线性规划
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于求解最优化问题。
在实际应用中，线性规划的标准形式是一种常见的数学表达方式，能够简化问题的求解过程，提高计算效率。
本文将对线性规划的标准形式进行详细介绍，包括定义、特点、转换方法等内容，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性规划方法。
一、定义。
线性规划的标准形式是指将线性规划问题转化为一种特定的数学表达形式，以便于利用现有的数学工具进行求解。
一般来说，线性规划的标准形式可以表示为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，c1, c2, ..., cn为目标函数的系数，x1, x2, ..., xn为决策变量，a11, a12, ..., amn为约束条件的系数，b1,b2, ..., bm为约束条件的常数，m和n分别为约束条件和决策变量的个数。
通过这种形式的表示，线性规划问题可以被更方便地求解。
二、特点。
线性规划的标准形式具有以下几个特点：1. 目标函数为线性函数，约束条件为线性不等式。
这种形式的表示使得问题具有了良好的数学性质，可以利用线性代数和凸优化等数学工具进行求解。
2. 决策变量为非负数。
这一特点使得问题的解空间被限制在第一象限，简化了问题的求解过程。
3. 约束条件为≤型不等式。
这种形式的约束条件使得问题的可行域为一个凸集，便于进行几何和数学分析。
三、转换方法。
对于一般的线性规划问题，可能并不总是处于标准形式。
因此，需要将问题转化为标准形式，以便于求解。
常见的转换方法包括：1. 将最小化问题转化为最大化问题。
这可以通过将目标函数的系数取相反数来实现。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用z表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或者不等式，这些等式或者不等式称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的变量是决策问题中需要确定的值，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将不等式约束转化为等式约束来转化为标准形式，标准形式的线性规划问题如下：最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；aᵢₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ...,bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为变量。
四、解法线性规划问题的解法主要有下列两种方法：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到可行域和最优解。
2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。
单纯形法是一种高效的算法，广泛应用于实际问题中。
五、常见应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定最佳的资源分配方案，以最大化效益或者最小化浪费。
线性规划
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
它的基本思想是通过线性目标函数和线性约束条件，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1, c2, ..., cn为常数，x1,x2, ..., xn为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，用于表示问题的解。
决策变量通常用x1, x2, ..., xn表示。
3. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，用于限定解的可行域。
约束条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2, ..., am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为常数，b1, b2, ..., bm为常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或最小）值的解称为最优解。
三、线性规划的解法线性规划问题可以通过以下几种方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线图，找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。
它从一个可行解开始，每次迭代都朝着更优的方向移动，直到找到最优解或证明问题无解。
3. 对偶理论：线性规划问题可以通过对偶理论转化为对偶问题，并通过求解对偶问题来获得原始问题的最优解。
4. 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，问题称为整数线性规划。
整数线性规划问题通常比线性规划问题更难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
线性规划广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1，c2，...，cn为系数，x1，x2，...，xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列约束条件，通常是一组线性等式或不等式。
例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的变量值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的变量值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式具有以下特点：1. 目标函数为最小化形式：minimize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn2. 约束条件为等式形式：Ax = b3. 变量的非负性约束：x ≥ 0四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算来逐步改进解的质量，直到找到最优解。
1. 初始化：选择一个初始可行解。
2. 进行迭代：根据当前解，确定一个非基变量进入基变量集合，并确定一个基变量离开基变量集合，以改进目标函数值。
3. 改进解：通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
4. 终止条件：当无法找到更优解时，算法终止。
五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 生产计划：确定如何分配有限的资源以最大化产量。
2. 运输问题：确定如何分配货物以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定如何分配有限的资源以最大化效益。
4. 投资组合：确定如何分配资金以最大化投资回报率。
5. 作业调度：确定如何安排作业以最小化总工时。
线性规划
转化 建模
线性规划 问题
三 个 转 化
四个步骤
作 答
最优解
图解法
求解线性规划问题的基本方法
单纯形法(Simple Method)是求解线性规划求解的主要方法，该法
由丹塞(Dantzig)于1947年提出，后经多次改进而成，是求解线性规
划问题的实用算法。由前面的叙述可知，如果线性规划问题的最优
解存在，则必定可以在其可行解集合的顶点（极点）中找到。因此，
第二章
线性规划
(Linear Programming)
图
数学规划分类
线性规划基本理论
• 线性规划(Linear Programming) 研究的问题主要 有两个方面: ①确定一项任务，如何统筹安排，以尽量做到用最 少的资源来完成它; ②如何利用一定量的人力、物力和财力等资源来完 成最多的任务。 • 目前被广泛应用于军事、工农业生产、交通运输、 工程计算、环境保护、经济管理、教育、商业和 社会科学等许多方面,成为领导决策和提高工作效 果的一种重要手段。
寻求一个最优解就是在其可行解集合的诸极点中搜索最优点。
单纯形法实质上是一个迭代过程，该迭代即是从可行解集合的一
个极点移到另一个邻近的极点，直到判定某一极点为最优解为止。
单纯形法的基本思想是根据问题，从一个基本可行解出发，逐步 改进目标函数的取值，直到求得最优基本可行解。
求得一个基本可行解
查该基本可行解是否为最优解。
0
图解法
5x+4y=20
两个变量的线性规划有最优解，则必能在可行域凸多边形的顶点中找到
例
某工厂制造两种产品p1、p2。需要三种原料M1、M2、 M3，已知生产1kg产品p1需消耗原材料M1 9kg、M2 4kg、 M3 3kg；生产1kg产品p2需消耗原材料M1 4kg、M2 5kg、M3 10kg。产品p1每千克的利润是700元，产品p2 每千克的利润是1200元。但这个工厂每天能够使用的原 材料为M1 360kg、M2 200kg、M3 300kg。问每天制造 多少产品p1、p2,才能使工厂的利润最大?
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划
线性规划是一类最简单的优化问题，同时也是 具有普遍实际意义的一类优化问题。
线性规划模型的一般形式为：
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
约束条件 每套钢架所需的三种长度的元钢数目是相 同的，而100套钢架需要三种长度的元钢都是 100根，因此有
长度为2.9m的元钢数： x1 2 x2 x4 x6 100 长度为2.1m的元钢数：2 x3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 长度为1.5m的元钢数：3 x1 x2 2 x3 3 x5 x6 4 x8 100
车床B上的加工台时限制: x1 2 x2 8
车床C上的加工台时限制: 4 x1
车床D上的加工台时限制:
16
4 x2 12
非负条件：x1 , x2 0
第三步——明确目标函数 利润最大： max : z 2 x1 3 x2 该问题的数学模型为：
返回
结束
线性规划
目标函数：
max z 2 x2 3 x2
该问题所涉及的因素以及之间的数量关系可 以用表1-1表示
返回 结束
线性规划
产品 单位产品所需资源 资源
A1 A2 An
可供应的资源量
B1 B2 Bm
单位产品所得利润
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2j 1
线性规划
x12 x13
线性规划的典型实例
运输问题
数学模型
10x11 min f s.t. x11 x12 x 21 x 22 x11 x 21 x12 x13 x ij x 22 x 23 0 (i 1, 2; j 12x12 9x13 x13 35 x 23 55 26 38 26 1, 2, 3) 8x 21 11x 22 13x 23
基本解不是线性规划问题的解，而是仅满足约束方程组的解
线性规划问题中解的概念
可行解、可行域
上面的分析仅考虑了约束方程组Ax=b，下面进一步考虑线性规划问题的非负 约束。我们称既满足约束方程组Ax=b，又满足非负约束x≥0的解为线性规划 问题的可行解，即可行解满足线性规划问题的所有约束。可行解的集合称为可 行域，记作：
下面将分步骤详细分析如何获得这个线性规划问题的解，同时介绍在这类问题 中的几个概念
线性规划问题中解的概念
基本解
如果线性规划问题的解存在，则它必定是满足Ax=b的有限多个“基本解”中 选出的，那么我们的第一个任务就是找出满足方程Ax=b的基本解 假设独立方程的个数为m个，故Ax=b的系数矩阵A的秩为m，于是A中必有m 个列向量是线性无关的，不妨假设A中的前m个列向量线性无关，则这m个列 向量可以构成矩阵A的m阶非奇异子矩阵，用矩阵B表示：
D x | Ax b, x 0
基本可行解
特别的，若线性规划问题的基本解能够满足线性规划问题中的非负约束，即：
xB B 1b 0
则称该解xB为基本可行解，简称基可行解，称B为可行基。基可行解的数量不 m 会超过 C n 个。显然，基本可行解一定是可行解，基可行解是可行域中一种特 殊的解
最优解
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到一组决策变量的值，使得目标函数达到最大或者最小值。
线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，可以匡助决策者做出最优的决策。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、x3等表示。
2. 目标函数：线性规划的优化目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或者等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量的取值组合。
5. 最优解：使得目标函数达到最大或者最小值的可行解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解，标准形式包含以下要素：1. 目标函数：通常是最大化或者最小化一个线性函数。
2. 约束条件：一组线性不等式或者等式。
3. 非负约束条件：决策变量的取值必须大于等于零。
四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：1. 图形法：适合于二维线性规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来确定最优解。
2. 单纯形法：适合于多维线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
3. 内点法：适合于大规模线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
4. 整数规划法：适合于决策变量为整数的线性规划问题，通过搜索算法来寻觅最优解。
五、线性规划的应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最优的生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足需求。
2. 运输问题：确定最优的运输方案，以最小化运输成本或者最大化运输效率。
3. 资源分配：确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率或者满足需求。
4. 投资组合：确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
5. 作业调度：确定最优的作业调度方案，以最小化作业完成时偶尔最大化资源利用率。
六、线性规划的局限性线性规划虽然在许多问题中有广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，不适合于非线性问题。
线性规划基本知识
线性规划基本知识线性规划是一种数学优化方法，用于在给定限制条件下最大或最小化线性目标函数。
它是现代数学、工程学和运筹学的基础之一，被广泛应用于制造业、金融、交通、物流等领域。
本文将介绍线性规划的基础知识，包括线性规划问题的表达方式、标准形式、单纯形法求解以及对偶理论等。
一、线性规划问题的表达方式线性规划问题的表达方式通常包含以下部分：1. 决策变量：表示求解问题时需要确定的变量，通常用x1、x2、......、xn表示。
2. 目标函数：表示优化的目标，通常是一个线性函数，用c1x1+c2x2+......+cnxn表示。
3. 约束条件：表示限制决策变量的取值范围，通常是线性等式或不等式，用a11x1+a12x2+......+a1nxn≤b1、a21x1+a22x2+......+a2nxn≤b2、......、am1x1+am2x2+......+amnxn≤bm 表示。
其中，决策变量x1、x2、......、xn的取值范围可以是非负实数集合、整数集合或者其他特定取值范围。
二、线性规划的标准形式通常情况下，线性规划问题都可以通过一些变换，转化为标准形式进行求解。
标准形式的线性规划问题包括以下三个部分：1. 最大化或最小化的目标函数2. 约束条件，所有约束条件都是小于等于号3. 决策变量的取值范围，所有决策变量都是非负实数三、单纯形法求解线性规划问题单纯形法是线性规划问题最常用的求解方法之一，它是一种迭代的过程，通过一系列基本变换（基本可行解、进入变量、离开变量、更新表格）逐步接近最优解。
单纯形法求解线性规划问题的步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。
2. 确定一个初始可行解。
3. 计算第一行表格的系数，并找出最小的系数所在的列，作为进入变量。
4. 确定离开变量，通过将所有正数元素对应的值除以对应进入变量的系数，找到最小的元素所在的行，作为离开变量所在行。
5. 更新表格，完成一次迭代。
6. 重复第三至第五步，直至得到最优解或者确定问题无可行解或是无界问题。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结标题：线性规划知识点总结引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划被广泛应用于生产计划、资源分配、运输优化等方面。
本文将对线性规划的基本概念、解法、应用等知识点进行总结，帮助读者更深入了解线性规划的相关内容。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大（最小）值的变量取值。
1.2 线性规划的标准形式：线性规划的标准形式包括一个目标函数和一组线性约束条件，目标函数是要最大化或最小化的线性函数，约束条件是一组线性不等式或等式。
1.3 线性规划的解的存在性：线性规划问题存在解的条件是可行域非空，即约束条件构成的可行域至少包含一个可行解。
二、线性规划的解法2.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一，通过不断移动顶点来搜索最优解。
2.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的另一种解法，通过构建原问题和对偶问题之间的关系，可以得到原问题的最优解。
2.3 整数规划：整数规划是线性规划的一个扩展，要求变量的取值必须是整数，通常使用分支定界法等方法求解。
三、线性规划的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，确定生产量和资源分配，以最大化利润或降低成本。
3.2 运输优化：线性规划可以用于解决运输问题，确定最优的运输方案和运输成本，提高运输效率。
3.3 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，如人力、物资等资源的合理分配，以达到最佳利用效果。
四、线性规划的局限性4.1 非线性问题：线性规划只适用于线性约束条件下的最优化问题，对于非线性问题无法直接求解。
4.2 大规模问题：对于大规模线性规划问题，传统的求解方法可能会面临计算复杂度高、求解时间长的问题。
4.3 离散变量：线性规划无法直接处理离散变量，对于包含离散变量的问题需要转化为整数规划或混合整数规划来求解。
简单线性规划
简单线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是一种运用数学方法，以规定的约束条件为前提，通过建立数学模型，求解线性目标函数最大或最小值的一种优化方法。
线性规划方法可用于解决许多实际问题，如资源分配、生产计划、物流管理等。
线性规划的基本形式是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性的目标函数。
目标函数和约束条件必须是线性的，即目标函数和约束条件中的变量的系数必须为常数。
例如，假设有两种可供选择的产品A和B，它们的产量分别为x和y。
目标是通过调整x和y的值，使得总利润最大化。
同时，需要考虑的约束条件包括资源的使用限制、产品的产能限制等。
如果将总利润表示为目标函数，资源使用和产能限制等表示为约束条件，那么这个问题可以用线性规划的方法来解决。
线性规划的解法有多种，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法基于一个重要的性质，即在一个凸多边形的顶点上，目标函数的最优解一定存在。
单纯形法通过迭代计算，逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
此外，还有其他的方法来解决线性规划问题，如对偶理论、内点法等。
线性规划的应用十分广泛。
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源是一个重要的问题。
例如，在生产计划中，如何安排生产任务，对产品的产量进行合理分配，以最大化利润；在物流管理中，如何合理地安排货物的运输路线，以最小化运输成本等。
线性规划提供了一种直观且有效的工具，可以帮助我们在有限的资源下得到最优的解决方案。
尽管线性规划方法在许多场景下表现良好，但它也有一些局限性。
首先，线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，因此对于非线性的问题，线性规划方法并不适用。
其次，线性规划方法在求解大规模问题时可能面临计算复杂度的问题。
不过，有许多方法可以对线性规划的问题进行转化，从而将非线性问题转化为线性问题，或者通过并行计算等方法来加快计算速度。
总的来说，线性规划是一种强大的优化工具，可用于解决各种实际问题。
它的优势在于简单、直观，能够得到全局最优解。
线性规划
线性规划在 实际生活中 的应用案例
投资决策
投资目标：最大化收益或最小化风险 投资策略：选择投资项目、分配投资资金、设定投资期限等
投资风险：市场风险、利率风险、汇率风险等 投资评估：使用线性规划模型评估投资方案，比较不同方案的优劣
B
题转化为几何问题，从而找到最
优解。
C
图解法的基本步骤包括：确定可 行域、找出最优解、验证最优解。
图解法适用于求解线性规划问题
D
的特殊情况，如线性规划问题的
约束条件为线性等式或不等式。
单纯形法
基本思想： 通过迭代求 解线性规划 问题的最优
解
步骤：确定初 始基，计算目 标函数值，更 新基，重复以 上步骤直到找
线性规划的优缺点
优点： 缺点：
适用于解决线性 问题
计算速度快，易 于实现
结果精确，易于 解释
只能解决线性问 题，不适用于非
线性问题
计算复杂度高， 对于大规模问题
可能难以求解
结果可能不唯一， 需要进一步分析 才能得到最优解
图解法
A
图解法是一种直观、形象的求解 线性规划问题的方法。
图解法通过画图，将线性规划问
划问题
迭代求解：通过 迭代公式，更新
当前点
重复步骤b-d， 直到找到最优解
生产计划
线性规划在生产计划中 的应用
线性规划可以帮助确定 最优的生产方案
线性规划可以优化生产 成本和生产效率
线性规划可以帮助解决 生产过程中的约束问题
资源分配
线性规划在 资源分配中
的应用
线性规划的 目标函数和
约束条件
线性规划的 求解方法和
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
它的目标是在一组线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一组线性约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
三、标准形式线性规划问题可以转化为标准形式，其标准形式如下：最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≥ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≥ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≥ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法找到最优解。
通过绘制约束条件的直线，找到可行解区域，并通过目标函数的等高线找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题通常更难求解，需要使用特定的算法。
五、线性规划的应用线性规划在实际生活和工作中有广泛的应用，例如：1. 产能规划：通过线性规划方法，可以确定最优的产能配置，以满足市场需求和最大化利润。
2. 运输优化：线性规划可以用于优化物流配送路线，降低运输成本。
线性规划的基本概念与解法
线性规划的基本概念与解法线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种运筹学中的数学方法，用于寻找最优解决方案的问题。
它在各个领域中得到广泛应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法，并探讨其实际应用。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是求解一个线性函数的最大值或最小值。
这个线性函数称为目标函数，通常以z表示。
例如，z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中c1、c2…cn为常数，x1、x2…xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式。
通常以Ax≤b或Ax=b的形式表示，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解存在于约束条件所定义的空间中。
4. 最优解：在所有可行解中，目标函数取得最大值或最小值时的解称为最优解。
最优解可以是唯一的，也可以有多个。
二、解法方法1. 图形法：当线性规划问题为二维或三维时，可以利用图形的方法求解。
通过绘制目标函数的等高线或平面与约束条件的交点，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种基于迭代的线性规划求解方法，适用于高维问题。
该方法通过不断改变基变量的取值，寻找使目标函数达到最优值的解。
3. 内点法：内点法是一种与单纯形法相比更为高效的求解线性规划问题的方法。
该方法通过在可行域内部搜索最优解，避免了对可行域的边界进行逐个检验的过程。
三、实际应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中的最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或最小化成本。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，例如分配有限的人力、物资和资金，以实现最佳利用和效益。
3. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的库存管理、运输计划和物流调配，以降低成本并提高响应速度。
4. 金融投资：线性规划可以用于投资组合优化，以确定最佳的资产配置，以及风险控制和收益最大化。
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它通过建立数学模型来描述问题，并通过求解模型的最优解来得到问题的最优解。
线性规划中的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以使用线性代数和数学规划的方法来求解。
二、线性规划的基本要素1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，通常表示为:a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b1a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ b2...a1x1 + a2x2 + ... + anxn = bn这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
三、线性规划的解法线性规划的求解方法有多种，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到最优解的几何位置。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算不断优化目标函数的值，直到找到最优解。
3. 内点法：适用于大规模线性规划问题，通过在可行域内搜索最优解的内部点，以加快计算速度。
四、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、运输问题、投资组合、营销策略等。
以下是一些典型的应用场景：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最优的生产计划，以最大化产出或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以帮助确定最优的运输方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：线性规划可以帮助确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率。
4. 投资组合：线性规划可以帮助确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
5. 营销策略：线性规划可以帮助确定最优的营销策略，以最大化销售额或最小化成本。
五、线性规划的局限性尽管线性规划在许多问题中具有广泛的应用，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这限制了它在某些非线性问题上的应用。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概念介绍线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于求解一类特殊的优化问题。
它的目标是在给定的线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
二、基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为常数，b₁、b₂、...、bₙ为常数，m为约束条件的个数。
3. 非负约束：线性规划的决策变量通常需要满足非负约束条件，即x₁ ≥ 0, x₂≥ 0, ..., xₙ ≥ 0。
三、解决步骤线性规划的求解过程通常包括以下步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数和约束条件。
2. 确定可行解集：通过对约束条件进行求解，确定可行解集，即满足所有约束条件的解集。
3. 确定最优解：根据目标函数的要求，确定最优解，即使目标函数达到最大或最小值的解。
4. 敏感性分析：对模型中的参数进行变动，观察最优解的变化情况，评估模型的稳定性和可行性。
四、应用领域线性规划在实际生活中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或产量最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输问题，确定最佳的运输方案，使得运输成本最小化。
3. 金融投资：线性规划可以用于优化投资组合，确定最佳的资产配置方案，使得收益最大化或风险最小化。
4. 资源分配：线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，如人力资源、物资资源等，使得资源利用效率最高。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域。
它通过建立数学模型，寻觅最优解来解决实际问题。
本文将介绍线性规划的应用，并分析其在经济、物流、生产、资源分配和运筹学等领域的具体应用。
一、经济领域的应用1.1 产量最大化：线性规划可以用于匡助企业确定最佳生产方案，以最大化产量。
通过考虑生产成本、资源限制和市场需求等因素，线性规划可以确定最优的生产数量和产品组合。
1.2 资源分配：线性规划可以匡助企业合理分配资源，以最大化利润。
通过考虑各种资源的供应和需求关系，线性规划可以确定最优的资源分配方案，提高资源利用效率。
1.3 价格优化：线性规划可以用于确定最佳定价策略，以最大化利润。
通过考虑市场需求、成本和竞争等因素，线性规划可以确定最优的价格水平，提高企业的竞争力。
二、物流领域的应用2.1 运输成本最小化：线性规划可以用于确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
通过考虑物流网络、货物流量和运输成本等因素，线性规划可以确定最优的运输路线和运输量，提高物流效率。
2.2 仓储优化：线性规划可以匡助企业优化仓储管理，以最小化仓储成本。
通过考虑仓库容量、货物存储需求和仓储成本等因素，线性规划可以确定最优的仓储方案，提高仓储效率。
2.3 供应链优化：线性规划可以用于优化供应链管理，以提高整体供应链效率。
通过考虑供应商、生产商和分销商之间的关系，线性规划可以确定最优的供应链方案，减少库存和运输成本。
三、生产领域的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于匡助企业制定最佳的生产计划，以满足市场需求。
通过考虑生产能力、原材料供应和市场需求等因素，线性规划可以确定最优的生产计划，提高生产效率。
3.2 产能利用率优化：线性规划可以匡助企业提高产能利用率，以降低成本。
通过考虑设备利用率、工人数量和生产效率等因素，线性规划可以确定最优的产能利用方案，提高生产效率。
3.3 品质控制：线性规划可以用于优化品质控制过程，以提高产品质量。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用领域，并通过一个实例详细说明线性规划的应用过程。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性约束条件，这些条件可以用一组线性不等式或等式表示。
3. 决策变量：线性规划中需要决策的变量被称为决策变量，它们的取值将影响目标函数的值。
三、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、运输问题、投资组合等。
以下是其中几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑资源限制、销售需求和生产能力等因素，可以确定最优的生产数量和产品组合。
2. 资源分配：线性规划可以帮助机构或组织合理分配有限的资源，以满足各种需求。
例如，一个学校可以使用线性规划确定最佳的课程安排，以最大化学生的满意度和资源利用率。
3. 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如货物的最佳调度和运输路径的选择。
通过考虑运输成本、运输能力和需求量等因素，可以确定最优的运输方案，以降低成本并提高效率。
4. 投资组合：线性规划可以帮助投资者确定最佳的投资组合，以最大化回报并控制风险。
通过考虑不同投资资产的预期收益率、风险和相关性等因素，可以确定最优的投资权重。
四、线性规划应用实例：生产计划问题假设某公司有两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源，并且有一定的市场需求和利润。
公司希望确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
1. 建立数学模型设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
根据题目描述，我们可以得到以下信息：目标函数：最大化总利润，即maximize Z = 3x + 5y。
约束条件：- 资源1的消耗：2x + 3y ≤ 10- 资源2的消耗：4x + y ≤ 8- 产品A的市场需求：x ≥ 0- 产品B的市场需求：y ≥ 02. 解决线性规划问题通过线性规划求解器或图形法，我们可以找到最优解。
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G 11 G 12 E 1 L 1 I 1
t t t
t
t
t
t
t
t 1 , 2 , ,T
S2 S2
G 22 G 23 E 2 L t 2 I t 2
（2）设水库的蒸发渗漏损失与水库蓄水量满足某一线性关系，则有
E1 E2
t
S 1 t S 1 t 1 1 2 S 2 t S 2 t 1 2 2
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10
3)基可行解与可行基：满足非负条件的基解 称为基可行解；基可行解对应的基B即为可 行基。 4)最优解
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11
简单线性规划的求解—图解法
求解模型：
max z 6 x 1 4 x 2 ;
2 x 1 3 x 2 100;
4 x 1 2 x 2 120;
max z 1 G 11 G 12 G 22 G 23
t t t t 1 T
t
L
2
t 1
L 2 3 E1 E t 2
t
t
24
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3、应用二：水库调度问题
约束条件：
（ 1）满足水量平衡约束
S1 S1
t t t 1 t 1
（2）城市供水能力的约束
S (t ) X (t ) q (t ) X (t ) 0
t 0 , 1 , 2 , , T
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30
4、应用三：城市需水预测问题
变量说明：
X ( t ) [ x 1 ( t ), x 2 ( t ),, x n ( t )] T
为n部门的产出；
为各部门最终需求上限向量； 为各部门最终需求下限向量； 为各部门用水系数向量；
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8
建立优化模型的步骤为： 1）根据研究问题的性质决定决策变量； 2）根据问题的目标，列出与决策变量有关 的目标函数； 3）根据问题的限制条件，列出与决策变量 有关的约束条件。
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9
几个概念
1）可行解与可行域：在标准lps中，满足约束 条件和非负条件的解称为可行解，可行解的集 合 D { X AX b, X 0} 称为可行域。 2）基.基变量与基解：对于LPS的约束方程 AX=b的秩r（A）=m，B是A的m阶可逆子阵， 则称B是LP的一个基。其中B的任一列向量Pj称 为向量机，对应的决策变量xj称为变量基，变 量基之外的决策变量称为非变量基。
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16
3)基可行解与可行基：满足非负条件的基解 称为基可行解；基可行解对应的基B即为可 行基。 4)最优解
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17
2、应用一：供水合理分配问题
设有甲、乙两个水厂同时向某城市A、B、C 三区供水。
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18
2、应用一：供水的合理分配问 题
甲水厂的日供水量为28万立方米/日，乙水厂的日 供水量为35万立方米/日； 三个区的日需水量分别为A≥10万立方米/日， B≥15万立方米/日，C≥20万立方米/日。 各输水单位水费分别为c11=1.2，c12=1.5，c13=1.1， c21=1.1，c22=1.3，c23=1.4。试作出在满足对三个区 供水的情况下，输水费用最小的方案。
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19
2、应用一：供水的合理分配问 题
建立的数学模型如下：
设甲水厂向三个区日供水量为x11、x12、x13，乙水厂向 三个区日供水量为x21、x22、x23。求供水量佳方案应选 输水费用最小为目标函数，即
min z c 11 x 11 c 12 x 12 c 13 x 13 c 21 x 21 c 22 x 22 c 23 x 23 1.2 x 11 1.5 x 12 1.1 x 13 1.1 x 21 1.3 x 22 1.4 x 23
T n
m ax
z
t 0
t V ( t ) X ( t )( 1 ) i i i 1
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29
4、应用三：城市需水预测问题
模型的约束条件有：
（1）设在期间t，LY（t）为最终需求的下限向量；UY （t）为最终需求的上限向量，则
( I A R ) X ( t ) UY ( t ) ( I A R ) X ( t ) LY ( t )
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22
3、应用二：水库调度问题
设某市有二个年调节水库，求二库联合供 水的最佳调度方案。
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23
3、应用二：水库调度问题
在水库优化调度中，其目标函数可选用效 益最大或水资源利用程度最高等目标。本 例选用水资源利用程度最高为目标，即要 求联合调度方案以供水量最大，弃水量最 小为目标函数。
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4
其它形式： 1）求和形式 2）矩阵形式 3）集合形式 4）标准形式 一般形式与标准形式之间的转化
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5
1、线性规划的基本形式
线性规划模型的基本数学形式为：
式中xj为决策变量，cj、aij、bi为已知常数。 cj为目标函数的系数，又称价值系数； bi为资源约束常数； aij为技术系数。 括号中表示取三种约束不等式中一种，对一 个具体问题来说它将是唯一的。
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3
1、线性规划的基本形式
线性规划模型的基本数学形式为：
max z c1 x1 c2 x cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b i 12,, m 21 1 22 2 2n n 2 j 1,2, n a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x 1 , x 2 , x n 0
t t t t
01 02
t
（3）水库的供水量应满足用户需水量要求，即
Ly 1 G 11 Uy 1
t t t t
Ly 2 G 12 G 22 Uy 2 Ly 3 G 23 Uy 3
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t
t
25
3、应用二：水库调度问题
约束条件：
S 1 ,S 2
t t t t 1 2 1 2
01 1 02 1 2 2 3
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27
4、应用三：城市需水预测问题
城市水资源规划中应和城市中的经济发展 计划联系起来，建立受供水约束的投入产 出的线性规划模型，以预测各经济部门的 需水量。
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28
4、应用三：城市需水预测问题
模型的目标函数是以城市总产值增加极大 为目标，即
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20
2、应用一：供水合理分配问题
建立的数学模型如下：
需水约束 x 11 x
21 22 23
10 15 20
x 12
x
x 13 x
供水约束
x 11 x 12 x 13 28 x 21 x 22 x 23 35
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21
2、应用一：供水合理分配问题
x1 , x 2 0
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12
8、简单线性规划的求解—图 解法
图解法基本原理介绍
（1）求满足约束条件的可行解区。以变量x1，x2为坐标 轴，作2x1+3x2=100和4x1+2x2=120的直线，找出满足约束 条件的可行解域，如图中的阴影区域即为解的可行域。 （2）令目标函数z 6 x 1 4 x 2 d , d 0 ，显然目标函数z是随着d 值而变化的一组平行线。变量d值，使z在可行域内平行移 动求出z的最大值，即可行域的凸点C，z=200，x1=20， x2=20。C点即为最优解。
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13
8、简单线性规划的求解—图 解法
图解法基本原理介绍
E=6x1+4x2=200 4x1+2x2=120 E=2x1+3x2=100
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8、简单线性规划的求解—图 解法
从上述求解过程，可得到以下几点：
（1）线性规划所有可行解组成的集合的凸集，没有凹 入和孔洞部分，是一个实心域，如图的阴影部分。 （2）如果线性规划问题有最优解存在，它只能在可行 域的凸点上找到，如图中的A、B、C、D点。每一个凸 点都对应一组解，称之为基础可行解。使目标函数值 最大（或最小）的基础可行解称为线性规划问题的最 优解。 （3）若可行域为有界，则线性规划问题一定有最优解， 且必定在某顶点处得到；若可行域为无界，则不一定 有最优解存在。当目标函数可能在多于一个顶点处达 到最大值时，则该线性规划问题有无穷多个最优解。
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几个概念
1）可行解与可行域：在标准lps中，满足约束 条件和非负条件的解称为可行解，可行解的集 合 D { X AX b, X 0} 称为可行域。 2）基.基变量与基解：对于LPS的约束方程 AX=b的秩r（A）=m，B是A的m阶可逆子阵， 则称B是LP的一个基。其中B的任一列向量Pj称 为向量机，对应的决策变量xj称为变量基，变 量基之外的决策变量称为非变量基。
第三讲 水资源系统优化问题 （线性规划）
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课程内容