垂线段最短(胡不归、阿氏圆)问题

专题 线段和差最值问题 ②

—— 垂线段最短问题

一．几何模型

基础模型

问 题

答 案

点A 的位置如图所示，点B 是水平直线上的一个动点，点P 在另外一条直线上。如何确定点P 与B 的位置，使得AP+PB 最小？

过点A 作垂线段AB 垂直于水平的直线，垂足为B ，AB 与另一直线的交点P 即为所求。

变式模型 ①

问 题

答 案

点A 的位置如图所示，点B 是水平直线上的一个动点，点P 在另外一条直线上。如何确定点P 与B 的位置，使得AP+PB 最小？

当点A 位于两直线之间时，先作点A 的对称点，再作垂线段即可。

变式模型 ②【胡不归问题】

问 题

答 案

如图，点P 是角的一边上的动点，如何确定点P 的位置使得θsin ⋅+OP AP 最小？

以OP 为边，构造∠POH=θ，过点A 作AH ⊥OH 交角的一边为点P 即可。

变式模型 ③ 【阿波罗尼斯圆】

问 题

答 案

如图，⊙O 的半径OA k ⋅=r ，如何在⊙O 上取一点C 使得⋅k AC+BC 最小。

在OA 上取一点D ，使得OD=⋅k OC ，连接BD 交⊙O 于点C 即可。

二． 典型例题

例1 如图，在平面直角坐标系中，直线34

3

+=

x y 分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线122++-=x x y 与 y 轴交于点C.若点E 在抛物线的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最小值.

例2 （2015 天河区期末25题）

如图，在△ACE 中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上． （1）证明：CE 是⊙O 的切线；

（2）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当AB=8时，求OD+

2

1

CD 的最小值．

例3 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，⊙C 的半径为2，P 是圆上一动点，连接PA 、PB ，则PB PA 2

1

+

的最小值.

巩固练习：

1. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=AB+CD ，DE 平分∠ADC ，与BC 交于点E ，连接AE. 若M 是AE 上的动点，求

BM AM +2

1

的最小值.

2. 在平面直角坐标系中，直线3

16

98+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，⊙O 的半径为4，M 是⊙O 上的动点，求MB MA 4

3

+的最小值.

3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线33

32332+--

=x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，P 是其顶点，E ，F 分别是直线BC 和x 轴上的点，动点G 从点P 出发，以每秒1个单位长度的

速度沿P →E →F 的路径运动到点F ，再沿线段FA 以每秒2个单位长度的速度运动到点A 后停止.点F 的坐标是多少时，动点G 运动过程中所用的时间最短？

4. （2018 越秀区期末24题）

如图，抛物线m mx x y 322

+-=与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，-3）. （1）求该抛物线的解析式；

（2）点D 为抛物线上的一点，且在第二象限内，连接AC ，若∠DAB=∠AC0，求点D 的坐标； （3）若E 为线段OC 上一动点，试求EC AE 22+的最小值.

5. （2018黄埔区 一模24题）

如图，在△ABC 中，AB=AC=m ，∠ABC=30°.

（1）利用尺规作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点B ，圆心O 在线段BC 上，该圆与BC 的另一交点为D （保留作图痕迹，不写作法）.

（2）过点O 作OE ∥AB 交AC 于E ，连接DE ，求

ABC

EDC

S S △△；

（3）设F 是线段AB 上任意一点（不与A ，B 重合），连接OF ，当AF+2OF 的最小值为16时，求m 的值.

6.（2017广州 24题）

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．

①求sin∠EAD的值；

②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

7. 如图所示，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（4,0），点C 坐标为（2-2，

），点D 坐标为（0，-2），点E 为直角坐标系第一象限内的一点，且满足∠COD=2∠CED ，则AE BE 3

2

的最小值为多少？