2幂级数
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
第四章 第二节 幂级数
可沿K内曲线 逐项积分,且收敛 注1 (4.5)可沿 内曲线 逐项积分 且收敛 可沿 内曲线C逐项积分 半径与(4.5) 相同 相同. 半径与 即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使 从而它的通项序列必有界 即有正数 使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图 幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域 问题1: 问题 幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
3-2幂级数
在收敛圆|z-z0|<R内解析；
(2)在收敛圆内可逐次求导n次；
w(n) (z) an (z z0 )n (n) n1
(3)在收敛圆内可逐次积分。
w(z)dz C
an C (z z0 )n dz
n0
z z0
w( z )dz
n0
an (z n 1
z0 )n1
定理2：设
f (z) an zn n0
§3.2 幂级数
一、概念：各项都是幂函数的复变项级数。 一般
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ...
k 1
其中z0,a0,a1,a2,...均为复常数，称为以z0为中
心的幂级数。
最简单的解析函数项幂级数：
ak
z
k
k 1
二、幂级数的收敛性
首先考察与上式对应的正项级数的收敛性
n1 n
R lim an lim 1/ n lim n 1 1
a n n1
n 1/(n 1) n n
当z=0时， (z 1)n (1)n 为交错级数，收敛
n1 n
n1 n
当z=2时，
(z 1)n
1
为调和级数，发散
n1 n
n1 n
(3) (cos in)zn
n0
R lim an lim cosin
g(z) bn zn n0
R R1 R R2
则在|z|<R=min(R1，R2)内，有
f (z) g(z) an zn bn zn
n0
n0
f (z) g(z) an zn bn zn
n0
n0
(a0bn a1bn1 ... anb0 )z n n0
习题课2幂级数
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数 展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其 和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)： 易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
复变函数4章幂级数
则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收 敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0
n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和 一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平 面内除 z=0 外的一切 z, 级数 收敛, 因此
n0
n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收
.
19
幂级数
n0
系数cn按乘法的定义求.
(相除后的收敛区间比原来两级数的 收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质
(1)幂级数 an xn 的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
连续.
(2)幂级数 an xn的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
可积, 并可逐项积分.
x
s( x)dx
0
x
(
0
an xn )dx
n1
(1)n1
n1
[(1)n1
n
xn
n xn
]
显然 s(0) 0,
(1)n1 xn1
1
,
n11Biblioteka x(1 x 1)两边积n分1得
x s(nt )dt x 1 dt
0
0 1 t
即 s( x) s(0) ln(1 x) s(x) ln(1 x),
0
(1)n1 xn ln(1 x)，(1 x 1).
1
即|
x |
1 时,
n0
级数 | an xn
n0
| 发散,
从而级数 anxn发散，
n0
于是收敛半径 R 1 .
limliamn1anx1 x0 a a nn
nn
（2）若 0, 根据比值审敛法，对任意的x，
级数an xn绝对收敛. 因此收敛半径 R .
n0
（3）若 , 对于除x 0外的一切x,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2
如果幂级数 an xn的所有系数 an 0，
n0
设
lim an1 a n
n
,
则 (1)
当
0 时, R
1；
高数第9章函数项级数、幂级数-幂级数
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
1 (n) f ( x0 ) 则其系数 a n n!
且展开式是唯一的.
( n 0,1,2,)
证明 an ( x x0 ) n 在U ( x0 )内收敛于f ( x),即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 ) n Leabharlann 的收敛半径为 R,其和函数为
s( x ) ,则在 ( x0 R, x0 R) 内幂级数可以逐项积分和
an 即 s( x)dx ( an x )dx ( x x0 ) n 1. x0 x0 n 0 n 0 n 1
x n
即 s( x) ( an ( x x0 ) n ) (an ( x x0 ) n ) nan ( x x0 ) n 1.
收敛区间( , ) .
中央财经大学
数学分析
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim 2 n a n n 1 n
1 R , 2
1 1 即 x 收敛, 2 2
x (0,1)收敛,
( 1)n n 令 t 2 x 3 , 原级数变为 t . n 0 2n 1
由于
an 1 lim 1 n a n
3 1 因此 , 当 t 1 , 即 x 时 , 原幂级数收敛 , 2 2 3 1 当 t 1 , 即 x 时 , 原幂级数发散 , 2 2
例2
a n 1 n 解 (1) lim lim 1 R 1 n a n n 1 n
2的幂级数分解
2的幂级数分解2的幂级数分解是数学中的一个重要概念，它可以将一个数用2的幂次方相加的形式表示出来。
这个概念在计算机科学中也有广泛的应用，例如在算法设计和数据结构中常常会用到。
我们来看看什么是2的幂级数分解。
对于一个正整数n，它的2的幂级数分解可以表示为：n = a0 * 2^0 + a1 * 2^1 + a2 * 2^2 + ... + ak * 2^k其中，ai为0或1，k为非负整数。
这个等式可以解释为将n表示为二进制形式时的各位数相加的结果。
例如，当n=13时，它的2的幂级数分解为13=1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0。
接下来，我们来探讨一下2的幂级数分解的性质和应用。
1. 唯一性：每个正整数都有唯一的2的幂级数分解。
这是因为在二进制表示中，每一位上的系数只能是0或1，不存在两种不同的方式表示同一个数。
2. 运算性质：2的幂级数分解可以方便地进行加法和乘法运算。
对于两个正整数m和n，它们的2的幂级数分解分别为：m = a0 * 2^0 + a1 * 2^1 + a2 * 2^2 + ... + am * 2^mn = b0 * 2^0 + b1 * 2^1 + b2 * 2^2 + ... + bn * 2^n则它们的和m+n和积m*n的2的幂级数分解分别为：m + n = (a0+b0) * 2^0 + (a1+b1) * 2^1 + (a2+b2) * 2^2 + ... + (am+bn) * 2^(max(m,n))m * n = c0 * 2^0 + c1 * 2^1 + c2 * 2^2 + ... + ck * 2^k 其中，ci = ai * bi，k = m+n。
3. 应用：2的幂级数分解在计算机科学中有广泛的应用。
例如，在计算机网络中，IP地址就是用32位的2的幂级数分解表示的。
在算法设计中，通过将问题转化为2的幂级数分解的形式，可以方便地进行问题求解和优化。
函数项级数、幂级数的概念
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
函数项级数、幂级数的概念
一 函数项级数的概念
1 定义 设 u1( x), u2( x),, un ( x), 是定义在数集E 上的一个函
n0
lim a xn 0
n n 0
根据数列极限的性质有常数 M 0 使
a xn n0
M ,(n
1,2,),
因此
n
n
an xn
an
x0n
(
x x0
)n
an x0n
x x0
M x x0
n
即
a n
x
n
M
x x0
因为
x x0
时，
级数
M
n
x 的公比满足
n0
x 0
q x 1, x0
所以
M
n
n0
都绝对收敛，于是 R .
3. 如果 l , 这时
ห้องสมุดไป่ตู้
an
x n
对
x0
收敛，对非零 x
n0
都发散，于是 R 0 .
例
求幂级数 (1)n1 x n 的收敛半径与收敛域。
n 1
n
解:
l
lim
a n1
lim (1)n
n
1 ，所以 R 1 。
a n n
n n 1 (1)n1
当 x 1 时, (1)n1 (1)n 1 发散；
u n n
n an xn
2的n次方展开式
2的n次方展开式2的n次方展开式是对2进行n次连乘的结果。
常用的展开式有两种形式：二项展开和幂级数展开。
1. 二项展开：二项展开是将2的n次方表示为二项式的展开形式。
根据二项式定理，可以将二项展开式表示为：2^n = C(n,0) * 2^0 + C(n,1) * 2^1 + C(n,2) * 2^2 + ... + C(n,n-1) * 2^(n-1) + C(n,n) * 2^n其中，C(n,k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数，也即二项系数。
可以使用组合数的计算公式来求解C(n,k)。
例如，当n=4时，二项展开式为：2^4 = C(4,0) * 2^0 + C(4,1) * 2^1 + C(4,2) * 2^2 + C(4,3) * 2^3 + C(4,4) * 2^4= 1 * 2^0 + 4 * 2^1 + 6 * 2^2 + 4 * 2^3 + 1 * 2^4= 1 + 8 + 24 + 32 + 16= 812. 幂级数展开：幂级数展开是将2的n次方表示为幂级数的形式。
根据幂级数展开的原理，可以将2的n次方表示为：2^n = 1 + n * ln(2) + (n * (n-1) * ln^2(2)) / 2! + (n * (n-1) * (n-2) * ln^3(2)) / 3! + ...其中，ln表示自然对数。
通过幂级数展开，可以用近似的方式计算2的n次方，特别适用于n为实数的情况。
例如，当n=4时，幂级数展开式为：2^4 = 1 + 4 * ln(2) + (4 * 3 * ln^2(2)) / 2! + (4 * 3 * 2 * ln^3(2)) / 3! + ...= 1 + 4 * 0.6931 + (4 * 3 * 0.6931^2) / 2! + (4 * 3 * 2 *0.6931^3) / 3! + ...≈ 16.03. 数值计算：对于较大的n值，直接通过连乘法或幂级数展开求解可能会导致结果溢出或耗费大量计算时间。
第十三章第二节幂级数
四、将函数展开成幂级数
五、初等函数的幂级数展开方法
六、幂级数简单应用
贵州航天职业技术学院 周学来
2019/10/27
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第十三章 级数
§13.2 幂级数
一、函数项级数:
1、函数项级数： un(x) xI(a,b) n1
2、函数项级数的收敛域E
使 级 数un(x)收 敛 的 点 x称 为 级 数 的 n1
的收 . 敛域 [ 解 ] 问: 这个幂级数有什麽特点 ？
缺项!
利用达朗贝尔判别法
n l im u u n n 1 ((x x ))n l im 2 2 n n 1 x x 22 n n 1 1n l im 2 x22x2
当2x21时,即x 1时,级数收敛 2
第十三章 级数
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§13.2 幂级数
怎样求幂级数的收敛半径?
设 有 幂 anxn, 级 记 u n 数 anxn
n 0
考 察 lim u n1(x)lim an1xn1lim an1x
n u n(x) n anxn
a n n
[法2] 注意到 nxn1的通项系数是等差数， 列
n1
也可用代数方法求解：
S( x) 1 2x 3x2 nxn1
xS(x) x 2x2 3x3 nxn
(1 x)S(x) 1 x xn 1
1 x
即
n1
nxn1
级数
n(1)n1可以看成是幂 n级xn数 1
n1 3
n1
在x1处的值 3
第十三章 级数
幂级数定理2的使用条件
幂级数定理2的使用条件
幂级数定理2是数学中一种常见的结论，它给出了在某些条件下幂级
数的收敛性。
首先，幂级数定理2适用于复平面上的复数级数，即级数的项为复数。
其次，幂级数定理2的使用条件是级数的收敛半径必须大于0。
这意
味着，当级数的项的绝对值小于某个非负数R时，级数才收敛。
除此之外，幂级数定理2还要求级数的项必须满足某些可微性条件。
这些条件可以用来证明级数的收敛性和求出级数的极
限。
具体而言，对于级数的任意一项，它的导数必须在级数的收敛半
径内收敛。
这是因为级数的收敛性与其导数的收敛性有关，如果级数
的导数不收敛，那么级数也不可能收敛。
综上所述，幂级数定理2的使用条件包括级数项为复数、级数的收敛
半径大于0以及级数的项必须满足可微性条件。
只有在这些条件都满
足的情况下，才能使用幂级数定理2证明级数的收敛性和求出级数的
极限。
2的幂级数分解
2的幂级数分解2的幂级数分解是一种数学上常见的技巧，可以将一个数表示为2的幂的和。
这种分解方法在计算机科学、信号处理等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍2的幂级数分解的原理和应用，并通过实例来说明其具体操作步骤。
一、2的幂级数分解的原理2的幂级数分解是基于二进制数系统的特性而产生的。
在二进制数系统中，每一位上的数字只能是0或1，而2的幂正好可以用二进制表示的方式来表示。
例如，2的0次幂是1，2的1次幂是2，2的2次幂是4，2的3次幂是8，以此类推。
根据二进制数系统的原理，任意一个正整数都可以表示为若干个2的幂的和。
例如，十进制数10可以表示为2的3次幂加上2的1次幂，即10=2^3+2^1。
类似地，十进制数15可以表示为2的3次幂加上2的2次幂加上2的1次幂加上2的0次幂，即15=2^3+2^2+2^1+2^0。
2的幂级数分解在计算机科学、信号处理等领域中有着广泛的应用。
其中，最常见的应用之一是在计算机存储和数据传输中的位运算。
由于计算机内部的数据存储和传输都是以二进制形式进行的，因此对于大数的运算，采用2的幂级数分解可以大大简化计算过程。
例如，在计算机的位运算中，移位操作是一种常见的运算方式。
移位操作可以将一个数的二进制表示向左或向右移动若干位，从而实现乘以或除以2的幂的效果。
通过2的幂级数分解，可以将一个数表示为若干个2的幂的和，从而简化移位运算的计算过程。
另一个应用是在信号处理中的快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法是一种高效的信号频谱分析方法，它通过将信号表示为2的幂级数分解的形式，可以快速计算信号的频谱信息。
由于FFT算法的时间复杂度与信号长度的对数成正比，因此采用2的幂级数分解可以大大提高计算效率。
三、2的幂级数分解的具体操作步骤2的幂级数分解的操作步骤如下：1. 将待分解的数表示为二进制形式；2. 从二进制数的最高位开始，将每一位上为1的幂加到结果中；3. 继续处理下一位，直到所有位都处理完毕。
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n 0
n 0
当| z | R 时 当|z | R 时
z z z
O
n a z n 发散
n a z n 可能收敛也可能发散
n 0
n 0
则称R为该级数 的收敛半径
R
| z | R 称为该级数 的收敛圆周
3
例1 如果级数
a z
n 0
n
n
在它的收敛圆周上一点z0 绝对收敛
n 0
n
如果 cn z0 收敛, 则当 | z | | z | 时 cn z n 绝对收敛 0
n c z 如果 n 0 发散, 则当 | z | | z0 | 时 cn z n 发散
n 0
设 z0 0
n 0 n 0
n 0
推论 若 cn ( z a ) 在z =z0处收敛 n 0 z0 z0 则当 | z a | |z0 a | 时 z z
2 n c ( z a ) c ( z a ) ... c ( z a ) c0 c1 ( z a ) 2 n ... n n
n 0
定理4.12(阿贝尔定理) cn z
n
n 2 z c z c ... c z z z z 称为幂级数 n 0 0 c1z0 c2 z0 n 0 ... n
n 0
| z | R1 | z | R2
n 0
设 bn z 的收敛半径为R2 ,和函数为 g( z )
n n n bn z n 当| z | min{R1 , R2 }时 (an bn ) z an z n 2 b ... b z 即 g( z ) ... 0 b1 z b2 z n
1 则收敛半径 R l
6
例4.求下列幂级数 的收敛半径 2 n ( n !) n z (2) n z P为正整数 (1) p n n n 1 n 1 p 1 lim an1 lim n 1 p 1 R a (1) 解 n p ( n 1) n n n an ( n !)2 (2) 解 an n n n n a n 1 ( n 1)! ( n 1)! lim lim n 1 n n ! n ! n a ( n 1) n
n
n z 所以当| | 1 时 cn z 绝对收敛
n 0
n 0
n 0
n 0
3. 收敛半径的计算方法 定理4.14 对于幂级数
比值法
an z
n 0
n
如果 lim
n
an 1 an
Байду номын сангаас 0,
1 则收敛半径 R l
根值法
如果 lim an l 0,
n
n
n 0
f ( z ) g( z ) (a0 a1 z a2 z ... an z ...)
2 n 2
n 0
n 0
n ...) ... b z (b0 b1 z b2 z n a0 b0 ( a0b1 a1b0 ) z (a0b2 a1b1 a2b0) z 2 n a b a b a b ... a b ... ( 0 n 1 n1 n1 1 n 0) z ...
n
n 0
O
| z0 |
a
c (z a)
n
n
绝对收敛
1
n 0
n c ( z 1) 在z =—1 处收敛 例如 设幂级数 n
n 0
1
则当 | z 1 | |1 1 |时 z n cn ( z 1) 绝对收敛
2
1
n 0
此时该级数在z =2处 绝对收敛
9
注意
n 0
绝对收敛
4
例2 设级数 cn 收敛, 而 | cn| 发散
证明 cn z 的收敛半径 为1
n
n 0
n 0
证 因为级数 cn 收敛, 即 cn z 在z =1处 收敛
n
n 0
由 | cn| 发散, 可以证明当| z | 1时 cn z 发散 n 0 z n 0 n cn z0 收敛 z0 假若 | z0 | 而且 1 z n 0 为1 所以 cn z n 的收敛半径 n n 0 O 1 则当 | z | | z0 | 时 cn z 绝对收敛 n 0 5 此时在z =1处 绝对收敛 即 | cn | 收敛
n
n ( n 1) n lim
( n 1)n
R0
( n 1) lim n 1 n (1 ) n
7
例4续.求下列幂级数 的收敛半径 (3)
(1 i )
n 0
n
z
n
n n n a lim n n ( lim lim ) 2 (1 i ) (3) 解 n 2 n n n
n 0 n n 0
证明 在收敛圆所围成的闭区域上
a z
n
n
绝对收敛
n z 时 a z 证 当 | | | z0 | 0 n a z
n a z 根据条件 n 0 收敛
z
z0
O
n 0
根据级数收敛 的比较判别法
R
所以
n 0 n 0
an z n 收敛
n a z n 在其收敛圆 围成的闭区域上
0
n c ( z 2) 能否在z=0处 收敛 例如 幂级数 n n 0 而在z =3处 发散？ z 不能
3
2
若在z =0处收敛， 则在z =3处绝对收敛 若在z =3处发散， 则在z =0处发散 2
和收敛半径 2. 幂级数的收敛圆 对于幂级数an z n 如果存在正实数R
n a z 当| z | R 时 n 绝对收敛,
(4)
e
n 1
i
n
z
n
1 2 R 2 2
i
(4) 解
an e
n
cos
n
i sin
n
1
8
lim n an 1 n
R 1
4. 幂级数运算和性质 n 设 an z 的收敛半径为R1 , 和函数为 f ( z )
n 2 a ... a z 即 f (z) ... 0 a1 z a 2 z n