习题课-拉氏变换31页PPT
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高数第10章 拉普拉斯变换PPT课件
L [sit]n dtarc t t an arc stan
t s t2 1
s2
或
L [stit]n s t2 d 1 令 tt u 11 s 0 1 d u 2u 0 1 s1 d u 2u aru c0 1 s ta arnc 1 st
第三节 拉氏逆变换的运算
❖ 重点：拉氏逆变换的求法 ❖难点：拉氏逆变换的求法
5. 积分性质: L[f(t)]F(s) ,( s 0 ) ，且 f ( t ) 连续，则
L[1f(x)dx]L[f(t)]F(s)
0
s
s
性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数
的拉氏变换除以参数 s .
性质5可以推广到有限次积分的情形：
n次
t t
L[ dt dt 00
t 0
f(t)dt]Fs(ns)
(s1)2 3
(s1)2 3
24
24
f(t)e2 t co3 st3e2 t sin 3t
2
2
例2
求
F(s)s2
s3 3ss
的拉氏逆变换。
解： 先将F (s) 分解为两个简单分式之和，
s 3 s 3 AB s2 3 ss (s 1 )s( 2 ) s 1s 2
其中AB为待定的常数，上式两边同乘以(s1)s(2)，得
1 s
1 ss
e as
1 s
n!
(s ) n1
13
et sin t
14
et cost
15
tet sint
16
tet cost
17
sht
(s )2 2
s (s )2 2
2(s ) [(s )2 2 ]2
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉氏变换课件
（指数式） A Ae A A cos j A sin （三角式）
j
机械工程控制基础
有复数
拉氏变换
3) 复变函数、极点与零点的概念
s j ，以s为自变量，按某一确定法则
构成的函数为复变函数，记作：
G( s) u jv
若
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) s( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
机械工程控制基础
2) 复数的表示方法
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A
幅角
a
+1
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
A cos A sin
A a b
2 2
b tan a
机械工程控制基础
拉氏变换
c.三角表示法和指数表示法
从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得 力工具
机械工程控制基础
2 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 具有有限个第一类间断点
拉氏变换
0
st s的某一域内收敛, f (t )e在 dt
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
证明：
f (t )] F (s a)
L[e
at
f(t)] e
0 (s a)t
at
f(t)e dt
st
f(t)e
0
j
机械工程控制基础
有复数
拉氏变换
3) 复变函数、极点与零点的概念
s j ，以s为自变量，按某一确定法则
构成的函数为复变函数，记作：
G( s) u jv
若
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) s( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
机械工程控制基础
2) 复数的表示方法
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A
幅角
a
+1
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
A cos A sin
A a b
2 2
b tan a
机械工程控制基础
拉氏变换
c.三角表示法和指数表示法
从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得 力工具
机械工程控制基础
2 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 具有有限个第一类间断点
拉氏变换
0
st s的某一域内收敛, f (t )e在 dt
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
证明：
f (t )] F (s a)
L[e
at
f(t)] e
0 (s a)t
at
f(t)e dt
st
f(t)e
0
拉氏变换详解ppt课件
a
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
优选补充资料拉氏变换ppt
ur
Ri
1 C
idt
uc
1 C
idt
(2 1)
式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变
量i,可得:
RC
duc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
北京航空航天大学
• 例2. 设有一弹簧•质 量• 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
惯性力 md 2 y / dt 2
由于m受力平衡，所以
1 lim
(m 1)! ss1
d m1 dsm1
[( s
si
)m
A(s) B(s)
eskt ],
t 0
f
(t)
n k m1
( ) A sk eskt B(sk )
1 lim
(m 1)! ss1
d m1 dsm1
[( s
si
)m
A(s) B(s)
eskt ],
t 0
例2
求
F
(s)
1
s (s 1)2
4)终值定理
lim x(t) lim sX (s)
t
s0
5)初值定理
x(0) lim x(t) lim sX (s)
拉式变换课件
F s L f t f t estdt
0
式中，s为复数变量；f t 为原函数；F s为象函数。
Page 4
拉氏变换的定义式：
记做
f (t) LT F (s) f (t)est dt 0
L [ f (t) ]= F (s) 或 f (t) LT F (s)
df (t) dt
est
f (t)
0
0
(s)e
st
f (t)dt
sF (s)
f (0 )
得证。
?
Page 23
uv'dx uv vu'dx
3.1.2 拉氏变换的性质
当 f(0)=f ’(0)=…f（n-1）(0)=0，则有：
L
2 s j0 s j0 s2 02
Page 20
பைடு நூலகம்
sin 0t
1 2j
(e j0t
e
) j0t
例：
L[sin 0t ]
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
( s
1
j0
s
1
j0
)
0 s2 02
Page 21
3.1.2 拉氏变换的性质
(二)、 时域微分(differentiation)的拉氏变换
若L[ f (t)] F(s)
L
df (t dt
)
sF (s)
f
(0)
证明
0
式中，s为复数变量；f t 为原函数；F s为象函数。
Page 4
拉氏变换的定义式：
记做
f (t) LT F (s) f (t)est dt 0
L [ f (t) ]= F (s) 或 f (t) LT F (s)
df (t) dt
est
f (t)
0
0
(s)e
st
f (t)dt
sF (s)
f (0 )
得证。
?
Page 23
uv'dx uv vu'dx
3.1.2 拉氏变换的性质
当 f(0)=f ’(0)=…f（n-1）(0)=0，则有：
L
2 s j0 s j0 s2 02
Page 20
பைடு நூலகம்
sin 0t
1 2j
(e j0t
e
) j0t
例：
L[sin 0t ]
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
( s
1
j0
s
1
j0
)
0 s2 02
Page 21
3.1.2 拉氏变换的性质
(二)、 时域微分(differentiation)的拉氏变换
若L[ f (t)] F(s)
L
df (t dt
)
sF (s)
f
(0)
证明
最新第5章 拉氏变换分析 习题课精品课件
d f t
dt
d2 dt 2
f
t
1
1
1
o
1
1
2t
o
1
2t
2
图4-2（b） 第七页，共25页。
显然(xiǎnrán)
L
d2 f dt
t
2
Lδ t 2δ t 1 δ t 2
1 es
2
根据(gēnjù)微分性质
L
d2 d
f t
t
2
s2F
s
f 0
sf
0
由图4-2（b）可以(kěyǐ)看出
1
F s F1sF1s
而
F1s
1 s
1
es
所以(suǒyǐ)
Fs
1 s2
1 es
2
o
1
t
图4-2（c）
第九页，共25页。
例4-3
应用微分(wēi fēn)性质求图4-3（a） f1t , f2(t), f3 t 象函数(há
下中面的说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b）是
f1t ,
2r1
(t)
r2
(t)
e(t)
r1 (t)
dr2 (t) dt
2r2
(t)
0
第二十二页，共25页。
解：对方程组求拉氏变换(biànhuàn)，有： S R1(s) -r1(0) +2R1(s)- R2(s)=1/S (1) - R1(s)+S R2(s)- r2(0)+2 R2(s)=0 (2)
f 0 0, f 0 0
于是
s2F s 1 es 2
F s 1 1 es 2 s 2 第八页，共25页。
拉氏变换习题课PPT课件
=13F 12-1iω-2+1iω+1+1iω-1-1iω
F
1 1 β+ iω
=
ute-βt,
F
1 1 β- iω
=
u
teβt翻转性质
所以xt=
1 3
u-
te2 t
-
ute-2 t
+
ute-
t-
u-
tet
1
3
e2t -
et
t< 0
= 0
t= 0
1
3
e- t - e-2t
t> 0
.
32
0
1+ 1 - iω
1 1 + iω
=
2 1 + ω2
对原方程两边进行付氏变换得：
iω X
s
4
1 iω
X
s =
2 1 + ω2
所以
X
s =
- 2 iω 1 + ω2
4
1 + ω2
=
1 2 iω 3 4 + ω 2
-
2 iω 1 + ω2
.
31
xt=13F 142+iω ω2 -12+iω ω2
s
1 1
s
1 1
2 s
=
-
1 t
e-t
+
et
-
2
.
21
p1 0 0
3 . ( 8 )
计算 L
-1
1 s2 + 2s + 2
2
L
-1
1 s2 + 2s + 2
F
1 1 β+ iω
=
ute-βt,
F
1 1 β- iω
=
u
teβt翻转性质
所以xt=
1 3
u-
te2 t
-
ute-2 t
+
ute-
t-
u-
tet
1
3
e2t -
et
t< 0
= 0
t= 0
1
3
e- t - e-2t
t> 0
.
32
0
1+ 1 - iω
1 1 + iω
=
2 1 + ω2
对原方程两边进行付氏变换得：
iω X
s
4
1 iω
X
s =
2 1 + ω2
所以
X
s =
- 2 iω 1 + ω2
4
1 + ω2
=
1 2 iω 3 4 + ω 2
-
2 iω 1 + ω2
.
31
xt=13F 142+iω ω2 -12+iω ω2
s
1 1
s
1 1
2 s
=
-
1 t
e-t
+
et
-
2
.
21
p1 0 0
3 . ( 8 )
计算 L
-1
1 s2 + 2s + 2
2
L
-1
1 s2 + 2s + 2
数学基础-拉普拉斯变换PPT课件
es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式
自动控制原理拉氏变换课件
可以证明:若f (t) 是周期 T 的周期函数,即
为
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理
精品ppt所确定的某一域内收敛则由此积分所确定的函数可写为设函数称上式为函数的拉普拉斯变换式叫做的拉氏逆变换象原函数精品ppt二一些常用函数的拉普拉斯变换求单位阶跃函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换求函数的拉氏变换ktstdtre求单位斜坡函数的拉氏变换tedttedtre精品ppt例5正弦函数精品ppt是周期为在一个周期上连续或分段连续时则有周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式精品ppt1线性性质拉氏变换的几个重要定理2微分定理3积分定理4实位移定理5复位移定理6初值定理7终值定理终值确实存在时精品ppt自动控制原理国家精品课程浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求注意拉氏变换终值定理的适用条件
1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1
a
f(t) 1 1 eat a
1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换
一些常用函数的 拉氏变换
典型信号的拉氏变换（2）
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 23
2.用留数法分解部分分式
s p1
d (m1) ds m 1
(s
p1 )m .F(s)
n
Cie pit
im1
为
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理
精品ppt所确定的某一域内收敛则由此积分所确定的函数可写为设函数称上式为函数的拉普拉斯变换式叫做的拉氏逆变换象原函数精品ppt二一些常用函数的拉普拉斯变换求单位阶跃函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换求函数的拉氏变换ktstdtre求单位斜坡函数的拉氏变换tedttedtre精品ppt例5正弦函数精品ppt是周期为在一个周期上连续或分段连续时则有周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式精品ppt1线性性质拉氏变换的几个重要定理2微分定理3积分定理4实位移定理5复位移定理6初值定理7终值定理终值确实存在时精品ppt自动控制原理国家精品课程浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求注意拉氏变换终值定理的适用条件
1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1
a
f(t) 1 1 eat a
1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换
一些常用函数的 拉氏变换
典型信号的拉氏变换（2）
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 23
2.用留数法分解部分分式
s p1
d (m1) ds m 1
(s
p1 )m .F(s)
n
Cie pit
im1
课件_拉氏变换
1 na 2 2 p ( ) l na 1 l l na l L[sin t] na 2 na 2 na 2 na l 2 p ( ) p ( ) l l ~ T ( p) F ( p)
l na ~ T ( p) F ( p) L[sin t] na l
§5.5 应用举例: 例1：利用Laplace变换求解
na 2 T (t ) ( l ) T (t ) f (t ) T( 0 ) 0 T (0) 0
L[ f (t )] F[ p]
t0
解：两边关于t 实施Laplace变换，并记
~ L[T (t )] T ( p)
x u ( x, t ) 2 sin t 2 sin (t ) 2 2 a 2 x 2 2 2 [sin t sin (t )] 2 2 a
2 2
2
2
例3：求解一维半无限的热传导问题
u t a 2 u xx 0 (0 x , lim u ( x, t ) 0 u (0, t ) u 0 , x u ( x,0) 0 (0 x ) 解：关于t 实施 Laplace 变换并记
由上式知特征方程为：
p r 2 0 a
2
r1, 2
p a x
p a
p a x
~ u ( x, p) c1e
~ lim u ( x, p ) 0
x
c2 e
c2 0
又
~(0, p) u 0 u p
u0 c1 p
p a x
~ ( x, p ) u 0 e u p
拉氏变换
f ( x) F ( p )
拉普拉斯变换的数学方法ppt课件
L[t]
test dt t est
( est )dt
0
s0 0 s
0
est s
dt
1 s2
est
0
1 s2
；.
12
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换为：
L[eat ] eatest dt e(sa)t dt
00e(sa)t1sa 0 sa
；.
13
2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为：
sin t 1 (e jt e jt )
2j
其拉氏变换为：
L[sint]
sin t estdt
0
s2
2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost 1 (e jt e jt )
2
L[cost]
G(s) s2 1
( 2 2 1) j2
；.
6
G(s) K (s z1) (s zm ) (s p1) (s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
；.
时域的微分方程 拉氏变复换数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
；.
3
引言 复数和复变函数
（1）复数的概念
s j, 其中，,
数。 j 1
为虚单位。
均为实
（2）复数的表示法
点表示法 向量表示法
s j,
s r 2 2
arctan
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)