弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题只是分享
弹塑性力学第四章答案
第四章 习题答案4.3有一块宽为a ，高为b 的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力1q 和2q 作用，见题图4.1，如不计体力，试求薄板的位移。
题图4-1解：1.设置位移函数为123123()()u x A A x A y v y B B x B y =+++⎫⎬=+++⎭（1）因为边界上没有不等于零的已知位移，所以式00,m m m m mmu u A u v v A v =+=+∑∑中的0u 、0v 都取为零，显然，不论式（1）中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。
2.计算形变势能。
为简便起见，只取1A 、1B 两个系数。
111111,u A x Au v B y B v ==== （2） 11,0,,0uuvu A B x yyx∂∂∂∂====∂∂∂∂ ()()2222111111112200222(1)2(1)a b E Eab U A B A B dxdy A B A B v v νν=++=++--⎰⎰ （3） 3.确定系数1A 和1B ，求出位移解答。
因为不计体力()0X Y ==，且注意到1m =，式4-14简化为11UXu ds A ∂=∂⎰ （4）11UYv ds B ∂=∂⎰ （5） 对式（4）右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是0X =，就是10u =，故积分值为零。
在右边界上有11,,X q u x a ds dy =-===()111bXu ds q ady q ab =-=-⎰⎰ （6）同理，式（5）右端的积分只需在薄板的上边界进行，()1220aYv ds q bdx q ab =-=-⎰⎰ （7）将式（3）、式（6）、式（7）分别代入式（4）、式（5）可解出1A 和1B ：()1112222(1)EabA B q ab v ν+=---()1122222(1)EabB A q ab v ν+=--- 121q q A E ν-=-， 211q q B E ν-=- （8） 122111,q q q q u A x x v B y y E Eνν--==-==- （9）4．分析：把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式(8)所示位移为精确解答。
广义虎克定律
12 广义虎克定律在弹性力学中，我们由弹性变形过程是一个可逆过程这个前提出发，依据热力学分析，得到了应力分量ij σ是应变分量ij ε的单值函数的结论. 加上小变形的假设，可将应力按泰勒展开，并略去二阶及二阶以上的高阶小量. 我们还假定物体未变形时内部没有应力，得到kl ijkl ij c εσ= (12-1)式中ijkl c 称为广义弹性常数. (12-1)式也可以写成kl ijkl ij b σε= (12-2)式中ijkl b 称为柔性系数.13 各向同性物体的广义虎克定律13.1 一般的表示(12-1)式中ijkl c 为一个四阶张量，共81个元素. 由于形变张量是对称的，所以将指标i 与j , k 与l 互易，或将i ,j 与k ,l 成对地互易之后，乘积kl ij εε并不改变. 由此可见，张量ijkl c 也可以有这个性质，即当指标互易时具有如下的对称性质:klij ijlk jikl ijkl c c c c === (13-1)经计算可证实，四阶张量的分量中具有以上对称性质的分量，在一般情形中有21个. 因此，对极端各向异性的材料，也只有21个独立的弹性常数. 至于具有三个正交的弹性对称面的物体，则具有9个独立的弹性常数，这样的物体称为正交各向异性体. 正交各向异性体的弹性系数矩阵具有如下的形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛665544332322131211000000000000c c c c c c c c c 对称对于各向同性体，利用坐标轮换时应变能的不变性和坐标轴选取的任意性可以证明，独立的弹性常数减少到只有2个.各向同性材料的弹性常数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++G G G G G G000000200020002对称λλλλλλ广义虎克定律可写为.2,2,2,2,2,2121233333131222223231111εσλθεσεσλθεσεσλθεσG G G G G G =+==+==+= (13-2) 或者简写为ij ij ij G λθδεσ+=2 (13-3)其中u div 321332211=++=++==εεεεεεεθii 为体积应变或应变张量的第一不变量，ij δ为Kroneker 符号.广义虎克定律也可以写成以应力分量表示应变分量的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅+-=ij ij ij I G G δλλσε1)23(21 (13-4) 其中3322111σσσσ++==Θ=ii I 为应力张量的第一不变量.13.2 弹性常数及其相互之间的关系常用的弹性常数有λ、G 、E 、μ、K . 其中λ和G 称为拉梅常数，G 又称为剪切模量或刚性模量. E 称为杨氏弹性模量，μ称为泊松比或横向变形系数，K 称为体积弹性模量.G 可以利用纯剪切试验直接测得， 此时τσ=12， 其余应力分量均为零，根据(13-2),G 2/12τε=. 因此测得τ和12ε即可求得G.E 和μ可以利用单轴拉伸试验测得，此时σσ=11，其余0312*******=====σσσσσ.令11111σEε=， 11113322σE εεεμμ-=⋅-== (13-5)由广义虎克定律(13-2)⎪⎪⎪⎭⎫+=+=+=λθελθελθεσ3322111120202G G G (13-6) 将上三式相加得到)2G 3/(11+=λσθ将上式代入(13-6)的第一式得到GG G E ++=λλ)23( (13-7)代入(13-6)的第二式或第三式得到)(2G +=λλν (13-8)(13-7)、(13-8)也可以化为)21)(1(μμμλ-+=E ， )1(2μ+=EG (13-9)利用(13-9)可将虎克定律表示为如下更常用的形式[][][]）（））（2211333311332222332211111(11σσμσεσσμσεσσμσε+-=+-=+-=EE E ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+=+=121231312323111σμεσμεσμεE E E(13-10)或ij ij ij EE δσμσμε031-+=(13-11) 其中3/3/3/)(13322110I =Θ=++=σσσσ，1I 为应力张量第一不变量，ij δ为Kroneker 符号.在各向均匀压力试验中，p -===332211σσσ, 0312312===σσσ, 将上述应力分量的值代入广义虎克定律公式(13-2)得到λθε+=-112G p ， λθε+=-222G p λθε+=-332G p将上面三式相加就得到θλ)23(3G p +=-定义体积变形模量K 为θ/p K -=就得到G K 32+=λ (13-12)可推出五个弹性常数之间的关系, 结果如下：,9)3(313 )21)(1(323)2(212EK E K K K E G K E G G E G G --=+=-+=-=--=-=μμμμμμμλE K KEK E K G -=+-=+=-=-=93)1(2)21(3 )1(2)(232)21(μμμλμμλ KEK G K G K G E K G 63)3(223 123)(2-=+-=-=-=+=μλλλμ )21(339)1(2 3)(9)21)(1()23(μμλλμμμλλλ-=+=+=--=-+=++=K GK KG G K K K G G G E.)21(3)3(3 )21(3)1(23)1(32μμμμμλλ-=-=-+=+=+=EE G GE G G K (13-13).12+ ,21μμλλμλ-=-=+G G G (13-14)。
弹塑性力学(4)
2. 由于真实的位移场（应变场）必须满足位移边界条件，故真实位移场（应 变场）应视为可能位移场（应变场）的家族成员之一。而对于真实位移场 （应变场）还必须满足“应变协调条件”，即应变可积分条件。 3. 一般而言，与满足位移边界条件的连续变形相协调的位移模式有无限多个。 但对于给定的问题，同时又满足应变协调的位移模式仅存在一个，即真实 位移场仅有一个。 4. 在弹性力学问题的求解思路通常有两种：（a）按应力求解，（b）按位移 求解。而仅当按应力求解时才用到应变可积分条件，即式（4.2b）。
§4.4 定义
弹性材料
当一块材料受力后就会变形，如果施加的力撤除后，物体即恢复它原来的形状和 大小，那么这种材料就可称为弹性的。从数学上来说，这种材料的本构方程为：
σij = Fij (εkl )
(4.3)
其中， Fij为弹性响应函数，因此，由上式描述的弹性性能为既可逆又与路 径无关，即应变仅由当前应力状况所决定，反之亦然。上述定义的弹性材 料通常称为Cauchy弹性材料。 在特定的加载－卸载循环下，Cauchy弹性材料可产生能量，显然这是 与热力学定律相违背的。为此，采用术语超弹性或Green弹性材料去表明 式（4.3）中的弹性影响函数进一步受到弹性应变能函数W存在的限制。 一般而言，W是应变分量的函数，即
弹塑性力学第四章
代入广义胡克定律
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
b
广义胡克定律
由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
xy l11l22 xy xy 2 x l11 x x 2 y l22 y y 2 z l33 z z
上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下 的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律
广义胡克定律的张量表示： ij cijkl kl cijkl 称为弹性系数，一共有36个。
i, j, k , l 1, 2.3
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将 有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z 的函数。 如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点， 如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各 点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹 性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。 张量记法：
1 v v ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
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12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
广义胡克定律
第四章 广义胡克定律第四章 广义胡克定律 (1)§4.1节广义胡克定律 (2)§4.2节拉梅常数与工程弹性常数 (5)§4.3节弹性应变能函数 (7)§4.1节 广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：x x E σε=其中E 为材料的弹性模量。
（二）三维广义胡克定律三维条件下，物体应力状态可由6个分量表示，而应变状态也由6个分量表示。
假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地，1111111222133314121523163122211122222333241225232631333111322233333412352336311241114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩ 或写作111213141516111121222324252622223132333435363333121241424344454623235152535455563131616263646566c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεσεσεσεσεσε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 其中，mn C （,1,,6m n ="）为弹性常数。
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
第四章广义胡克定律
式中共有 36 个常数。
（三）弹性常数矩阵的对称性
上述 36 个常数并不都是独立的，从§4.3 节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端
2
弹性力学讲义（2013 版），山东大学岩土中心 王者超
各向异性的弹性体其独立弹性常数只有 21 个。 根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至 13 个； 若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至 9 个； 若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至 5 个； 最后，若材料是各向同性的，则弹性常数只有 2 个。
+
c24ε
′
12
+
c25ε
′
23
+
c26ε
′
31
⎪⎪σ ⎨
′
33
=
c31ε
′
11
+
c32ε
′
22
+
c33ε
′
33
+
c34ε
′
12
+
c35ε
′
23
+
c36ε
′
31
⎪σ ⎪
′
12
=
c41ε
′
11
+
c42ε
′
22
+
c43ε
′
33
+
c44ε12′
+
c45ε
′
23
+
c46ε
′
31
⎪σ ⎪
′
23
=
c51ε11′
1
弹性力学讲义（2013 版），山东大学岩土中心 王者超
4-弹塑性力学-物理方程与边界条件
�
第四章 物理方程与边界条件
求和约定(The arrnagement for summation) 求和约定
例3 将y1 = εijδij 按求和约定展开. 和y2 = σijεijδij (i, j =1,2,3) 按求和约定展开.
i 为克氏符号, 为克氏符号,= j, δ ij = 1; i ≠ j, δ ij = 0.
1 E
1 E 其中E, , 分别为各向同性材料的弹性模量, 其中 ,G, 分别为各向同性材料的弹性模量,泊松比和剪切弹性 模量,并有: 模量,并有: E
ε z = [σ z (σ x + σ y )],
G =
1 1 ε xy = γ xy = τ xy 2 2G 1 1 ε yz = γ yz = τ yz 2 2G 1 1 ε zx = γ zx = τ zx 2 2G
2 (1 + )
可见,各向同性材料只有两个独立的弹性常数. 可见,各向同性材料只有两个独立的弹性常数.
第四章 物理方程与边界条件
思考题: 思考题:
1. 如何将三维广义虎克定律写成应力对应变的函数? 如何将三维广义虎克定律写成应力对应变的函数? 2.何将广义虎克定律写成矩阵的形式? .何将广义虎克定律写成矩阵的形式? ) {σ } = C {ε },或{ε } = S {σ }(i,j,k,l = x,y,z)
ij ijkl kl ij ijkl kl
其中 Cijkl 称为刚度矩阵,Sijkl 称为柔度矩阵. 称为刚度矩阵, 称为柔度矩阵.
第四章 物理方程与边界条件
体积应变
由广义虎克定律
三式相加,则有 三式相加 则有
1 [σ x (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z (σ x + σ y )] E
弹塑性力学第四章
y c21 x c22 y c23 z z c31 x c32 y c33 z
x 对 x 的影响应与 y 对 y 及 z 对 z 的影响相同，即 c11 c22 c33
y , z 对 x 的影响应相同，即 同理，
因而有：
c12 c13
c11 c22 c33 a c12 c21 c13 c31 c23 c23 b
对于应变主轴，弹性常数只有两个。
广义胡克定律
各向异性弹性体独立的常数有21个。 系数矩阵对称 Cmn Cnm 广 西 工 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的独立常数有13个。 学 院
广义胡克定律
x x , y y , z z , xy xy , yz yz , xz xz
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
x x , y y , z z , xy xy , yz yz , xz xz
广 西 工 学 院
x 汽 x 车 工 2 2 2 x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 yz l12l13 xz l11l13 x x 程 系 ,
y y z z
z
y
y
z
ij liil jj ij
车 工 程 系
弹性对称面：如果物体内存在这样一个平面，和该平面对称的 汽 两个方向都具有相同的弹性，则该面称为物体的弹性对称面。 弹性主方向：垂直于弹性对称面的方向 具有三个弹性对称面的各向异性弹性体（正交各向异性）的 独立常数有9个。
广义胡克定律
证明：正交各向异性弹性体的独立常数有9个。 证明：取弹性主轴为三个坐标轴，将z轴旋转180度
弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题PPT课件
x y
1
E 1
E
[ [
x y
( (
y x
z
)]
z )]
z
1 E
[
z
(
x
y
)]
xy
xy G
yz
yz G
zx
-
zx G
(4-4)
9
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有
(4-7)
➢ 弹性阶段应力主轴和应变主- 轴重合（注意：应力或应变球张量对
应力主轴或应变主轴无影响）
13
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
➢ 各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题
特例：垂直于x轴的边界上， l= 1，m＝0，
应力边界条件简化为
(x)s Sx,(xy)s Sy
垂直于y轴的边界上，
l=0，m= 1，应力边界条件简化为
(y)s Sy,(yx)s Sx
受力平衡图
即：应力分量边界值等于对应- 面力分量
24
弹性与塑性 第四章 广义胡克定律和弹性力学解题
力学基础
的基本方程与方法
xy x
K
y
0
z z
xz x
yz y
K
z
0
i,jjK j0 (i,jx,y,z)
-
(4-10) (4-10')
16
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并 验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问 题离散化，通过求解差分方程得到近 似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个 网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合 适的差分格式，如向前差分、向后差 分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换 为电阻变化，通过测量电路获取应变信 息。该方法具有测量精度高、稳定性好 、适用于各种环境和试件形状的优点， 但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且 只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变 转换为电容变化，通过测量电路获取相关 信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏 度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且 需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理 根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得 到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组
清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法
弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。
当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。
对于边界条件的提法就有严格的要求。
即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。
对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。
这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。
从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。
清华大学研究生弹塑性力学讲义 4弹塑性_弹性材料的广义胡克定律
具有单值关系的弹性范围内，σ ∼ ε ′ 也同样具有单值关系，而且当σ ∼ ε 具有线性关系
的线弹性范围内，σ ∼ ε ′ 也同样具有线性关系。也就是说，上述比例极限、弹性极限都
是针对整个均匀变形状态的，而不是针对变形状态的某个应力、应变分量的。试验还
表明，在线弹性范围内横向收缩应变与轴向伸长应变之比是一个常数，即
3. 由于线弹性材料的应力张量与应变张量之间满足线性关系，因此应变能密度函数不 仅可以用应变分量来表示，还可以用应力分量来表示，试导出各向同性弹性材料用 应力分量表示应变能密度函数的公式。
4. 对于线弹性材料，试证明如下卡氏公式：
∂W ∂σ ij
= εij
5. 将应力张量和应变张量分别分解为球形张量和偏斜张量之和，即
⎪⎪σ
22
⎪ ⎪
⎢ ⎢
E E 2222
2233
0
0
0
⎥⎪ ⎥⎪
ε 22
⎪ ⎪
⎪⎪σ ⎨⎪σ
33 23
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎢ ⎢ ⎢
E3333
0
0
E2323
0
0 0
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪⎨⎪2εε3233
⎪⎪ ⎬ ⎪
(14)
⎪σ ⎪⎪⎩σ
31 12
⎪ ⎪ ⎪⎭
⎢ ⎢ ⎣⎢
sym.
E3131
0 E1212
⎥ ⎥ ⎦⎥
E
2(1 +ν
)
⎛ν ⎜⎝ 1 − 2ν
ε iiε
jj
+
ε ijε ij
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
(18)
独立常数
E= ν= λ= μ =G = K=
表 1 各向同性弹性体弹性常数间的关系
弹塑性力学-04
x E y
其中E为弹性常数，这就是熟知的 胡克定律。
在三维应力状态下，描绘一点处的 应力状态需要9个应力分量，与之 相应的应变状态也要用9个应力分 量来表示。在线弹性阶段，应力与 应变间仍有线性关系存在，但在一 般情况下，任一应变分量要受9个 应力分量 制约。
3
由于应力张量与应变张量的对称性
10
x e 2 x , xy xy
y e 2 y , yz yz z e 2 z , zx zx
x x ( y z ) (3 2 ) 2 (3 2 )
正交各向异性的弹性材料的本构关系，可根据任一坐标轴 反转时弹性常数保持不变的要求
c12 x c22 y c23 z c11 , c22 , c33 , c12 , c13 , c23 , c44 , c55 , c66 c13 x c23 y c33 z c44 xy 共9个弹性常数 c55 yz c66 zx
1 x ( x v y ) E 1 y ( y v z ) E v z ( x y ) E 1 xy xy G
如用应变分量表示应力分量
14
对于平面应变问题
z yz zx 0
E x [(1 v) x v y ] (1 v)(1 2v) E y [v x (1 v) y ] (1 v)(1 2v) vE z ( x y ) (1 v)(1 2v) xy G xy
c 41 x c 42 y c 43 z c 44 xy c 45 yz c 46 zx c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yz c66 zx
弹塑性力学第4章
B 0,0,0
A 1 , 2 , 3
1
2
B点坐标原点，平均应力=0的应力状态
4.2.2屈服曲面：
f 上述屈服条件在应力空间所表达的曲面称之为屈服曲面。
1
, 2 , 3 C
f 1 , 2 , 3 C f 1 , 2 , 3 C
1 2k s , k s
2
Tresca 屈服条件可以表示为：
2 3 s 3 1 s 1 2 s
复杂应力状态下判断物体是否进入塑性阶段的公式。
Tresca 屈服条件的优缺点： 优点：当主应力顺序已知时，表达式简单 缺点： 1）当主应力顺序未知时，表达式复杂 2) 只考虑最大最小主应力 3) 屈服曲面为正六角柱面，棱边处切平面不唯一
Mises 屈服条件 用下列方程表示： 1 2 或
2
2 3 3 1 6B 2
2 2
2
x y
2
y z
2
2 2 2 6B 2 z x +6 xy yz zx
即：
f ij 0
加载过程 卸载过程
点在屈面上移动为加载过程
加载准则
f 0
f 0
f 0
理想材料 强化材料 加载
加载 中性变载
卸载 卸载
屈服条件为Mises的加载准则
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
2s
3
Mises屈服条件的表达式：
x y y z z x +6 xy 2 yz 2 zx 2 2 s 2
工程弹塑性力学第四章弹性理论的解题方法.ppt
设线弹性体体积为V，表面为S，如果两组外力（体 力和面力）同时作用在物体上所产生的效果（应力、应 变和位移）等于它们分别作用所产生的效果之和。
由于线弹性力学的求解方程（15个）均为线性微分 （代数）方程，很容易证明这个原理成立。 对于非线性问题，此原理不能。
线弹性力学的几个原理
（2）解的唯一性定理
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。 尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实 际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原 因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解 题方法中经常采用如下方法：
（1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，
然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位
考虑用位移表示的平衡方程式（4-9）拉梅方程，在不 考虑惯性力项时有：
( G),i G2ui fi 0
对式（a）求导一次，有：
( G),ii G2ui,i 0
（a）
( 2G)2 0
2 0
即体应变满足拉普拉斯方程，为调和函数。
J4U.4ST常体江积苏力科下技应大力学和位Jia移ngsu的Univ特ersit点y of Science and Technology
（4）物理方程 （本构方程）
各向异性材料：
ij Cijkl kl
Cijkl Cklij C jikl Cijlk
各向同性材料：
ij 2G ij ij
ii 11 22 33
或者
ij
1 2G
ij
3
2G
J1 ij
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
弹性力学第4章—弹性本构关系
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
广义胡克定律
广义胡克定律 强度理论[知识回顾]1、 轴向拉（压）变形在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）横向变形2）纯剪切[导入新课]胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。
[新课教学]广义胡克定律 强度理论一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law ）1、主应力单元体－叠加法x xE εσ=E xx y σμμεε-=-=γτG =小变形，线弹只在1σ作用下：1方向只在2σ作用下：1方向 1方向由1σ、2σ、3σ共同作用引起的应变只在3σ作用下：1方向即同理：2、非主应力单元体可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关， 满足应用叠加原理的条件。
3、体积应变单元体，边长分别为dx 、dy 和dz 。
在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。
变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为E11σε='E21σμε-=''E 31σμε-='''111εεεε'''+''+'=()[]32111σσμσε+-=E()[]13221σσμσε+-=E()[]21331σσμσε+-=E [][][]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111dxdydz V =dz dz dz dy dy dy dxdx dx )1()1()1(332211εεεεεε+=++=++=+dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++=将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是，单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-=VVV θ称为体积应变（或体应变）。
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如引用=
E (1)(12)
并注意到 2G E
他的关系式，归纳如下
x 2Gx y 2Gy z 2Gz
xy Gxy yz Gyz zx Gzx
(4-8)
称为拉梅(Lamé)弹性常数。用体积应变表示应力时则有
xy
xy
G
式中，G E 2(1 )
为剪切弹性模量
纯剪应力状态
7
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律
➢ 用相同的方法，可以导 出三维应力状态下的各
向同性均匀材料的广义 胡克定律，其形式为：
（各向同性均匀材料的 含义，即材料内部各处 的不同方向具有相同的 μ、E、G 值）
ez 1Ez 21Gz
11
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式
ex 1Ex 21Gx ey 1 Ey 21Gy
ez 1Ez 21Gz
➢ 因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：
ex ey ez xy yz zx1 x y z 2xy 2yz 2zx 2G
xE 1[xx(xyz)]
即得式(4-6)的第一式 x E 1[1()x]
利用式(4-5) 便可得
12
E
将其代入式(4-6)
xE 1[1()x(1E 2)]
由上式可得
x 1Ex(1)(1E2)
13
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
(4-7)
➢ 弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对
应力主轴或应变主轴无影响）
12
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
➢ 各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题
时，有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变
xy z E 1 [( xyz) 2(xyz)]
1E 2(xyz)
如令
x y z 3 0,x y z 3 m
则上式可写为
12
E
或
0 1E2m
(4-5)
(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的
球张量成正比，而与应力偏量无关。
9
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
弹性与塑性力学基础-第四章广 义虎克定律和弹性力学解题
§4-4 按位移求解弹性力学问题 §4-5 按应力求解弹性力学问题 §4-6 平面问题和应力函数 §4-7 圣维南原理 §4-8 叠加原理 §4-9 悬臂梁受均匀分布载荷作用 §4-10 简支梁受均匀分布载荷作用 §4-11 具有小圆孔的平板的均匀拉伸 §4-12 位错引起的应力与弹性应变能
2
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.1 问题的提出 ➢ 弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来 描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。
➢ 已学的基本方程－9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元 体的力平衡）3个，几何方程（应变－位移关系）6个。
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 由式(4-6)及式(4-5)，可得
x
0
1 [(1 E
)x
]
12
E
m
1 [(1 E
)x
3m]
12
E
m
1
E
(x
m)
即：
ex 1Ex 21Gx
式中： ex=x- 0 为应变偏量分量，x xm为应力偏量分量。
用相同的方法，可得：
ey 1 Ey 21Gy
平面双向拉（压）应力
纯剪应力状态
5
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
平
面
2、平面应力状态:
应
力
由于应力x的作用：
时
x方向应变为 x
的 胡
E
克
y方向应变为 x
定 律
E
由于应力y的作用： y方向应变为 y
E
x方向应变为 y E
同时有x和y作用在x方向及y方向的应变为
x y
x
E
y
E
y
E
x
E
E1(x E1(y
y)(4-3)
x)
6
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
2、平面应力状态：
在x和y作用下，z方向的应变
εz= -μ(x＋y)/E
在剪应力作用下， X-Y 平面内的剪 应变与纯剪时相同，即：
➢ 未知变量的个数（15）多于方程数（9）→必须研究受力物体 的应力与应变之间的关系→物理方程。对于弹性问题，即广义 胡克定律。
3
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.2 胡克定律
1、单向拉伸（压缩）：
➢ 材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹 性的，两者之间满足胡克定律。其表达式如下：
拉伸或压缩方向：x =·x 与拉伸或压缩垂直的方向： y = z=-μ·x
式中： －弹性模量， μ－泊松比
4
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
2、平面应力状态:
➢ 对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下， 正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的 叠加原理是适用的。
x y
1
E 1
E
[ [
x y
( (
y x
z
)]
z )]
z
1 E
[
z
(
x
y
)]
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
(4-4)
8
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：
x
1 E
[(1
) x
],
xy
1 G
xy
y
1 E
[(1
)
y
],
yz
1 G
yz
(4-6)
z
1 E
[(1
) z
],
zx
1 G
zx
10
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法