唐山市2019-2020学年度高三摸底考试数学(理科)试卷+答案B4版

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河北省衡水中学2019-2020学年度高三下学期七调考试理科数学试题(3.22)及答案

（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a 、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内
解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.
③若
A1DM
的面积为
S
，则
S
2
3 3
,
2
3 ；
④若 S1 、 S2 分别是 A1DM 在平面 A1B1C1D1 与平面 BB1C1C 的正投影的面积，则存在点 M ，
使得 S1 S2 .
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12. 已知函数 f (x) xex ln x x 2, g(x) ex2 ln x x 的最小值分别为 a, b ，则（
②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到
最小，不需要说明理由.
高三数学理科试题第5页(共 8 页)
高三数学理科试题第6页(共 8 页)
2019—2020 学年度下学期高三年级
组编人：王战普审核：孙卫权
21. （本题满分 12 分）已知函数 f x ln x ax b a, b 0 ，对任意 x 0 ，都有
2．B【解答】解：∵
＝
＝
，
∴复数
的共轭复数为
．∴复数
的共轭复数的虚部为．
3. . A 解：∵从散点图可分析得出：只有 D 点偏离直线远，去掉 D 点，变量 x 与变量 y 的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A．

2019-2020学年河北省保定市高三10月摸底考试数学(理)试题

2019-2020学年河北省保定市高三10月摸底考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合，，则（） A ． B ． C ． D ．2.设命题，则为（）A ．B ．C ．D ．3.的内角的对边分别为，已知，则（） A ． B ． C ． D ．4.已知，则（） A ．B ． C. D ．5.已知函数，则（）A ．B ． 1 C. -1 D ．0 6.在中，，是的中点，则（） A ．B ． C. D ． 7.函数在上的图像为（） {|121}A x x =-<-≤{0,1,2,3}B =A B ={0,1}{2,3}{1,2}{1,2,3}:,2p x Z x Z ∀∈∈p ⌝,2x Z x Z ∀∈∉00,2x Z x Z ∃∈∈,2x Z x Z ∀∉∉00,2x Z x Z ∃∈∉ABC ∆,,A B C ,,a b c 2B C =b =cos c C 2cos c C cos c A 2cos c A 3sin(5)3sin()2ππαα-=+cos()4sin 2cos πααα+=+55-32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩1(())f f e =32ABC ∆2BD DC =E AD AE =1163AB AC +1136AB AC -1163AB AC -1136AB AC +2sin ()||1xf x x x =++[,]22ππ-A ．B ．C. D ．8.已知两个单位向量的夹角为，则下列向量是单位向量的是（）A ．B ． C. D ．9.已知函数，则（） A ．在上单调递增，其图像关于直线对称B ．在上单调递减，其图像关于直线对称 C. 在上单调递增，其图像关于直线对称 D ．在上单调递减，其图像关于直线对称 10.已知且，函数，则“”是“在上单调递减”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件 C.充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知函数的图像在处的切线方程为，若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为（）A ．B ． C. D ． ,a b 060a b +12a b +a b -12a b -()2cos(3)4f x x π=-+()y f x =(0,)4π12x π=-()y f x =(0,)4π12x π=-()y f x =(0,)4π6x π=-()y f x =(0,)4π6x π=-0a >1a ≠()log (6)a f x ax =-13a <<()f x (1,2)3211()32f x x x ax b =--+-0x =20x y a --=x 2()f x m =m 325[,)36--5[2,)6--325(,)36--5(2,)6--12.已知函数，，若两曲线，有公共点，且在该点处它们的切线相同，则当时，的最大值为（）A ．B ． C. D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学理科试卷及其答案

初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店第 1 页共 12 页
2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题
数学（理科）
第1卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知{}0)1(>-=x x x A ，{}1<=x x B ，则A Y B=（）
A ．)1,0(
B ．R
C ．)1(，-∞
D ．),1()1(+∞-∞Y ，
2．已知复数2020i i z +=．则z =（）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．2
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A ．100，40
B ．100，20
C ．200，40
D ．200，20
4设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥
B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥
C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥l
D ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l
5．已知a>b ．则条件“c≤0”是条件“bc ac <”的（）条件．。

高考数学之三角函数压轴小题的解法

教海探索摘要：纵观这几年的高考数学题目，经常在三角函数这块出一些比较难的压轴小题，这类题目深度考查三角函数的图象与性质，然而学生对于这类压轴小题的得分却很低，所以本文详细介绍这一类三角函数压轴小题的解法，旨在帮助学生攻克这类三角函数压轴小题。

关键词：三角函数；压轴小题；取值范围；整体换元本文中笔者将讲解这类压轴小题的具体考法以及“正面解法”，正面解法是指在小题里，特别是选择题里，不采用特值检验选项的方法，完全依据题目给的条件推出正确选项.在平时做练习题的时候，训练正面解法有助于提升我们的数学思维，加深对三角函数图象与性质的理解。

一、从单调性方面考查w 的取值范围这种题目会给出正余弦型函数在某区间上是单调递增或单调递减或者直接说是单调的，只要题目中提到正余弦型函数在某区间上是单调的，那这个单调区间的长度一定小于等于T2（T 是正余弦型函数的最小正周期），这时再结合最小正周期公式T =2πw，可以初步确定w 的一个大范围。

确定了w 的一个大范围，接下来我们用整体换元法来推出w 的具体范围：题目中给出了单调区间，等于给出了x 的范围，我们可以推出wx +φ的范围，这时我们将wx +φ视为一个整体，令t =wx +φ，此时正余弦型函数就变成了我们熟悉的正余弦函数。

这时我们一定要明白wx +φ的范围是由题目中给的单调区间推过来的，而正余弦函数的单调区间公式是一个总的单调区间。

所以wx +φ的范围一定是包含于（⊆）正余弦函数的单调区间公式，这时就可以解出w 的范围，再联立一开始利用单调区间的长度一定小于等于T2求得的w 的大范围，从而求出w的具体范围。

接下来以一道高考题为例：2012年高考新课标卷理科第9题：已知w >0，函数f (x )=sin(wx +π4)在区间(π2,π)上单调递减，求w 的取值范围。

解析：在(π2,π)上单调递减，可以得出π-π2≤T2，结合最小正周期公式T =2πw ，可以得出π2≤πw 。

2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)

2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。

衡水中学2019-2020学年度高三年级十调考试数学试卷理科

(2)他们在一轮游戏中获“优秀小组”概率为
P C21P1(1 P1)C22P22 C22P12C21P2 (1 P2 ) C22P12C22P22
=2P
1
P
2
(P
1
+P
2
)-3P
2 1
P
2 2
-------------------------8 分
4 因为 P 1 + P2 = 3
所以
P=
在 ACM 中，由余弦定理得： AM 2 AC 2 CM 2 2AC CM cosC 305 9
所以， AM 305 .…………………………12 分 3
18.解析：（1）证法 1：在棱 CC1, DD1 分别取点 M , N ，使得 QN PM 1 ，易知四边形
MNQP 是·平行四边形，所以 MN // PQ ，联结 FM , MN , NE ，
3
所以 EF // 平面PQB .…………………6 分
证法 2：因为直棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形， AC BD, AA1 底面ABCD ，
设 AC, BD 交点为 O ，以 O 为原点，分别以 OA,OB ，及过 O 且与 AA1 平行的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.则有 A(2,0,0) ， B(0,1,0) ， C(2,0,0) ， D(0,1,0) ，设 BF a ，
又当直线 l 的斜率为０时，也符合条件．综上，
1 MN
1 OQ 2
3
为定值，且为．…１２分
4
20. 解析
(1) 所求概率
P ＝ (C
1 2
2 3
.
1 3
)(C
2 2

2020年高考理科数学之高频考点解密28 二项式定理(解析版)

2020年高考理科数学之高频考点解密28 二项式定理考点1 求二项展开式中特定项或指定项的系数调研1 在6(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为 A ．30B ．20C ．15D ．10【答案】C【解析】因为(1+x)6的展开式的通项为T k+1=C 6k⋅x k ,所以x(1+x)6的展开式中含x 3项的系数为C 62=15，故选C.调研2 261(3)()x x x--的展开式中3x 的系数是 A ．90B ．90-C ．15D ．15-【答案】B【解析】22(3)69x x x -=-+，而61()x x-的二项式系数满足()6621661C ()1C r r rr r r r T xx x--+=-=-，因而3x 的系数为()()22661C 90-⋅-⋅=-，故选B.【名师点睛】本道题考查了二项式系数公式，属于中等难度的题.利用二项式系数公式，计算系数即可. 调研3 61()x x-的展开式中含2x 的项的系数是______________．【答案】15 【解析】（x 1x-）6的展开式的通项公式为T r +16C r =·（﹣1）r ·x 6−2r ，令6﹣2r ＝2，求得r ＝2，故展开式中含2x 的项的系数为26C =15，故答案为15．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中x 2的系数．调研4 二项式62(1)x x-的展开式的常数项为______________．【答案】15 【解析】二项式62(1)x x -的展开式的通项公式为T r +1＝6662(1C C )r r r rx x-⋅-=•（﹣1）r •x 6−3r ，令6﹣3r ＝0，求得r ＝2， ∴展开式的常数项是26C ＝15．【名师点睛】本题考查二项展开式的运用，考查求特定项的系数，熟练运用公式求解即可.写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为0，即可得到常数项．调研5 在()()532x y x y +-的展开式中，24x y 的系数为______________．【答案】－160【解析】由题意，可知二项式()52x y -的展开式中第r ＋1项为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅-，令51r -=，得r ＝4；令52r -=，得r ＝3.∴在()()532x y x y +-展开式中24x y 的系数为()()434355C 23C 2160⨯-+⨯⨯--＝.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理求解r 的值，准确运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，可知二项式()52x y -的展开式中第r ＋1项为()515C 2rr r r T x y -+=⋅⋅-，令51r -=和52r -=，即可求解24x y 的系数.☆技巧点拨☆1．熟记二项式定理：011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，是解决此类问题的关键.2．求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）. （1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.考点2 已知二项展开式某项的系数求参数调研1 已知51(1)()x ax x+-的展开式中常数项为40-，则a 的值为A ．2B ．2-C ．2±D ．4【答案】C【解析】51()ax x-展开式的通项公式为()()55521551C ()1C rr r r r r r r T ax a x x---+=-=-，令521r -=-可得：3r =，结合题意可得()353351C 40a --=-，即21040,2a a =∴=±. 故选C.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出51()ax x-展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a 的方程，解方程即可求得结果. 调研2 ()nb ax x-（0ab ≠，且,a b 为常数）的展开式中，x 的系数为3210a b ，则n =______________．【答案】5【解析】展开式中x 的系数为232C n a b ，则由23232C 10n a b a b =，即2C 10n =，解得5n =．调研3 若5(2)()a x x x+-展开式的常数项等于80，则a =______________．【答案】2【解析】∵（a x-x ）5的展开式的通项公式为T r +15C r =·（﹣1）r ·a 5−r ·x 2r −5，显然，2r ﹣5为奇数，所以若求5(2)()a x x x+-展开式的常数项，则2r ﹣5=−1，所以r =2, 故（x +2）（a x-x ）5的展开式的常数项等于25C ·a 3＝80，所以a ＝2，故答案为2．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．根据二项展开式的通项公式，求得（x +2）（ax-x ）5展开式的常数项，再根据常数项等于80，求得a 的值．调研4 若二项式2)nm x展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m =______________．【答案】2【解析】根据题意，2)nm x展开式中二项式系数之和是32，有2n ＝32，则n ＝5，则2)n m x 展开式的通项为T r +1＝C 5r •）5−r •（2mx ）r ＝m r •C 5r •552r x -，令552r-=0，可得r ＝1，则2)nm x展开式中的常数项为T 2＝m •C 51，则有m •C 51＝10，即m ＝2．【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n ，并得到该二项式的通项．根据题意，由二项式系数的性质可得2n ＝32，可得n ＝5，进而可得2)nm x展开式的通项，令x 的指数为0，可得r 的值为1，即2)nm x展开式中的常数项为T 2，求出T 2，结合题意有m •C 51＝10，可得答案．☆技巧点拨☆对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系．考点3 二项式各项系数的和与二项式系数的区别调研1 7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792D ．792-【答案】D7项的二项式系数最大， ∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.的展开式的通项公式为()1212211C r r rr T x -+=-，令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.调研2 已知()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，若0170a a a ++⋅⋅⋅+=，则3a = A ．−5 B ．−20 C ．15D ．35【答案】A【解析】在()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+中，令1x =得()6017210a a a a -=++⋅⋅⋅+=， ∴1a =，∴()()()()66111x a x x x +-=+-．又()61x -展开式的通项为()()166C 1C rrr r rr T x x +=-=-， ∴()()32323661C 1C 5a =-+-=-．故选A ．调研3 若()()54221x x -++=2345012345a a x a x a x a x a x +++++，则024a a a ++=____________．【答案】81-【解析】在()()54221x x -++=2345012345a a x a x a x a x a x +++++中，取x ＝1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝80，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5＝﹣242， ∴两式子相加得2（a 0+a 2+a 4）＝﹣162，即a 0+a 2+a 4＝﹣81，故答案为−81．【名师点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，是中档题．在已知等式中分别取x ＝1与x ＝﹣1，然后作和求得a 0+a 2+a 4，则答案可求.调研4 已知2)()2n n x∈N *的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是:101，则展开式中二项式系数最大的项为______________．【答案】61120x -【解析】由题意知,第五项的系数为C n 4(−2)4，第三项的系数为C n 2(−2)2，则有C n 4(−2)4C n 2(−2)2=101，化简可得n 2−5n −24=0，解得n ＝8或n ＝−3(舍去).由n ＝8知第5项二项式系数最大.此时651120T x -=.调研5 设()()52360123611x x a a x a x a x a x -+=+++++L ，则3a =______________．. 【答案】0【解析】因为()()()()554321115101051x x x x x x x x -+=-+++++23601236a a x a x a x a x =+++++L ，则310100a =-=，故答案为0．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．把()51x +按照二项式定理展开，可得3a 的值．☆技巧点拨☆二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如(a ＋bx )n 的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而该项的系数是C r n an －r b r.当然，某些特殊的二项展开式如(1＋x )n ，各项的系数与二项式系数是相等的．考点4 二项式定理的综合应用调研1 设2d a x x =⎰，则二项式5(ax -展开式中含2x 项的系数是 A ．80B ．640C ．−160D ．−40【答案】A【解析】依题意，a =∫x d x 2=12x 2∣02=12×4=2,则二项式(ax √x)5,即(2x −√x)5，故展开式的通项公式为Tr+1=C 5r ⋅(−1)r⋅25−r⋅x5−3r 2,令5−3r 2=2，得r =2，故展开式中含x 2项的系数为C 52⋅23=80，故选A.调研2 已知2)2nx的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则该展开式中所有有理项的项数为 A ．4 B ．5 C ．6D ．7【答案】C【解析】由题意可知：n2+1=6，∴n =10. ∴T r+1=C 10r x 10−r22r x−2r=C 10r 2r x 10−5r2(0≤r ≤10,且r ∈N). 要求该展开式中的有理项，只需令10−5r 2∈Z ，∴r =0,2,4,6,8,10，所有有理项的项数为6项. 故选C.调研3 设n ∈*N ，则71C n +722C n +···+7n C nn 除以9的余数为 A ．0 B ．2 C ．7D ．0或7【答案】D【解析】71C n +272C n ++L 7n C n n =()171n +-=()911n --=01C 9C n n n -19n -+22C 9n n -++L ()11n --1C 9n n -+()C 11nnn --，当n 为偶数时，余数为0，当n 为奇数时，余数为7，故选D.【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的应用，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于中档题.逆用二项展开式定理，原式可化为()911n --=01C 9C n n n -19n -+22C 9n n -++L ()11n --1C 9n n -+()C 11nnn --，从而可得结果. 调研4 设22d n x x =⎰，已知二项式1(12)n x x+-，则展开式的常数项为______________．【答案】1【解析】依题意，n =∫2xdx 20=x 2∣02=4，4411(12)[1(2)]x x x x+-=+-234111114(2)6(2)4(2)(2)x x x x x x x x =+-+-+-+-，∴二项式中的常数项产生在24111,6(2),(2)x x x x--中，分别是()()2224111,622,C ()2x x x x⨯⋅-⋅⋅-,它们的和为124241-+=．故展开式的常数项为1．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题. 解题时，先求出n ，然后将1(12)n x x+-变形为1[1(2)]nx x+-，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果.1．（上海市华东师范大学第二附中2019-2020学年高三上学期期中）若()3nx y +展开式的系数之和等于()107a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为A ．15B ．10C ．8D ．5【答案】D【思路分析】二项式()3nx y +的展开式的各项系数的和为(13)4nnm =+=，()107a b +的二项式系数之和为102k =，由m =k ，即可求得n 的值．【解析】设二项式()3nx y +的展开式的各项系数的和为m ，即x =1时满足题意，(13)4n n m ∴=+=，又设()107a b +的二项式系数之和为k ，则012101010101010C C C C 2k =++++=L ，因为m =k ，所以1042n =，解得n =5．故选D ．【点睛点睛】本题考查二项式系数的性质，关键在于理解好二项式各项系数的和与二项式系数之和的含义，属基础题．2．（2019年重庆市三模）二项式(2nx 的展开式中第7项是常数项，则n 的值是 A ．8 B ．9 C ．10D ．11【答案】B【思路分析】利用二项展开式的通项公式，得第7项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值．【解析】展开式中第7项为()6666666696+131=C 2(C 2C 2n n n n n n n n T x x x x x------==，由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9，故选B ．3．（2019年9月陕西省百校联盟高三TOP20联考）27(2x 的展开式中，4x 项的系数为A ．-28B ．280C ．-560D ．560【答案】C【思路分析】先写出展开式的通项公式，再令x 的指数为4，解得r ，然后由通项公式可求得系数．【解析】27(2x 展开式的通项公式为1014277343177()()C 2C 2(1)r r rrr rrr Tx x x----+=⋅⋅-=⋅⋅-，令101443r -=，解得3r =，故所求系数为3437C 2(1)3516560⋅⋅-=-⨯=-．故选C ．4．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试）在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是A ．10B ．0C ．10D ．20【答案】B【思路分析】由二项的展开式的通项为515(1)C k k k k k T x y -+=-，进而可求得展开式的33x y 的系数，得到答案．【解析】由题意，二项式5()x y -的展开式的通项为515(1)C k k k k k T x y -+=-，所以5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数为332255(1)C (1)C 10100-+-+-==，故选B ．【点睛点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．（2019年上海市青浦区高三上学期期末学业质量调研(一模)）“4n =”是1()nx x+的二项展开式中存在常数项”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【思路分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解析】二项式1n x x+（）的通项为211C C 0r rn r r r nr n n T x x r n x--+==≤≤（）（）， 1()n x x+的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数，4n n =⇒Q 为正偶数，n 为正偶数推不出4n =，∴4n =是1()nx x+的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．故选A ．6．（2019年上海市高三上学期一模冲刺练习试卷（一））()()2611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 A ．2 B ．3 C ．2-D ．2或3【答案】D【思路分析】利用二项展开式的通项公式求出()61x +展开式的通项，分别令3,2,1r =求出展开式含 3x 、2x 、x 的项，利用多项式乘法求出()()2611ax x -+的展开式中3x 项的系数，列出方程求出a ．【解析】()222112ax ax a x -=-+Q ，()61x +展开式的通项为16C r rr T x +=，令3r =得展开式含3x 项的系数为36C 20=，令2r =得展开式含2x 项的系数为26C 15=，令1r =得展开式含x 项的系数为16C 20=，所以()()2611ax x -+的展开式中3x 项的系数为22030616a a -+=-，解得2a =或3，故选D ．【点睛点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，需熟记二项式展开式的通项公式．7．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考）若()421ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为 A ．2- B ．2 C ．3D ．4【答案】B【思路分析】将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出()421ax x -+的通项公式()24C C tr t r tr a x--，令25r t -=，解此不定方程得出t ，r 的值，得到关于a 的方程，可得解．【解析】()()442211ax x x ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦，所以()421x ax ⎡⎤+-⎣⎦的展开式的通项为()()()()2221444C C C rr tttrr t r tr t r r r T x ax C x ax C a x --+=-=-=-，其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==L ，令25r t -=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩，当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3143C C 12a a ⋅⋅-=-，当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()343344C C 4a a ⋅⋅-=-，因为5x 的系数为56-，所以312456a a --=-，即33140a a +-=，即()()22270a a a -++=，所以2,a =故选B ．【点睛点睛】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，本题关键在于将底数的三项式，组合成二项，运用二项式展开式的通项，建立方程求解，属于中档题．8．（安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高三上学期期中）若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =______________．【答案】-2【思路分析】由题意可知3366C 10m =-，解出m 即可．【解析】6()mx y +Q 展开式中33x y 的系数为160-，3366C 10m ∴=-，解得2m =-．故答案为2-．9．（上海市建平中学2019-2020学年高三上学期期中）在二项式51)x的展开式中，展开式的系数和为______________．【答案】32【思路分析】利用赋值法令1x =即可得到展开式各项的系数和．【解析】由二项式51)x的展开式知，展开式的系数和是由展开式的各项的系数相加，所以1x =得：展开式的系数和为5(31)32-=．故答案为32．【点睛点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，求解过程中要学会用赋值法进行求解，考查对展开式各项系数的理解和基本的运算求解能力．10．（2019年河南省安阳市高三毕业班第一次调研）已知41(2)(1)x a x x++-的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =______________．【答案】2【思路分析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，然后分别求每一项中含有3x 的系数，最后求a ．【解析】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，所以41(2)(1)x a x x++-的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-，即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a =．故答案为2．【点睛点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题． 11．（云南省大理市2019-2020学年高三毕业生复习统一检测）()()3211x mx -+的展开式中2x 的系数是-6，且0m ≠，则m =______________．【答案】3【思路分析】通过分析式子特点，要使展开式出现2x 的形式，需要使()31x -对应的展开式中含有2x 项或含有常数项才符合题意，采用分类讨论法求解即可【解析】①()31x -的2x 项为()123C 1x-，②()31x -的常数项为()333C 11-=-，()()3211x mx-+展开式中的2x 项为()()()12223C 1113x mx m x -⋅+-⋅=-+，∴3m =．故答案为3．【点睛点睛】本题考查两个因式求解二项式展开式具体项的系数问题，解题一般思路为，将其中一个二项式的基本形式表示成通式，通过另一因式中每一项的特点来进行组合，分类讨论求出对应项的系数即可．12．（上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研）在101()x x-的展开式中，常数项等于______________．（结果用数值表示）【答案】252-【思路分析】先求出二项式101()x x-的展开式的通项公式为10102110101C ()(1)C r rr r r r r T x x x--+=-=-，再令1020r -=，求解代入运算即可．【解析】由二项式101()x x-的展开式的通项公式为10102110101C ()(1)C r rr r r r r T x x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，即在101()x x-的展开式中，常数项等于5510109876(1)C 25254321⨯⨯⨯⨯-=-=-⨯⨯⨯⨯，故答案为252-．【点睛点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题． 13．（2019年广西省柳州高中、南宁二中两校联考高三上学期第一次考试）511()(2)x x x x+-的展开式中常数项为______________．【答案】40【思路分析】由二项式定理及展开式通项公式可得51(2)x x-展开式的通项公式为1r T +=5C r 52r -(1)r-52r x -，再利用乘法的分配律运算即可得解．【解析】由51(2)x x-展开式的通项公式为1r T +=r 5C 52r -(1)r-52r x -，则511()(2)x x x x+-的展开式中常数项为25C 32-35C 22=40，故答案为40．14．（2019年10月湖南省永州市高三一模）()()511x x +-的展开式中含2x 项的系数为______________．【答案】5【思路分析】由()()()()524321114641x x x xx x x +-=--+-+，求得展开式中含2x 项的系数．【解析】()()()()524321114641x x xxx x x +-=--+-+，∴展开式中含2x 项的系数为()16115⨯+-⨯=，故答案为5．15．（2019年浙江省十校联盟高三上学期10月联考）5(1-的展开式的各个二项式系数的和为______________，含______________．【答案】32 80-【思路分析】根据题意，各个二项式系数的和为2n ，二项式的展开式为515C 1(rr r r T -+=⋅⋅-，找出满足含r 的值即可求得含【解析】根据题意，(51-的展开式的各个二项式系数的和为52=32，当=3r 时，353345C 1(T -=⋅⋅-，所以含80-．16．（云南省昆明市民族中学2019-2020学年高三上学期10月适应性月考）()()32x y x y -+的展开式中3x y的系数为______________．【答案】5【思路分析】由()()32x y x y -+的展开式中3x y 项为()120333C 2C x xy y x -，即可得到答案．【解析】由()()32x y x y -+的展开式中3x y 项为()120333333C 2C 65x xy y x x y x y x y -=-=，所以3x y 的系数为5．故答案为5．【点睛点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中根据展开式的形式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．（江西省抚州市临川第一中学等2019-2020学年高三上学期第一次联考）91)2x展开式中的常数项为______________．【答案】212-【解析】因为99322+19911=C ()()C 22r rr r r r r r T x x x----=-，令9302r-=，解得3r =，所以展开式中常数项为3349121=()C 22T -=-． 18．（2019年上海市格致中学高三上学期第一次检测）二项式()51nx -的展开式中的二项式系数和为W ，各项系数和为P ，且62128W P +=，则n 的值是______________．【答案】6【思路分析】先由题意，得到二项式系数W 和与各项系数和P ，代入62128W P +=，求解，即可得出结果．【解析】因为二项式()51nx -的展开式中的二项式系数和为2=n W ，令1x =得，各项系数和为4n P =，又62128W P +=，所以6221284⋅+=n n ，即()226221280-⋅-=nn ，即()()264220-+=n n，所以62642==n ，因此6n =．故答案为6．【点睛点睛】本题主要考查由二项式系数和与各项系数和之间关系求参数，熟记二项式定理即可，属于常考题型．19．（2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考）已知()011nx a a x =+++()()2*211()nn a x a x n +++∈N L +对任意x ∈R 恒成立，则0a =______________；若450a a +=，则n =______________．【答案】()1n-9【思路分析】利用1t x =+将问题转化为二项式的问题，然后利用二项式的通项分别表示出即可求解．【解析】令1t x =+，则()20121nn n t a a t a t a t -=+++L +，则()01na =-，()444C 1n n n a --=-，()555C 1n n n a --=-，∵450a a +=，故45C C n n n n --=，即45C C n n =，解得9n =．20．（湖北省黄冈市2019-2020学年高三上学期11月月考）若()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++，则1245245a a a a --+-678678a a a +-=______________．（用数字作答）．【答案】5368-【思路分析】对等式()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++两边同时求导得()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，和单独求出3a ，代入可得结果．【解析】Q ()82301232x a a x a x a x +=++++4467845678a x a x a x a x a x ++++，∴()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，有()71234812234a a a a -+=-+-+56785678a a a a -+-，即1234234a a a a -+-+567856788a a a a -+-=．又5538C 21792a ==，故所求值为8179235368-⨯=-．故答案为5368-．【点睛点睛】本题考查二项展开式系数的相关计算，关键在于对展开式两边同时求导，和利用赋值法，是中档题．1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 2．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】252()x x+的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得T r+1=C 5r (x 2)5−r (2x )r =C 5r ∙2r ∙x 10−3r ，令10−3r =4,则r =2，所以C 5r ∙2r =C 52×22=40.故选C.3．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30D ．35【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，故选C ．【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.4．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.5．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是______________；系数为有理数的项的个数是______________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==L ，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：，5．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．6．【2016年高考全国Ⅰ卷理数】5(2x +的展开式中，x 3的系数是______________．（用数字填写答案）【答案】10【解析】5(2x 的展开式的通项为555255C (2)2C r rrr rr x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r-=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.7．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N L ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值．【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+方法1：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．方法2：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-．。

【精品高考数学试卷】2019-2020高三(上)第二次学业水平合格性+答案

2019-2020学年北京市高三（上）第二次学业水平合格性数学试卷一、选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）已知集合M ＝{1，2}，N ＝{2，3}，那么M ∩N 等于（） A ．∅B ．{1}C ．{2}D ．{3}2．（3分）已知向量a →=（2，1），b →=（0，﹣2），那么a →+b →等于（） A ．（2，3）B ．（2，1）C ．（2，0）D ．（2，﹣1）3．（3分）2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（） A ．12B ．14C ．18D ．1164．（3分）圆心为A （2，﹣3），半径等于5的圆的方程是（） A ．（x ﹣2）2+（y +3）2＝5 B ．（x +2）2+（y ﹣3）2＝5C ．（x ﹣2）2+（y +3）2＝25D ．（x +2）2+（y ﹣3）2＝255．（3分）已知向量a →=（﹣2，1），b →=（1，m ），且a →⊥b →，那么m 等于（） A ．0B ．1C ．2D ．36．（3分）直线x +y ﹣3＝0与直线x ﹣y +1＝0的交点坐标是（） A ．（2，2）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，3）D ．（1，2）7．（3分）已知平面向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝1，且a →与b →夹角为60°，那么a →•b →等于（） A ．14B ．13C ．12D ．18．（3分）函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域为（） A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）9．（3分）已知点A （﹣1，1），B （2，4），那么直线AB 的斜率为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．（3分）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A ，B 两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A 专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为（） A ．20B ．30C ．40D ．5011．（3分）cos （α﹣β）等于（） A ．cos αcos β+sin αsin β B ．cos αcos β﹣sin αsin β C ．sin αcos β+cos αsin βD ．sin αcos β﹣cos αsin β12．（3分）已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （﹣1）＝﹣2，那么f （1）的值为（） A ．0B ．12C ．1D ．213．（3分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，如果AB ＝3，AC ＝1，AA 1＝2，那么直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为（）A ．2B ．3C ．4D ．614．（3分）sin 13π6的值为（） A ．12B ．√33C ．√32D ．√315．（3分）函数f （x ）＝x 3﹣x 的零点的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．316．（3分）要得到函数y =2sin(x +π3)的图象，只需要将函数y ＝2sin x 的图象（） A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位17．（3分）直线l 经过点A （1，1），且与直线2x ﹣y ﹣3＝0平行，则l 的方程为（） A ．y ＝2x +1B ．y =12x +1C ．y =−12x −1D ．y ＝2x ﹣118．（3分）如果函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（4，2），那么a 的值为（）A ．14B ．12C ．2D ．419．（3分）已知a ＝20.3，b ＝23，c ＝2﹣1，那么a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a20．（3分）函数f （x ）＝sin x cos x 的最小正周期为（） A ．1B ．2C ．πD ．2π21．（3分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果A ＝30°，B ＝45°，b ＝2，那么a 等于（） A ．√2B ．√3C ．√6D ．322．（3分）已知sinα=45，α∈(0，π2)，那么cos （π﹣α）等于（） A ．−45B ．−35C ．35D ．4523．（3分）已知圆C ：x 2+y 2﹣6x ＝0与直线l ：x ﹣y +1＝0，那么圆心C 到直线l 的距离为（） A ．3√2B ．2√2C ．√2D ．124．（3分）已知幂函数f （x ）＝x n ，它的图象过点（2，8），那么f(12)的值为（） A ．18B ．14C ．12D ．125．（3分）生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM 2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间[300，350）的户数为（）A．5B．15C．20D．2526．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面积S=32√3，那么a等于（）A．√7B．7C．√17D．1727．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，n⊥α，那么m∥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果α⊥β，m⊂α，那么m⊥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④二、解答题（共19分）28．（5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数f(x)=2sin(x+φ)(−π2＜φ＜π2)，且f(0)=√3．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[−5π6，π3]上的最大值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为f(0)=2sinφ=√3，所以sinφ=√3 2．因为−π2＜φ＜π2，所以φ=π3．（Ⅱ）因为−5π6≤x≤π3，所以−π2≤x+π3≤2π3．令t=x+π3，则−π2≤t≤2π3．画出函数y＝2sin t在[−π2，2π3]上的图象，由图象可知，当t=π2，即x=π6时，函数f（x）的最大值为f（x）max＝2．下表列出了某些数学知识：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间(−π2，π2)上的性质两角差的余弦公式函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A，ω，φ对函数y＝A sin（ωx+φ）图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．29．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，点D，E，F分别为PC，AB，AC 的中点．（Ⅰ）求证：BC∥平面DEF；（Ⅱ）求证：DF⊥BC．阅读下面给出的解答过程及思路分析．解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以①．因为BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以BC∥平面DEF．（Ⅱ）证明：因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以②．因为D，F分别为PC，AC的中点，所以DF∥P A．所以DF⊥BC．思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．以上证明过程及思路分析中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．空格选项①A．EF∥BC B．BE∥FC C．BC ∥DE②A．PB⊥EF B．P A⊥BC C．PC ⊥EF③A．线线垂直B．线面垂直C．线线平行④A．线线垂直B．线面垂直C．线线平行⑤A．线面平行B．线线平行C．线面垂直30．（5分）某同学解答一道解析几何题：“已知直线l：y＝2x+4与x轴的交点为A，圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A．（Ⅰ）求r的值；（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求|AB|．”该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）令y＝0，即2x+4＝0，解得x＝﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0）．因为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A，所以r＝2．（Ⅱ）因为AB⊥l．所以直线AB的斜率为﹣2．所以直线AB的方程为y﹣0＝﹣2（x+2），即y＝﹣2x﹣4．代入x2+y2＝4消去y整理得5x2+16x+12＝0，解得x1＝﹣2，x2=−6 5．当x2=−65时，y2=−85．所以点B的坐标为(−65，−85)．所以|AB|=√(−65+2)2+(−85−0)2=45√5．指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．31．（4分）土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A，B两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A，B两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A的密度大于11g/cm3，小于12g/cm3，重金属B的密度为8.65g/cm3．试计算此混合物中重金属A的克数的范围．2019-2020学年北京市高三（上）第二次学业水平合格性数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．【解答】解：M ＝{1，2}，N ＝{2，3}， ∴M ∩N ＝{2}．故选：C ．2．【解答】解：向量a →=（2，1），b →=（0，﹣2），则a →+b →=（2+0，1﹣2）＝（2，﹣1）．故选：D ．3．【解答】解：设事件A 表示“四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆”，则基本事件的总数为C 41=4个，事件A 包含1个基本事件，所以P （A ）=14，故选：B ．4．【解答】解：圆心为A （2，﹣3），半径等于5的圆的方程：（x ﹣2）2+（y +3）2＝25．故选：C ．5．【解答】解：向量a →=（﹣2，1），b →=（1，m ），当a →⊥b →时，a →•b →=0，即﹣2×1+1×m ＝0，解得m ＝2．故选：C ．6．【解答】解：联立两直线有：{x +y −3=0x −y +1=0，解得：x ＝1，y ＝2，直线x +y ﹣3＝0与直线x ﹣y +1＝0的交点坐标是（1，2）．故选：D ．7．【解答】解：平面向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝1，且a →与b →夹角为60°，那么a →•b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=1×1×12=12．故选：C ．8．【解答】解：由函数f （x ）＝lg （x ﹣1）可得 x ﹣1＞0，解得x ＞1，故函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域为（1，+∞），故选：C ．9．【解答】解：∵已知点A （﹣1，1），B （2，4），那么直线AB 的斜率为4−12−(−1)=1，故选：A ．10．【解答】解：由题意知，从A 专业抽取的学生人数为120×200600=40（人）．故选：C ．11．【解答】解：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．故选：A ．12．【解答】解：根据题意，函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），又由f （﹣1）＝﹣2，则f （1）＝﹣f （﹣1）＝2；故选：D ．13．【解答】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，∴S △ABC =12×3×1=32，又AA 1⊥平面ABC ，且AA 1＝2， ∴V ABC−A 1B 1C 1=32×2=3．故选：B ．14．【解答】解：sin 13π6=sin π6=12．故选：A ．15．【解答】解：函数f （x ）＝x 3﹣x ＝x （x +1）（x ﹣1）＝0，解得x ＝0或x ＝1，或x ＝﹣1；函数f （x ）＝x 3﹣x 的零点的个数是3个，故选：D ．16．【解答】解：将函数y ＝2sin x 的图象向左平移π3个单位，可得函数y =2sin(x +π3)的图象，故选：A ．17．【解答】解：∵直线l 经过点A （1，1），且与直线2x ﹣y ﹣3＝0平行，则l 的方程为2x ﹣y +c ＝0，把点A （1，1）代入，可得2﹣1+c ＝0，求得c ＝﹣1，故l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，故选：D ．18．【解答】解：∵f （x ）的图象经过点（4，2）， ∴log a 4＝2， ∴a 2＝4，且a ＞0， ∴a ＝2．故选：C ．19．【解答】解：∵函数y ＝2x 在R 上单调递增，3＞0.3＞﹣1，a ＝20.3 ，b ＝23 ，c ＝2﹣1，∴b ＞a ＞c ，故选：B ．20．【解答】解：由题意得，f （x ）＝sin x cos x =12×2sin x cos x =12sin2x ，所以函数的最小正周期为2π2=π，故选：C ．21．【解答】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果A ＝30°，B ＝45°，b ＝2，由正弦定理可得：a =bsinAsinB =2×12√22=√2．故选：A ．22．【解答】解：sinα=45，α∈(0，π2)，那么cos （π﹣α）＝﹣cos α=−√1−sin 2α=−35．故选：B ．23．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣6x ＝0化为：（x ﹣3）2+y 2＝9的圆心（3，0），圆心C 到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离为：d =2=2√2．故选：B．24．【解答】解：幂函数f（x）＝x n的图象过点（2，8），则2n＝8，n＝3，∴f（x）＝x3，∴f(12)=(12)3=18．故选：A．25．【解答】解：依题意，由频率分布直方图可知，用气量在[300，350）的频率为：0.005×50＝0.25，所以100户居民中用气量在区间[300，350）的户数为：100×0.25＝25．故选：D．26．【解答】解：∵A＝60°，b＝3，△ABC的面积S=32√3=12bc sin A=12×3×c×√32，∴c＝2，∴由余弦定理可得a=√b2+c2−2bccosA=√9+4−2×3×2×12=√7．故选：A．27．【解答】解：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n或为异面直线，因此不正确；②如果m⊥α，n⊥α，那么m∥n，正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，正确；④如果α⊥β，m⊂α，那么m不一定垂直β．其中正确的命题是②③．故选：B．二、解答题（共19分）28．【解答】解：该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有；①任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义；②函数y＝sin x的图象，三角函数的周期性；③正弦函数在区间[0，2π]上的性质；④参数A，ω，φ对函数y＝A sin（ωx+φ）图象变化的影响．29．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC．因为BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以BC∥平面DEF．（Ⅱ）证明：因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC．因为D，F分别为PC，AC的中点，所以DF∥P A．所以DF⊥BC．思路分析：第（Ⅰ）问是先证线线平行，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证线线垂直，再证线线平行，最后证“线线垂直”．故答案为：①A；②B；③C；④A；⑤B．（每空（1分），共5分）30．【解答】解：（Ⅱ）中，直线AB的斜率为﹣2不对．因为AB⊥l，所以直线AB的解率为−1 2．所以直线AB的方程为y−0=−12(x+2)，即x＝﹣2y﹣2．代入x2+y2＝4消去x整理得5y2+8y＝0，解得y1＝0，y2=−8 5．当y2=−85时，x2=65．所以B 的坐标为(65，−85)．所以|AB|=√(65+2)2+(−85−0)2=85√5．31．【解答】解：设重金属A 的密度为xg /cm 3，此混合物中含重金属A 为y 克．由题意可知，重金属B 为（1000﹣y ）克，且y x +1000−y 8.65=100．解得y =135x x−8.65(11＜x ＜12)．因为y =135x x−8.65=135(1+8.65x−8.65)，所以当x ＞8.65时，y 随x 的增大而减小，因为11＜x ＜12，所以135×(1+8.6512−8.65)＜y =135(1+8.65x−8.65)＜135×(1+8.6511−8.65)．解得4833967＜y ＜6314347．故此混合物中重金属A 的克数的范围是大于4833967克，小于6314347克．。

2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第3节简单的三角恒等变换课时跟踪检测理含解

第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( )A ．5665 B ．－3365C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sinA ＝513，所以B>A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( )A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ． 4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15B ．－15C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35B ．5－35C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin (α＋β)sin (α－β)等于( ) A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a.故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ． 9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．解析：易知tan (2α－β)＝tan [2(α－β)＋β]．因为tan (α－β)＝12，所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43，故tan (2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan [(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x∈R，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝Asin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32，所以cos θ＝64. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos (α＋β)＝－55，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos Bcos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝－2cos Bcos C ，两边同时除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2.又∵tan Btan C ＝1－2，∴tan(B ＋C)＝tan B ＋tan C1－tan Btan C ＝－1.又∵B＋C∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π，∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos (α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2，可得cos α－sin α＝23，① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos (α－β)＝1－cos (α－β)，解得cos (α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f(x)＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f(x)＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x)－sin(2x ＋x)＝－2cos 2xsin x ，令f(x)＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x＝5π2或2x ＝7π2，∴x＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C ． 16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f(x)max ＝2，f(x)的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，所以f(x 2)＝f(x)max ，f(x 1)＝f(x)min ，故A|x 1－x 2|的最小值为A×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a⊥b，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第二课时简单的三角恒等变换A 级·基础过关 |固根基|1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019届成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m＝－6或1，故选A ．3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A ．3π4B ．π4或3π4C ．π4D ．2k π＋π4(k∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.5．(2019届福州市高三期末)若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C ．79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C ．6．若α是第二象限角，且sin α＝35，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )A ．－65B ．－45C ．45D ．65解析：选C 因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α2＝－cos α，又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以1－2sin π＋α2sin π－α2＝45.故选C ．7．(2019届兰州模拟)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.答案：439．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin 2x ＋2cos x 在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos 2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x －1)＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π时，f′(x)>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6时，f′(x)<0，∴x ＝π6是f(x)的极大值点，x ＝5π6是f(x)的极小值点．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－332，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 10．(2019届四省八校联考)f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)的最小正周期为________．解析：f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)＝sin 2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin x cos x ＝2sin xcos x sin x ×cos x ＋3sin x cos x ＝2(cos x ＋3sin x)＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f(x)的最小正周期T ＝2π. 答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]． 12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝43cos 2ωx ＋2sin 2ωx －3(ω>0)的部分图象如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y ＝3的交点，且EH →·EF →＝EH →2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x 0)＝335，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，求f(x 0＋2)－3的值．解：(1)函数化简得f(x)＝23cos 2ωx ＋2sin 2ωx ＋3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ 3.由题意可知|EF|＝T2.因为EH →·EF →＝EH →2，所以EH →·(EH →＋HF →)＝EH →2，所以EH →·HF →＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH 是等腰直角三角形．又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T ＝16.所以2ω＝2π16，即ω＝π16，函数f(x)的值域是[－4＋3，4＋ 3 ]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π3＋3，因为f(x 0)＝335，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝－310. 因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，所以π8x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝9710，所以f(x 0＋2)－3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π4＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3cos π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3sin π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－310×22＋4×9710×22＝194－65.B 级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sin x ＋3cos x 的最大值为() A ． 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选C 由题意，可知f(x)＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为23，故选C ．14．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)sin 2x (x∈R)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos 22x)＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x)，∴f(－x)＝18[1－cos (－4x)]＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，故选D ． 15．已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，∴tan α＝－3，∴sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A ． 16．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：∵a＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13。

【精品高三数学试卷】2019-2020高三(上)月考(9月)+答案

2019-2020学年北京市高三（上）月考数学试卷（二）（9月份）一、选择题共8小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（3分）设集合A ＝{x |x 2﹣5x +6＞0}，B ＝{x |x ﹣1＜0}，则A ∩B ＝（） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣3，﹣1）D ．（3，+∞）2．（3分）下列函数中，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2x +1C ．y ＝x 3+1D ．y ＝（x ﹣1）|x |3．（3分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2+a 3＝11，则S 6﹣S 3＝（） A ．27B ．39C ．45D ．634．（3分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为（）A ．f(x)=2sin(32x +π4) B ．f(x)=2sin(23x +2π9)C ．f(x)=2sin(32x +5π4)D ．f(x)=2sin(23x +25π18)5．（3分）已知函数f （x ）是定义在实数集R 上的偶函数，则下列结论一定成立的是（） A ．∀x ∈R ，f （x ）＞f （﹣x ） B ．∃x 0∈R ，f （x 0）＞f （﹣x 0）C ．∀x ∈R ，f （x ）f （﹣x ）≥0D ．∃x 0∈R ，f （x 0）f （﹣x 0）＜06．（3分）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771．） A ．2.2天B ．2.4天C ．2.6天D ．2.8天7．（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MD →⋅NC →的值是（）A ．2B ．5C ．26D ．298．（3分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝2x ； ③f （x ）=1x ；④f （x ）＝ln |x |，其中是“保等比数列函数”的序号为（） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④二、填空题共6小题.9．（3分）“AB →∥CD →”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的条件 10．（3分）在复平面内，复数3+4i i对应的点的坐标为．11．（3分）在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为千米．12．（3分）设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7＝18，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10＝．13．（3分）若平面向量a →=（cos θ，sin θ），b →=（1，﹣1），且a →⊥b →，则sin2θ的值是． 14．（3分）若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为（a n ）+，则得到一个新数列{（a n ）+}．例如，若数列{a n }是1，2，3…，n ，…，则数列{（a n ）+}是0，1，2，…，n ﹣1…已知对任意的n ∈N +，a n ＝n 2，则（a 5）+＝，（（a n ）+）+＝．三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15．设函数f(x)=sinxcosx −sin 2(x −π4)(x ∈R)．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(C2)=0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值．16．在△ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ≠c ，若sin 2C −sin 2B =√3sinBcosB−√3sinCcosC．（1）求角A的大小（2）若sinC=34，求cos B的值17．已知函数f（x）＝e x（x3+mx2﹣2x+2）．（Ⅰ）假设m＝﹣2，求f（x）的极大值与极小值；（Ⅱ）是否存在实数m，使f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．18．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．2019-2020学年北京市高三（上）月考数学试卷（二）（9月份）参考答案与试题解析一、选择题共8小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】解：根据题意，A ＝{x |x 2﹣5x +6＞0}＝{x |x ＞3或x ＜2}， B ＝{x |x ﹣1＜0}＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝{x |x ＜1}＝（﹣∞，1）；故选：A ．2．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；对于B ，y ＝2x +1，其值域为（0，+∞），不符合题意；对于C ，y ＝x 3+1，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D ，y ＝（x ﹣1）|x |={x 2−x ，x ≥0−x 2+x ，x ＜0，在区间（0，12）上为减函数，不符合题意；故选：C ．3．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a 2+a 3＝11，∴1+d +1+2d ＝11，解得d ＝3，∴S 6﹣S 3＝（6+6×52d ）﹣（3+3×22d ）＝3+12d ＝39．故选：B ．4．【解答】解：根据图象得A ＝2，34T =5π6−（−π6），可得T =4π3， ∴ω=2πT =32，又f （x ）过点（−π6，0），可得2sin[32×（−π6）+φ]＝0，由五点作图法可得32×（−π6）+φ＝π，解得φ=5π4，所以f （x ）＝2sin （32x +5π4）＝0．故选：C ．5．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在实数集R 上的偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ），故∀x ∈R ，f （x ）＞f （﹣x ）错误，即A 错误；对于B ，若f （x ）＝0，则不存在x 0∈R ，f （x 0）＞f （﹣x 0），故B 错误；对于C ，∀x ∈R ，f （x ）f （﹣x ）≥0，正确；对于D ，若f （x ）＝0，则不存在x 0∈R ，f （x 0）f （﹣x 0）＜0，故D 错误；故选：C ．6．【解答】解：设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ．莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．则A n =3(1−12n )1−12，B n =2n−12−1，由题意可得：3(1−12n )1−12=2n −12−1，化为：2n +62n =7，解得2n ＝6，2n ＝1（舍去）． ∴n =lg6lg2=1+lg3lg2≈2.6． ∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故选：C ．7．【解答】解：连接OC ，OD ， ∵C 、D 是弧AB 的三等分点， ∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°， ∵M 、N 是线段AB 的三等分点，OA ＝6， ∴|MO →|=|NO →|=2，|OD →|=|OC →|=6． ∵MD →=MO →+OD →， NC →=NO →+OC →，∴MD →⋅NC →=（ MO →+OD →）•（ NO →+OC →）=MO →⋅NO →+MO →⋅OC →+OD →⋅NO →+OD →⋅OC →＝﹣4+2×6×12+2×6×12+6×6×12＝26，故选：C ．8．【解答】解：由等比数列性质知a n a n +2＝a n +12，①f （a n ）f （a n +2）＝a n 2a n +22＝（a n +12）2＝f 2（a n +1），故正确； ②f （a n ）f （a n +2）＝2an 2an +2＝2an +an +2≠22an +1＝f 2（a n +1），故不正确； ③f （a n ）f （a n +2）=1a n ⋅1a n+2=1a n+12=f 2（a n +1），故正确； ④f （a n ）f （a n +2）＝ln |a n |ln |a n +2|≠ln |a n +1|2＝f 2（a n +1），故不正确；故选：C ．二、填空题共6小题.9．【解答】解：“AB →∥CD →“得不出“A ，B ，C ，D 四点共线”，而“A ，B ，C ，D 四点共线”能得出“AB →∥CD →”，∴“AB →∥CD →”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分． 10．【解答】解：复数3+4i i=−i(3+4i)−i⋅i=−3i +4对应的点的坐标为（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．11．【解答】解：由A 点向BC 作垂线，垂足为D ，设AC ＝x ， ∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°， ∴∠ACB ＝180°﹣75°﹣60°＝45° ∴AD =√22x∴在Rt △ABD 中，AB •sin60°=√22x x =√6（千米）答：A 、C 两点之间的距离为√6千米．故答案为：√6 下由正弦定理求解：∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°， ∴∠ACB ＝180°﹣75°﹣60°＝45° 又相距2千米的A 、B 两点 ∴√22=√32，解得AC =√6答：A 、C 两点之间的距离为√6千米．故答案为：√612．【解答】解：由题意可得a 5a 6+a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9， ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10＝log 3（a 1a 2…a 10）＝log 3（a 5a 6）5＝log 395＝log 3310＝10 故答案为：1013．【解答】解：因为a →⊥b →，所以a →•b →=0，即：cos θ﹣sin θ＝0，两边平方可得：cos 2θ﹣2sin θcos θ+sin 2θ＝0，可得：1﹣sin2θ＝0，解得：sin2θ＝1．故答案为：1．14．【解答】解：∵a m ＜5，而a n ＝n 2，∴m ＝1，2，∴（a 5）+＝2． ∵（a 1）+＝0，（a 2）+＝1，（a 3）+＝1，（a 4）+＝1，（a 5）+＝2，（a 6）+＝2，（a 7）+＝2，（a 8）+＝2，（a 9）+＝2，（a 10）+＝3，（a 11）+＝3，（a 12）+＝3，（a 13）+＝3，（a 14）+＝3，（a 15）+＝3，（a 16）+＝3，∴（（a 1）+）+＝1，（（a 2）+）+＝4，（（a 3）+）+＝9，（（a 4）+）+＝16，猜想：（（a n ）+）+＝n 2．答案：2，n 2．三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15．【解答】解：（1）函数f(x)=sinxcosx −sin 2(x −π4)(x ∈R)．化简可得：f(x)=12sin2x −12[1−cos(2x −π2)]=sin2x −12 令2kπ−π2≤2x ≤2kπ+π2(k ∈z)，则kπ−π4≤x ≤kπ+π4(k ∈z)即f （x ）的递增区间为[kπ−π4，kπ+π4](k ∈z)，令2kπ+π2≤2x ≤2kπ+3π2(k ∈z)，则kπ+π4≤x ≤kπ+3π4(k ∈z) 可得f （x ）的递减区间为[kπ+π4，kπ+3π4](k ∈z) （2）由f(C 2)=0得，sinc =12， ∵△ABC 是锐角三角形，∴C =π6由余弦定理得 c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，将c ＝2，c =π6代入得 4=a 2+b 2−√3ab 由基本不等式得a 2+b 2=4+√3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2+√3) ∴S △ABC =12absinC ≤12⋅4(2+√3)⋅12=2+√3，即△ABC 面积的最大值为2+√3． 16．【解答】解：（1）由题意得，1−cos2C2−1−cos2B2=√32sin2B −√32sin2C ；整理得，√32sin2B −12cos2B =√32sin2C −12cos2C ；∴sin （2B −π6）＝sin （2C −π6）；由b ≠c 得，B ≠C ，又B +C ∈（0，π）； ∴2B −π6+2C −π6=π； ∴B +C =23π；∴A =π3；（2）∵sinC =34＜√32=sin A ，∴由正弦定理可得c ＜a ，可得C 为锐角，可得cos C =√1−sin 2C =√74，∴cos B ＝﹣cos （A +C ）＝sin A sin C ﹣cos A cos C =√32×34−12×√74=3√3−√78． 17．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）＝e x （x 3﹣2x 2﹣2x +2）； ∴f ′（x ）＝xe x （x ﹣2）（x +3）；∴x ∈（﹣∞，﹣3）时，f ′（x ）＜0；x ∈（﹣3，0）时，f ′（x ）＞0，∴x ＝﹣3时，f （x ）取到极小值f （﹣3）＝﹣37e ﹣3；x ∈（0，2）时，f ′（x ）＜0，∴x ＝0时，f （x ）取到极大值f （0）＝2； x ∈（2，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x ＝2时，f （x ）取到极小值f （2）＝﹣2e 2．（Ⅱ）f ′（x ）＝xe x [x 2+（m +3）x +2m ﹣2]；∴要使f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递增，则：f ′（x ）≥0，∵xe x ＜0；只要x 2+（m +3）x +2m ﹣2≤0； ∴{(−2)2−2(m +3)+2m −2≤0(−1)2−(m +3)+2m −2≤0；解得m ≤4，∴m 的取值范围是（﹣∞，4]．18．【解答】（Ⅰ）解：m ＝5时，数列{a n }的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n ≤n ﹣1，∴0≤a 2≤1，0≤a 3≤2，又数列{a n }的前3项互不相等，（1）当a 2＝0时，若a 3＝1，则a 3＝a 4＝a 5＝…＝1，且对n ≥3，m+0+(n−2)n=m−2n+1都为整数，∴m ＝2；若a 3＝2，则a 3＝a 4＝a 5＝…＝2，且对n ≥3，m+0+2(n−2)n=m−4n+2都为整数，∴m ＝4；（2）当a 2＝1时，若a 3＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝…＝0，且对n ≥3，m+1+0⋅(n−2)n=m+1n都为整数，∴m ＝﹣1，不符合题意；若a 3＝2，则a 3＝a 4＝a 5＝ (2)且对n ≥3，m+1+2(n−2)n=m−3n+2都为整数，∴m ＝3；综上，m 的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n ≥1，令S n ＝a 1+a 2+…+a n ，则S n+1n+1＜S n+1n=S n +a n+1n≤S n +n n=S n n+1．又对每一个n ，S n n都为正整数，∴S n+1n+1≤S n n≤⋯≤S 11=m ，其中“＜”至多出现m ﹣1个．故存在正整数M ＞m ，当n ＞M 时，必有S n+1n+1=S n n成立．当S n+1n+1=S n n时，则a n+1=S n+1−S n =(n+1)S n n −S n =S nn．从而S n+2n+2=a n+2+a n+1+S nn+2=a n+2+(n+1)a n+1n+2=a n+1+a n+2−a n+1n+2．由题设知|a n+2−a n+1|n+2≤n+1n+2＜1，又S n+2n+2及a n +1均为整数，∴S n+2n+2=a n +1=S n n =S n+1n+1，故S n n =S n+1n+1=S n+2n+2=⋯=常数．从而a n+1=S n+1−S n =(n+1)S n n −S n =S nn=常数．故存在正整数M ，使得n ≥M 时，a n 为常数．。

2019-2020学年河北省衡水中学高三(下)第十次调研数学试卷(理科)含答案

2019-2020学年河北省衡水中学高三（下）第十次调研数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3} 2．（5分）设复数z＝1+bi（b∈R），且z2＝﹣3+4i，则的虚部为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．43．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，，则a6的值为（）A．B．C．D．4．（5分）如图的框图中，若输入，则输出的i值为（）A．3B．4C．5D．65．（5分）已知a＝log30.8，b＝30.8，c＝0.32.1，则（）A．a＜ab＜c B．ac＜b＜c C．ab＜a＜c D．c＜ac＜b 6．（5分）已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（）A．y＝sin（e x+e﹣x）B．y＝sin（e x﹣e﹣x）C．y＝cos（e x﹣e﹣x）D．y＝cos（e x+e﹣x）7．（5分）《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝3x﹣2，则f（2019）+f（2020）＝（）A．﹣1B．0C．1D．29．（5分）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（x1，0），B（x2，0）两点是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，φ∈（0，π））与x轴的两个交点，且满足|x1﹣x2|min＝，现将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到的新函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线x＝2a与双曲线的一条渐近线交于点P，双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．或12．（5分）已知k∈R，设函数，若关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（）A．[0，e2]B．[2，e2]C．[0，4]D．[0，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置. 13．（5分）已知向量，向量，则＝．14．（5分）已知抛物线C：y＝mx2（m∈R，m≠0）过点P（﹣1，4），则抛物线C的准线方程为．15．（5分）已知数列{a n}，{b n}，其中数列{a n}满足a n+10＝a n（n∈N+），前n项和为S n满足S n＝﹣（n∈N+，n≤10）；数列{b n}满足b n+12＝b n（n∈N+），且b1＝1，b n+1＝，（n∈N+，n≤12），则数列{a n•b n}的第2020项的值为．16．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面为四边形ABCD．其中△ACD为正三角形，又•＝•＝3．设三棱锥P﹣ABD，三棱锥P﹣ACD的体积分别是V1，V2，三棱锥P﹣ABD，三棱锥P﹣ACD的外接球的表面积分别是S1，S2．对于以下结论：①V1＜V2；②V1＝V2；③V1＞V2；④S1＜S2；⑤S1＝S2；⑥S1＞S2．其中正确命题的序号为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝2A，b＝8．（1）求边长a；（2）已知点M为边BC的中点，求AM的长度．18．（12分）已知，图中直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，其中AA1＝AC＝2BD＝4．又点E，F，P，Q分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上运动，且满足：BF＝DQ，CP﹣BF＝DQ﹣AE＝1．（1）求证：E，F，P，Q四点共面，并证明EF∥平面PQB；（2）是否存在点P使得二面角B﹣PQ﹣E的余弦值为？如果存在，求出CP的长；如果不存在，请说明理由．19．（12分）已知圆，圆，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A．射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点E作直线l交曲线C与点M，N，射线OH⊥l与点H，且交曲线C于点Q．问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．。