整除问题及余数与同余问题
余数与同余问题
余数同余问题1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，那么除数为：2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余：3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数是：4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这个自然数是：5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是：10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。
11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为：14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是：17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。
数字的整除与余数问题
数字的整除与余数问题在数学中，我们经常会遇到整除和余数的问题。
在解决这类问题时，我们需要了解整数的性质以及如何利用整除和余数进行运算。
本文将介绍整除和余数的概念，并提供一些解决这类问题的方法和技巧。
1. 整除的定义整除是指两个数相除的结果恰好等于整数，即没有余数。
如果一个数能被另一个数整除，我们就说它是另一个数的倍数。
例如，12能被3整除，因为12 ÷ 3 = 4，其中没有余数，所以我们可以说12是3的倍数。
2. 余数的定义余数是指两个数相除后剩下的不完整部分，即除不尽的部分。
我们可以使用符号“%”表示余数运算。
例如，对于13 ÷ 5，我们得到商为2和余数为3，可以写成13 % 5 = 3。
3. 整除与余数的性质- 如果一个数能被2整除，那么该数的个位数是0、2、4、6或8。
- 如果一个数能被3整除，那么该数的各个位数之和也能被3整除。
- 如果一个数能被9整除，那么该数的各个位数之和也能被9整除。
4. 解决整除与余数问题的方法和技巧- 除法法则：用一个数除以另一个数，可以将被除数在每一步中逐位除以除数，得到商和余数。
然后将商的各位数相加得到答案。
- 因式分解法：如果需要找到某个数的因数，可以对这个数进行因式分解，以便更好地理解和解决问题。
- 逆向思维：有时候，我们可以通过推理和逆向思考来解决整除和余数的问题。
例如，通过观察某一特定规律，我们可以确定一个数除以另一个数的余数。
5. 应用举例问题1：将一个3位数的个位、十位和百位依次相加，得到的结果可以被3整除吗？解决方法：根据整除性质2，如果一个数能被3整除，那么该数的各个位数之和也能被3整除。
由此，我们可以判断3位数的个位、十位和百位依次相加的结果是否能被3整除。
问题2：将一个4位数的百位数改成0，十位数改成1，个位数改成2，得到的新数能被9整除吗？解决方法：根据整除性质3，如果一个数能被9整除，那么该数的各个位数之和也能被9整除。
余数与同余解析
六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数＝商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b 除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b 的差能被m 整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7＝□……□ 余数要比除数7 小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数＝商×除法＋余数，算得：0×7＋0＝0；1×7＋1＝8；2×7＋2＝16；3×7＋3＝24；4×7＋4＝32；5×7＋5＝40；6×7＋6＝48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37 除余17，被36 除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37 余17，当然17 即可满足。
2、很显然，这个数除以36 并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37 的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36 的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36 要余3，现在只是余17，即达到36 后再多出3，即余39 （注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22 个37. 6、结果是17+22×37 即为答案。
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
余数性质及同余定理答案
知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。
除法运算中的整除与余数知识点总结
除法运算中的整除与余数知识点总结在数学中，除法是一种基本的运算符号，用于将一个数称为另一个数的倍数。
在除法运算中，我们常常遇到两个关键概念：整除和余数。
本文将对整除和余数的概念进行详细解释，并探讨其在数学运算和实际问题中的应用。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
我们可以用符号“|”来表示整除关系，例如，如果一个数a能够被另一个数b整除，则记作a | b。
例如，4 | 12 表示12能够被4整除，即12 ÷ 4 = 3，没有余数。
整除的应用非常广泛。
在数论中，整除是研究素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数的基础。
在实际应用中，整除的概念经常用于整数的倍数关系、约数关系等。
二、余数的概念余数是指在除法运算中剩下的不够被除数整除的部分。
余数常常用符号“%”来表示。
例如，如果一个数a除以另一个数b得到的余数为r，则记作a % b = r。
例如，13 % 5 = 3，表示13除以5得到的余数为3。
余数的应用也非常广泛。
在计算机科学中，余数的概念经常用于判断一个数是否为偶数或奇数，进而进行条件判断。
在代数学中，余数的概念与同余关系有密切的联系。
三、整除与余数的性质与定理1. 若a | b 且 b | c，则a | c。
这是整除关系的传递性质。
2. 若a | b 且 b | a，则a = ±b。
这是整除关系的反对称性质。
3. 若a | b 且 a | c，则a | (pb + qc)，其中p和q为任意整数。
这是整除关系的线性性质。
4. 余数定理：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
这个定理说明了除法运算总能得到一个唯一的余数。
五、整除与余数在实际问题中的应用整除与余数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它们在实际问题中也起着重要的作用。
1. 日历计算：通过整除和余数的概念，我们可以计算任意一天是星期几。
奥数余数和同余讲义及答案
数学教师解题能力培训之四数的整除（4）余数和同余教室姓名学号【知识要点】1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。
例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。
3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。
【典型例题】例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？解：因为：被除数=除数×8+16，并且被除数+除数=463―8―16＝439，所以除数=（439－16）÷（8+1）=47，被除数=47×8＋16=392.例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？解：被3除余2的数有2，5，8，11，…其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而［3，5］=15，所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。
例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？解：［3,4,5,6］=60, 60－1=59(人).例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？解：设除数为m,正确的商位q，余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m，商为q－3，余数仍为r。
因为：171=m×q+r117= m×（q－3）+r于是171－117=（m×q+r）－（m×q－3 m+r）得m=18.【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？解：这个三位数除以5余4，所以它的个位数字是4或9，因为个位数字是百位数字的3倍，所以个位数字只能是9，百位数字是3.因为这个数除以11余3，所以它的十位数字=3+（9－3）=9，这个三位数是399.【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？解：由数的整除性质和同余性质可推知：（1）3的倍数的任何次方（0除外）除以3的余数为0，可知33+66+99除以3余0.（2）不是3的倍数的偶次方除以3的余数为0，可知22+44+88除以3余1.（3）11除以3余1，55与25对于3同余，它们除以3余2. 77与17对于3同余，它们除以3余1.所以（1+2+1）÷3=1……1。
六年级带余数除法和同余问题杨阳
教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课T (余数的性质和同余性质) C （求余问题典型例题）T （拓展提高）类型授课日期时段教学内容一、同步知识梳理余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
知识点1：带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:知识点2：三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
一、专题精讲例1. 求1992×59除以7的余数。
答案解析：5注：应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
数论中的整除与同余概念
数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。
整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。
同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。
首先，我们来讨论整除的概念。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。
即b能够被 a 整除而没有余数。
整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。
例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。
这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。
那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。
正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。
整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。
质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。
这个思想就是质数检验的基础。
接下来，我们来深入讨论同余的概念。
给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。
2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。
3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。
例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。
那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。
小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题
1.数论——数的整除和余数基本概念和基本性质定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。
表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
数的整除的判别法末位判别法数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
特殊用法①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
备课讲解数论中的整除与同余
备课讲解数论中的整除与同余数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
在数论中，整除和同余是重要且常见的概念。
本文将详细介绍整除与同余的定义、性质以及应用。
一、整除的定义与性质整除是数论中最基本的概念之一，它描述的是一个整数是否能够被另一个整数整除。
具体来说，如果整数a能被整数b整除，则称a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
这是整除关系的一个重要性质，可以简单地通过数学归纳法证明。
2. 整除的性质：对于任意的整数a和b，有以下性质成立：（1）a|a，即任何整数都能被它自身整除；（2）1|a，即任何整数都能被1整除；（3）如果a|b且b|c，则a|c，即整除关系满足传递性；（4）如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y为任意整数。
3. 整数的因子与倍数：如果a能被b整除且a≠b，则b称为a的因子，a称为b的倍数。
例如，4能被2整除，2是4的因子，4是2的倍数。
二、同余的定义与性质同余是数论中另一个重要的概念，它描述的是两个整数在除以同一个数后得到相同的余数。
具体来说，如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
1. 同余的性质：对于任意的整数a、b和正整数m，有以下性质成立：（1）自反性：a≡a(mod m)；（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；（4）同余关系的加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；（5）同余关系的乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2. 同余类：对于给定的正整数m，每个整数a都与某个在0到m-1之间的整数对应。
小学数学：余数问题
小学数学：余数问题余数问题，最基本的有两种：类型一：同余一个数除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么这个数最小是多少？分析：这一题的特点是，除以5，6，7的余数都是2，所以将这个数减去2，就可以被5，6，7整除，因此这个数最小是5X6X7+2=212类型二：同缺一个数除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么这个数最小是多少？分析：除以5余4，那么这个数加1就能被5整除；除以7余6，那么这个数加1也能被7整除；除以8余7，这个数加1还能被8整除。
因此，这个数加1最小是5X7X8=280，这个数最小就是280-1=279。
数学趣题：宝树上的人参果分析：3个人分要剩2个，5个人分要剩3个，7个人分也是剩2个。
这三个条件中，第一个条件和第三个条件是同余的。
先考虑这两个条件，我们就知道人参果的数量减去2可以整除3和7，也就是这个数量减去2可以整除21，因此这个数可以是21+2，42+2，63+2......。
因为5个人分要剩3个，所以这个数最小是21+2=23。
做这一题首先用的是同余中介绍的方法，然后用的是列举的方法，也就是把符合前面条件的数，一个一个列举出来，从中找出符合剩下条件的数。
如果题目既不是同余也不是同缺，那最常用的方法就是列举，列举时一般选较大的数来列举，比如上面的趣题，分析后我们知道，人参果的数量除以21余2，除以5余3。
做题时我们用除以21余2来列举，然后用除以5余3来检验；如果不这样做，用除以5余3来列举，那就是5+3，10+3，15+3，20+3，25+3......需要列举的数更多，做起来就更麻烦。
数学趣题：唐僧的经书分析：这本经书除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余7，除以9余8，这一题属于前面说的类型二。
将这本经书的页码加1，就可以整除2，3，4，5，6，7，8，9，因此页码加1后的数量是2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，根据求最小公倍数的方法，可以得出这个数量是5X7X8X9=2520，下一个公倍数是5040，超过题目要求的页码不到3000页，所以经书的页码是2520-1=2519。
初中数学竞赛余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
整除问题及余数与同余问题
整除问题及余数与同余问题整除问题及余数与同余问题姓名得分⼀、整除问题基础训练题1、六位数26AAA1能被9整除，A是⼏？2、各位数字都是5，能被21整除的最⼩⾃然数是多少？3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是⼏？4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么⽅框⾥的数字有⼏种填法？6、既能被9整除，也能被25整除的最⼩四位数是多少？7、在⾃然数5537的前后各填⼀个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是⼏？8、有⼀个⾃然数，它是⼀个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最⼤的两位数是多少？9、三个均⼩于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？10、在⼩于5000的⾃然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？12、已知⾃然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？13、三个⾃然数的乘积是1224，其中第⼀个⾃然数与第⼆个⾃然数的和等于第三个⾃然数，求第三个⾃然数是多少？14、两个数的最⼤公因数是6，最⼩公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？15、三个连续⾃然数的最⼩公倍数是360，这三个⾃然数分别是多少？16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。
17、有⼀列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？18、将分母为15的所有最简假分数按由⼩到⼤的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？⼆、整除问题竞赛提⾼题1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。
2、⼀个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最⼤的是多少？3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。
整除问题和余数与同余问题
整除问题及余数与同余问题姓名得分一、整除问题基础训练题1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。
17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？二、整除问题竞赛提高题1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。
2、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。
小学数学：余数问题
小学数学：余数问题余数问题，最基本的有两种：类型一：同余一个数除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么这个数最小是多少？分析：这一题的特点是，除以5，6，7的余数都是2，所以将这个数减去2，就可以被5，6，7整除，因此这个数最小是5X6X7+2=212类型二：同缺一个数除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么这个数最小是多少？分析：除以5余4，那么这个数加1就能被5整除；除以7余6，那么这个数加1也能被7整除；除以8余7，这个数加1还能被8整除。
因此，这个数加1最小是5X7X8=280，这个数最小就是280-1=279。
数学趣题：宝树上的人参果分析：3个人分要剩2个，5个人分要剩3个，7个人分也是剩2个。
这三个条件中，第一个条件和第三个条件是同余的。
先考虑这两个条件，我们就知道人参果的数量减去2可以整除3和7，也就是这个数量减去2可以整除21，因此这个数可以是21+2，42+2，63+2......。
因为5个人分要剩3个，所以这个数最小是21+2=23。
做这一题首先用的是同余中介绍的方法，然后用的是列举的方法，也就是把符合前面条件的数，一个一个列举出来，从中找出符合剩下条件的数。
如果题目既不是同余也不是同缺，那最常用的方法就是列举，列举时一般选较大的数来列举，比如上面的趣题，分析后我们知道，人参果的数量除以21余2，除以5余3。
做题时我们用除以21余2来列举，然后用除以5余3来检验；如果不这样做，用除以5余3来列举，那就是5+3，10+3，15+3，20+3，25+3......需要列举的数更多，做起来就更麻烦。
数学趣题：唐僧的经书分析：这本经书除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余7，除以9余8，这一题属于前面说的类型二。
将这本经书的页码加1，就可以整除2，3，4，5，6，7，8，9，因此页码加1后的数量是2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，根据求最小公倍数的方法，可以得出这个数量是5X7X8X9=2520，下一个公倍数是5040，超过题目要求的页码不到3000页，所以经书的页码是2520-1=2519。
小学奥数中的数论问题
小学奥数中的数论问题在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。
一、小学数论究包括的主要内容我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
（2）约数个数决定法则（小升初常考内容）整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常出现，属于较难的题型。
二、数论部分在考试题型中的地位在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。
在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。
出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。
三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。
有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。
可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划算。
数量关系—数学运算 必背 资料整理
数量关系—数学运算 必背 资料整理（一） 数的整除特性 一、数的整除检定被被被被被二、数的整除性质1．如果两个整数a 、b 都能被c 整除，那么a+b ／a-b 也能被c 整除2．如果两个整数a 、b 都不能被c 整除．那么a 与b 的和（或差）能或不能被c 整除．这是一个不肯定的结论。
3．如果整数a 能被c 整除，ｍ为任意整数，那么am 也能被c 整除4．如果a 、b 、c 这三个数中，a 能被b 整除，b 又能被c 整除，那么a 一定能被c 整除（这是整除的传递性）．5. 如果a 能被b 整除，a 又能被c 整除，且b 和c 互质，那么a 能被bc 整除 （二）数的约数和倍数（对于求大数之间的最大公约数问题，一般采用辗转相除法） EG ：6731÷2809＝2……1113；2809÷1113＝2……583； 1113÷583＝1……530 ； 583÷530＝1……53 ； 530÷53＝10所以6731和2809的最大公因数是53（三）同余与剩余问题一、余数性质：1．基本公式：被除数=除数³商+余数2．余数总是小于除数，即0≤d＜b二、同余问题：1．两个整数a、b,若他们除以m所得的余数相同，则称a与b对于m同余，或称a与b同余。
EG：23÷5余3；18÷5余3；则23与15同余。
2．对于同一个除数m,两个数和（差、积）的余数与余数的和同余。
EG:15÷7余1；18÷7余4；则：18+15=33,1+4=5,33÷7的余数与5同余。
18-15=3, 4-1=3,3÷7的余数与3同余。
18³15=270,1³4=4,270÷7的余数与4同余。
三、剩余问题：1．同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的数可以表示为nk+m，其中k为A、B的最小公倍数，m为同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的最小的整数。
[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法
![[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/05ad0b78d15abe23482f4dcb.png)
[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法特殊的剩余定理：核心基础公式：被除数=除数*商+余数同余问题核心口诀：“余同取余。
和同加和，差同减差，公倍数作周期”①余同：例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，则取1，公倍数作周期，则表示为：60N+1②和同：例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，则取7，公倍数做周期：则表示为60N+7③差同：例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，则取3，公倍数做周期：则表示为60N-3例题1：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？A、4B、5C、6D、7（当然可以用特殊值法）因为3+2=4+1=5所以取12+5=1717/12=1 余5剩余定理的一般情况：一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。
卡卡西解析：--------------------------------一个数除以7余3，可以把这个数字表示为7a+3，同理有5b+2 8d+67a+3=5b+27a+1=5ba=2 b=3 最小公倍数3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d（因为32C+8 肯定是8的倍数，所以不予再考虑）3c+3=8dC=735*7+17=262 262+280N一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？分析：根据同余的性质：此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。
----------------------------------解：300-262=38262-205=57（28，57）=1912 ＋22 ＋32 ＋……＋20012＋20022除以7的余数是_____。
-----------------------方法一：根据公式：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6方法二：÷7＝0…1，÷7＝0…4，÷7＝1…2，÷7＝2…2，÷7＝3…4，÷7＝5…1，÷7＝7（余数为0），，÷7与÷7余数相同，同样地，÷7与÷7余数相同，…….所以，每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1＋4＋2＋2＋4＋1除以7的余数，而（1＋4＋2＋2＋4＋1）÷7＝2（余数为0），而2002÷7＝286，所以原式能被7整除，即除以7的余数为0今天星期一，1998的1986次方天后星期几？----------------------------------1998的1986次=（265*7+3）1986次=3的1986次3^0 整除7的余数是 13^1 整除7的余数是 33^2 整除7的余数是 23^3 整除7的余数是 63^4 整除7的余数是 43^5 整除7的余数是 53^6 整除7的余数是 1由此可见，6次一循环所以：3的1986（1986/6=331，余数为0）次除7的余数为3^0/7=11+1=2。
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整除问题及余数与同余问题
姓名得分
一、整除问题基础训练题
1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？
2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？
3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？
4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？
5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？
6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？
7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？
8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？
9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？
10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？
11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？
12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？
13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？
14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？
15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？
16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。
17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？
18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？
二、整除问题竞赛提高题
1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。
2、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？
3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。
4、小红买了72本练习册，她忘了单价，只记得总价是□8.1□元（□表示她记不清的数），你知道她一共花了多少钱吗？
5、用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字只用一次）九个数字组成3个三位数，这3个数都是9的倍数，3个三位数的和要尽可能小。
这3个三位数分别是多少？
6、用0、1、2、3、4五个数字组成一个四位数，它既是3的倍数，也是4的倍数，这样的四位数一共有几个？各是多少？
7、775×765×756×，要使这个连乘积的最后四个数字都是0，在横线上填一个最小的合数，应该是多少？
8、已知自然数111555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？
9、一次活动，小学生、中学生和解放军共405人参加，他们的人数比是4：3：2。
要分组活动，且每组中小学、中学生、解放军的人数都相等，可分几组？每组中小学生、中学生、解放军各多少人？
10、在算式11×20×29×…×2000中，相邻两个因数的差都等于9，那么，乘积的末尾连续零的个数有多少个？
三、余数与同余问题基础训练题
1、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？
⑴÷85=99……
⑵÷24=56……
2、两个数相除商是4，余数是6，被除数、除数、商与余数的和是121，求被除数。
3、两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。
4、数713，1103，830，947与某一整数相除，所得余数相同（不为0），求除数。
5、某市举行大型体操会演，小学生队的人数在2000-2150人之间，排成3列则刚好，排成5列则少2人，排成7列则少4人，这队小学生共有多少人？
6、一筐梨，三三数之余一，四四数之余三，五五数之差一。
这筐梨最少有多少个？
7、今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物有几何？
8、韩信点兵：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队，末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。
求兵数。
9、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数。
10、346，304，563三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？
11、两个数被13除分别余7和10，为两个数的各被13除余几？
12、用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？
13、用1-9这九个数连续不断排列成一个100位数123456789123456789……这个100位数除以9余几？
14、一个自然数在1000至1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。
求这个自然数。
15、甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张，乙2张，丙1张，丁2张……的顺序发牌。
问最后一张（第54张）牌发给了谁？。