探索全等三角形的条件
判定全等三角形的五种方法
判定全等三角形的五种方法全等三角形是指具有相同形状和相等边长的三角形。
判定两个三角形是否全等是数学中的一个重要问题。
下面将介绍判定全等三角形的五种方法。
方法一：SSS判定法（边边边）SSS判定法是指通过比较两个三角形的三条边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法二：SAS判定法（边角边）SAS判定法是指通过比较两个三角形的两条边和夹角是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的一边和夹角分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法三：ASA判定法（角边角）ASA判定法是指通过比较两个三角形的两个角和夹边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法四：AAS判定法（角角边）AAS判定法是指通过比较两个三角形的两个角和非夹边的对应边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和非夹边的对应边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法五：HL判定法（斜边和直角边）HL判定法是指通过比较两个直角三角形的斜边和直角边是否相等来判定其是否全等。
如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
通过以上五种方法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等。
这些方法都是基于几何学中的一些定理和公理推导而来，经过严谨的数学证明，可以确保判定结果的准确性。
需要注意的是，在判定全等三角形时，我们需要确保给定的条件足够，即要求已知的边长、角度等信息能够满足相应的判定条件。
如果给定的信息不足够，或者不满足判定条件，那么就无法准确地判定两个三角形是否全等。
判定全等三角形的方法还可以用于解决一些实际问题，例如在建筑设计、图形测量等领域。
通过判定三角形是否全等，可以确保设计和测量的准确性，提高工作效率。
总结起来，判定全等三角形的五种方法分别是SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。
这些方法都是基于几何学中的定理和公理推导而来，通过比较边长、角度等信息，可以准确地判定两个三角形是否全等。
《探索三角形全等的条件》三角形PPT教学课件(第1课时)
所以△ABC≌△AED（SSS）.
=× × =
课堂检测
基础巩固题
4.已知: 如图,点B，E，C，F在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .
试说明: （1）△ABC ≌ △DEF；
（2）∠A=∠D.
解: （1）因为BE = CF，
巩固练习
变式训练
如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.试说明:△ABC ≌ △DCF.
解：因为C是BF中点，
所以BC=CF.
在△ABC 和△DCF中， AB = DC， (已知) AC = DF， (已知) BC = CF， (已证) 所以 △ABC ≌ △DCF
(SSS).
探究新知 素养考点 2 利用三角形全等说明线段或角相等
D是BC的中点
探究新知
指明范 围
摆齐根 据
解：因为D 是BC中点， 所以BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中，
准备条件
AB =AC (已知）
BD =CD （已证）
B
AD =AD （公共边）
所以 △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
A C
D 写出结论
探究新知
书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论.
例 工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常如图中所示，钉上两条斜拉的 木条，这样做的原理是根据三角形的______性. 解稳析定：门框钉上斜拉的木条构成三角形，三角形具有稳定性.
巩固练习
变式训练
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
八年级数学探索三角形全等的条件
AC=DC
A
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∠ACB=∠DCE
C
E D
BC=EC △ACB≌△DCE(SAS) AB=DE
； / 澳门葡京官网 ；
是用于举办战申榜排位赛の临事城市,其实就是呐个排位赛场地.一旦在排位赛期间离开呐座城市,那就无法再进来了.哪怕你是晋级到决赛绝点の战申,只要离开,也一样不能再回来.大斗场内の修行者,陆续の离开.鞠言和纪沄国尪,也跟着人流出了大斗场.在押注大厅,鞠言用相应の 压保凭证在一片惊叹之中兑换到了九亿白耀翠玉.从押注大厅出来后,鞠言和纪沄国尪直接去了交易区域,径直来到了交易大厅.上次在交易大厅购买の红毛果和善琉膏,对鞠言の帮助极其巨大.能够说,若不是使用呐两种资源,让鞠言在对战之前提升了不少の战斗历,那鞠言是不可能击 败月灿尪国丁水云战申の,更不可能杀死对方.红毛果提升了鞠言の申魂体,让鞠言对微子世界控制更强,同事还让他能够在一定程度上领悟混元碎片空间の黑色区域也就是至高级の黑道则,正是由于对至高级黑道则有了些许の掌握,鞠言才能够施展出自身の乾坤千叠击.至于那善琉膏, 同样是对他帮助巨大.善琉膏,明显の增强了鞠言体内の微子世界历量,同事也让微子世界更为稳固和坚韧.鞠言明确了一点,在暗混元空间之中,还有不少资源是对他修行能提供巨大帮助の.暗混元空间与明混元空间の资源,特性是不同の.当然了,普通资源就没哪个用处了,也只有善琉 膏呐一级数の资源才有较为明显の效果.距离决赛阶段,鞠言还有足足半年の事间能够用来继续提升实历,呐半年事间,他自是要利用好.而珍贵の资源,也是必不可少の.现在鞠言身上有超过九亿の白耀翠玉,购买次一级の珍贵资源,那足够买到很多很多.对提升申魂体有效の红毛果,鞠 言打算再买个二百颗.先前那次买の二百颗红毛果,已是被鞠言全部使用了,而鞠言感觉用红毛果仍然能继续提升自身の申魂体.在交易大厅,鞠言和纪沄国尪,直接就购买了伍亿白耀翠玉の各种资源.其中有三亿白耀翠玉都是鞠言自身所用,而另外两亿白耀翠玉是纪沄国尪花の.不过, 纪沄国尪所购买の资源中,绝大部分并不是自身所用,而是准备用于充实国家の国库.两亿白耀翠玉の各种资源,足够让龙岩国の国库颇为充盈了.毕竟,龙岩国只是一个小国家,国家内善王级强者数量都没多少,对资源の消耗,相对の也就比较少.从交易大厅购买了大量资源后,鞠言和纪 沄国尪返回住处.当日稍晚一些事间,波塔尪国の申肜公爵过来,请鞠言和纪沄国尪赴宴.贺荣国尪,为鞠言战申和纪沄国尪准备了庆功宴.而鞠言拒绝了参加庆功宴,鞠言の意思是,庆功宴等到战申榜排位赛彻底结束后再说.申肜公爵劝说数次后都没能让鞠言改变主意,也就只能罢了.鞠 言战申不参加庆功宴,纪沄国尪也是跟着鞠言拒绝了.申肜公爵回到波塔尪国の居所,向贺荣国尪复命.“陛下,鞠言战申和纪沄国尪の意思是,等战申榜排位赛全部结束,再行庆功.”申肜公爵对贺荣国尪道.“哦?”贺荣国尪轻‘哦’了一声.他准备庆功宴,是为了感谢鞠言.鞠言三轮全 胜进入了战申榜排位赛の决赛,给波塔尪国带来了难以想象の好处.光是在几场对战中波塔尪国在押注大厅所赢取の白耀翠玉,都令贺荣呐位尪国の国尪心潮澎湃了.设宴庆功,另一方面也是为了进一步与鞠言战申和纪沄国尪拉近关系.“陛下,鞠言战申和纪沄国尪都很坚持.”申肜公 爵又说道.“嗯,俺知道了.俺们,尊叠鞠言战申和纪沄国尪の意思.”贺荣国尪点点头道.“对了申肜公爵,俺们波塔尪国,通过鞠言战申呐一盘口,得到了多少积分?押注大厅那边,具体の信息应该出来了吧?”贺荣国尪转而问道.“信息已经出来了,鞠言战申呐个盘口得到の积分超过二 拾八亿之巨.”申肜公爵道.积分与盘口压保额直接相关！“啧啧……”贺荣国尪听到呐个数字,忍不住咋了咋舌.“哈哈,下一届战申榜排位赛,俺们波塔尪国获得の压保盘口,至少能比呐次多一倍.”贺荣国尪振奋の语气说道.“是の陛下,按照过往の例子看,仅仅鞠言战申呐一个盘口 获得の押注积分,就足以让俺们波塔尪国在下一届战申榜排位赛中得到至少伍个压保盘口了.而接下来,还有决赛阶段.鞠言战申在决赛中,应该也能获得一些押注积分.”申肜公爵道.“嗯,等战申榜排位赛结束后,俺一定要好好感谢鞠言战申和纪沄国尪.”贺荣国尪叠叠の点了点头.与 此同事,玄秦尪国人员の居所,廉心国尪和尪国の众人员都在一个房间中,房间内气氛异常の安静.似乎,已是有一段事间没有人开口说话了.玄秦尪国在呐一届战申榜排位赛中,损失惨叠.获得の押注积分,也比预料中の少很多.别の不说,单单一个丁水云战申の盘口,就损失了大量の押 注积分.(本章完)第三零零思章王国招揽丁水云战申の呐个盘口,本应该是能够帮助玄秦尪国必得大量押注积分の,可惜……从大斗场回到居所之后,廉心国尪の心仍然没能平复下来.她の心情,此事是极其の复杂,后悔、愤怒、忧虑等等情绪皆有.“怎么都不说话了?”“应哗公爵,你 の主意不是一直都很多の吗?怎么也不说话了?”廉心国尪环视房间内の众人,声音冰冷.应哗公爵,身体都在发抖.淘汰阶段第二轮对战中,他代表玄秦尪国压保伍千万白耀翠玉,赔了.第三轮对战中,他代表玄秦尪国压保两亿白耀翠玉,又血本无归.他应哗公爵,还能找哪个借口.“陛下, 现在不是追究某个人责任の事候.损失の白耀翠玉,就目前の局势,已算不上最无法想象,善王の申魂体还能有呐样幅度の提升！”“不错,真是不错.申魂体增强之后,俺对微子世界の控制更加精妙了.”“还有对黑道则の掌控！俺の申魂体所增强の部分,与在明混元空间不同,在呐里 所增强の那部分申魂体,与暗混元空间更加契合.呐也让俺,对暗混元黑道
5.7探索直角三角形全等的条件
7
探索直角三角形全等的条件
1、判定两个三角形全等方法， SSS ， ASA ， AAS， SAS。 判定两个三角形全等方法， 2、如图，Rt ∆ABC中，直角边 BC 、 AC ，斜边 AB 。 如图， ABC中 A C
回 顾 与 思 考
B
A 如图， BE于 BE于 3、如图，AB ⊥ BE于C，DE ⊥ BE于E， B C D，AB=DE， （1）若∠ A=∠ D，AB=DE， ABC与 全等” 则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 等”） ASA 根据 （用简写法） F E
下面让我们一起来验证这个结论。
已知线段a、 ﹤ 和一个直角 和一个直角α， 已知线段 、c(a﹤c)和一个直角 ， 利用尺规作一个 一个Rt△ 利用尺规作一个 △ABC,使 使 ∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c. ，
a
c
α
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做： 按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ∠ ° M 在射线CM上截取线段 上截取线段CB=a; ⑵ 在射线 上截取线段 M B
C N 为圆心,C为半径画弧 ⑶ 以B为圆心 为半径画弧， 为圆心 为半径画弧， 交射线CN于点 于点A; 交射线CN于点A; M B
C 连接AB. ⑷ 连接 M B
N
C
A
N
C
A
N
就是所求作的三角形吗？ ⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？ 就是所求作的三角形吗 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， 它们能重合吗？ 它们能重合吗？
F C
E
Байду номын сангаас
北师大版七年级数学下册4.3.2 探索三角形全等的条件
如图,∠A＝∠D,要使△ABC≌△DBC,还需要补充一个条件:
利用“角边角“判定两三角形全等：
所以△BEC≌△CDA(AAS).
解：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.
因为CF⊥AD，BE⊥AE，
所以∠CFD＝∠BED＝90°.
BED＝CFD，
)
在△BDE和△CDF中，因为
BDE＝CDF，
利用“角角边“判定两三角形全等：
又因为OE⊥AB，OF⊥CB，所以∠OEB＝∠OFB.
在△BAC和△EAD中，因为
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,AC∥DB,且AE＝BF,那么△AEC≌△BFD的理由是(
所以CE＝AD＝5 cm,BE＝CD,
所以△BDE≌△CDF(AAS)．
利用“角边角“判定两三角形全等：
两角及其 夹边
分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”
或“ASA”).
几何语言:
在△ABC与△A'B'C'中,
∠＝∠',
＝'',所以△ABC≌ △A'B'C' (
∠＝∠',
ASA
).
1.〈厦门〉已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A＝
∠D，AC＝DF，且AC∥DF.
试说明：△ABC≌△DEF.
在探索三角形全等条件及其应用过程中,能够进行有条理地思考并进行简单地推理.
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,AC∥DB,且AE＝BF,那么△AEC≌△BFD的理由是(
)
∠ACB＝∠F
B.
所以△BEC≌△CDA(AAS).
的判定方法看缺什么条件，再去说明什么条件，简言
探索直角三角形全等的条件(HL)精选教学PPT课件
我们俩坐那儿傻坐着也没什么话 阿千在那儿狂唱 那你先跟人说说话呀 朋友妻不可戏呀
让你说说话 谁让你戏了 可我控制不了自己啊
分手的礼仪 男和女在一起，谈恋爱不需要什么理 由对不 对
但是分手的时候就需要理由了 什么我年纪太大了，你年纪太小了
我太成熟了，你太不成熟了 你人太好了，我配不上你了 我家车被狗撞死了 ——就诸如此类的嘛 终归是要找一个台面上都过得去的说 法，这 样双方 都有面 子，是 不是 可是，分手的最根本的原因是什么呢 特别简单，就是我不爱你了，或者， 我不够 爱你了 ，就这 么简单
最重要的是选择，从我们出生那一天 起，除 了我们 的父母 不能选 择，因 为那在 我们生 下来之 前就已 经存在 的，除 此之外 ，所有 的一切 都可以 选择。 纯洁？我觉得这男女之间就没有纯洁 的关系 ，都男 女关系 了能纯 洁吗？
顾小白：你这话什么意思啊，照你这 说法， 男人和 女人就 没办法 成朋友 了？ 米琪：普通朋友肯定没问题，但这好 朋友吧 ，好到 一定程 度上肯 定有问 题。 爱一个人，失去一点点自尊又算什么 呢？谁 先开口 不重要 ，重要 的是彼 此相爱 ，不要 因为害 怕先开 口而错 过了真 爱。
一个男人，没有权利要求爱他的女人 跟他一 起受苦 。●一 个男人 一定要 有自己 的事业 。●我 们生活 在一个 现实的 世界里 ，而这 个世界 很残酷 。所以 ，一定 要有实 力！
第十三集
片头： 自从文明诞生的那一天起，我们就发 明了礼 仪这样 东西， 从穿衣 ，吃饭 ，居住 ，出行 ，每一 样东西 都有它 的礼仪 。每个 国家的 礼仪不 一样， 每个人 的礼仪 也不一 样，礼 仪没有 实际的 用途， 没有实 际的形 体，但 它却是 某种润 滑剂， 确保着 这个都 市的每 一个人 ，每段 关系， 每个环 节，都 在合理 地运转 ，改变 ，让人 感觉不 到突兀 与生涩 ，当我 们习惯 了礼仪 ，我们 就在也 离不开 它，关 于男女 恋爱的 礼仪第 一条： 分手必 须难过 ，因为 这是对 对方的 尊重… …哭一 个！
判断三角形全等的条件
两个三角形全等条件共有五种：
1、边边边（SSS），三边相等。
即如果有两个三角形，它们三条边都相等，则可以判断为两个三角形全等。
2、边角边（SAS）两条边和它们间的夹角相等。
即如果有两个三角形，两条边相等，并且他们间的夹角也相等，可以判断为两个三角形全等。
3、角边角（ASA）两个角它们间夹边相等。
即如果有两个三角形，有两个角相等，并且他们间的夹边也相等，可以判断为两个三角形全等。
4、角角边（AAS）两个角和其中一角的边相等。
即如果有两个三角形，有两个角相等，并且他们任意一个角的一条边也相等，可以判断为两个三角形全等。
5、直角三角形斜边和一条直角边相等（HL）。
直角三角形比较特殊，它有一个角是90度的，所以只要它的斜边和一条直角边相等，可以判断为两个三角形全等。
以上五种情况，就是两个三角形全等的条件。
下面的图片直观说明：。
专题探索三角形全等的条件(SSS和SAS)(知识讲解)数学七年级下册(北师大版)
专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS 和SAS ）（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.特别说明：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.特别说明：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值1．如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为AD 上一点．(1) 求证：△ABD △△ACD ；(2) 若△BED ＝50°，求△CED 的度数．【答案】(1) 证明见分析 (2) 50CED ∠=︒【分析】（1）根据SSS 即可证明△ABD △△ACD ；（2）只要证明△EDB △△EDC （SAS ），即可推出△BED ＝△CED ，进而得到答案． （1）证明：在△ABD 和△ACD 中， AB ACBDCD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD △△ACD （SSS ）；（2）解：△△ABD △△ACD ，△△ADB ＝△ADC ，在△EDB 和△EDC 中，DB DC BDE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△EDB △△EDC （SAS ），△△BED ＝△CED ，△△BED ＝50°，△△CED ＝△BED ＝50°．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．举一反三：【变式1】如图，点A 、M 、N 、C 在同一条直线上，AB CD =，BN DM =，AM CN =，求证：AB CD ∥．【分析】根据AB CD =，BN DM =，AM CN =，利用SSS 定理证明ABN CDM ≌，从而得到A C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，AB CD ∥得证．解：证明：∵AM CN =∴AM MN CN MN∴AN CM =在ABN 和CDM 中AB CD BN DM AN CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABN CDM SSS △≌△∴A C ∠=∠∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．【变式2】如图，已知AB AC =，AD AE =，BD CE =，求证：312.【分析】利用SSS 可证明△ABD△△ACE ，可得△BAD=△1，△ABD=△2，根据三角形外角的性质即可得△3=△BAD+△ABD ，即可得结论.解：在△ABD 和△ACE 中，AB=AC AD=AE BD=CE ⎧⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△ACE ，△△BAD=△1，△ABD=△2，△△3=△BAD+△ABD ，△△3=△1+△2.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.2．已知：如图，AB AC =，F ，E 分别是AB AC ，的中点，求证：ABE ACF ≌．在ABE 与△AB AC A A AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE △≌△【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASAAAS 、、【变式1】如图，点D 在BC 上，,ADB B BAD CAE ∠=∠∠=∠．(1) 添加条件：____________（只需写出一个），使ABC ADE ≅；(2) 根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1) AC AE = (2) 见分析【分析】（1）根据已知条件可得AB AD =，BAC DAE ∠=∠，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．解：（1）添加的条件是：AC AE =,故答案为AC AE =；（2）△,ADB B ∠=∠△AB AD =，△BAD CAE ∠=∠△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，又AC AE =△ABC ADE ≅【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【变式2】如图所示，DC CA ⊥，EA CA ⊥，CD AB =，CB AE =，求证：(1) BCD EAB ≌△△；(2) DB BE ⊥．【分析】（1）利用SAS 判定定理证明三角形全等即可；（2）由()≌DCB BAE SAS △△，可得∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，再利用90DBC BDC ∠+∠=︒，可得90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，所以DB BE ⊥．解：（1）证明：△DC CA ⊥，EA CA ⊥，△90∠=∠=︒DCB BAE ，在DCB △和BAE 中，CD AB DCB BAE CB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()≌DCB BAE SAS △△． （2）证明：由（1）可知()≌DCB BAE SAS △△， △∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，△90DBC BDC ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，△DB BE ⊥．【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质．类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC≌≌DEF ．【分析】首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC△△DEF ．解：△AF=DC ，△AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DEF （SSS ）举一反三： 【变式1】如图，已知：PA＝PB，AC ＝BD ，PC ＝PD ，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由．【分析】由AC=BD ，利用线段的和差关系可得AD=BC ，利用SSS 即可证明△PAD△△PBC.解：△AC ＝BD ，△AC+CD=BD+CD ，即AD ＝BC ，又△PA ＝PB ，PC ＝PD ，△△PAD△△PBC(SSS)【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.【变式2】如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB .试说明：△F ＝△C .【分析】根据SSS 的方法证明△DEF△△ABC,即可得到结论.解：因为DA ＝EB ， 所以DE ＝AB.在△DEF 和△ABC 中， 因为DE ＝AB ，DF ＝AC ，EF ＝BC ，所以△DEF△△ABC(SSS)，所以△F ＝△C.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.4．如图，在ABCD 中，点E 、F 在BD 上，ABE 与CDF 全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1) 你添加的条件是__________．(2) 证明过程： 【答案】(1) BE DF =，答案不唯一； (2) 证明见分析； 【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；（2）由四边形ABCD 是平行四边形得到AB CD ∥，AB CD =，得ABE CDF ∠=∠，再用上添加的条件，即可证明结论．(1)解：BE DF =（答案不唯一）故答案为：BE DF =（答案不唯一）(2)证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB CD ∥，AB CD =，△ABE CDF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△（SAS ）．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在ABC 和ADE 中，AB AD =，AC AE =，且BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE △≌△．【分析】根据BADCAE ∠=∠可得BAC DAE ∠=∠，再根据SAS 即可证明．证明：△BAD CAE ∠=∠，△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC ADE △≌△．【点拨】本题主要考查了用SAS 证明三角形全等，解题的关键是通过BAD CAE ∠=∠得出BAC DAE ∠=∠．【变式2】图，BE CF =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF ≌△△．【分析】首先根据BE CF =可得BC EF =，再由AC DF ∥可得ACB F ∠=∠，然后利用定理证明ABC DEF ≌即可．证明：△BE CF =，△BE EC CF EC ++＝，即BC EF =，△AC DF ∥，△ACB F ∠=∠， 在ACB △和DFE △中，BC EF ACB F AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC DEF ≌．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、全等的性质与“SSS”和“SAS”综合➽➼证明✮✮求值 5．已知：如图，在ABC 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线．求证：AD BC ⊥（填空）．证明：在三角形ABD ACD 和中，△()()()______________BD AB ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩已知已知公共边，△ ≌ （ ）．△ADB ∠＝ （全等三角形的对应角相等）．△1902ADB BDC ∠∠︒＝＝（平角的意义）． △（垂直的意义）．【答案】,,,,SSS DC AC AD AD ABD ACD ADC AD BC =∠⊥，△△，，【分析】证明()SSS ADB ADC ≌△△．推出ADB ADC ∠∠＝，可得结论． 证明：△AD 是BC 边上的中线，△BD CD =，在三角形ABD △和ACD 中，【变式1】如图：AB AC =，BD CD =，若28B ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】28︒ 【分析】连接AD ，利用“SSS ”证明ABD ACD △≌△，即可得到答案．解：连接AD ，在ABD △和ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABD ACD ∴≌C B ∴∠=∠，28B ∠=︒，28C ∴∠=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式2】已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1) ABC BAD ≌．(2) AE BE =．【分析】（1）利用SSS 证明ABC BAD ≌；（2）根据全等三角形的性质得出DAB CBA ∠=∠，则OA OB =，根据等腰三角形的性质可得出结论．（1）证明：在ABC 和BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC BAD ≌（2）证明：△ABC BAD ≌△CBA DAB ∠=∠，△OA OB =，△OE AB ⊥，△AE BE =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS 证明ABC BAD ≌是解题的关键．6．如图，在ABC 中，CM 是AB 边上的中线，8AC =，12BC =，求CM 的取值范围．【答案】210CM <<【分析】倍长中线CM 至点N ，构造BNM ，易得ACM BNM ≅△△，再利用三角形的三边关系找到CN 的取值范围，进而得到CM 的取值范围．解：如图，延长CM 到点N ，使CM MN =，连接BN ，在ACM △和BNM 中，CM NM AMC BMN AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACM BNM ≅△△（SAS ），∴8AC BN ==， 在BCN △中，BC BN CN BC BN -<<+，∴128128CN -<<+，即420CN <<，∴4220CM <<，即210CM <<．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．举一反三：【变式1】如图，已知在ABC 与ADE 中，90BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，，，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ．图中的CE BD 、有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．【答案】CE BD =，证明见分析【分析】根据SAS 证明ACE ABD ≌△△，即可得到CE BD =．解：CE BD =，证明：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ACE △和ABD △中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE ABD ≌△CE BD =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2】如图已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形．(1) 如图1，连接AM ，BM ，此时AM ，BN 的数量关系为___________请说明理由．(2) 若将MON △绕点O 顺时针旋转，如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：222BN AN MN +=．【答案】(1) AM BN =，理由见分析(2) 见分析 【分析】（1）由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =（2）连接AM ，由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =，再求得90MAN ∠=︒，利用勾股定理即可得到222BN AN MN +=解：（1）AM BN =，理由如下：△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠,在AOM 和BON △中：OA OB OM ON AOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =（2）如下图，连接AM ，△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，45B BAO ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中：OA OB OM ONAOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =，45B MAO ∠=∠=︒，△90MAN MAO BAO ∠=∠+∠=︒，△222AM AN MN +=，△222BN AN MN +=【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键。
初中数学八年级上册苏科版1.3探索三角形全等的条件优秀教学案例
3.尺规作图：教授尺规作图方法，让学生动手实践，加深对全等三角形性质的理解。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选择一个判定方法，讨论如何运用该方法判断三角形全等。
2.成果展示：各小组代表汇报探究成果，其他小组进行评价、补充，促进资源共享。
3.教师点评：针对学生的探究成果，教师进行总结性点评，给予肯定和鼓励，提高学生自信心。
（四）反思与评价
1.自我反思：让学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程，提高自我认知。
2.同伴评价：学生相互评价，给出建设性意见，促进共同进步。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活实例引入：以实际生活中的情境为例，如建筑设计中的三角形稳定性，引发学生对三角形全等的关注，激发学习兴趣。
2.问题驱动：创设具有挑战性和思考性的问题，如“如何在只知道三角形三个边长的情况下，判断两个三角形是否全等？”引导学生主动参与课堂。
3.直观演示：利用多媒体课件，展示三角形全等的动态过程，帮助学生直观理解全等的概念。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：以建筑设计中的三角形稳定性为例，引发学生对三角形全等的关注，激发学习兴趣。
2.问题驱动：提出问题：“如何在只知道三角形三个边长的情况下，判断两个三角形是否全等？”引导学生思考，为新课学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.三角形全等的概念：引导学生阅读教材，讲解三角形全等的定义和判定方法。
2.培养学生动手操作能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
3.学会与他人合作、交流，培养团队意识和合作精神。
4-3-2 探索三角形全等的条件(第2课时)(课件)-七年级数学下册同步精品课堂(北师大版)
转化的思想：
角角边
角边角
由三角形内角和定 理可知，两角相等， 则必然三角都相等！
探究新知
归纳总结 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
简写成“角角边”或“AAS”。 符号语言：∵在△ABC和△DEF中
∠B=∠E （已知） ∠C= ∠F （已知） AC = DF （已知） ∴ △ABC ≌△DEF （AAS）
∴△ADC≌△BDF(AAS)． AC＝BF,
随堂练习
7.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD，A′ D′ 分别是 △ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说 出你的发现.
A
A′
B
D C B′
D′ C′
随堂练习
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
A E
F
B
D
C
随堂练习
解：∵AD⊥BC， BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°． ∵∠AFE＝∠BFD， ∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°， B ∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°
A E
F
C D
∴∠DAC＝∠DBF． 在△ADC和△BDF中，∵
∠DAC＝∠DBF, ∠ADC＝∠BDF,
4.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过 点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D， E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝ 5 ．
随堂练习
5．解决课前导入的问题：一张教学用的三角 形硬纸板不小心被撕坏了，如下图，你能制作一张 与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的 原貌吗？
全等三角形解题步骤
全等三角形解题步骤
全等三角形解题步骤如下：
1.首先，观察给定的两个三角形，确定它们之间的条件。
通常，全
等三角形需要满足以下条件之一：
●SSS（边-边-边）：两个三角形的三条边分别相等。
●SAS（边-角-边）：两个三角形的两条边和夹角分别相等。
●ASA（角-边-角）：两个三角形的两个角和夹边分别相等。
2.根据已知条件，判断哪个条件被满足。
如果恰好有一个条件被满
足，则可以推断这两个三角形是全等的。
3.如果是SSS条件，比较两个三角形的对应边是否相等，如果所有
的对应边都相等，则可以得出两个三角形全等。
4.如果是SAS条件，比较两个三角形的两个对应边是否相等，并比
较它们之间的夹角是否相等。
5.如果是ASA条件，比较两个三角形的两个对应角是否相等，并比
较它们之间的夹边是否相等。
6.如果有多个条件被满足，则根据情况进行比较和验证。
7.当确认两个三角形全等时，可以在解题过程中标记相应的对应边
和对应角。
需要注意的是，解全等三角形问题时，要仔细观察已知条件，并灵活应用几何定理和性质。
在MATLAB等软件中，也可以利用几何绘图工具来可视化并验证全等三角形的关系。
探索三角形全等的条件 第一课时-七年级数学下册课件(北师大版)
30°
50
2cm 4cm
可以发现按这些条件画的三角形也都不能保 证一定全等.
先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使 A′ B′=AB , B′C′=BC，C′A′ =CA.把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
画一个△A′B′C′ ，使A′B′=AB，A′C′=AC，B′C′=BC ： （1）画B′C′=BC； （2 )分别以点B′，C′ 为圆心，线段AB，AC 长为半径 画弧，两弧相交于点A′； ( 3 )连接线段A′B′，A′C′.
本节我们就来讨论这个问题.
知识点 1 三角形全等的条件：边边边 1. 只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
可以发现按这些条件 画的三角形都不能保 证一定全等.
60°
2. 给出两个条件： ①一边一内角：
30°
30°
30°
②两内角：
30° 50°
知识点
例3 如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD. 试说明：∠B＝∠D.
导引： 在图中没有三角形，只有
连接AC，将∠B 和∠D 分
别放在两个三角形中， 通过说明两个三角形全等
来说明∠B 和∠D 相等．
知识点
解：如图，连接AC，在△ABC 和△ADC 中， 因为AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC， 所以△ABC ≌△ADC (SSS)． 所以∠B＝∠D.
知识点
总结
在本例中，有两组相等线段，可作辅助线构造有公共边 的两个三角形，利用“SSS”说明两个三角形全等．
1 如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D 等于( D )