焦点弦定理
抛物线焦点弦的八大结论
抛物线焦点弦的八大结论
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类就是由焦点弦得出结论有关直线横向的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线切线（用抛物线的定义与梯形的中位线定理融合证明）。
2、1/|af|+1/|bf|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴横向（此时的焦点弦称作“通径”）时，焦点弦的长度获得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是a、b，那么向量oa与向量ob的数量积是-0.75p^2。
抛物线具备这样的性质，如果它们由反射光的材料做成，则平行于抛物线的对称轴前进并喷发其凹面的光被散射至其焦点，而不管抛物线在哪里出现散射。
恰好相反，从焦点处的点源产生的光被散射成平行（“电子束”）光束，并使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也可以产生相同的效果。
这种散射性质就是抛物线的许多实际应用领域的基础。
焦点弦公式
焦点弦公式
焦点弦公式：
椭圆：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。
(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。
双曲线：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex。
(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。
注意：
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二
定义)。
因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
这是一个很好的性质。
焦点弦长就是这两个焦半径长之和。
高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
抛物线焦点弦结论推导
抛物线焦点弦结论推导
抛物线焦点弦定理指的是：若将一个抛物线分成四部分，用两条弦分别连接两个焦点和两个顶点，则这两条弦相等。
该定理也被称为抛物线库仑定理，该定理可以通过欧几里得几何学来推导。
抛物线焦点弦定理的推导如下：
1.首先，考虑一个抛物线，它有两个焦点F1和F2，以及两个顶点V1和V2。
2.绘制一条弦P1F1V1，以及另一条弦P2F2V2，其中P1和P2分别是F1和F2，V1和V2分别是抛物线上的顶点。
3.由于P1F1V1和P2F2V2均为三角形，根据欧几里得几何学中的相似三角形定理，可以得出：
$\frac{P1F1}{F1V1}=\frac{P2F2}{F2V2}$
4.由于抛物线的两个焦点之间的距离（即P1F1和
P2F2）是相等的，所以可以得出：
$\frac{F1V1}{F2V2}=\frac{P1F1}{P2F2}=1$
5.因此，可以得出：P1F1=P2F2，即抛物线焦点弦定理得证。
抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程
抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程抛物线所示的是具有经典性质的几何图形，其定义为一个特别的二次函数：当其焦点在原点上时，抛物线形式为y = ax2；当其焦点在非原点处时，抛物线形式为 y = a(x - h)\pt2 + k，其中h是抛物线的焦点的横坐标位置，k是焦点的纵坐标位置，a是抛物线的斜率系数。
抛物线具有许多经典性质，最为重要的是焦点弦性质，它是抛物线的几何和数学基础。
焦点弦的定义是连接抛物线上任意两点的直线都与焦点构成直角，或者说从焦点连接到抛物线上任意点都构成直角三角形。
证明抛物线经典性质焦点弦证明：抛物线具有经典性质焦点弦可以应用三角函数定理证明。
设点P(x,y)位于抛物线上，则有 y = a(x - h)² + k；设F为抛物线的焦点，则有 F (h,k) ；∠FPQ 为钝角，则有：tan∠FPQ = /FP/ \cos∠FPQ/PQ/即 /FP/\ G(x-h, y-k)/PQ/由已知：FP：((h - x), (k - y))PQ：((x' - x), (y' - y))可得：/(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)\tan∠FPQ = ----------------------/(x'-x)²+(y'-y)²\\式子两边同乘以(x'-x)²+(y’-y)²即 /(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)(x'-x)²+(y'-y)²\t an∠FPQ = ------------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²)²\\即/(h-x)y'+(k-y)x'-(h-x)y-(k-y)x\tan∠FPQ = -----------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²\\将已知带入即可得tan∠FPQ = 0即点F、P、Q三点构成的三角形为钝角，即证明了抛物线具有经典性质的焦点弦性质。
焦点弦及其性质
焦点弦及其性质1．抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。
2．抛物线焦点弦的性质：若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（p2，0）的直线交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则①y1y2＝－p2；②x1x2＝p24；③|AB|＝x1＋x2＋p；④|AB|＝2psin2θ（其中θ为直线的倾斜角）；⑤1|AF|＋1|BF|＝2p；⑥过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900；⑦以弦AB为直径的圆与准线相切。
证明：①当直线过焦点且垂直于x轴时，A（p2，p）、B（p2，－p），因此y1y2＝－p2成立；当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k≠0，直线AB的方程为：y＝k（x－p2）；由此的x＝yk＋p2；把x＝yk＋p2代入y2＝2px消去x得：ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2②∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴y12＝2px1，y22＝2px2；两式相乘得(y1y2)2＝2px1·2px2∴p4＝4p2x1x2；从而x1x2＝p2 4③过A、B两点作准线x＝－p2的垂线，垂足分别为A/、B/，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p④当θ＝900时，显然成立；当θ≠900时，，则直线AB的方程为：y＝k（x－p2）；把y＝k（x－p2）代入y2＝2px消去y得：k2x2－p(k2＋2)x＋k2p24＝0；x1＋x2＝p(k2＋2)k2，x1x2＝p24；|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝2p(1＋k2)k2＝2p(1＋tan2θ)tan2θ＝2psin2θ。
⑤∵A（x1，y1）、B（x2，y2）∴1 |AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2 (x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋pp 24＋p 2 (x 1＋x 2)＋p24＝x1＋x2＋pp 2(x1＋x2＋p)＝2p⑥过A、B两点分别作准线的线，垂足分别为A/、B/，由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AA/|，|BF|＝|BB/|∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA由∵AA/∥BB/∴∠B/BF＋∠A/AF＝1800即：1800－2∠B/FB＋1800－2∠A/FA＝1800∴∠B/FB＋∠A/FA＝900（7）N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/、N/，∵N为线段AB的中点，则|NN/|＝|AA/|＋|BB/|2＝|AF|＋|BF|2＝|AB|2∴以AB为直径的圆与准线相切。
焦点弦公式抛物线
焦点弦公式抛物线焦点弦公式是数学领域中的一项非常重要的定理，尤其在抛物线的研究中，常常被广泛应用。
今天，我们就来详细探讨一下焦点弦公式在抛物线上的具体应用。
首先，我们需要了解一下抛物线的基本定义。
抛物线是平面解析几何中一个很重要的图形，它的轨迹是由一个动点在平面上沿着一定轨迹以恒定速度运动时所形成的。
而这一轨迹通常是由一个定点（即焦点）和一条直线（即准线）所决定的。
接着，我们来看一下焦点弦公式的具体表达方式。
在抛物线上，假设有两个点A和B，它们分别位于抛物线上的两条直线上。
同时，假设抛物线的焦点为F，准线的方程为y=kx，其中k是任意实数。
那么，焦点弦公式的表达式可以写作：AB²=4(FD)²+(AD-BD)²其中，D是平面上任意一点的坐标，AD和BD分别是点A和点B 与准线的距离。
通过这个公式，我们可以用抛物线上的任意两个点的坐标来计算它们之间的距离。
这个公式广泛应用于计算抛物线上的曲线长度和弧长，对于抛物线的研究具有非常重要的意义。
除此之外，焦点弦公式还可以用于计算抛物线切线的方程。
这里引入一个概念——抛物线的几何性质。
抛物线的切线与焦点之间的连线、切点的切线和准线平行。
通过焦点弦公式，我们可以先求出点A和点B之间的距离AB，然后再根据几何性质求出焦点F、直线y=kx上的一点C以及线段AC和BC的长度，接着，我们就可以通过线段AC的长度和准线的斜率求出点A的切线方程y=ax+b，同理可以得到点B的切线方程。
在许多实际问题中，这种方式找出抛物线的切线方程非常有效，因为这样做可以大大减少我们的计算时间和复杂度。
总之，焦点弦公式在抛物线的研究中发挥了重要作用，无论是在计算曲线长度、弧长还是求解切线方程等方面，这个公式都具有非常强的应用价值。
我们需要在学习和研究抛物线的过程中深入理解并认真应用焦点弦公式，才能真正掌握抛物线的本质特性和用途。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
椭圆焦点弦公式推导
椭圆焦点弦公式推导
对于焦点△f1pf2，设∠f1pf2=θ，pf1=m，pf2=n；则m+n=2a，由余弦定理：（f1f2）^2=m^2+n^2-2mncosθ ，即4c^2=（m+n）^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn（1+cosθ），所以mn=2b^2/（1+cosθ）。
在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类
似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形；
在椭圆的顶焦点三角形中存有许多与椭圆焦点三角形二者相似的几何特征，蕴涵着椭
圆很多几何性质，在全国各地的中考演示试卷及低考试题中，都曾发生如在“顶上焦点三
角形”为载体的问题；本文对椭圆的顶焦点三角形的性质予以概括与剖析。
焦点弦公式推导过程
焦点弦公式推导过程1. 椭圆焦点弦公式推导。
- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)-b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
- 设直线与椭圆交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程y = k(x - c)代入椭圆方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，得到：- frac{x^2}{a^2}+frac{k^2(x - c)^2}{b^2} = 1。
- 展开并整理得(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2) = 0。
- 根据韦达定理，x_1+x_2=frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2}，x_1x_2=frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 弦长| AB|=√(1 + k^2)| x_1-x_2|。
- 先求(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2。
- 将x_1+x_2和x_1x_2的值代入可得：- (x_1-x_2)^2=(frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2})^2-4frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 化简得(x_1-x_2)^2=frac{4a^2b^4(1 + k^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}。
- 所以| AB|=√(1 + k^2)·frac{2ab^2}{a^2k^2+b^2}。
- 当直线斜率不存在时，直线方程为x = c，代入椭圆方程得y=±frac{b^2}{a}，此时弦长| AB|=frac{2b^2}{a}。
2. 双曲线焦点弦公式推导（以焦点在x轴为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)+b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
抛物线焦点弦的性质及其应用
抛物线焦点弦的性质及其应用2000.1～2口知识应用抛物线焦点弦的性质及其应闻广东省湛江一中(524038)王增生抛物线焦点弦具有不少性质,均散见在各类书刊上.本文将系统地归纳集中,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的,更深刻的了解.从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.1.焦点弦(通径)的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行)被抛物线截得的线段,叫做抛物线的焦点弦,如图(1).线段…D图B叫做抛物线Y=2px(户>O)的焦点弦?当AB垂直于抛物线的对称轴时.AB叫做抛物线的通径.2.焦点弦的性质定理l抛物线焦点弦长等于2户(1+古)或.并且以通径长为最小,最小值为2户.(其中,S1n.口或口为焦点弦的斜率或倾斜角O.<a<180.)证:AB所在直线为y=k(x一号)代人y2—2px,整理得:屉2X2--(屉:+2)户+:o.这里.+:=(1+吾)户.据图(1)和抛物线的定义知,IABI---- IAFI+II=laAI+IBBI=十号)+(z十号)=2户(1+吉)或令^=tg口,则IABI=2户(1+ 去)=i2_nL:.显然当屉+..或a专时,焦点弦AB即为通径,其长度为最小值2户.定理2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数譬和一户.证:由图(1),不妨设A(1,y.),B(.2,Y2),据定理1证明过程知??.=等,将y=k(x一号)(≠o)改写成=T1(+譬)代人2=2px,整理得亭大界(一由It)一2py--/,k=O,.Y1Y2=一声.定理3抛物线焦点弦的两个蛸点在准线上的射影和焦点的莲线互相垂直.证明:如图(2)记A,B分别是焦点弦A(,y1),B(:,Y:)在准线上的射影,则,(一,y1),B(一粤,y2).因为kA'F=二,Kt,=?警JI.,_一A/….一竣.2)及定理2知?弛=--.I'可得屉,,'kB'F~--1,...AF上BF.定理4抛物线焦点弦为直径的圆必切此抛物线的准线.证:如图(3),M为弦AB的中点,A,M:B在准线=一号上的投影分别是A,M,B,据抛物线的定义,得IBFI=IBBl,J;_一lAFI=lAA,I,IABl=f从I+fBB1.村为梯形ABBA的中位线,...IMMI=÷(IAAI+I●1船1)=÷IA引,焦点弦为直径的圆必与准线相6 切..定理5抛物线焦点弦的两个端点的切线互相垂直.并且交点必在准线上.让:郊幽【4),凼切点锾AB过焦点F(詈,0),以由定理2知1.y2一户?又屉柚,屉=蚩?..屉柚'鼬==兰一1,...AQ~BQ,故有切线百相垂富.I/.5l数掌大世界(一巾版)设两切线的交点为Q(x.,Y.).易知切点弦方程为=户(+Xo).将(告,O)t~A,得户(Xo+告)=0.-..0=一告,即Q(.,.)在准线一一告上.特别地,当焦点弦为抛物线的通径时,其切线的交点即为对称轴与准线的交点.定理6如果抛物线两条切线的交点在准线上.则切点弦必为焦点弦.证;由定理5证明过程知,切点弦的方程为Y oY=P(+0).令=0,则=一.因为点Q(0,)在准线上,..一一告.一告,即切点弦必过焦点.3.应用举例例1设.为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦.已知lOFl—a,lPQl一6.求/xOPQ的j,r.图(5)面积.(91年全国高中联赛试题)解:由题意知P一2a,所以抛物线可设为Y=4n(n>0)据定理1,lQ『=.sinn一旦鱼,记Y,Yz分别为P,Q两点的纵坐标,则S△P0.=÷l OFl(1Ytl+lY21)一÷lOFllPQl?sina=÷absinO一.~/,.?例2抛物线Y=4p(+户)(户>0)中有两条过原点且互相垂直的直线分别交抛物线于A,B,C, D,试求IABl+lCDl的最小值.解:设AB与抛物线的对称轴OX的倾斜角为n (0,<180.),由坐标平移性质知,原点.恰为抛物线的焦点F?因此由定理1知lABl=,ICDI=4p(0.<口-(180.)...IABI+ICDI一4户(sin+COS'口'口)=≥16户.这里当且仅当n一7r一_~347r时取等号,.'.1ABl+lCDl的最小值是16p.例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R.求证:lFRl=÷lPQl(97广东赛题)证:为不失一般性,设抛物线方程为Y=2px(户>0)如图(6),由定理1知,lPQl一乞.直线PQ的S2?2000.1～2-q参数方程为{专+0s(f为参数).代入22(y=tsina2px整理得t2sin口一2ptcosa--p=0.依题意,lFl=1l:1一....IFRI一:一1lPQ1.例4如图(7),A,B为抛物线Y一2px焦点弦AB在准线上的射影,Q是焦点弦端点的两条切线的交点.求证,Q,K,F,S四点共圆.证:由定理3知AF上BF,由定理5,AQJ-BQ,所以Q,K,F,S四点共圆.例5过抛物线Y一4x的焦点F弦AB的中点的纵坐标为4,求AOB的大小.(o为坐标原点)L'..《JF..<马图(7)证:由定理5易知AOB必为钝角,lOAf=} +},lOBl一l+Yl,lABl:(l—2)+(—Y2),一兰兰±!而~/(l2)+(lY2)+(lY2)+(2Y1)由定理2知12—1,YlY2=一4且一lY2,Yl2,一0.'.COSAOB一——=====兰l-=~/17-t-y~-t-y;.:一一3~/17+(l+她)一2ylY2因为Yl+Y2=8,-..COSAOB=一—,即,.~/890.fAOB一一arccos—兰=.~/89例6从抛物线=2px的准线上任取一点P,作抛物线的两条切线PA,PB,A召为切点.求/xPAB外接圆面积的最小值.解:由定理6知,切点弦即为焦点弦AB.由定理5知,焦点弦AB为直径的圆必与准线相切...-点P 即为直线=一要和以A8为直径的圆相切时的切●l点,再由定理1知,当焦点弦为通径时,△APB的外接圆面积将最小.此时R—P,因此面积最小值为玎户.例7如图(8),从抛物线Y一2px(户>O)的准线上一点Q引两条切线QA,QB,A,B为切点.且A,B在准线上的射影为D,D,连结QF.求证:(1)DQA:AQF,FJ:D——…//Q\——图(8)一BQD,(2)线段IAFI,IQFJ,IBFI成等比数列.证:(1)记点Q(一鲁,Y o).由定理6知,切点弦AB必过焦点F,.AB方程可写为一(一等),一一,又.,一Y o,五.五.,一一1,?QF上AB.由抛物线定义知IAFI=IADI,IBFI=IBDI,.'.AQ,BQ分别平分FQD,FQD,...ADQ:AQF,BQF=BQD.(2)由定理5知AQ上BQ,.在Rf/xAQB中有fOFI=IAF}.IBFI,故lAFI,IOFI,lBFI成等比数列.例8定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M.求点M到Y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.解:这是87年高考理科的一道压轴题,解法甚多,如果用上述定理解可以说比任何一种方法都简捷明快得多.事实上,点M到Y轴的距离最短,等价于以AB为直径的圆的圆心到准线一一÷的距离最短,由定理4知当线段AB经过焦点(÷,o)且以AB为直径的圆恰好与准线相切,此时易知圆的半径为R—llABl=32....点M到轴最短距离为3一1一C.÷.由定理5知,焦点弦端点的切线交点必在准线上....其中必有FMY.,注意到切点弦的斜率五=A._一2z一,又五=五一=一一一,即一....一士.因此所求点M的坐标为(辜,士).口学生习作数学大世界(■{ll版)甥发觉陶锚解江西莲花中学高三)(337100)周雁一,理解性错解例1设,(,z)一1+2+3+…+,z,求lira器的值错解:..'f(n)=1+22"+…+,z一÷(+1)(2n+1),(,z)]一(1+2+…+,z);÷,z(,z+1).而f(nz)==2(1+)(2+)——_一03n(1+)析':这是由于对f(n)的理解而导致的错解.其实,f(n)表示前,z个自然数的和,即f(n.)一1+2 +…+(,z2—1)+,z2一÷,z(,z+1),故告=2.,例21+2i是方程+tx+8=0的一个根,求t的值.错解:...1+2是方程的一个根,所以1—2i也是方程的一个根,故t一一((1+2)+(1—2)]=一2.析:这是由于把t错认为是实数,而本题并没有说明t是实数,其实,(1+2)+t(1+2i)+8—0,.t 1—4+4+85+4i6i一13一—主一一丁二,忽视定义域而导致的镶解例3函数,()的定义域关于原点对称,且对于定义域中任意两个不同的值.,,都有f(x一)=今毒,求,)是何种函数?错解:设是定义域中的一个值,令=0,一得f(--x)=再令Xl—,=0得,,)一今:一一一,c—...厂)是奇函数.析:显见,函数,(奎)的定义域不一定包含零. 正解:由已知式fCT--X一今毒,说明-与z的差.--X一在定义域内,因其它义域是关于原点对称的,所以一=z—也在定义域内,则有f(一.)f7(x2)f=(x7z)+1一一f(x1),(2)+1一f(x2)一f(x1)于是f(xl--X2)+f(x2一1)一0即f()+f(--)=0.因此,,()是奇函数.53。
椭圆焦点弦性质总结
椭圆焦点弦性质总结椭圆是一种非常重要的几何图形，具有许多特殊的性质。
其中，椭圆焦点弦性质是我们在研究椭圆时经常遇到的一个重要概念。
本文将对椭圆焦点弦性质进行总结和讨论。
1. 定义椭圆焦点弦是连接椭圆焦点和椭圆上任意一点的直线段。
椭圆焦点弦具有以下性质：1.1 焦半径定理椭圆焦半径定理指出，椭圆焦点弦在与椭圆法线垂直的方向上的投影长度相等。
具体而言，对于一个椭圆，任意一条椭圆焦点弦与该弦所在直线的法线的垂直投影的长度都相等。
1.2 焦弦定理椭圆焦弦定理说明，对于一个椭圆，椭圆焦点弦遵循如下规律：从椭圆上任意一点，经过焦点引出两条切线与椭圆焦点弦的夹角之和等于π/2弧度。
换句话说，对于椭圆上的任意一条焦点弦，该焦点弦上任意一点与该点的切线的夹角的和等于直角。
2. 性质证明以上两个椭圆焦点弦性质的证明可以通过数学方法进行。
对于焦半径定理，假设椭圆的焦点分别为F1和F2，椭圆上一点为P，直线FP与平行于x轴的直线交于点M。
利用三角关系可以证明，焦点弦PF1与MF1的投影长度相等。
同样，可以证明焦点弦PF2与MF2的投影长度也相等。
因此，椭圆焦点弦在与椭圆法线垂直的方向上的投影长度相等。
对于焦弦定理，可以通过利用椭圆的定义和基本几何知识进行证明。
具体证明的过程相对复杂，需要利用到椭圆的参数方程和对称性等性质进行推导。
3. 应用椭圆焦点弦性质在数学和工程应用中具有重要意义。
在数学领域，椭圆焦点弦性质可以用于求解椭圆的参数方程和相关问题的解析解。
在工程领域，椭圆焦点弦性质可以用于椭圆形的设计和布局。
例如，在光学系统中，椭圆焦点弦性质可以用于设计椭圆镜片和椭圆反射器等光学元件。
此外，椭圆焦点弦性质还可以推广到其他曲线如抛物线和双曲线等。
这些曲线的焦点弦性质都有其特殊的几何意义和应用价值。
4. 结论椭圆焦点弦性质是椭圆的重要几何特性之一。
焦半径定理指出椭圆焦点弦在与法线垂直的方向上的投影长度相等，而焦弦定理则说明了椭圆焦点弦与椭圆上的切线夹角的性质。
焦点弦的常用公式
当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
（完整版）抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。
初中数学-圆锥曲线焦半径体系-公式与证明-
规定半通径p =b 2a圆锥曲线焦半径体系1.椭圆的焦点弦：若过焦点的直线与椭圆相交于两点A 和B ，∠AF1F 2为α，则称线段AB 为焦点弦。
AF 1 =b 2a −c cos α=p 1−e cos αBF 1 =b 2a +c cos α=p 1+e cos α1AF 1 +1BF 1=2p ①如图，当焦点弦过左焦点时，焦点弦的长度AB =2ab 2a 2−c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α；当焦点弦过右焦点时，焦点弦的长度AB =2ab 2a 2−c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α．② 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为AB =2b 2a．③4a 体:过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F 1的弦AB 与右焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是4a ；证明：(1)AF 1 +AF 2 =2a ;BF 1 +BF 2 =2a ，故AB +AF 2 +BF 2 =4a ；(2)设AF 1 =m ;BF 1 =n ;AF 2 =2a -m ;BF 2 =2a -n ;由余弦定理得m 2+2c 2-2a -m 2=2m ⋅2c cos α；整理得AF 1 =b 2a -c cosα=p 1−e cos α同理：n 2+2c 2-2a -n 2=2n ⋅2c cos 180°-α ；整理得BF 1 =b2a +c cos α=p 1+e cos α两式相加得，则过焦点的弦长：AB =m +n =2ab2a 2-c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α2.双曲线的焦点弦问题：双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，弦AB 过左焦点F 1(A 、B 都在左支上)，AB =l ，则△ABF 2的周长为4a +2l (如下图左)AF 1 =b 2a −c cos α=p 1−e cos αBF 1 =b 2a +c cos α=p 1+e cos α1AF 1 +1BF 1=2p 焦半径公式：当AB 交双曲线于一支时，与椭圆公式一样。
焦点弦定理
焦点弦定理
焦点弦定理，是平面几何中一个重要的定理，它是指在一个圆内，连接两点的弦所构成的角度相等，如果这些弦是相交的，则相交点处所产生的四个角对应的弧所构成的角度也相等。
这个定理可以用来解决各种各样的几何问题，包括计算弦长、角度等等。
下面我们来看看焦点弦定理的一些具体应用。
我们可以用焦点弦定理来计算弦长。
假设一个圆的半径为r，它的两个弦的交点到圆心的距离分别为d1和d2，那么这两个弦的长度分别为2*sqrt(r^2-d1^2)和2*sqrt(r^2-d2^2)。
这个公式的证明可以使用焦点弦定理，由于两个弦的交点到圆心的距离相等，因此可以得出这个公式。
焦点弦定理还可以用来计算角度。
假设一个圆的半径为r，它的两个弦分别为AB和CD，它们的交点为E，那么可以证明角AEB=角CED。
这个定理的证明可以使用初中数学中学过的相关角、交角的定义和性质来证明。
在实际应用中，这个定理可以用来计算各种各样的角度，例如外切角、内切角等等。
焦点弦定理还可以用来解决一些几何问题。
例如，我们可以使用这个定理来证明圆的切线与半径所构成的角度为90度。
证明的过程比较简单，只需要使用焦点弦定理以及圆的切线与半径垂直的性质即可。
焦点弦定理是平面几何中非常重要的一个定理，它可以用来解决各种各样的几何问题。
在实际应用中，我们需要灵活运用这个定理，并结合其他几何知识来解决各种问题。
同时，我们也需要注意证明过程中的细节和思路，以免出现错误或者漏洞。
焦点弦的八大结论
焦点弦的八大结论
焦点弦是一种几何学中的概念，它是指一个圆上的两个点和这个圆的直径所构成的直线。
焦点弦有着许多有趣的性质和结论，下面我们来一一探讨。
一、焦点弦平分圆周角
焦点弦所构成的直线平分圆周角，这是焦点弦最基本的性质之一。
这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。
二、焦点弦垂直于半径
焦点弦与圆的直径垂直，这是焦点弦的另一个重要性质。
这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。
三、焦点弦平分圆的面积
焦点弦所构成的直线平分圆的面积，这是一个非常有趣的结论。
这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。
四、焦点弦是圆的切线
焦点弦是圆的切线，这是一个非常重要的结论。
这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。
五、焦点弦的长度等于圆的直径
焦点弦的长度等于圆的直径，这是一个非常简单的结论。
这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。
六、焦点弦的长度等于两个切线之和
焦点弦的长度等于两个切线之和，这是一个非常有趣的结论。
这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。
七、焦点弦的长度等于两个切线之差
焦点弦的长度等于两个切线之差，这是一个非常有趣的结论。
这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。
八、焦点弦的长度等于两个半径之积除以焦距
焦点弦的长度等于两个半径之积除以焦距，这是一个非常有趣的结论。
这个结论可以通过画出圆心角和焦点角来证明。
焦点弦是一个非常有趣的几何学概念，它有着许多有趣的性质和结论。
通过研究焦点弦，我们可以更好地理解圆的性质和几何学的基本原理。
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有关抛物线焦点弦问题的探讨——参考资料过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2(结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin2p AB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot p y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-ppy yθ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦θθθ22212sin2)cot1(2cot1p p y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin21sin22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4：)(832为定值p ABSoAB=∆()8s i n 2s i n s i n 2221s i n 21s i n 21s i n 21s i n 2132220P ABS pp p AB OF BFAF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x py x py x ==∴==结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知222111AB BFAF BB AA MM=+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFAF AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214MM BM AM=+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FMA AFA∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121ABBM AM=+()()()2121211242MMMMBB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为py p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k py y p p k =-=-=所以三点共线。
同理可征（2）（3）（4）结论10：pFBFA211=+证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为E,θ的倾斜角为因为直线L则θθcos 1cos -=∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER PAFθcos 11-=∴同理可得PBFθcos 11+=∴pFBFA211=+结论11：证:AA B B EA E B A A FA B B BF FABF EA E B AA EF BB 1111111111,////=∴===∴EB B EA A EB B 90111111∠∠∴∆∆∴︒=∠=∠＝相似于EA A E BB E AAPEQEF BEF AEF 90EB B BEF EA A AEF 11∠∠∠∴︒∠∠∠∠平分角即＝＝＋＝＋0KKX BE AE BEAE BFAF BEAE＝＋轴对称关于和直线直线∴=∴(4) 90AEB FB EF AF 2︒∠∴=＝＝＝时，当πθ2p x y 2p -x k y L 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠将其代入方程的方程为时，设直线当πθ()k2kp x x )y ,B(x ),y ,A(x 04p k 2)x p(k-xk 2221221122222+=+=++则设得x 1x 2=4p2假设122y 1K K BE AE 2211BE AE -=+⋅+∴⋅⊥p x y p x ＝－则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2p x 2p x -2p -x k 2p -x k 2p x 2p x -y y 21212121即()()()()()()()222222222212122121k2p01k4p1kx x 2p x x 1kkk kp-+=+∴=++-+-+∴A EB E A F A E(1)P E Q (2)(3) K K 0B FB E(4) A E B E , A E B E22E F ππθθ∠=+==⊥≠线段平分角当时当时不垂直于p21|CD |1|AB |1=+结论得证假设错误不可能∴∴∴=-∴02结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则推广与深化：深化 1：性质5中，把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴上一点E （a,0），则有pa 2y y 21-=．证：设AB 方程为my=x-a ，代入px 2y 2=．得：0ap 2pmy 2y 2=--，∴pa 2y y 21-=．深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴，AB 的中垂线交x 轴于点R ，则21|AB ||FR |=证明：设AB 的倾斜角为a ，直线AB 的方程为：)2p x (tga y -=，代入px 2y 2=得：px2)4ppx x(a tg 222=+-，即：4p)a pctg 2p (x x222=++-．由性质1得a sinp 2a pctg 2p 2p x x |AB |2221=+=++=，又设AB 的中点为M ，则|acos apctg||acos 2p 2x x ||FM |221=-+=，∴asinp|a cosa pctg ||a cos ||FM ||FE |222===，∴21|AB ||FR |=．深化3：过抛物线的焦点F 作n 条弦n n 2211B A B A B A ⋯、、，且它们等分周角2π，则有（1）∑=⋅n1i ii |FB||F A |1为定值；（2）∑=n1i i i |B A |1为定值．证明：（1）设抛物线方程为aFx A ,cos 1p 1=∠θ-=．由题意π-+=∠⋯π+=∠π+=∠n1n a Fx A n 2a Fx A ,na Fx A n 32，所以222211pasin pacos1p)a cos(1pacos 1|FB ||F A |1=-=+π-⋅-=⋅，同理22nn 2222p)n1n a (sin |FB||F A |1,,p)na (sin|FB||F A |1π-+=⋅⋯π+=⋅易知2n )n1n a (sin)n2a (sin)na (sina sin2222=π-++⋯+π+π++，∴222n1i 2222ii p2n p)n1n a (sinp)na (sin pasin |FB||F A |1=π-++⋯+π++=⋅∑=．（2）∵asinp 2acos1p 2)a cos(1pacos 1p |B A |2211=-=+π-+-=，∴p2)n1n a (sin |B A |1,,p2asin|B A |12n n 211π-+=⋯=，∴p4n p2)n1n a (sinp2)n a (sin p 2asin|B A |12n1i 22i i =π-++⋯+π++=∑=．。