焦点弦定理

有关抛物线焦点弦问题的探讨

——参考资料

过抛物线px y 22

=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点

结论1：p x x AB ++=21

p x x p x p x BF AF AB ++=+

++

=+=2121)2

()2

(

结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ

2

sin

2p AB =

证: (1)若2

πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证

∴=∴p AB 2

(2)若2

πθ≠

时,设直线L 的方程为：θtan )2

(p x y -

=即2

cot p y x +

⋅=θ 代入抛物线方程得

0cot 22

2

=-⋅-p

py y

θ由韦达定理θcot 2,212

21p y y p y y =+-=

由弦θ

θθ2

2

212

sin

2)cot

1(2cot

1p p y y AB =

+=-+=

结论3： 过焦点的弦中通径长最小

p p 2sin

21sin

2

2

≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.

结论4：

)(8

3

2为定值p AB

S

oAB

=∆

()8

s i n 2s i n s i n 2221s i n 2

1s i n 2

1s i n 2

1s i n 2

13

2

2

2

0P AB

S p

p p AB OF BF

AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =

∴

=

⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

+=∆∆∆∆θ

θθ

θθ

ϑθ

结论5： (1) 2

21p y y -= (2) x 1x 2=

4

2

p

证4

4)(,2,22

2

2

21212

2

22

1

1P P

y y x x p

y x p

y x =

=

∴=

=

结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

2

2

2

1

11

AB BF

AF BB AA MM

=+=

+=

故结论得证

结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F

FA A FO A FO A F AA OF AA AFA

F AA AF AA 111111

11//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=

同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F

M ⋅=2

1

（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2

12

121

4M

M B

M AM

=+

证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1

11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点

1

11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴

︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴901

11FM

A AFA

∴M 1F ⊥AB

BF AF F

M ⋅=∴2

1 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM

︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2

2

121

AB

B

M AM

=+

()

()

()

2

1

2

1

2

1

1

2

42MM

MM

BB AA

BF

AF ==+=

+=

结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线

（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴

（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴

证：因为p

y p y k y p p

y y x y k oB oA 221

2

1

11

122

,221-

=-=

=

=

=

，而2

21p y y -=