14行列式的性质及计算
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§1.4 n阶行列式的性质及计算
当n≥4时,用定义计算n阶行列式将是十分复杂甚至是不可能的.
下面将讨论行列式的性质,并用
这些性质来简化行列式的计算.
(证明不重要, 但必须记住以下所述的性质
及其推论并用它们来计算行列式)
1
一、行列式的性质
记
D=a
11
a
21
M
a
12
a
22
L
L
O
a
1n
a
2n
M
T
D=
a
11
a
12
M
a
21
a
22
L
L
O
a
n1
a
n2
M
a n a
1n2L a
nn
a n a
12n
L a
nn
行列式D T称为行列式D的转置行列式.
即把行列式D中的行与列按原顺序互换(第1行换成第1列,第2行换成第2列,……，以此类推，直到最后
一行）以后得到的行列式，称为D的转置行列式，
也可记为D’
2
如D=
147 123
则=
258
D T
456
369 789
性质1行列式与它的转置行列式相等.
如a a a a a a a a 1112131411213141 a a a a a a a a 21222324=12223242 a a a a a a a a 3132333413233343 a a a a a a a a 4142434414243444
3
a
证明记D=的转置行列式
ij
b 11b
12
L b
1n
T D=b
b
L
b
21
22
2n LLLLLLL
,
b
n1
b
n2
L b
nn
即b=a(i,j=1,2,L,n),按定义
ij ji
D1b b b1a a a.
=∑−L=∑−L
ττ
(j j j)(j j j)
()() T
123123
1j2j nj j1j2j n
12n12n
又因为行列式D可表示为
D1a a a
=∑−L
τ
j j j
()()
123
j1j2j n
12n
故D=D T.证毕
4
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明设行列式
b 11b
12
L b
1n
D 1=
b
b
L
b
21
22
2n LLLLLLL
,
b
n1
b
n2
L b
nn
D=a i,j 是由行列式
变换两行得到的,
ij
即当k≠i,j时,b kp=a kp;当k=i,j时,
,5
b==
ip a,b a
jp jp ip
τ
于是()
D b b b b
111
=∑−L L L
p ip jp np
1i j n
=∑−
τ
(1)a
p
L a L a L a
1jp i ip np
1j n
,
τ
=其中τ
(
p1L p i L p j L p n
)
不计符号，任取其中一项b L L L
1p b ip i b jp j b np n
1
,
D n 它是来自的不同行不同列个元素的
1
乘积，因为D和D只是互换两行的元素，
1
所以这一项也是的一项，反之亦然.该
D
τ
(p1L p i L p j L p n)
−
项在中的符号为(1),
D
1
τ
(p1L p j L p i L p n
)
−
而在中的符号为(1),
D
由定理可知这两个符号相反，由于该项选取的任意性可知：
D=−证毕
1D.
6
例如
34 56=−
2
56
34
=
2
又如
1
c↔c
12 6
=
-358662
35
53
8
87
6
5
2r↔r-
23
=
1
3
7
5
5
8,
1
6
7
6
5
2
7
6
1
6
5
2
.