典型常见函数拉氏变换表PPT课件
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《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉普拉斯变换及反变换.ppt
机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F (s)
拉普拉斯变换及反变换
1 j st F ( s ) e ds Laplace 反变换 f (t ) j 2j ( t 0)
0
0
— —
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt
0
1 sa
机械工程控制基础
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
u(t) t
F(s)=
1 st 0 e dt e 0 s
st
0
1 s
机械工程控制基础
2. f (t ) eat u(t ) (指数函数)
0 （t 0） f (t ) t e （t 0）
二章2拉氏变换ppt课件
五、拉氏变换求解线性微分方程
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
A1 A2 A3 S S2 S3
A1
S S
1
2S
3
S
S 0
1 6
A2
S S
1
2S
3 S
2
S 2
1 2
A3
S S
1
2S
3 S
3
S 3
1 3
1
Y(S) 6
1 2
1 3
S S2 S3
yt 1 1 e2t 1 e3t
62 3
1 e2t 1 e3t
2
3
1
S 0.5
0.57 0.866
S S 0.52 0.8662 S 0.52 0.8662
f t 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
３、A(S)=0有重极点
设A(S)=0有r个重极点，将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
P0 r
1 !
例3：求
F
S
S
S 3
22 S
1
的反变换
将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
22
A02
S 2
A3
S 1
A01
S
S 3
22 S
1 S
22
S 2
1
A02
d
ds
S
S 3
22 S
1 S
22
S
2
2
拉式变换课件
F s L f t f t estdt
0
式中，s为复数变量；f t 为原函数；F s为象函数。
Page 4
拉氏变换的定义式：
记做
f (t) LT F (s) f (t)est dt 0
L [ f (t) ]= F (s) 或 f (t) LT F (s)
df (t) dt
est
f (t)
0
0
(s)e
st
f (t)dt
sF (s)
f (0 )
得证。
?
Page 23
uv'dx uv vu'dx
3.1.2 拉氏变换的性质
当 f(0)=f ’(0)=…f（n-1）(0)=0，则有：
L
2 s j0 s j0 s2 02
Page 20
பைடு நூலகம்
sin 0t
1 2j
(e j0t
e
) j0t
例：
L[sin 0t ]
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
( s
1
j0
s
1
j0
)
0 s2 02
Page 21
3.1.2 拉氏变换的性质
(二)、 时域微分(differentiation)的拉氏变换
若L[ f (t)] F(s)
L
df (t dt
)
sF (s)
f
(0)
证明
0
式中，s为复数变量；f t 为原函数；F s为象函数。
Page 4
拉氏变换的定义式：
记做
f (t) LT F (s) f (t)est dt 0
L [ f (t) ]= F (s) 或 f (t) LT F (s)
df (t) dt
est
f (t)
0
0
(s)e
st
f (t)dt
sF (s)
f (0 )
得证。
?
Page 23
uv'dx uv vu'dx
3.1.2 拉氏变换的性质
当 f(0)=f ’(0)=…f（n-1）(0)=0，则有：
L
2 s j0 s j0 s2 02
Page 20
பைடு நூலகம்
sin 0t
1 2j
(e j0t
e
) j0t
例：
L[sin 0t ]
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
( s
1
j0
s
1
j0
)
0 s2 02
Page 21
3.1.2 拉氏变换的性质
(二)、 时域微分(differentiation)的拉氏变换
若L[ f (t)] F(s)
L
df (t dt
)
sF (s)
f
(0)
证明
典型常见函数拉氏变换表
21 22
t - sint
t sint
23
d L f (t ) SF (s) f (0) dt
d 2 f (t ) 2 L S F (s) Sf (0) f (0) 2 dt
d L f (t ) SF (s) f (0) dt
典型常见函数 拉氏变换表
典型常见函数拉氏变换表
序号
1 2 3 4
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 (单位阶跃函数)
1 s 1 K s 1 s2
(t) (单位脉冲函数)
K (常数) t (单位斜坡函数)
典型常见时间函数拉氏变换表
序号
5 6 7 8
原函数 f(t) (t >0)
d 2 f (t ) 2 L S F (s) Sf (0) f (0) 2 dt
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
t 0 s
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
象函数 F(s) = L[f(t)]
s2+2
s s2+2 (s+a)2+2 s+a (s+a)2+2
e -at e -at
sint cost
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
13 14 15 16
原函数 f(t) (t >0) 1 a
b-a b-a 1 1
象函数 F(s) = L[f(t)]
象函数 F(s) = L[f(t)]
数学基础-拉普拉斯变换PPT课件
es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式
自动控制原理拉氏变换课件
可以证明:若f (t) 是周期 T 的周期函数,即
为
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理
精品ppt所确定的某一域内收敛则由此积分所确定的函数可写为设函数称上式为函数的拉普拉斯变换式叫做的拉氏逆变换象原函数精品ppt二一些常用函数的拉普拉斯变换求单位阶跃函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换求函数的拉氏变换ktstdtre求单位斜坡函数的拉氏变换tedttedtre精品ppt例5正弦函数精品ppt是周期为在一个周期上连续或分段连续时则有周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式精品ppt1线性性质拉氏变换的几个重要定理2微分定理3积分定理4实位移定理5复位移定理6初值定理7终值定理终值确实存在时精品ppt自动控制原理国家精品课程浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求注意拉氏变换终值定理的适用条件
1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1
a
f(t) 1 1 eat a
1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换
一些常用函数的 拉氏变换
典型信号的拉氏变换（2）
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 23
2.用留数法分解部分分式
s p1
d (m1) ds m 1
(s
p1 )m .F(s)
n
Cie pit
im1
为
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理
精品ppt所确定的某一域内收敛则由此积分所确定的函数可写为设函数称上式为函数的拉普拉斯变换式叫做的拉氏逆变换象原函数精品ppt二一些常用函数的拉普拉斯变换求单位阶跃函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换求函数的拉氏变换ktstdtre求单位斜坡函数的拉氏变换tedttedtre精品ppt例5正弦函数精品ppt是周期为在一个周期上连续或分段连续时则有周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式精品ppt1线性性质拉氏变换的几个重要定理2微分定理3积分定理4实位移定理5复位移定理6初值定理7终值定理终值确实存在时精品ppt自动控制原理国家精品课程浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求注意拉氏变换终值定理的适用条件
1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1
a
f(t) 1 1 eat a
1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换
一些常用函数的 拉氏变换
典型信号的拉氏变换（2）
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 23
2.用留数法分解部分分式
s p1
d (m1) ds m 1
(s
p1 )m .F(s)
n
Cie pit
im1
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典型常见函数拉氏变换表
序号 1
原函数 f(t) (t >0)
1 (单位阶跃函数)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 s
2
(t) (单位脉冲函数)
1
3
K (常数)
K s
4
t (单位斜坡函数)
1 s2
.
1
典型常见时间函数拉氏变换表
Hale Waihona Puke 序号 5 6 7 8原函数 f(t) (t >0)
t n (n=1, 2, …)
e -at
tn e -at (n=1, 2, …)
t
1e T
T
象函数 F(s) = L[f(t)]
n! s n+1
1 s+a
n! (s+a) n+1
1 Ts + 1
.
2
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 9 10 11 12
原函数 f(t) (t >0)
sint cost
e -at sint e -at cost
= arctan
象函数 F(s) = L[f(t)]
n2 s(s2+2ns+n2)
21
1-cost
22
t - sint
23
t sint
2 s(s2+2)
2 s(s2+2)
2s (s2+2)2
.
6
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19
=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
.
5
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
.
象函数 F(s) = L[f(t)] 1
s(s+a)
1 (s+a) (s+b)
s (s+a) (s+b)
cos + s sin s2+2
4
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 17
原函数 f(t) (t >0)
n 1-2
e -nt sinn 1-2 t
象函数 F(s) = L[f(t)]
n2 s2+2ns+n2
.
象函数 F(s) = L[f(t)]
s2+2
s
s2+2
(s+a)2+2
s+a
(s+a)2+2
3
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 13 14 15 16
原函数 f(t) (t >0)
1 a
(1-e -at )
1
b-a
(e -at -e -bt )
1
b-a
(be -bt -ae –at )
sin(t + )
序号 1
原函数 f(t) (t >0)
1 (单位阶跃函数)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 s
2
(t) (单位脉冲函数)
1
3
K (常数)
K s
4
t (单位斜坡函数)
1 s2
.
1
典型常见时间函数拉氏变换表
Hale Waihona Puke 序号 5 6 7 8原函数 f(t) (t >0)
t n (n=1, 2, …)
e -at
tn e -at (n=1, 2, …)
t
1e T
T
象函数 F(s) = L[f(t)]
n! s n+1
1 s+a
n! (s+a) n+1
1 Ts + 1
.
2
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 9 10 11 12
原函数 f(t) (t >0)
sint cost
e -at sint e -at cost
= arctan
象函数 F(s) = L[f(t)]
n2 s(s2+2ns+n2)
21
1-cost
22
t - sint
23
t sint
2 s(s2+2)
2 s(s2+2)
2s (s2+2)2
.
6
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19
=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
.
5
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
.
象函数 F(s) = L[f(t)] 1
s(s+a)
1 (s+a) (s+b)
s (s+a) (s+b)
cos + s sin s2+2
4
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 17
原函数 f(t) (t >0)
n 1-2
e -nt sinn 1-2 t
象函数 F(s) = L[f(t)]
n2 s2+2ns+n2
.
象函数 F(s) = L[f(t)]
s2+2
s
s2+2
(s+a)2+2
s+a
(s+a)2+2
3
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 13 14 15 16
原函数 f(t) (t >0)
1 a
(1-e -at )
1
b-a
(e -at -e -bt )
1
b-a
(be -bt -ae –at )
sin(t + )