2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第八节条件概率与事件的独立性 理

第八节 条件概率与事件的独立性

知识梳理

一、相互独立事件 1．相互独立事件的定义：事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率____________，这样的两个事件叫做____________事件．

若A 与B 是相互独立事件，则A 与____________，A －与__________，A －

与__________也相互独立．

2．相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝________________. 若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立， 则_____________________．

答案：1.没有影响 相互独立 B － B B －

2.P(A)·P(B) P(A 1·A 2·…·A n )= P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n )

二、条件概率及其性质

1．条件概率的定义：设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝______为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．把P (B |A )读作“A 发生的条件下B 的概率”．

2．条件概率的性质：(1)条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1；(2)若B 和

C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__________.

答案：1.P(AB)

P(A)

2.P(B|A)+P(C|A)

基础自测

1．一学生通过英语听力测试的概率是3

4

，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概

率是( )

A.34

B.58

C.38

D.316

解析：两次测试恰有一次通过，有两种情况：第一次通过第二次没通过；第二次通过第

一次没通过，所以所求概率为P ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34＝3

8

.故选C.

答案：C

2．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是

了解条件概率和两个事件相互独立的概念，并能解决一些简单的实际问题.

螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( )

A.310

B.29

C.78

D.79

解析：设事件A 为“第

1次抽到是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到是卡口灯泡”，

则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝2190＝7

30

.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡

口灯泡的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝7

30310

＝7

9

.

答案：D

3．在10个球中有6个红球，4个白球(各不相同)，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是________．

答案：5

9

4.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE 阴影部分内”，则(1)P (A )＝____________；(2)P (B |A )＝____________.

解析：(1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2

＝2，根据几何概型的求法有：P (A )＝S 正方形S 圆＝2

π

. (2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝12，故P (B |A )＝S △EOH S 正方形＝1

22＝1

4

.

答案：(1) 2π (2)1

4

1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )

A.12

B.35

C.23

D.34

解析：根据互斥事件概率与独立事件概率得：第一局甲就胜了，概率为1

2

；另一种情况

为第一局甲输了，第二局甲胜了，概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1

4

，所以甲胜的概率为12＋14＝34.故选D.

答案：D

2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )

A.18

B.14

C.25

D.12

解析：由于n (A )＝1＋C 2

3＝4，n (AB )＝1，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝14

.故选B.

答案：B

3．(2013·大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当

裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为1

2

，各局

比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．

解析：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.

P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝1

4

.

(2)X 的可能取值为0,1,2.

记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝1

8

，

P (X ＝2)＝P (B 1·B 3)＝P (B 1)P (B 3)＝1

4

，

P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝5

8

，

E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝9

8

.

1．甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，

比赛结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为25，3

5

，则甲胜出的概率为( )

A.1625

B.1825

C.1925

D.2125