直线与双曲线位置关系种类

经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

2
的弦AB。求F2 AB的周长
F2 AB的周长 AB AF2 BF2 AB 2a ex1 AB ex2 x1 2b 2 e a
x2 x1 2 4 x1 x2
y 过点P的直线l与双曲线C：x 1仅有 4 一个公共点，求直线l的方程。
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
例1判断下列直线与双曲线的位置 关系
4 x y [1] l : y x 1 , c : 1 相交(一个交点) 5 25 16 5 x y [2] l : y x 1 , c : 1 4 25 16
改变P点的位置：
1、P 1，； 0 2 、P 1，； 2 3、P 0， 0
经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

3
的弦AB。求1 AB
设l的方程为：y 3 x 2


y 3 x 2 由 2 2x2 6 2x 7 0 x y2 1
得k 13, 此时l : y 13x 3
y2 经过双曲线x 2 1的右焦点F2作直线l， 2 交双曲线于A，B两点，若 AB 4，则这样 的直线有几条？
若 AB a, 则这样的弦有几条？
小结:
1.直线与双曲线的位置关系。 2.直线与双曲线的公共点个数。 3.直线与曲线相交所得弦的有关问题（弦长）
O
Xຫໍສະໝຸດ Baidu
总结
方程组解的个数
交点个数
两个交点 相交
一个交点
0 个交点 相离
相 切
相 交
>0 <0
=0
两个交点 0 个交点 一个交点
相交 相离
?
相切 相交
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系 [2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意 味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相 交 ?
2 2 2 2
相离
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点
二、弦长 三、弦的中点的问题
x2 y2 1只有 一个 例2.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条.
（1，1） 。
变题:将点P(1,1)改为
O
X
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
2
2
设l的方程为：y kx 3
y kx 3 由 2 y 2 4 k 2 x 2 6kx 13 0 x 4 1
1当4 k 2
2当4 k
2
0时, k 2, 此时l : y 2 x 3
2
0时,由 6k 4 4 k 2 13 0,
b x y l : y x m m 0）c : 2 2 1 （ , a a b
判别式 不存在!
2
2
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！


AB
1 k x
2
1 x 2 4 x1 x 2 2
7 4 3 2 4 4 2
2

经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

3
的弦AB。求2F2 AB的周长
F2 AB的周长 AB AF2 BF2 AB 2a AF1 2a BF1 4a 2 AB 4 8 12
经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

6
的弦AB。求F2 AB的周长
F2 AB的周长 AB AF2 BF2 AB a ex1 ex2 a AB ex2 x1 AB e
x2 x1
2
4 x1 x2
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系 [1]
x y l : x 3 ,c : 1 9 16
2 2
2
2
相 切
[2]
4 x y l : y x 1 , c : 1 3 9 16
回顾一下:判别式情况如何?
相 交
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
y2 2 过点P (2, 0)的直线l与双曲线C：x 1仅有 4 一个公共点，这样的直线l有 条. A.1 B.2 C.3 D.4
此题为选择题，若设直线方程，转化为 方程根的分布则不易求解，故采用数形 结合。
>0 <0
=0
两个交点 0 个交点 一个交点
相交 相离 相切
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
直线与圆锥曲线的位置关系 可以通过对直线方程与圆锥 曲线方程组成的二元二次方 程组的解的情况的讨论来研 究。即方程消元后得到一个 一元二次方程，利用判别式 ⊿来讨论
复习:
椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组
相切
相交
（2）消去一个未知数 （3）
∆<0
∆=0
∆>0
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点