2.1三角形的有关概念和三边关系(2015年)
三角形三边定义及关系
三角形三边定义及关系三角形，作为几何学中最基础且最重要的图形之一，具有丰富的性质和内涵。
本文将深入探讨三角形三边的定义及关系，以期帮助读者更好地理解这一概念。
一、三角形的定义三角形是由三条边构成的闭合二维图形。
这三条边两两相交，且每条边的两个端点都在其他两条边的某一侧。
三角形是最简单的多边形之一，也是构建更复杂图形的基础。
二、三边定义1.边的长度三角形的每条边都有确定的长度。
在欧几里得平面几何中，边的长度是实数，且不同的边长对应不同的三角形。
2.边的方向三角形的三条边都有一定的方向性。
在几何图形中，方向由边的两个端点和其延伸方向共同决定。
三角形的三条边两两相交，形成了三个角，分别称为锐角、直角和钝角。
三、边与边之间的关系1.定量关系三角形的任意两边之和大于第三边。
这是三角形的一个重要性质，也是判断三条线段能否构成三角形的依据。
此外，任意两边之差小于第三边。
2.定性关系除了定量关系外，三角形各边之间还存在定性关系。
例如，三角形中的角平分线将对应边分为两段，这两段的比例与角的正弦值成正比。
四、应用场景三角形三边定义及关系在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，建筑学中经常用到三角形的稳定性，这是由于三角形的三条边可以互相支撑，形成一个稳定的结构。
此外，航海、测量和工程设计中也经常用到三角形的知识。
五、与其他几何图形的区别三角形是多边形中最简单的一种，其性质与其他多边形存在明显差异。
例如，四边形有四条边和四个角，其各边之间的关系与三角形不同。
此外，三角形各内角的和为180度，而四边形各内角的和为360度。
这些性质上的差异使得三角形在几何学中具有独特的地位。
六、学习方法与技巧1.实践与理论相结合：在学习三角形三边定义及关系时，应结合实际案例进行思考和实践，以便更好地理解和掌握知识。
2.注重基础概念：在学习过程中，要注重对基础概念的掌握和理解，如三角形的定义、边的长度和方向等。
只有掌握了这些基础概念，才能更好地理解后续的定理和性质。
小学数学三角形三边关系课件
几何直观理解
可以通过在三角形内部画一条与第 三边平行的线段，再利用平行线的 性质来证明。
代数表达式
对于任意三角形ABC，有a + b > c, b + c > a, c + a > b，其中a、b、 c分别代表三角形的三边长。
三角形两边之差小于第三边
三角形基本性质
任意两边之差必须小于第三边， 这也是构成三角形的基本条件之
利用几何图形的性质和 变换进行证明，如平移
、旋转、对称等。
综合法
结合代数法和几何法， 利用多种方法进行综合
证明。
反证法
假设三角形三边关系不 成立，推出矛盾，从而
证明原命题成立。
03 实际应用与解题 技巧
判断三条线段能否构成三角形
01
02
03
基本法则
任意两边之和大于第三边 ，任意两边之差小于第三 边。
小学数学三角形三边关系课 件
目录
• 三角形基本概念与性质 • 三角形三边关系原理 • 实际应用与解题技巧 • 图形变换中的三角形三边关系 • 趣味拓展与思维挑战 • 课堂小结与回顾
01 三角形基本概念 与性质
三角形定义及分类
定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形叫做三 角形。
三角形与数学文化
介绍与三角形相关的数学文化，如勾股定理的历史背景和意义等，拓 宽学生的数学视野。
06 课堂小结与回顾
重点知识点总结
1 2 3
三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第 三边。
三角形的分类
按边长可分为等边三角形、等腰三角形和一般三 角形；按角度可分为锐角三角形、直角三角形和 钝角三角形。
2015年最新版人教版四年级数学下册第五单元教案
第五单元三角形单元教学内容：本单元主要内容有：三角形的特性、三角形两边之和大于第三边、三角形的分类、三角形内角和是180°。
单元教学目标：1、使学生认识三角形的特性，知道三角形任意两（绿色圃中小学教育网边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°。
2、使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。
3、联系生活实际并通过拼摆、设计等活动，使学生进一步感受三角形的特征及三角形与四边形的联系，感受数学的转化思想，感受数学与生活的联系，学会欣赏数学美。
4、使学生在探索图形的特征、图形的变换以及图形的设计活动中进一步发展空间观念，提高观察能力和动手操作能力。
单元教学重点：认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°，能够辨认和区别锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形。
单元教学难点：通过拼摆、设计等活动，使学生感受三角形的特征及三角形与四边形的联系，感受数学的转化思想，感受数学与生活的联系，学会欣赏数学美。
课题：三角形的特性教学内容：教材59页例1、2.教学目标1、通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特性及三角形高和底的含义，会在三角形内画高。
2、通过实验，使学生知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。
3、培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
4、体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点：掌握三角形的特性教学难点:会画三角形指定底边上的高。
教学关键:要联系生活实际，让学生在充分感知的基础上抽象出三角形的图形，从而认识三角形的特性。
教学过程一、创设情境，导入新课1、出示图片，找出户图中的三角形。
2、生活中有哪些物体的形状或表面是三角形？3、导入新课。
师：我们大家认识了三角形，三角形看起来简单，但在工农业生产和日常生活中有许多用处,看来生活中的三角形无处不在，三角形还有些什么奥秘呢？今天这节课我们就一起来研究这个问题。
选调生：2015选调生行测备考之三角形的三边关系解析
选调生：2015选调生行测备考之三角形的三边关系解析选调生:三角形是我们日常生活中常见的一种图形，我们看到三角形，可以想到它的很多特性，比如，三角形具有稳定性等等，在选调生考试行测科目中，也常常会考到三角形，此时一般考的不是其物理特性，而是考查数学方面的知识，中公选调生考试网就带领大家了解三角形三边关系，希望能够给考生帮助。
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一、三角形的概念由同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。
二、三角形的分类三角行根据其角的特点又可分为：锐角三角形：三个内角都小于90度三角形称为锐角三角形。
直角三角形：三个内角中一个角等于90度的三角形称为直角三角形。
钝角三角形：三个内角中有一个角大于90度的三角形称为钝角三角形。
这三类三角形之中，由于直角三角的三边关系最为特殊，我们使用的最多的也是是直角三角形的三边关系来解题。
三、三边关系的一些法则设三角行三边为a、b、c(若为直角三角形，c为斜边)，三角行两边之和大于第三边，即a+b>c;三角形两边只差小于第三边，即a-b在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2(勾股定理)。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
注：三角形三边关系，由于直角三角形的三边关系最为特殊，所以是考察的重点，所以考生需特别留意直角三角形，特别是直角三角形的勾股定理的一些特别的勾股值需要特别的牢记，例如：3，4，5;5，12，13等等。
四、题型特征此类题目的特征很明显，题中会明确的提出三角形这个概念，一般看到就能轻易的判断出是利用三边关系来解答。
五、解题技巧此类题目没有过多的解题捷径，考生需熟练掌握三角形三边关系的一些法则与规律，特别是直角三角形，此类题目，唯一能做到的也就是熟能生巧。
六、真题演练例一：一直角三角形，其最长的边为15cm，最短的边为9cm，则该三角形的面积比周长的数值大多少( )?A.18B.54C.36D.27解析：此题是三角形三边关系的最基本的题目，也是我们必须能够答对且能在最短时间内答对的题目。
三角形的相关概念及三边关系
三角形的相关概念及三边关系三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成，每两条线段的交点称为顶点。
三角形有许多重要的概念和性质，其中最为关键的是三边关系。
本文将介绍三角形的相关概念，并探讨三边关系的性质和应用。
一、三角形的相关概念1. 三角形的分类根据三条边的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三边长度相等，等腰三角形的两边长度相等，普通三角形的三边长度各不相等。
2. 三角形的内角和外角三角形的内角是指三个顶点所对应的角，分别用A、B、C表示。
三角形的外角是指在顶点所在直线延长线上的补角，分别用α、β、γ表示。
3. 三角形的内角和外角之和三角形的内角之和为180度，即A + B + C = 180度。
三角形的外角之和也为180度，即α + β + γ = 180度。
4. 三角形的高和中线三角形的高是指从顶点所在直线到底边的垂直线段，分别记为h1、h2、h3。
三角形的中线是连接顶点和底边中点的线段，分别记为m1、m2、m3。
二、三角形的三边关系1. 三角形的边长关系三角形的任意两边之和大于第三边，即a + b > c，b + c > a，c + a > b。
这是三角形存在的必要条件。
2. 三角形的等边关系等边三角形的三边长度相等，即a = b = c。
等边三角形的三个内角也相等，都为60度。
3. 三角形的等腰关系等腰三角形的两边长度相等，即a = b 或 b = c 或 c = a。
等腰三角形的两个内角也相等，分别为A = B 或 B = C 或 C = A。
3. 三角形的直角关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度。
直角三角形的斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。
4. 三角形的相似关系如果两个三角形的对应角相等，那么它们称为相似三角形。
相似三角形的对应边之间存在着等比关系。
三、三角形的应用1. 三角形的面积计算三角形的面积可以通过三角形的底边长度和高来计算，面积等于底边乘以高再除以2。
初二数学八上第十一章三角形知识点总结复习和常考题型练习
第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的三条高是线段；②画三角形的高时，只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点，交点叫重心．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例题精选 1.(2015·郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A.1 cm ，2 cm ，4 cmB.4 cm ，6 cm ，8 cmC.5 cm ，6 cm ，12 cmD.2 cm ，3 cm ，5 cm2.(2015·恩施中考)如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1=50°，则∠2等于 ( )A.50°B.60°C.65°D.90°3.(2015·来宾中考)如图，在△ABC 中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是 ( )A.40°B.60°C.120°D.140°4.(2015·南平中考)正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的内角和为( )A.720B.1260C.1800D.23405.(2015·来宾中考)如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.(2015·遂宁中考)若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形有条对角线.2．下列说法错误的是()．A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B．钝角三角形有两条高线在三角形外部C．直角三角形只有一条高线D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线3．如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是()．A．k B．2k＋1C．2k＋2 D．2k－24．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是()．A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形的某些角的大小D．四边形的内角和5．如图，在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有()对．A．4 B．5C．6 D．76．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A ＝90°－∠B，④∠A＝∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有()．A．1个B．2个C．3个D．4个7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为()．A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．以上都不对8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()．A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)9．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是()．A．相等B．互补C．相等或互补D．互余10．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有_____________．11．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b＋c|－|a－b－c|＝__________.12．等腰三角形的周长为20 cm，一边长为6 cm，则底边长为__________．13．如图，∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角，若∠A＝70°，则∠ABD＋∠ACE＝__________.14．四边形ABCD的外角之比为1∶2∶3∶4，那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝__________.15．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形是__________边形．16．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________.17．如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝__________.18．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了__________米．19．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13，这个正多边形是几边形？20．如图所示，直线AD和BC相交于点O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝50°，求∠A和∠D.21．如图，经测量，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数．22．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R 的扇形草坪(图中阴影部分)．(1)图①中草坪的面积为__________；(2)图②中草坪的面积为__________；(3)图③中草坪的面积为__________；(4)如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．7．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF ＝2，则S△ABC等于()A．16 B．14 C．12 D．109．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为()A．115°B．105°C．95°D．85°10．如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠314．若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为________．24．(1)如图，一个直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，△ABC中，若∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝__________，∠XBC＋∠XCB＝__________；(2)若改变直角三角板XYZ的位置，但三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D.得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在如图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)；(3)根据(2)的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．。
三角形三边关系课件
三角形三边关系课件一、引言三角形是几何学中最基础、最重要的概念之一。
三角形三边关系是三角形研究的重要内容，它揭示了三角形三边之间的内在联系和数量关系。
本课件旨在阐述三角形三边关系的概念、性质和判定方法，以及其在实际应用中的意义。
二、三角形三边关系的概念三角形三边关系指的是三角形三边之间的长度关系。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
设三角形的三边分别为a、b、c，则有：1.a+b>c2.a+c>b3.b+c>a4.-ab-<c5.-ac-<b6.-bc-<a三、三角形三边关系的性质1.不变性：三角形的形状和大小可以变化，但其三边关系保持不变。
2.对称性：三角形三边关系中的任意两边可以互换，不改变三边关系的性质。
3.传递性：若a>b，b>c，则a>c。
4.最小值和最大值：三角形中最长的一边称为最大边，最短的一边称为最小边。
最小边的对角称为最小角，最大边的对角称为最大角。
四、三角形三边关系的判定方法1.直观判定：通过观察三角形三边的长度，判断是否符合三角形三边关系。
2.代数判定：将三角形三边关系转化为代数不等式，求解不等式，判断是否符合条件。
3.逻辑判定：利用逻辑推理，分析三角形三边关系是否成立。
五、三角形三边关系的应用1.几何作图：根据三角形三边关系，可以确定三角形的形状和大小。
2.解三角形：利用三角形三边关系，可以求解三角形的面积、周长、角度等几何量。
3.工程计算：在建筑工程、机械制造等领域，三角形三边关系可用于计算各种几何体的尺寸和形状。
4.日常生活：在日常生活中，三角形三边关系可用于判断三角形的稳定性，如三角架、自行车架等。
六、结论三角形三边关系是三角形研究的基础，它揭示了三角形三边之间的内在联系和数量关系。
掌握三角形三边关系对于理解几何学、解决实际问题具有重要意义。
通过本课件的学习，希望读者能够深入了解三角形三边关系的概念、性质和应用，为后续几何学学习打下坚实基础。
三角形三边关系完整版
在建筑、桥梁、机械等领域中，经常利用三角形的稳定性来增强结构的稳定性和 承重能力。例如，在建筑中，常常将钢架结构或桁架结构设计成三角形形状，以 提高其稳定性和承载能力。
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02
三角形三边关系定理
2024/1/26
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三角形两边之和大于第三边
任意两边之和大于第三边
在三角形中，任意两边长度之和必然大于第三边的长度。这 是三角形存在的基本条件之一。
应用举例
在证明两个三角形全等时，如果已知两边及夹角相等，可以直接应用SAS全等条件进行证明。
2024/1/26
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ASA和AAS全等条件介绍
ASA全等条件
两角和它们的夹边对应相等的两 个三角形全等。
2024/1/26
AAS全等条件
两角和一角的对边对应相等的两个 三角形全等。
应用举例
在证明两个三角形全等时，如果已 知两角及夹边相等或两角及一角的 对边相等，可以分别应用ASA或 AAS全等条件进行证明。
注意事项
在构造相似三角形时，需要确保 对应角相等或对应边成比例。
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典型例题解析与拓展 延伸
2024/1/26
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基础题型解析与技巧指导
已知两边求第三边
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边的性质，通过代数运算求解第三边的取值范围。
已知三边判断形状
通过比较三边长度，判断三角形形状（等边、等腰或 一般三角形），并理解各种形状三角形的性质。
2024/1/26
SSS相似条件
如果两个三角形三组对应 边成比例，则这两个三角 形相似。
探讨
SAS和SSS相似条件在实际 应用中相对较少，但仍然 具有一定的理论价值。
2015三角形 知识点+专题
人教版初二数学上册知识点汇总第十一章三角形一、知识框架二、知识概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形内角和定理:n边形的内角的和等于：（n － 2）×180°，则正多边形各内角度数为：（n － 2）×180°÷n8、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
外角和=N*180-（N-2）*180=360度。
9、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
三、公式与性质1、三角形的内角和：三角形的内角和为180°2、三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
3、多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180° 4、多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
5、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。
（2）n 边形共有23)-n(n 条对角线 四、专题讲练专题一 三角形三边关系和三条重要的线段1.如图1所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，以AD 为高的三角形有 ________个。
2.（2010广东广州16）如图2，BD 是△ABC 的角平分线， ∠ABD ＝36°，∠C ＝72°，则图中的等腰三角形有_____个．3.（2011河北中考）已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形的个数为__________个。
三角形的三边关系(基础)知识讲解
三角形的三边关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言 过点A 作AD ⊥BC 于点D ． 取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°)1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线． 3．BD ＝DC ＝12BC4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC于点D ． 3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝12∠BAC ．90°)12BC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．要点五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重复、不遗漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定在以B 为一个顶点组成的三角形中．举一反三：【变式】如图，以A 为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD. 类型二、三角形的三边关系2. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型三、三角形中重要线段4.(江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB 、CD )，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。
三角形的三边关系是什么有哪些性质和定理
三角形的三边关系是什么有哪些性质和定理三角形的三边关系：三角形是由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形。
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
若两条较短边的和小于最长边，则不能构成三角形。
三角形按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
三角形的三边关系是什么三角形是由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形。
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
若两条较短边的和小于最长边，则不能构成三角形。
三角形按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
三角形的稳定性，使其不像四边形那样易于变形，有着稳定、坚固、耐压的特点。
三角形的性质和定理性质1：三角形的两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
（三角形边的关系）。
性质2：三角形三个内角的和等于180°（三个内角之间的关系）。
性质3：三角形具有稳定性。
定理有如下：1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
三角形的应用有哪些三角形在生活中的应用，有很多的。
基于三角形的稳定性，很多都加入三角形的元素。
它不像四边形那样容易变形，比较稳固。
日常生活中，比如，屋顶，自行车的车架，三脚架，太阳能，晾衣架，三角尺等等。
都体现着三角形的应用。
埃及金字塔也是一个应用。
湘教版数学八年级上册2.1《三角形的有关概念及三边关系》教学设计
湘教版数学八年级上册2.1《三角形的有关概念及三边关系》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册2.1《三角形的有关概念及三边关系》是学生在学习了平面几何基本概念的基础上，进一步对三角形这一基本图形进行深入研究。
本节内容主要介绍三角形的定义、特性以及三角形的三边关系，旨在让学生掌握三角形的基本概念，理解三角形的基本性质，并能运用三边关系解决实际问题。
教材内容安排合理，由浅入深，既注重了基础知识的学习，又培养了学生的思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了平面几何的基本概念，对图形的认知有一定的基础。
但是，对于三角形这一概念，学生可能仍存在模糊的认识，对三角形特性的理解也有待加强。
此外，学生对于数学知识的应用能力也有待提高，需要通过实例讲解和练习来加强。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的基本概念，理解三角形的基本性质，能运用三边关系解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：三角形的基本概念，三角形的基本性质，三边关系。
2.难点：三角形三边关系的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，发现三角形的性质和规律。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对三角形性质的理解。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、画图工具。
2.教学课件：制作课件，展示三角形的相关图片和实例。
3.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例图片，如：自行车三角架、桥梁结构等，引导学生观察并思考：这些实例中都有共同的图形——三角形。
三角形的有关概念
三角形的有关概念一、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
1、三角形的基本元素（1）三角形的边：即组成三角形的线段。
（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（3）三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。
2、三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”。
二、三角形的三边关系：1、三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的之差小于第三边。
2、三边平方关系：两边平方和>第三边平方，则这两边的夹角< 90°两边平方和 = 第三边平方，则这两边的夹角 = 90°两边平方和<第三边平方，则这两边的夹角 > 90°三角形的分类：1、按角分类：直角三角形、斜三角形（锐角三角形、钝角三角形）2、按边分类：不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。
四、三角形的三条重要线段：1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
（三条高线的交点叫垂心）2、三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
（三条中线的交点叫重心）3、三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
（三条角平分线的交点叫做内心）五、三角形的主要性质：1、三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；2、三角形的内角之和等于180°，三角形的外角之和等于360°3、三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；4、三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；5、三角形具有稳定性。
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.。
三角形的三边关系ppt
3
轴对称
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂 直平分线。
等边三角形
三边相等
等边三角形的三条边长度 相等，即a=b=c。
三个内角相等
等边三角形的三个内角相 等，即∠A=∠B=∠C=60° 。
轴对称
等边三角形是轴对称图形 ，对称轴为各边的垂直平 分线。
直角三角形
勾股定理
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平 方，即a^2+b^2=c^2。
一个锐角为90°
直角三角形中，有一个内角为90°，即∠C=90°。
轴对称
等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴为底边的 垂直平分线。
06
总结
主要观点的总结
三角形三边关系是指三角形的三条边之间的长度关系， 可以用不等式表示为两边之和大于第三边，两边之差小 于第三边。
在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边。
定理3
三角形三个内角之和等于180度。
定理4
三角形三个内角中，最多有一个内 角是直角或钝角。
03
三角形三边关系的应用
几何中的应用
三角形面积
利用三角形三边长度可求出三角形面积，公式为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(pc)}$，其中$p$为三角形半周长。
判断三条边能否构成三角形
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，若三条边符合 这个条件则可以构成一个三角形。
三角形稳定性
三角形三条边确定后，这个三角形的形状和大小就能唯一确 定下来，因此三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
04
三角形三边与面积的关系
海伦公式
海伦公式概述
海伦公式是一种基于三角形三边长度计算其面积的公式。它基于三角形的半 周长s=(a+b+c)/2，然后利用公式面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))计算面积。
三角形的三边关系课件
本节课知识点总结回顾
三角形的基本概念和性质
01
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组成的
封闭图形。
三角形三边关系定理
02
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形按边的分类
03
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰
三角形和一般三角形。
学生自我评价报告展示
交通网络优化
三角形的三边关系还可以应用于交通网络的优化。通过分析交通网络中各个节 点之间的连接关系，可以合理规划道路布局，提高交通网络的通行效率和便捷 性。
其他领域应用举例
机械设计
在机械设计中，三角形的稳定性原理被用于设计各种支撑 结构和连接件。例如，三角形的支架可以用于支撑机械部 件，确保其稳定性和可靠性。
对于多边形，可以将其划分成若 干个三角形，然后利用三角形的 三边关系定理来推断多边形的边 长关系。
实际应用
在建筑、工程等领域中，经常需 要利用三角形的三边关系定理来 解决实际问题，如测量距离、设 计结构等。同时，对于多边形边 长关系的探索也可以为相关领域 的研究提供新的思路和方法。
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02
三角形三边关系定理
三角形两边之和大于第三边
对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB
+ AC > BC。
三角形两边之和大于第三边是三 角形的基本性质之一，也是判断 三条线段能否构成三角形的必要
条件。
若三条线段满足三角形两边之和 大于第三边的条件，则它们可以 构成一个三角形；反之，则不能。
当两点之间直线距离不可达时， 可以通过构造三角形并利用三 边关系找到最短路径。
三角形的概念及三边关系与三角形有关的线段
三角形的概念及三边关系与三角形有关的线段在我们的日常生活和数学学习中，三角形是一种非常常见且重要的几何图形。
无论是在建筑设计、工程测量，还是在数学的理论研究中，三角形都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解三角形的概念、三边关系以及与三角形有关的线段。
一、三角形的概念什么是三角形呢？简单来说，三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
这三条线段就叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
三角形具有稳定性，这是它的一个重要特性。
比如说，我们常见的自行车车架、三角形的屋顶框架等，就是利用了三角形的稳定性来增强结构的牢固程度。
三角形可以按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个角都小于 90 度；直角三角形有一个角等于 90 度；钝角三角形则有一个角大于 90 度小于 180 度。
二、三角形的三边关系三角形的三边关系是三角形中非常重要的一个知识点。
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
为什么会有这样的关系呢？我们可以通过一个简单的实验来理解。
假设我们有三根长度分别为 a、b、c 的小棒，如果 a ＋ b ＜ c，那么这三根小棒就无法首尾相接组成一个三角形。
同样，如果 a b ＞ c，也无法组成三角形。
这个三边关系在解决很多与三角形相关的问题时非常有用。
比如，已知三角形的两条边的长度，求第三边的取值范围。
三、与三角形有关的线段1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形有三条高，锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条高在三角形的内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部。
2、三角形的中线连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。
广东中考数学课件：第13节三角形的基本概念与性质
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课堂精讲
8Байду номын сангаас（2015•北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（ D ）
A．内心
B．外心
C．中心
D．重心
考点：三角形的重心． 分析：根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 解答：解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D． 点评：考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条 垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点 ．
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•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
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考点1
课堂精讲
三角形边的计算
1.（2015•崇左）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长
可能是（ C ）
A．2
B．3
C．5
D．8
考点：三角形三边关系．
分析：根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第 三边；可求第三边长的范围，再选出答案． 解答：解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜ 5+2，即3＜x＜7．故选：C． 点评：本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三 边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
第07讲三角形的有关概念(知识总结+练习)(沪教版)(原卷版)
第07讲三角形的有关概念（核心考点讲与练）一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．二．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．四．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．五．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略。
三角形三边关系 定义
三角形三边关系定义三角形是初中数学中一个重要的概念，它是由三条线段连接起来的几何图形。
在三角形中，三条边之间有着复杂的关系，而这些关系在数学中被称为“三角形三边关系”。
本文将介绍三角形三边关系的定义及其相关概念。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接起来的几何图形，其中任意两条线段之间的夹角都小于180度。
三角形有三个顶点和三条边，可以根据三边的长度、三个角的大小、三个顶点的位置等不同特征进行分类。
二、三角形三边关系的定义三角形三边关系是指三角形中任意两条边的长度之和大于第三条边的长度。
换言之，如果三角形的三条边分别为a、b、c，则有以下关系式：a+b>ca+c>bb+c>a这些关系式是三角形三边关系的基本定义，也是数学中最基本的几何定理之一。
在实际应用中，三角形三边关系可以帮助我们判断三角形是否存在，从而避免出现错误的计算结果。
三、三角形三边关系的相关概念除了基本的三角形三边关系之外，还有一些相关的概念需要了解： 1. 等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个角的大小都是60度。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角的大小相等。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角的大小为90度的三角形。
在直角三角形中，另外两个角的大小分别为30度和60度。
4. 锐角三角形锐角三角形是指所有角的大小都小于90度的三角形。
在锐角三角形中，三条边的长度之间的关系式为：a+b>cb+c>ac+a>b5. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角的大小大于90度的三角形。
在钝角三角形中，另外两个角的大小分别为小于90度的锐角。
四、三角形三边关系的应用三角形三边关系在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要根据三角形三边关系来计算建筑物的结构和支撑力；在地图制作中，制图人员需要根据三角形三边关系来计算地球上不同地区的距离和方位；在物理学中，科学家们需要根据三角形三边关系来计算力的大小和方向等。
三角形的概念和三边关系
三⾓形的概念和三边关系BF图1第12节三⾓形的概念和三边关系【知识要点】⼀．三⾓形的元素及其表⽰⽅法：三⾓形的基本要素：三条边、三个内⾓、三个顶点．如图⽰：记作“ABC ”，读作：“三⾓形ABC ”．⼆．三⾓形的三条重要线段及其性质1．三⾓形的⾓平分线：三⾓形⼀个⾓的平分线与这个⾓的对边相交，这个⾓的顶点与交点之间的线段叫做三⾓形的⾓平分线。
（三⾓形三条⾓平分线交于⼀点）2．三⾓形的中线：在三⾓形中，连结⼀个顶点和它的对边中点的线段叫做三⾓形的中线。
（三⾓形的三条中线交于⼀点）3．三⾓形的⾼：从三⾓形⼀个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂⾜间的线段叫做三⾓形的⾼线，简称三⾓形的⾼。
（三⾓形的三条⾼交于⼀点）三．三⾓形的稳定性三⾓形的三边确定，那么它的形状、⼤⼩都确定了，三⾓形的这个性质叫做三⾓形的稳定性．四．三⾓形的三边关系（1）三⾓形任意两边之和⼤于第三边（2）三⾓形任意两边之差⼩于第三边【教材针对性训练题】1．如图1，△ABC 的三条⾼AD 、BE 、CF 相交于点H ，△BCH 的三条⾼是_______、_______、_______，这三条⾼所在直线相交于点________.2．如图2，△ABC 中，AD 、AE 分别是⾼和⾓平分线，若∠B=35°，∠C=65°，则∠CAD=___ °；∠EAD=______ °.3．如图3所⽰，∠A=60°，CE 、BF 是△ABC 的两条⾼，则∠CHB=_________。
4．如图4，△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 是BC 上的点，则以AD 为⾼的三⾓形有_________个.图2图4A图5 D 图6 A图35．如图5，在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是⾼，DE 是△ABD 的⾼，则与∠B 互余的⾓是_______；与∠C 相等的⾓是__________.6.如图6，AB=7，AC=5，AD 是中线，那么△ABD 和△ADC 的周长差是_______； 7．三⾓形的三条⾼所在直线的交点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．以上都不对 8．三⾓形的三条中线的交点在此三⾓形的（）A ．内部B ．外部C ．⼀边上D ．以上情况都有可能 9．三⾓形的⾓平分线是（）A ．直线B ．射线C ．线段D ．射线或线段 10．三条⾼所在的直线的交点在三⾓形的外部，此三⾓形是（）A ．锐⾓三⾓形B ．钝⾓三⾓形C ．直⾓三⾓形D ．不能确定11.如果⼀个三⾓形的三条⾼的交点恰是三⾓形的⼀个顶点，那么这个三⾓形是（）A ．锐⾓三⾓形B ．钝⾓三⾓形C ．直⾓三⾓形D ．不能确定 12．下⾯说法错误的是（）A ．三⾓形的三条⾓平分线交于⼀点B ．三⾓形的三条中线交于⼀点C ．三⾓形的三条⾼交于⼀点D ．三⾓形的三条⾼所在的直线交于⼀点 13．能将⼀个三⾓形分成⾯积相等的两个三⾓形的⼀条线段是（） A ．中线 B ．⾓平分线 C ．⾼线 D ．不能确定【典型例题】例1 （1）如图1-4（1），F 、E 分别为BD 、BC 上的点，DAF BAF ∠=∠，D 为AC 边的中点．AF 是哪个三⾓形的⾓平分线？线段AE 是哪个三⾓形的⾓平分线？AC 边上的中线是哪条线段？（2）如图1-4（2），填空．①若AD 是的⾓平分线，则∠ =∠ =∠；②若AE 是的中线，则 = = ．③若AF 是的⾼，则∠ =∠ =．例2 （1）在ABC ?中，已知：12,18a cm b cm ==，，求第三边c 的取值范围．（2）⼀个三⾓形的两边分别为1319cm cm 和，求其最短边x 的取值范围．ABC DFABCD E F图1-4例3 下列各组分别表⽰三条线段的长度，判断以这些线段为边是否能组成三⾓形．①3，5，2 ②()3,4,50k k k k >例4 （1）已知△ABC 的周长为18cm ，且a+b=2c,b=2a ，求a 、b 、c 。
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1. (2015 四川省巴中市) 】．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．
】．
分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．
解答：解：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，
解得a=3，b=2，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．
2. (2015 辽宁省朝阳市) .一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．
答案：
分析：首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．
解答：解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3﹣2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
∵第三边长为奇数，
∴x=3，
∴这个三角形的周长为2+3+3=8，
故答案为：8．
点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3. (2015 湖南省长沙市) 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）
A． B． C． D．
答案：
分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
解答：解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4. (2015 广东省佛山市) 各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10 个．
分析：利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．
解答：解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，
∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；
4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；
故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．
故答案为：10．
点评：此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．
5. (2015 贵州省六盘水市) 】．如图11，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．
答案：】．分析：根据两平行线间的距离相等，即可解答．
解答：解：∵直线l 1∥l 2，
∴△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3的底边AB 上的高相等，
∴△
ABC 1，△ABC 2
，△
ABC 3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3这些三角形的面积相等．
即S 1
=S 2=S 3．
点评：本题考查了平行线之间的距离
，解集本题本题的关键是明确两平
行线间的距离相等．
6. (2015 贵州省安顺市) 已知三角形两边的长
是3和4，第三边的长是方程035122=+-x x 的根，则该三角形的周长是（ ） A ．14 B ．12 C ．12或14
D ．以上都不对
答案：B
7. (2015 广东省东莞市) 如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC =12，则图
中阴影部分的面积是 ．
答案：分析： 根据三角形的中线把三角形的面积分
成相等的两部分，
知△ABC 的面积即为阴影部分的面积的3倍．
解答： 解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ， ∴S △
CGE
=S △AGE =S △ACF ，S △BGF =S △BGD =S △BCF ，
∵S △ACF =S △BCF =
S △ABC
=×12=6，
∴S △CGE =S △ACF =
×6=2，S △BGF =S △BCF =×6=2，
∴
S 阴影=S △CGE +S △BGF =4．
故答案为4．
点评： 根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF 的面积=△BGD 的面积=△CGD 的面积，△AGF 的面积=△AGE 的面积=△CGE 的面积．
8. (2015 广东省) 如题16图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S △，则图
中阴影部分面积是
.
答案：4.
9. (2015 辽宁省大连市) 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A . 1,2,3 B .,1，2，3 C .3,4
,8
D .4,5
，6
答案：D。