

定义 如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导, 则称f(z)在z0解析, 如果f(z)在区域D内每一点 解析, 则称f(z)在D内解析, 或称f(z)是D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数) 如果f(z)在z0不解析, 则称z0为f(z)的奇点. 由定义可知, 函数在区域内解析与在区域内可 导是等价的. 但是, 函数在一点处解析和在一 点处可导不等价. 即, 函数在一点处可导, 不一 定在该点处解析.
1 f ( z) 5) g 2 ( z ) [ g ( z ) f ( z ) f ( z ) g ( z )], g ( z ) 0 g ( z)
6) {f[g(z)]}'=f '(w)g'(z), 其中w=g(z). 1 7) f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是两 ( w) 个互为反函数的单值函数, 且 ( w) 0.

所有多项式在复平面内是处处解析的, 任何一 个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母为零的 点的区域内是解析函数, 使分母为零的点是它 的奇点.
3、函数解析的充要条件 C-R条件（方程）
在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问 题. 而实际问题中遇到的复变函数, 通常都是某 个实变函数延拓而来的. 即, 如果原来有一个实 变函数f(x), 自变量是实数, 函数值也是实数, 则 将x用一个复数代替, 就产生了一个自变量和函 数值都是复数的复变函数. 事实上我们只关心这样的复变函数. 比如说实 变函数f(x)=x2-x+1, 则相应的延拓的复变函数 就是f(z)= z2-z+1经常就是实变函数中的基本初 等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函 数.
Δ z 0

由此得f(z0+Dz)f(z0)=f '(z0)Dz+(Dz)Dz
Δ z 0
所以 lim f ( z0 Δ z ) f ( z0 ), 即f ( z )在z0连续
iii) 求导法则 与实函数同样的办法可得: 1) (c)'=0, 其中c为复常数. 2) (zn)'=nzn-1, 其中n为正整数. 3) [f(z)g(z)]'=f '(z)g'(z). 4) [f(z)g(z)]'=f '(z)g(z)+f(z)g'(z).

根据求导法则可知


定理 1)在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和,差, 积,商(除去分母为零的点)在D内解析. 2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析, 函数 w=f(h)在h平面上的区域G内解析. 如果对D内的每一 个点z, 函数g(z)的对应值h都属于G, 则复合函数 w=f[g(z)]在D内解析.
如果f(z)在区域D内处处可导, 就说f(z)在Ｄ内 可导. 例1 求f(z)=z2的导数 [解] 因为
f ( z Δ z) f ( z) ( z Δ z)2 z 2 lim lim Δ z 0 Δ z 0 Δz Δz lim (2 z Δ z ) 2 z.
Δ z 0


柯西-黎曼方程成立, 由于上面四个偏导数都是 连续的, 所以f(z)在复平面内处处可导, 处处解 析, 且根据(2.2.2)式有 f '(z)=ex(cos y+isin y)=f(z) 今后将知道这个函数就是指数函数ez.
3) 由w=z，Re(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以
u u 2 x, 0 x y v v y, x x y

容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当 x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函 数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常 数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析? [解] 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 要使ux=vy, uy=-vx, 只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by. 因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复 平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2) =(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2
iv)微分的概念 设函数w=f(z)在z0可导, 则有 Dw=f(z0+Dz)f(z0)=f '(z0)Dz+(Dz)Dz,
其中 lim (Δ z ) 0,
Δ z 0
因此, |(Dz)Dz|是|Dz|的高阶无穷小量, 而f '(z0)Dz是函数w=f(z)的改变量Dw的线性部分, 称为函数w=f(z)在点z0的微分, 记作 dw=f '(z0)Dz
如果函数在z0的微分存在, 则称函数f(z)在z0可微.
dw=f ‘(z)Dz 特别, 当 f(z)=z时, 得 dz=Dz. 上式变为 dw=f '(z)dz, 即 dw f ( z0 ) |z z0 dz


由此可见, 函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等 价的. 如果f(z)在区域D内处处可微, 则称f(z)在D内可微.

存在, 则就说f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z) 在z0的导数, 记作 f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) dw f ( z ) . (2.1.1) |z z0 Δlim0 z dz Δz
也就是说, 对于任给的e>0, 存在d(e)>0, 使得当 0<|Dz|<d时, 有
作业: 第90页 2, 3, 4(1) (3) 5(2) (4), 6(1) (3)
§２ 初等解析函数
１．指数函数
定义2.3 对于任意复数 z x iy ，则规定
e e
z
x iy
e (cos y i sin y)
x
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为复指数函数．
i) f (z)在复平面内解析; ii) f ’(z)=f (z) iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)
第二章 解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §２ 初等解析函数 §3 初等多值解析函数
§1 解析函数的概念与 柯西-黎曼方程
1. 复变函数的导数与微分 i) 导数的定义 定义 设函数w=f(z)定义于区域D, z0为D中一点, 点z0+Dz不出D的范围. 如果极限
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
exp z1 exp z2 e (cos y1 i sin y1 )
所以 f '(z)=2z.
例题2:
解：
lim
f(z)=x+2yi是否可导？
f ( z Dz ) f ( z ) ( x Dx) i 2( y Dy ) ( x 2 yi) lim Dz 0 Dz 0 Dz Dx iDy Dx 2iDy y lim Dz 0 Dx iDy
exp z=ex(cos y+isin y). 等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2 k 考察指数函数所具有的性质： 1)、 exp z0 2)、加法定理: exp z1exp z2 = exp(z1+z2) 事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有



从导数的定义看，确定一个函数是否解析并不 是一件容易的事情。 希望能找到一个简单的判别条件 Cauchy-Riemann 条件（或方程） 首先考虑如果函数 f(z)为一解析函数，它应该 具备甚么条件？
设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上解析,对 于D上的任一点z.有：