Complexity Th讲义eory - MIT：复杂性理论-麻省理工
3-计算复杂性理论
计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能的节省这些资源。
目录[隐藏]• 1 简介• 2 历史• 3 基本概念和工具o 3.1 计算模型与计算资源o 3.2 判定性问题和可计算性o 3.3 算法分析o 3.4 复杂性类o 3.5 归约• 4 NP与P关系问题及相关理论o 4.1 NP和P的定义o 4.2 NP与P关系问题o 4.3 NP完备理论o 4.4 电路复杂性o 4.5 其它NP与P关系问题相关的理论• 5 理论与实践• 6 参考•7 外部链接[编辑]简介计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时间（要通过多少步才能解决问题）和空间（在解决问题时需要多少内存）。
其他资源亦可考虑，例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解决问题。
时间复杂度是指在计算机科学与工程领域完成一个算法所需要的时间，是衡量一个算法优劣的重要参数。
时间复杂度越小，说明该算法效率越高，则该算法越有价值。
空间复杂度是指计算机科学领域完成一个算法所需要占用的存储空间，一般是输入参数的函数。
它是算法优劣的重要度量指标，一般来说，空间复杂度越小，算法越好。
我们假设有一个图灵机来解决某一类语言的某一问题，设有X个字（word）属于这个问题，把X放入这个图灵机的输入端，这个图灵机为解决此问题所需要的工作带格子数总和称为空间。
复杂度理论和可计算性理论不同，可计算性理论的重心在于问题能否解决，不管需要多少资源。
而复杂性理论作为计算理论的分支，某种程度上被认为和算法理论是一种“矛”与“盾”的关系，即算法理论专注于设计有效的算法，而复杂性理论专注于理解为什么对于某类问题，不存在有效的算法。
[编辑]历史在20世纪50年代，Trahtenbrot和Rabin的论文被认为是该领域最早的文献。
而一般说来，被公认为奠定了计算复杂性领域基础的是Hartmanis和Stearns的1960年代的论文On the computational complexity of algorithms。
复杂系统
复杂系统本词条缺少概述图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来吧！复杂系统是具有中等数目基于局部信息做出行动的智能性、自适应性主体的系统。
复杂系统是相对时代以来构成科学事业焦点的简单系统相比而言的，具有根本性的不同。
简单系统它们之间的相互作用比较弱，比如封闭的气体或遥远的星系，以至于我们能够应用简单的统计平均的方法来研究它们的行为。
而复杂并不一定与系统的规模成正比，复杂系统要有一定的规模，复杂系统中的个体一般来讲具有一定的智能性，例如组织中的细胞、股市中的股民、城市交通系统中的司机，这些个体都可以根据自身所处的部分环境通过自己的规则进行智能的判断或决策。
复杂系统简介随着新世纪的钟声响起，人类已经步入一个崭新的千年。
在这新千年来临之际，人类的科学技术不断进步，一方面科技取得了瞩目的成绩，并以前所未有的速度改变人们的生活；然而另一方面这也让更多的人迷惘了，未来的科技究竟何去何从，科学本身将如何发展？我们为什么要努力的发展科技？我们要朝哪个方向发展？所有的问题都指向了新科学：复杂系统。
有人预测，将成为21世纪的科学，因为它不仅仅从科学技术上指明了21世纪的发展方向，而且它给我们提供了一种崭新的世界观。
完美的、均衡的世界不存在了，取而代之的是复杂性的增长和混沌边缘的繁荣。
自上而下的分解分析方法曾经在几千年的科学发展中发挥了威力，然而复杂性科学却提出了一种自下而上的自然涌现方法。
数学无疑是人类理性认识自然的有力武器，然而面对庞大的，简单的数学推理不能胜任，复杂性科学开始运用来分析科学对象。
[1]复杂系统定义根据以上的描述，我们可以得到中对复杂系统的描述性定义：复杂系统（complex system）是具有中等数目基于局部信息做出行动的智能性、自适应性主体的系统。
复杂系统是一个很难定义的系统，它存在于这个世界各个角落。
如此，我们也可以这样定义它:1. 不是简单系统，也不是随机系统。
2. 是一个复合的系统，而不是纷繁的系统（It's complex system not complicated.）3. 复杂系统是一个非线性系统。
《复杂性理论》讲义2
第二章算法问题及其复杂性2.1 什么是算法问题?1.算法问题(可解的问题)——简单地说，就是存在求解算法的问题。
例子（见书）2. 算法问题定义(1) 一个可行的（即语法正确的）输入集的描述——每个输入可表为在一个有限字母表上的有限字母串；(2)一个函数的描述——将每个输入映射到一个非空的正确输出集，每个输出也是一个有限字母表上的有限序列。
3. 问题和问题实例4. 关于算法问题的输入好算法的计算时间与问题的输入形式有关。
然而，一个问题的所有合理的输入形式往往导出的算法问题是类似的。
因此一般可以忽略问题的具体输入形式。
例如，一个图使用邻接表表示和用邻接矩阵表示看作是没有太大区别。
5. 算法问题的几种形式搜索问题、优化问题、求值问题、判定问题（形式语言）2.2 一些重要的算法问题1. 旅行商问题 (TSP)——有多种变型2. 0/1背包问题3. 划分问题4. 监控（覆盖）问题5. 团问题6. 组队问题7. 网络中的最优流问题8. 运动联盟的冠军问题9. 验证问题10. 数论问题（素数测试、分解质因数）2.3 如何度量算法的计算时间?1．什么是算法?——直观地讲，算法就是一个无歧义的指令集，它规定了根据输入如何一步步得出一个正确输出的步骤。
确定性算法——对于同一输入而言，算法每一时刻下一计算步骤都是唯一确定的。
随机算法——对同一输入而言，每一时刻算法下一计算步骤可能依一个随机数来定。
2．一个算法的计算时间如何度量?算法的计算时间依赖于诸多因素：输入、计算机、程序设计语言、算法的实现…但是有些因素的影响是有限的并且也是可控的。
算法的计算时间可以简化为仅仅依赖于算法本身和输入大小。
计算时间是用运算步骤而不是具体时间来度量。
3．计算模型寄存器机（Register Machine），即随机存取机(Random Access Machine).对数成本模型(Logarithmic Cost Model)——认为在数n上的算术运算的成本为O(log n)。
复杂性理论复杂性理论
复杂性理论复杂性科学/复杂系统耗散结构理论协同学理论突变论(catastrophe theory)自组织临界性理论复杂性的刻画与“复杂性科学”论科学的复杂性科学哲学视野中的客观复杂性Information in the Holographic Universe“熵”、“负熵”和“信息量”-有人对新三论的一些看法复杂性科学/复杂系统复杂性科学是用以研究复杂系统和复杂性的一门方兴未艾的交叉学科。
1984年，在诺贝尔物理学奖获得盖尔曼、安德逊和诺贝尔经济学奖获得者阿若等人的支持下，在美国新墨西哥州首府圣塔菲市，成立了一个把复杂性作为研究中心议题的研究所-圣塔菲研究所（简称SFI），并将研究复杂系统的这一学科称为复杂性科学（Complexity Seience）。
复杂性科学是研究复杂性和复杂系统的科学，采用还原论与整体论相结合的方法，研究复杂系统中各组成部分之间相互作用所涌现出的特性与规律，探索并掌握各种复杂系统的活动原理，提高解决大问题的能力。
20世纪40年代为对付复杂性而创立的那批新理论，经过50-60年代的发展终于认识到：线性系统是简单的，非线性系统才可能是复杂的；“结构良好”系统是简单的，“结构不良”系统才可能是复杂的；能够精确描述的系统是简单的，模糊系统才可能是复杂的，等等。
与此同时，不可逆热力学、非线性动力学、自组织理论、混沌理论等非线性科学取得长足进展，把真正的复杂性成片地展现于世人面前，还原论的局限性充分暴露出来，科学范式转换的紧迫性呈现了。
这些新学科在提出问题的同时，补充了非线性、模糊性、不可逆性、远离平衡态、耗散结构、自组织、吸引子（目的性）、涌现、混沌、分形等研究复杂性必不可少的概念，创立了描述复杂性的新方法。
复杂性科学产生所需要的科学自身的条件趋于成熟。
另一方面，60年代以来，工业文明的严重负面效应给人类造成的威胁已完全显现，社会信息化、经济全球化的趋势把大量无法用现代科学解决的复杂性摆在世人面前，复杂性科学产生的社会条件也成熟了。
complexity 翻译
complexity 翻译基本解释●complexity：复杂性●/kəmˈplɛksɪti/●n. 复杂性变化形式●n. 复数形式：complexities具体用法●名词:o复杂性o同义词：intricacy, complication, sophistication, difficulty, intricatenesso反义词：simplicity, clarity, ease, straightforwardness, plainness o例句：●The complexity of the human brain is one of the mostfascinating subjects in neuroscience, and it continues tochallenge scientists around the world. (人类大脑的复杂性是神经科学中最迷人的课题之一，它不断挑战着世界各地的科学家。
)●Understanding the complexity of climate change requires amultidisciplinary approach, involving experts from various fields such as meteorology, oceanography, and environmental science. (理解气候变化的复杂性需要一种多学科的方法，涉及气象学、海洋学和环境科学等各个领域的专家。
)●The complexity of the legal system can be overwhelming forthose who are not familiar with its intricacies, often necessitating the assistance of a qualified attorney. (法律系统的复杂性对于那些不熟悉其复杂性的人来说可能是压倒性的，通常需要合格律师的帮助。
6复杂性(二)
•
费根鲍姆利用计算机进行了更精确的计算。对于逻辑斯蒂映射，他 很快得出了一个更精确的标度比值：4.6692016090；对三角映射重 复计算，到小数点后10位，两数完全相同。看来标度比不依赖于方程， 无论逻辑斯蒂映射还是三角映射，没有什么差别。这当然不可能是巧 合。
•
费根鲍姆的发现表明，在逻辑斯蒂映射一类的非线性映射中， 费根鲍姆的发现表明，在逻辑斯蒂映射一类的非线性映射中，倍周 期分叉遵循一个普适性规律：当t→∞时，分叉间距比存在一个极限值 期分叉遵循一个普适性规律： 时 更精确的） （更精确的）δ=4.66920160910399097…… • 同时，分叉也在越来越窄的宽度上出现，这又是一种普适性规律： 同时，分叉也在越来越窄的宽度上出现，这又是一种普适性规律： 相邻两个分枝间的宽度按一定比率缩小，缩小因子在t→∞时也存在极 相邻两个分枝间的宽度按一定比率缩小，缩小因子在 时也存在极 限值 • α=2.5029078750958928485…… • 这两个常数被称为“费根值”(Feigen value)。费根值的普适性 也具有相对性，它只适用于具有像抛物线那样的峰的单峰映射；对于 多峰或者具有扁平峰和尖峰那样的情况，标度比值将会不同；但每一 类的映射，其标度比总是相同的。
•
澳大利亚昆虫学家尼科尔森（Nicholson，A.J.）曾经在一个 大瓶子里用有限的蛋白质食物喂养一瓶子绿头苍蝇，研究受到 空间和食物限制的苍蝇群体数目（“蝇口”）的变化。他观察 到有时绿头苍蝇可繁殖到将近一万只；过些时候又会降至几百 只。蝇口繁殖过快超过容器的空间限制后数目就急剧减少，而 活动空间的扩大又使蝇口快速增长；蝇口决不会单调增大或单 调减少，呈现一种周期性的涨落。尼科尔森发现，这个循环周 期大约是38天。但每个周期内蝇口数却可能出现两个峰值，而 且到约450天后，蝇口的变化（振荡）变得极不规则。在这个实 验中，蝇口数的变化包括了周期性、拟周期性和混沌。
计算理论计算复杂性ppt课件
3cnf: 每个子句文字数不大于3, 2cnf: 每个子句文字数不大于2
可满足问题SAT
• 可满足性问题: SAT = { <> | 是可满足的布尔公式 }
• 思想: 将字符串对应到布尔公式 利用接受的形式定义.
• 过程: 任取ANP, 设N是A的nk时间NTM. w(|w|=n), N接受w
N有长度小于nk的接受格局序列 能填好N在w上的画面(一个nknk表格) f(w)可满足 • 结论: SAT是NP完全的
N接受w能填好N在w上的画面
# q0 w0 w1 … wn #
2)若0,1都在带上,重复以下步骤. O(n)
3) 检查带上0,1总数的奇偶性,
若是奇数,就拒绝.
O(n) log n
4) 再次扫描带,
第1个0开始,隔1个0删除1个0; O(n)
第1个1开始,隔1个1删除1个1.
总时间:
5)若带上同时没有0和1,则接受. O(n) O(nlogn)
否则拒绝.”
{0k1k|k0}TIME(nlogn)
快速验证
HP = {<G,s,t>|G是包含从s到t的 哈密顿路径的有向图}
CLIQUE={<G,k>|G是有k团的无向图} 目前没有快速算法,但其成员是可以快速验证的. 注意:HP的补可能不是可以快速验证的. 快速验证的特点: 1. 只需要对语言中的串能快速验证. 2. 验证需要借助额外的信息:证书,身份证.
• 二元可满足性问题: 2SAT = { <> | 是可满足的2cnf }
复杂人假设
4. 不同人对不同的领导模式有不同的反应。由于人的需要不同，能力各异，对同 一领导模式不同的人会有不同的反应。“复杂人”假设主张根据不同人的不 同情况，因人而异地采取灵活多变的领导模式和领导方式。
5．在适当的领导策略之下，不同类型的动机模式，可以产生高激励水平。“复 杂人”假设含有辩证法因素，它强调根据工作性质、个人特点和外界环境三 者合理配置，因人、因地、因事而异，采取灵活机动的领导方法。
“复杂人”假设的概念 复杂人” 复杂人” “复杂人”假设的依据
其一，就个体人而言，其需要和潜力会随着年龄的增长，知 其一，就个体人而言，其需要和潜力会随着年龄的增长， 复杂人假设是60年代末至70年代初由沙因 60年代末至70年代初由沙因提出 复杂人假设是60年代末至70年代初由沙因提出 识的增加，地位的改变， 识的增加，地位的改变，环境的改变以及人与人之间关系的 根据这一假设，提出了一种新的管理理论， 的。根据这一假设，提出了一种新的管理理论，与 改变而各不相同。 改变而各不相同。
超Y理论的简介
超Y理论是1970年由美国管理心理学家约 翰·莫尔斯（John.J.Morse）和杰伊·洛希 （Jay.W.Lorsch）根据"复杂人"的假定，提出的一 种新的管理理论。它主要见于1970年《哈佛商业 评论》杂志上发表的《超Y理论》一文和1974年 出版的《组织及其他成员：权变法》一书中。 该理论认为，没有什么一成不变的、普遍适用 的最佳的管理方式，必须根据组织内外环境自 变量和管理思想及管理技术等因变量之间的函 数关系，灵活地采取相应的管理措施，管理方 式要适合于工作性质、成员素质等。超Y理论在 对X理论和Y理论进行实验分析比较后，提出一 种既结合X理论和Y理论，又不同于是X理论和Y 理论，是一种主张权宜应变的经营管理理论。 实质上是要求将工作、组织、个人、环境等因 素作最佳的配合。
复杂性的概念界定及复杂性的基本问题
（3）市场轨迹的复杂性
总之我们认为用以界定混沌的本质特征应是既有严格的数学表述又是可观测的在理论上和观测上都应是有意义的并且两者是统一的对应三对混沌概念的界定综上所述我们看到对于确定性非线性系统来说无论是与无限过程相联系的数学混沌还是在有限性条件下的物理混沌都具有有界非周期和敏感初条件三个本质特征在此两种情况下这些特征的意义虽然不完全相同但是它们之间有确定的对应关系
迄今在复杂性名下的研究工作非常繁杂，其中典型的系统或现象有混沌（chaos）、分形（fractal）、复杂适 应系统（CAS）、自组织临界态（SOC）等，这些都可适用上述笔者对“复杂性”的定义。
Chaos，虽然依动力学方程原则上可精确确定轨道的数学意义上的混沌不是复杂的，但是实际的物理和计
算意义上的混沌，一般都具有由敏感初条件导致的多值不确定性、整体轨道的非周期性，而且对象状态是 由物理变量表征的可区分状态。[3]
一、从混沌的 Li—Yorke 定义看数学混沌的本质特征
复杂性的概念界定及复杂性的基本问题
摘 要 本文讨论了复杂性概念的科学及哲学定位，给出复杂性概念的一个界定：“存在多个有意义、不 确定、非周期的可区分状态”。认为复杂性的基本问题是“在复杂性空间中寻找最优或约定解”，此问题在 复杂系统情况下具体化为：子系统角度的复杂系统预测问题、宏观现象角度的复杂系统组织问题和系统环 境角度的复杂系统控制问题。
复杂性的这个定义可以在不同标度上（无标度地）适用，而产生层次上的复杂性及复杂性的指数积累。
复杂性理论复杂系统
复杂性理论复杂性科学/复杂系统耗散结构理论协同学理论突变论(catastrophe theory)自组织临界性理论复杂性的刻画与“复杂性科学”论科学的复杂性科学哲学视野中的客观复杂性Information in the Holographic Universe“熵”、“负熵”和“信息量”-有人对新三论的一些看法复杂性科学/复杂系统复杂性科学是用以研究复杂系统和复杂性的一门方兴未艾的交叉学科。
1984年，在诺贝尔物理学奖获得盖尔曼、安德逊和诺贝尔经济学奖获得者阿若等人的支持下，在美国新墨西哥州首府圣塔菲市，成立了一个把复杂性作为研究中心议题的研究所-圣塔菲研究所（简称SFI），并将研究复杂系统的这一学科称为复杂性科学（Complexity Seience）。
复杂性科学是研究复杂性和复杂系统的科学，采用还原论与整体论相结合的方法，研究复杂系统中各组成部分之间相互作用所涌现出的特性与规律，探索并掌握各种复杂系统的活动原理，提高解决大问题的能力。
20世纪40年代为对付复杂性而创立的那批新理论，经过50-60年代的发展终于认识到：线性系统是简单的，非线性系统才可能是复杂的；“结构良好”系统是简单的，“结构不良”系统才可能是复杂的；能够精确描述的系统是简单的，模糊系统才可能是复杂的，等等。
与此同时，不可逆热力学、非线性动力学、自组织理论、混沌理论等非线性科学取得长足进展，把真正的复杂性成片地展现于世人面前，还原论的局限性充分暴露出来，科学范式转换的紧迫性呈现了。
这些新学科在提出问题的同时，补充了非线性、模糊性、不可逆性、远离平衡态、耗散结构、自组织、吸引子（目的性）、涌现、混沌、分形等研究复杂性必不可少的概念，创立了描述复杂性的新方法。
复杂性科学产生所需要的科学自身的条件趋于成熟。
另一方面，60年代以来，工业文明的严重负面效应给人类造成的威胁已完全显现，社会信息化、经济全球化的趋势把大量无法用现代科学解决的复杂性摆在世人面前，复杂性科学产生的社会条件也成熟了。
复杂性科学讲稿
研究方法
定性判断与定量计算相结合； 微观分析与宏观分析相结合； 还原论与整体论相结合； 科学推理与哲学思辨相结合。 尽管系统变化无常，但有捉摸不定的秩序， 而且总是通过自组织与不断地适应，经过复杂 过程和不同的变化阶段，向优化、更高级的秩 序演进。
1.2 复杂系统
复杂系统涉及的范围很广，包括自然、工程、生物、 经济、管理、政治与社会等各个方面；它探索的复杂现 象从一个细胞呈现出来的生命现象，到股票市场的涨落、 城市交通的管理、自然灾害的预测，乃至社会的兴衰等， 目前，关于复杂性的研究受到了世界各国科学家们的广 泛关注。1999年，美国《科学》杂志出版了一期以“复 杂系统”为主题的专辑，这个专辑分别就化学、生物学、 神经学、动物学、自然地理、气候学、经济学等领域中 的复杂性研究进行了报道。由于各学科对复杂性的认识 和理解都不一样，所以该专辑避开术语上的争论，采用 了“复杂系统”这个名词。 复杂系统都有一些共同的特点，就是在变化无常的 活动背后，呈现出某种捉摸不定的秩序，其中演化、涌 现、自组织、自适应、自相似被认为是复杂系统的共同 特征。
系统的复杂性表现特征
系统是由许多单元组成，各单元之间联系广泛且紧密； 系统具有多层次、多功能的结构，每一层次均成为构 筑上一层次的单元，同时也有助于系统的某一功能的 实现； 系统在发展过程中能不断学习，并对其层次结构与功 能结构进行重组与完善； 系统是开放的。它与环境有密切的联系，能与环境相 互作用，并能不断向更好地适应环境的方向发展变化； 系统是演化的、动态的，它不断地处于发展变化之中， 而且系统本身对未来发展变化有一定的预测能力。
2.2 经典科学与复杂性科学 我们所说的科学，基本上是指由培根、 牛顿、伽里略、笛卡儿等开创的，近三四百 年内发展起来的一整套观点、方法、学说， 我们不妨称之为经典科学。 由弗兰西斯·培根首先倡导的分析和实验 方法，经过伽里略等许多学者的实现与发展， 深入到了几乎所有的学科领域；牛顿归纳的 物理学的基本定律以及相应的数学方法，则 成为人类对于宇宙(包括社会)认识的基本框 架；而笛卡儿则从思想方法上进行了深刻的 概括与总结。正是由此形成的庞大、完整的 近代科学体系，通过在它的基础上形成的工 程技术，成了创建近百年来人类文明空前繁 荣的基石。
复杂性科学_复杂性科学与复杂性经济学
复杂性科学_复杂性科学与复杂性经济学复杂性科学的兴起表明了科学正处于一个转折点——那就是复杂性科学的兴起(成思危，1999)，是人类历史上又一次科学范式的大变革。
如果说相对论排除了绝对空间和时间的幻觉，量子力学排除了可控测量过程的牛顿迷梦，那么，作为复杂性科学中的一个组成部分的混沌论则排除了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想(格莱克，1990)。
而主流经济学的发展历史表明，自然科学每一次理论与方法的重大变革，都成为经济学创造思维的源泉(张永安、汪应洛，1997)。
因此，复杂性科学的兴起必然会对经济学的发展带来深远的影响。
本文拟就复杂性科学与经济学展开一些讨论。
二、复杂性概念苗东升(20XX年)认为，从科学方法论角度看，复杂性应是复杂性科学的首要概念，需要给出它的科学定义。
按照传统的理解，简单与复杂是相对的。
一个事物在未被认识以前是复杂的，一旦被认识了就简单了。
复杂性研究的提出最少可以追溯到20世纪40年代，明确提出建立复杂性科学也有10多年，但复杂性究竟是什么，目前还没有统一的说法。
不同的学者基于不同的学科背景和研究对象，给出不同的复杂性定义。
据郝柏林(1999)介绍，麻省理工学院的SethLloyd编辑了一份清单，至少有31种不同的复杂性的定义。
也许根本不存在统一的复杂性定义，至少目前不必追求这种统一定义，多样性、差异性是复杂性固有的内涵，只接受一种意义下的复杂性，就否定了复杂性本身(苗东升，20XX 年)。
但我们可以从以下几个方面来理解复杂性：(1)表现出复杂性的复杂系统一般是有大量的、不同的、相互作用的单元构成的网络。
每一单元都会受到其他单元变化的影响，并会引起其他单元的变化。
(2)各单元之间的相互作用是非线性的。
系统的整体不再为部分之和，部分与整体之间不只是现象上的因果关系，而是“一只活鸡被分成两半就不再是活鸡的两半”的关系。
复杂系统的过程具有不可逆性。
系统对初值具有很强的敏感性。
(3)复杂性是系统的某种动态行为，往往伴随涨落。
第一讲计算复杂性理论精品PPT课件
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
计算量的表示法: 上界值表示法
O記号：(Big O Notation)
•定義: O(f(n)) 读作order f(n), 或阶 f(n)
即： g(n)=O(f(n))
–表示对于任意定数c 和 m，以及对所有 n＞m， 有下式成立：
g(n)＜ cf(n)
计算量的表示法——例
n２+1000n→O(n２)
第一讲： 计算复杂性理论 (Complexity Theory)
计算量的概念 计算量的表示 算法与计算量 计算复杂性 影响计算复杂性的因素
优化问题及其计算的复杂性
例：
组合优化问题：
１ 3 9
2 4 0
3 5 1
4 6 2
5 7 3
組合数虽然有限，但因其数量太多，寻找最优解很难。
背包问题（knapsack problem）：
计算量的膨胀(1)
10行×10列棋盘上米粒的数量
（第1格内放1粒米，以后每格顺次增加1倍……)
格序号
米粒数
重量 (kg)
1
1
2.0×10-5
9
256
5.1×10-3
18
131072
2.6×100
27
67108864
1.3×103
36
34359738368
6.9 ×105
45
17592186044416
計算量(2)
｛a1, a2,..., an｝：n個整数
Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. n-1 steps → O(n)算法.
复杂性科学
复杂性科学的简介兴起于20世纪80年代的复杂性科学(complexity sciences)，是系统科学发展的新阶段，也是当代科学发展的前沿领域之一。
复杂性科学的发展，不仅引发了自然科学界的变革，而且也日益渗透到哲学、人文社会科学领域.英国著名物理学家霍金称“21世纪将是复杂性科学的世纪”。
复杂性科学为什么会赢得如此盛誉，并带给科学研究如此巨大的变革呢?主要是因为复杂性科学在研究方法论上的突破和创新.在某种意义上,甚至可以说复杂性科学带来的首先是一场方法论或者思维方式的变革。
尽管国内外学者已经认识到研究复杂性科学的重要意义，然而要想找出一个能够符合各方研究旨趣的复杂性科学的概念还有困难.虽然目前人们对复杂性科学的认识不尽相同,但是可以肯定的是“复杂性科学的理论和方法将为人类的发展提供一种新思路、新方法和新途径，具有很好的应用前景”.黄欣荣认为尽管复杂性科学流派纷呈、观点多样，但是复杂性科学却具有一些共同的特点可循：(1)它只能通过研究方法来界定，其度量标尺和框架是非还原的研究方法论。
(2）它不是一门具体的学科，而是分散在许多学科中，是学科互涉的。
(3）它力图打破传统学科之间互不来往的界限，寻找各学科之间的相互联系、相互合作的统一机制。
(4）它力图打破从牛顿力学以来一直统治和主宰世界的线性理论，抛弃还原论适用于所用学科的梦想。
(5)它要创立新的理论框架体系或范式,应用新的思维模式来理解自然界带给我们的问题。
复杂性科学是指以复杂性系统为研究对象,以超越还原论为方法论特征，以揭示和解释复杂系统运行规律为主要任务,以提高人们认识世界、探究世界和改造世界的能力为主要目的的一种“学科互涉”(inter—disciplinary)的新兴科学研究形态。
复杂性科学研究主流发展的三个阶段复杂性科学研究主流发展的三个阶段主要是指：埃德加·莫兰的学说、普利高津的布鲁塞尔学派、圣塔菲研究所的理论。
(1)埃德加·莫兰的学说埃德加·莫兰是当代思想史上最先把“复杂性研究”作为课题提出来的人。