七年级数学上册 第三章 实数本章总结提升同步练习 (新版)浙教版

第三章 实数

本章总结提升

问题1 平方根和立方根

平方根与算术平方根有什么关系？平方根与立方根有什么关系？开方运算与乘方运算是什么关系？如何求一个数的平方根和立方根？

例1 (1)求279，⎝ ⎛⎭

⎪⎫－152，16，（－3）2的平方根和算术平方根；

(2)求（－8）2

，－27的立方根．

例2 已知某正数的两个平方根分别是2a －7和a ＋4，b －12的立方根为－2.

(1)求a，b的值；

(2)求a ＋b 的平方根．

【归纳总结】 开方运算与乘方运算互为逆运算，注意理解两者之间的互逆关系． 问题2 实数的分类与识别

什么是无理数？什么是实数？你知道有哪三种具有明显特征的无理数类型？

例3 把下列各数填入相应的横线内：

5，3.1416，3－64，0.04，π，－0.2•，－

22，1.0121121112，23

，1.212212221…(两个“1”之间依次多一个“2”)． 属于有理数的有：______________________________________________；

属于无理数的有：______________________________________________.

【归纳总结】 三种具有明显特征的无理数类型：

一是开方开不尽的数；二是化简后含π的数；三是有特殊结构的数[如－0.5252252225…(两个“5”之间依次多图、一个“2”)]．

问题3 实数的运算

实数的运算顺序是什么？它和有理数的运算顺序有什么异同？实数运算的结果有什么特点？

例4 计算：(1)|－3|－16＋12

×3－8＋(－2)2；

(2)（－5）2＋3

－8－6×[(－3)2＋(

3

－3)3]．

【归纳总结】关于实数的运算，要把握以下两点：

(1)有理数的运算法则和性质在实数中仍然适用．(2)无理数的运算有两种形式，一种是保留无理数形式，即保留准确值；另一种是取近似值，把无理数运算转化为有理数运算，用哪种形式要依据题目的要求而定．

问题4 数形结合思想在实数中的运用

当借助数轴解决数学问题时，可以运用数形结合思想解决问题，应该如何利用数轴进行实数的化简呢？

例5 实数a，b在数轴上的对应点A，B的位置如图3－T－1所示，化简：a＋b－a2

－3

（a－b）3.

图3－T－1

【归纳总结】通过数轴比较出各数的大小，然后利用绝对值、平方根、立方根的性质

去绝对值符号和根号．

详解详析

【整合提升】

例1 解：(1)∵279＝259，⎝ ⎛⎭⎪⎫±532＝259

， ∴279的平方根是±53，算术平方根是53

. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝125，⎝ ⎛⎭⎪⎫±152＝125

， ∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫－152

的平方根是±15，算术平方根是15. ∵16＝4，(±2)2＝4， ∴16的平方根是±2，算术平方根是2. ∵（－3）2＝9＝3，(±3)2＝3， ∴（－3）2的平方根是±3，算术平方根是 3. (2)∵（－8）2＝8，23＝8， ∴（－8）2的立方根是2.

∵(－3)3＝－27，

∴－27的立方根是－3.

[点评] (1)求平方根的方法是逆向思维的方法，即根据平方根的概念，利用平方运算求出“平方后得到已知数的是哪个数”，也就是利用“开平方”与“平方”互为逆运算这个关系；(2)求带分数的平方根时，要先把带分数化为假分数；(3)对于含有乘方运算和根号(开方运算)的数，求其平方根时，宜先做完运算再求所得数的平方根，以防发生错误，如求⎝ ⎛⎭

⎪⎫－152的平方根，不可把题中的“平方”与“开平方”相抵消，求16的平方根则要防止变成求

16的平方根，而求（－3）2的平方根，要防止错答为“3”或“±3”；(4)求（－8）2的

立方根要防止错答为“－2”；(5)防止认为－27的立方根不存在的错误．

例2 解：(1)由题意得2a －7＋a ＋4＝0，解得a ＝1；b －12＝－8，解得b ＝4.

(2)因为a ＋b ＝5，所以a ＋b 的平方根为± 5.

例3 解：属于有理数的有：3.1416，3－64，0.04，－0.2•

，1.0121121112，23；

属于无理数的有：5，π，－

22，1.212212221…(两个“1”之间依次多一个“2”)． 例4 解：(1)原式＝3－4＋12

×(－2)＋4＝3－4－1＋4＝2. (2)原式＝5－2－6×(3－3)＝3.

例5 解：由图可知，b<0

所以||a ＋b －a 2－3（a －b ）3

＝－a －b －a －(a －b)

＝－a －b －a －a ＋b

＝－3a.

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