弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题只是分享

(4-7)
➢ 弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对
应力主轴或应变主轴无影响）
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弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
➢ 各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题
时，有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变
xy
xy
G
式中，G E 2(1 )
为剪切弹性模量
纯剪应力状态
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第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律
➢ 用相同的方法，可以导 出三维应力状态下的各
向同性均匀材料的广义 胡克定律，其形式为：
（各向同性均匀材料的 含义，即材料内部各处 的不同方向具有相同的 μ、E、G 值）
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 由式(4-6)及式(4-5)，可得
x
0
1 [(1 E
)x
]
12
E
m
1 [(1 E
)x
3m]
12
E
m
1
E
(x
m)
即：
ex 1Ex 21Gx
式中： ex=x- 0 为应变偏量分量，x xm为应力偏量分量。
用相同的方法，可得：
ey 1 Ey 21Gy
xy z E 1 [( xyz) 2(xyz)]
1E 2(xyz)
如令
x y z 3 0,x y z 3 m
则上式可写为
12
E
或
0 1E2m
(4-5)
(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的
球张量成正比，而与应力偏量无关。
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第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
弹性与塑性力学基础-第四章广 义虎克定律和弹性力学解题
§4-4 按位移求解弹性力学问题 §4-5 按应力求解弹性力学问题 §4-6 平面问题和应力函数 §4-7 圣维南原理 §4-8 叠加原理 §4-9 悬臂梁受均匀分布载荷作用 §4-10 简支梁受均匀分布载荷作用 §4-11 具有小圆孔的平板的均匀拉伸 §4-12 位错引起的应力与弹性应变能
拉伸或压缩方向：x =·x 与拉伸或压缩垂直的方向： y = z=-μ·x
式中： －弹性模量， μ－泊松比
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§4-1 广义胡克定律
2、平面应力状态:
➢ 对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下， 正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的 叠加原理是适用的。
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：
x
1 E
[(1
) x
],
xy
1 G
xy
y
1 E
[(1
)
y
],
yz
1 G
yz
(4-6)
z
1 E
[(1
) z
],
zx
ห้องสมุดไป่ตู้
1 G
zx
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第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
如引用=
E (1)(12)
并注意到 2G E
1
则有
x 2Gx
用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下
x 2Gx y 2Gy z 2Gz
xy Gxy yz Gyz zx Gzx
(4-8)
称为拉梅(Lamé)弹性常数。用体积应变表示应力时则有
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§4-1 广义胡克定律
4.1.1 问题的提出 ➢ 弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来 描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。
➢ 已学的基本方程－9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元 体的力平衡）3个，几何方程（应变－位移关系）6个。
x y
1
E 1
E
[ [
x y
( (
y x
z
)]
z )]
z
1 E
[
z
(
x
y
)]
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
(4-4)
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§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有
➢ 未知变量的个数（15）多于方程数（9）→必须研究受力物体 的应力与应变之间的关系→物理方程。对于弹性问题，即广义 胡克定律。
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4.1.2 胡克定律
1、单向拉伸（压缩）：
➢ 材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹 性的，两者之间满足胡克定律。其表达式如下：
平面双向拉（压）应力
纯剪应力状态
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§4-1 广义胡克定律
平
面
2、平面应力状态:
应
力
由于应力x的作用：
时
x方向应变为 x
的 胡
E
克
y方向应变为 x
定 律
E
由于应力y的作用： y方向应变为 y
E
x方向应变为 y E
xE 1[xx(xyz)]
即得式(4-6)的第一式 x E 1[1()x]
利用式(4-5) 便可得
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E
将其代入式(4-6)
xE 1[1()x(1E 2)]
由上式可得
x 1Ex(1)(1E2)
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4.1.3 广义胡克定律的不同形式
ez 1Ez 21Gz
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§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式
ex 1Ex 21Gx ey 1 Ey 21Gy
ez 1Ez 21Gz
➢ 因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：
ex ey ez xy yz zx1 x y z 2xy 2yz 2zx 2G
同时有x和y作用在x方向及y方向的应变为
x y
x
E
y
E
y
E
x
E
E1(x E1(y
y)(4-3)
x)
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§4-1 广义胡克定律
2、平面应力状态：
在x和y作用下，z方向的应变
εz= -μ(x＋y)/E
在剪应力作用下， X-Y 平面内的剪 应变与纯剪时相同，即：