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北京电气工程学校电工电子与电机拖动教案：第8讲 交流电的基本概念

正弦量的相量表示

时间：2学时

重点和难点：正弦量的三要素、有效值、向量表示。

目的：让学生掌握交流电路的概念，掌握正弦交流量的三要素（周期、幅值、初相位），掌握正弦交流量有效值的概念以及其使用意义，掌握正弦量的向量表示方法，掌握向量图的画法，掌握旋转矢量的概念和意义，复习复数运算的方法和几何意义。

教学方法：多媒体演示、课堂讲授

主要教学内容：

一、正弦量的基本概念

1、正弦量：

大小随时间按一定规律作周期性变化且在一个周期内平均值为零的电压、电流称为交流电。随时间按正弦规律变化的电压、电流通称为正弦电量，或称为正弦交流电，

(a)(b)

(c)

图 常见的交流电波形

2、正弦量的三要素：

1）正弦量的波形图

1）正弦电流的瞬时值表达式

)sin(i m t I i θω+=

正弦电量在任意瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如用e u i 和、分别来表示正弦电流、正弦电压和正弦电动势的瞬时值。利用瞬时值表达式可以计

算出任意时刻正弦电量的数值。瞬时值的正或负与假定的参考方向比较，便可确定该时刻电量的真实方向。

3）正弦量的波形图和正弦电流的瞬时值表达式表明：

一个正弦电量的特征表现在它变化的最大值（m I ）、随时间变化的快慢（ω）和起始值（t=0时的数值，它取决于t=0时的角度i θ）三个数值。若将这三个数值代入已选定的sin 函数式中就完全确定了这个正弦量。

4)相关物理量：

a 、振幅值

正弦量是一个等幅振荡、正负交替变化的周期函数，振幅值是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，又称峰值。通常用大写字母加下标m 来表示。振幅值表示正弦量瞬时值变化的范围或幅度。

b 、周期和频率

正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用T 表示，单位为秒(s)。实用单位中还有毫秒(ms)、微秒(μs)、纳秒(ns)。

正弦量一秒内重复变化的次数称为频率，用f 表示，其单位为赫兹(Hz)。周期和频率两者的关系为

T

f 1= 周期和频率表示正弦量变化的快慢程度。周期越短，频率越高，变化越快。 正弦量变化的快慢程度除用周期和频率表示外，还可用角频率ω表示，单位为s rad /。因为一个周期经历了2π弧度，所以ω、T 、f 之间的关系为

f T

ππω22=＝

c 、相位和初相 正弦电量在任意瞬间的变化状态是由该瞬间的电角度（θω+t ）决定的。把正弦电量在任意瞬间的电角度称为相位角，简称相位。相位反映了正弦量的每一瞬间的状态或随时间变化的进程。相位的单位一般为弧度(rad)。

θ是正弦量在t=0时刻的相位，称其为正弦量的初相位（角），简称初相。初相反映了正弦量在计时起点处的状态（初始状态），由它确定正弦量的初始值。

正弦量的初相与计时起点(即波形图上的坐标原点)的选择有关，且在t =0时，函数值的正负与对应θ的正负号相同。

5）正弦量的三要素：

当正弦量的振幅、角频率、初相确定时，这个正弦量就唯一地确定了。故将振幅、角频率ω(或f 、T )、初相θ称为正弦量的三要素。

3、正弦量的相位差：

1）正弦电量的相位差

对于两个同频率的正弦电量而言，虽然都随时间按正弦规律变化，但是它们随时间变化的进程可能不同。为了描述同频率正弦量随时间变化进程的先后，引入了相位差。这里所述的相位差就是两个同频率的正弦量的相位之差，用ϕ或ϕ带双下标表示。

设两个同频率的正弦量

)sin(111θω+=t U u m

)sin(222θω+=t U u m

之间的相位差为

212112)()(θθθωθωϕ-=+-+=t t

可见，两个同频率正弦电量的相位差，等于它们的初相之差。

2）正弦电量的相位差的几种情况：

同频率正弦量初相相同（即相位差为零）时称之为同相，如图 (a)所示的u 和i 。

如果两个正弦量到达某一确定状态（如最大值）的先后次序不同，则称先到达者为超前，后到达者为滞后，如图 (b)所示的u 1和u 2。当θ1>θ2，则称电压u 1超前电压u 2，或者说电压u 2滞后电压u 1 。

如果两个正弦量的相位差为π(180°)，称之为反相，如图 (c)所示的电流i 1和电流i 2。同一正弦量，相反参考方向下的i ab 和i ba 反相。

如果两个正弦量的相位差为π/2(90°)，称之为正交，如图 (d)所示的u 和i 。

在正弦电路的分析计算中，为了比较同一电路中同频率的各正弦量之间的相位关系，可选其中一个为参考正弦量，取其初相为零，这样其它正弦量的初相便由它们与参考正弦量之间的相位差来确定。各正弦量必须以同一时刻为计时起点才能比较相位差，故一个电路中只能有一个参考正弦量，究竟选哪一个则是任意的。

4、正弦量的有效值：

正弦波是一种周期波，对周期波我们可以用有效值来表征它的大小。正弦电量的有效值是按电流的热效应来确定的，它根据热效应相等原理，把正弦电量换算成直流电的数值，即正弦电量的有效值是热效应与它相等的直流电量的数值。当正弦电流i 和直流电流I 分别流过阻值相等的电阻时，如果在正弦电流的一个周期内它们所产生的热量相等，即这一直流电流的数值就称为正弦电流的有效值。正弦电量的有效值用大写字母表示。

设有两个相同的电阻R ，分别通以周期电流i 和直流电流I 。当周期电流i 流过电阻R 时，该电阻在一个周期T 内所消耗的电能为

⎰⎰⎰==T T

T

dt i R Rdt i dt p 0 0 22 0 当直流电流I 流过电阻R 时，在相同的时间T 内所消耗的电能为

T RI PT 2=

根据正弦电量有效值的概念，如令以上两式相等，亦即

⎰=T

dt i R T RI 0 22 由上式可得有效值的定义式为