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第三节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛域 三、幂级数的运算
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一、函数项级数的一般概念
前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若 讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数 项级数。
1.定义:
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在I R 上的
函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
(2) 幂级数对一切x 都收敛,
R , 收敛区间(,).
问题 如何求幂级数的收敛半径? 幂级数的收敛区间，幂级数的收敛域？
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定理 2 对幂级数 an x n
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
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当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
2.收敛点与收敛域:
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点, 否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
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（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
定义: 正数R称为幂级数 anxn 的收敛半径. n0
开区间 (R, R) 叫做幂级数 anxn 的收敛区间. n0
收敛域可能是(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。
规定
(1) 幂级数只在x 0处收敛, R 0, 收敛区间x 0;
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x
)
0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数的收敛问题.
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例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或 x 1.
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例如 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域.
n1 n 1 x
n an
n n 1
收敛区间(,).
例2
求幂级数
n0
(2n)! (n!)2
x2n
的收敛半径。
解
级数的一般项为un ( x)
(2n)! ( n !)2
x2n 缺少奇次幂的项
应用达朗贝尔判别法
lim un1( x) 4 x 2 , n un ( x)
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
n0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1); 发散域(,1][1,);
对于幂级数,要解决两个问题： (1) 如何求出它的收敛域？ (2) 如何求出收敛域内的和函数？
从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在x=0处总 是收敛的.而对的点处,幂级数的敛散性如何呢?先 看下列定理.
n0
(3) 如果 ,
x 0, 级数 an xn必发散.
n0
收敛半径 R 0.
定理证毕.
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例1 求下列幂级数的收敛区间:
(1) (1)n xn ;
(2) (nx)n;
n1
n
n1
(3) xn ;
n1 n!
解 (1) lim an1 lim n 1 R 1
n an
n n 1
并且从某个 n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
从而级数 an xn发散.
n0
来自百度文库
收敛半径 R 1 ;
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(2) 如果 0, 任意给定x 0,
有 an1 xn1
an xn
0 (n ),
级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn绝对收敛. 收敛半径 R ;
解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n ) un ( x) n 1 1 x 1 x
(1)
当1 1 x
1,
1
x
1,
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 当 x 2时,
级数 (1)n 收敛;
n1 n
级数 1 发散;
n1 n
故级数的收敛域为(,2) [0,).
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二、幂级数及其收敛性
1、定义:形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
其中an 为幂级数系数.
下面着重讨论
的情形, 即
2、收敛性
例如级数 xn 1 x x2 ,
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
当x 1时,
级数为
1,
n1 n
该级数收敛 该级数发散
故收敛区间是(1,1].
(2) (nx)n;
n1
lim n n
an
lim n , n
级数只在x 0处收敛,
R 0,
xn
(3)
;
n1 n!
lim an1 lim 1 0, R ,
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
所有发散点的全体称为发散域.
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3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数 s ( x ) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), 余项 rn ( x) s( x) sn ( x)