离散时间随机过程的功率谱密度

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离散时间随机过程的功率谱密度

设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称
为广义平稳随机序列，具有零均值。 X(n)可以看
作对连续时间随机过程进行采样得nTs
X(n)自相关函数为:
RX (m) E[X (nT)X (nT mT )]
简写为： RX (m) E[X (n)X (n m)]
)
(3)
lim E
N
X (t) Xˆ (t) Xˆ (t)
0
(4)
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (t)
0
(5)
lim E
N
X
(t
)
Xˆ
(t
2
)
0
X
(t)
lim
N
N n
N
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
17
连续时间平稳随机过程
X (t)
采样 X (n) X (nT )
离散时间
X
(t)
lim
N
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
平稳随机过程
X (n)
自相关函数
Rc ( )
FT 功率谱密度
Sc ()
自相关函数
R(m)
DFT
功率谱密度
S ( )
2020/8/6
18
三功率谱密度的采样定理
若平稳连续时间实随机过程 Xc (t)，其自相关函数
和功率谱密度分别记为Rc ( )和Sc()，对 Xc (t)采样后所得离散时间随机过程 X (n) X (nTs )， X (n) 的自相关函数和功率谱密度分别记为R(m)和 S()，则有

功率谱密度

功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。

一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。

功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。

数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。

谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。

保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

有两个重要区别：1。

功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。

（随机的频域序列）2。

功率概念和幅度概念的差别。

此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。

热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。

频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。

频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。

频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。

功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。

一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。

功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。

功率谱具有单位频率的平均功率量纲。

高等数学中的随机过程相关知识点详解

高等数学中的随机过程相关知识点详解近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。

作为高等数学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。

在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。

一、概率论基础在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础知识。

概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机事件的发生规律和概率计算方法。

在概率论中，有一些基本概念和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。

1.1 概率概率是指一个事件发生的可能性大小。

通常用P来表示，它的取值范围是0到1。

当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。

例如，掷一枚硬币正面朝上的概率为1/2，或者说P=0.5。

1.2 条件概率条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。

通常用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。

例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。

1.3 概率分布概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。

在不同的情况下，概率分布也是不同的。

例如，在离散型随机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。

1.4 随机变量随机变量是一种随机事件的数学描述。

它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。

根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型和连续型。

离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、扔骰子等等；而连续型随机变量可以取到任意实数值，如身高、体重等等。

二、随机过程的基本概念2.1 随机过程的定义随机过程是一种描述随机事件随时间变化的方法。

它可以看作是有限维随机变量序列的无限集合，其中每个随机变量代表系统在某个时刻的状态。

随机过程的定义包括两个方面：空间（状态集合）和时间（时刻集合）。

13-信号的功率谱密度解析

第 4 章随机信号与线性系统陈明东南大学移动通信国家重点实验室chenming@随机过程和随机信号的概念当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。

4.1 随机信号的功率谱密度确定性信号的频谱信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。

对于确定性信号，其Fourier 变换可以反映其频谱特性。

()cos2n n s t a ntp ¥==åj2ˆ()()d ftsf s t etp ¥-?=òFourier分解的物理意义各种频率成份的振动频谱与光谱进行对比光谱红橙黄绿青蓝紫频谱如何反应随机信号的频谱？由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。

4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度若()X t 是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[,]T T -上的平均功率为{}21()d 2TT TP E X t tT-=ò利用Fourier 变换的Parseval 等式，可以得到()X t 在(),-ゥ上的平均功率为2j2lim 1lim ()e d d 2TTT ftTT P P E X t t fT ¥-p -?=殪镲镲犏=睚犏镲犏镲镲腩蝌从上式可以看出，下式所定义的关于频率f 的函数2j21()lim ()e d 2TftX TT S f E X t tT -p -禳镲镲=睚镲镲镲铪ò反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数()X S f 为连续时间随机过程()X t 的功率谱密度。

功率谱密度的性质性质4.1 设()X t 是定义于¡上的连续时间随机过程，()X S f 是其功率谱密度，则有如下性质： ① 功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，也即()d X P S f f ¥-?=ò。

② ≥()0X S f ,也即()X S f 是一个非负实函数。

随机过程的功率谱密度

随机过程的功率谱密度⏹连续时间随机过程的功率谱密度⏹随机序列的功率谱密度1. 连续时间随机过程的功率谱密度21()lim ()2X T T G E X T →∞⎧⎫ω=ω⎨⎬⎩⎭()()Tj tT TX X t edt-ω-ω=⎰维纳-辛钦定理: 对于平稳过程有()()X X R G τ↔ω功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)的定义：例1：随机相位信号的PSD0()cos()X t A t =ω+Φ其中A 、ω0为常数，Φ在(0,2π)上均匀分布。

自相关函数为20()(/2)cos X R A τ=ωτPSD 为{}200()(/2)()()X G A ω=πδω+ω+δω-ω()X G ωω2(/2)A π2(/2)A π0ω0-ω其中{a i }是均值为零,方差为, 且不相关的随机变量序列。

2iσ()i j ti iX t a eω=∑*()[()()]X R E X t X t τ=+τ*2()i k i ikE a a =σδ()0i E a =解：()*2()i k i j t j tj i ki ikiE a a eeω+τ-ωωτ==σ∑∑∑求X (t )的功率谱密度。

例2：随机过程为1ω2ω()X G ωω2()i j X i iR eωττ=σ∑2()2()X i i iG ω=πσδω-ω∑功率谱密度的性质:(1) 功率谱是非负的实函数、偶函数()()X X G G ω=-ω()0X G ω≥*()()X X G G ω=ω根据自相关函数与功率谱的关系,()()(cos sin )2()cos X X X G R j d R d +∞+∞-∞ω=τωτ-ωττ=τωττ⎰⎰21[()](0)()2X X P E X t R G d +∞-∞===ωωπ⎰平稳随机过程平均功率：22(1)22(1)202022(1)22(1)20()m m m X nn n a a a G c b b b ----ω+ω++ω+ω=ω+ω++ω+(2) 如果功率谱具有有理谱的形式，则可以表示为n >m ;()X G s 零、极点共轭成对j ωσ××××××ooo oS 平面上可能的零、极点位置()()()X X XG G G +-ω=ωω()()()()101()m Xn j j Gc j j +ω+αω+αω=ω+βω+β()()()()101()m Xn j j Gc j j --ω+α-ω+αω=-ω+β-ω+β()()()X X XG s G s G s +-=功率谱密度的分解例3: 已知功率谱为2424()109X G ω+ω=ω+ω+对功率谱进行分解，并求自相关函数。

第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程

第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？● 相关函数与功率谱的关系● 功率谱的应用● 采样定理● 白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间脉冲x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。

即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以重新得到：——称为非周期性三十天拉热函数的帕塞瓦(Parseval)等式。

物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。

因此，等式右边的被积函数X X (ω)2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称X X (ω)2为能量谱密度。

2.1.2、随机过程的功率谱密度变换一个信号的惟教变换是否存在，可能需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不牵涉到。

但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然洪可以利用博里叶变换这一工具。

为了将傅里叶变换方法常量应用于随机过程，必须对过程的待测函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。

截取函数x T (t):图2.1 x (t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数x T (t)满足绝对可积条件。

因此，x T (t)的傅里叶变换存在，有很明显，式的变化）x T (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达用2T 除上式等号用的两端，可以得到等号于两边取集合平均，可以得到:令T→∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。

离散时间随机过程的功率谱密度分解

S X z
m
m R ( m ) z X

(e jT ) S X () 式中 z e jT , S X
RX ( m ) 为 S X z 的逆z变换
RX (m)
1
式中，D为在 S X z 的收敛域内环绕z平面原点逆时针旋转的一条闭合围线。
2018/10/25
10
连续时间确知信号
S (t )
采样 S (n) S (nT )
c sin(c (t nTs )) s(t ) s(nTs ) c (t nTs ) n

香农采样定理
离散时间确知信号
S ( n)
2018/10/25
11
连续时间平稳随机过程
lim 是均方意义下的极限（均方极限）：
1 2 f c c
2018/10/25 2
2
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
序列 RX (m) 的傅里叶变换存在的充要条件是满足绝对可和条件：即
m

RX ( m )
定义 X (n) 的功率谱密度为序列 RX (m) 的傅里叶变换，并记为 S X ( )

2018/10/25
S X ( )
RX (m)
在 m0时
1 2q

q
q
S X ( )e jmT d
q
1 E[ X (n)] RX (0) 2q
S

q
X
( )d
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4
3 谱分解 ① z变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为 RX ( m )的z变换，并记为S X z ，即

功率谱密度

N − m −1 n =0
∑x x
n n+m
=
N−m ˆ φ xx (m) N m N
N ˆ′ (m)] = ( N − m ) 2Var[φ ˆ ( m)] < Var[φ ˆ ( m)] Var[φ xx xx xx N
ˆ′ (m)] = φ ( m) − E[φ ˆ′ (m)] = φ xx (m), 有偏估计，偏倚Bias[φ xx xx xx
1 1 2 ∗ X N ( e jω ) X N X (ω ) ( e jω ) = N N
( X N (ω ) = ∑ x(n)e − jωn )
ˆ 1 2 X N (ω )是周期性的，直接将X N (ω )的模的平方除以N求得的功率谱的估计为周期图Pxx (ω ) = I N (ω ) = X (ω ) N ˆ 1 E[φ xx (m)] = N w(m) = 1 N
Dr. JI ZHEN
11
4.1周期图法的改进-窗口处理法
适当设计窗口谱函数W1 (e jω )与周期图卷积， ˆ 1 π Pxx (ω ) = I N (θ )W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π ˆ 1 π E[ Pxx (ω )] = E[ I N (θ )]W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π 1 π 而E[ I N (θ )] = Pxx (φ )W (e j (θ −φ ) )dφ ∫ π − 2π ˆ E[ Pxx (ω )] = Pxx (ω ) *W (e jω ) *W1 (e jω ) 如果W1 (e jω )的主瓣宽度大于W (e jω )的主瓣宽度，可以进一步平滑谱估计，减少方差。
ˆ ˆ Pxx (ω ) = Pxx (−ω ) = =

随机过程的功率谱密度

Rˆ X
(
)
1 2T
T
x(t ) x(t )dt
T
一、联合分布
二维联合分布函数：
FXY (x1, y1,t1,t1' ) P{X (t1) x1,Y (t1' ) y1}
二维联合概率密度：
f XY (x1, y1, t1, t1' ) 2FXY (x1, t1, y1, t1' )
x1y1
性质：
RXY (t1, t2 ) RXY ( ), t1 t2
RXY ( ) RYX ( ) KXY ( ) KYX ( )
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
K XY
( )
2
2 X
2 Y
若 X (t)与Y (t)是联合平稳旳，则 Z (t) X (t) Y (t) 是平稳旳。
K X (0)KY (0)
XY
广义联合平稳旳定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , RXY (t1, t2 ) RXY ( ), t1 t2
随机过程旳功率谱密度作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
平稳随机过程：维纳－辛钦定理 RX ( ) GX ()
2 4 10 2
9
求有关函数。
例3、若平稳过程X(t)旳功率谱密度为
GX
(
)
[1
1
2
]2
求有关函数。
二、平稳随机序列旳功率谱密度
对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度
GX ()
RX (m)e jm
m
傅里叶变换对

功率谱密度

功率谱密度不同形式的数字基带信号具有不同的频谱结构，分析数字基带信号的频谱特性，以便合理地设计数字基带信号，使得消息代码变换为适合于给定信道传输特性的结构，是数字基带传输必须考虑的问题。

在通信中，除特殊情况（如测试信号）外，数字基带信号通常都是随机脉冲序列。

因为，如果在数字通信系统中所传输的数字序列是确知的，则消息就不携带任何信息，通信也就失去了意义。

故我们面临的是一个随机序列的谱分析问题。

考察一个二进制随机脉冲序列。

设脉冲、分别表示二进制码“0”和“1”, 为码元的间隔，在任一码元时间内，和出现的概率分别为p和1-p。

则随机脉冲序列x(t)可表示成:其中研究由上面二式所确定的随机脉冲序列的功率谱密度，要用到概率论与随机过程的有关知识。

可以证明，随机脉冲序列x(t)的双边功率谱公式（1）：其中、分别为、的傅氏变换，。

可以得出如下结论：（1）随机脉冲序列功率谱包括两部分：连续谱（第一项）和离散谱（第二项）。

对于连续谱而言，由于代表数字信息的及不能完全相同，故，因此，连续谱总是存在；而对于离散谱而言，则在一些情况下不存在，如及是双极性的脉冲，且出现概率相同时。

（2）当、、p及给定后，随机脉冲序列功率谱就确定了。

上式的结果是非常有意义的，它一方面能使我们了解随机脉冲序列频谱的特点，以及如何去具体地计算它的功率谱密度；另一方面根据它的离散谱是否存在这一特点，将使我们明确能否从脉冲序列中直接提取离散分量，以及采取怎样的方法可以从基带脉冲序列中获得所需的离散分量。

这一点，在研究位同步、载波同步等问题时，将是十分重要的；再一方面，根据它的连续谱可以确定序列的带宽（通常以谱的第一个零点作为序列的带宽）。

下面，以矩形脉冲构成的基带信号为例，通过几个有代表性的特例对功率谱密度公式的应用及意义做进一步的说明，其结果对后续问题的研究具有实用意义。

例单极性NRZ信号的功率谱，假定p=1/2对于单极性NRZ信号，有，这里，g(t)为图1所示的高度为1、宽度为的全占空矩形脉冲。

2012秋研究生随机过程试题

三. （15 分）设 1 , 2 ..., n ,... 为一列独立同分布的离散型随机变量并且仅取值于 1, 1 以
及对应的分布律为 P 1 1 P 1 1 0.5 。定义离散时间随机过程：
Sn k ,
k 1
n
n 1, 2,3,...
试完成以下问题： (1) 计算过程 S Sn : n 1, 2,3,... 的协方差函数。 (2) 证明过程 S Sn : n 1, 2,3,... 是一个齐次马氏链。 (3) 设泊松过程 N Nt : t 0 与过程 S Sn : n 1, 2,3,... 相互独立，试画出复合泊松过程 S Nt : t 0 的一条样本轨道（假设 S0 0 ）。
西安电子科技大学
研究生课程考试试题
考试科目：随机过程课程编号：日考试时间： 0721001 150 班号学号：分
考试日期： 2013 年 1 月
考试方式：( 闭卷) 任课教师：学生姓名：
一.（15 分）设 W Wt : t 0 是一个标准布朗运动。定义随机过程：
X t t W2t ,
七. （8 分）设 i 是齐次马氏链的常返状态，令
S (i) { j : i j}
证明： S (i ) 是不可约闭集。八. （15 分）设齐次马尔可夫链 X X n , n 0,1, 2,... 的状态空间为 S {0,1, 2,3, 4,5, 6} ，一步转移概率矩阵为
t
独立的离散型随机变量，且有 P ( 1) P ( 1) 0.5 。试完成以下问题：（1）计算 X= {X t , t 0} 的相关系数，并判断 X = {X t , t 0} 的功率谱密度。

6_1离散时间序列的特征描述

F ( x1 , x2 ; k1 , k2 ) P ( X [k1 ] x1 , X [k2 ] x2 )
N 维分布函数
F ( x1 , x 2 ,, x N ; k1 , k 2 ,k N ) P( X [k1 ] x1 , X [k N ] x N )
离散随机序列的特征描述

1 Rx [ n ] 2
即：

Px ()e jn d
Rx [ n] Px ()
DTFT
当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对。
离散随机序列的特征描述
离散随机序列的特征描述
平稳各态遍历随机信号的时域描述
1. 平稳随机序列
指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列
严平稳随机序列：
F ( x1 , x2 ,, x N ; k1 , k 2 ,k N ) F ( x1 , x2 ,, x N ; k1 n, k 2 n,k N n)
离散随机序列的特征描述
学习要求
1. 了解平稳各态遍历随机信号的特征描述。 2. 了解平稳各态遍历随机信号通过LTI离散系统的响应特征。 3. 掌握随机信号自相关函数估计的计算方法。
4. 掌握利用相关法和周期图法进行功率谱估计的基本原理及方法。
5. 了解现代功率谱估计的基本思想及主要数学模型。
n0
R x [0] E{ X [ k ]}
2 2 R x [ ] m x
n
(3)不等式
Rx [0] Rx [n]
自相关在n=0时刻取得最大值
平稳各态遍历随机信号的时域描述
2. 各态遍历随机信号

离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第三章

第三章连续时间信号的采样3.1 序列[]⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 4cos π， ∞<<∞-n ，用采样模拟信号()()t t x c 0cos Ω=， ∞<<∞-t 。

而得到，采样率为1000样本/每秒，问有哪两种可能的0Ω值以同样的采样率能得到该序列[]n x ？解：对模拟信号 ()()()t f t t x c 002cos cos π=Ω=以采样率s f 进行采样产生离散时间序列[]()()n f f nT x n x ss c 02cos π==，又对任意整数k ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±n f kf f n f f s ss 002cos 2cos ππ ∴ 当以采样频率为s kf f f +±=0的正弦波都会产生相同的序列，对于[]⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 4cos π∴ 420ππ=s f f ∴ 125810==s f f （样本/秒），π2500=Ω或π2250rad/s 均可。

所以0Ω取π250或π2250都能以同样的采样率得到该序列。

3.2 令()t h c 记作某一线性时不变连续时间滤波器的冲击响应，()n h d 为某一线性时不变离散时间滤波器的冲击响应。

()a 若()⎩⎨⎧<≥=-00t t e t h atc 求该连续时间滤波器的频率响应，并画出它的幅度特性。

()b 若()()nT Th n h c d =，()t h c 如()a 所给，求该离散时间滤波器的频率响应，并画出它的幅度特性。

()c 若给定a 的值，作为T 的函数，求离散时间滤波器频率响应的最小幅度值。

解：（a ）由连续时间信号的傅氏变换得：()ωωj a j H c +=1()221ωω+=a j H c(b) []()()()∑∞-∞=-==n c c d nT t t Th nT Th n h δ()()∑∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω*⋅=k c j d T jkj Tj H T eH πδπωπω2221 =∑∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-k cT k j T j H πω2 =πωω<⎪⎭⎫ ⎝⎛T jH c=πωω<+Tja 1（c ）若a 为定值，当πω=时，幅度最小为：()22min1Ta e H j d πω+=（它是T 的函数）3.3 图P3.3-1表示一种多径信道的简单模型。

随机过程基本知识-西安电子科技大学

相互独立的随机变量序列称N(t) 是参数为 Байду номын сангаас 的Poisson过程.
复合poisson过程
定义设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程, {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量序列, 且与 {N(t),t≥0}独立
令X (t ) Yk , t 0
t-s内发生的随机事件数．
② N(t)是非负整数
③
④
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也统一叫做随机点
若计数过程 {N(t),t≥0} 满足
k 1
N (t )
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
（4）连续时间连续状态高斯过程(正态过程） T=R, S=R
设{X(t), t ∈T }是取实值的S.P. ,若对任意的n≥1 及t1,t2,…,tn∈T, {X(t1), X(t2), …, X(tn)}是n维正态随机变量, 则称S.P. {X(t), t ∈T}为正态过程或高斯过程
(3) n 2, 0=t0 <t1 < <tn < ,W (tn )-W (tn -1 ), W (t2 )-W (t1 ),W (t1 )-W (t0 ) 相互独立
（４）随机过程Ｗ具有连续的样本轨道
2 1 的ＢＭ也称为标准Ｂｒｏｗｎ运动
二
根据轨道连续与否来分
样本轨道连续的随机过程
均值函数为0 功率谱密度为常数
（3）连续时间离散状态
Poisson过程 T=R+， S=N

功率谱密度： power spectral density

(2)
式中T为离散随机信号的抽样间隔时间。
当利用随机信号的N个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为
(3)
可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采用快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：
f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积。另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。
定义：对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数。应用学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。

离散时间随机过程的功率谱密度

R(m)
自相关函数
DFT
S ( )
功率谱密度
功率谱密度的采样定理
功率谱密度的采样定理
❖ 证明：
功率谱密度的采样定理
连续时间
采样
离散时间
平稳随机 X (t)
X (n) 平稳随机
过程
过程
自相关函数
Rc ( )
FT
功率谱密度
Sc ()
R(m)
自相关函数
DFT
S ( )
功率谱密度
4 白噪声 SECTION 《随机信号分析》教学组
小结
1
小结
2
小结
3
4
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的相关函数
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
奈奎斯特频率
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
性质
离散时间随机过程的功率谱密度
❖ 例7. ❖ 解：
确定时间确知信号
S(t)
离散时间确知信号
S(n)
平稳随机过程的采样定理
连续时间
平稳随机 X (t)
过程
离散时间
X (n) 平稳随机
过程
自相关函数
Rc ( )
FT
功率谱密度
Sc ()
R(m)
自相关函数
DFT
S ( )
功率谱密度
平稳随机过程的采样定理
理想白噪声
定义
理想白噪声
自相关函数
理想白噪声
自相关系数

四.随机过程的功率谱密度

2
随机过程的平均功率
2 E X ( T , ) X 1 T 1 d 2 lim E x ( t ) dt lim T 2T T 2 T 2T
功率谱密度
1 P lim T 2T
1 E x ( t ) dt T 2
1 s (t ) 2

S ( )e jt d
信号s(t)的总能量为
E s 2 (t )dt

根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即 2 1 2 E s (t )dt S ( ) d 2 其中
互谱密度
定义两个截取函数 xT (t ) , yT (t) 为
x(t ) xT (t ) 0
t T 其他
y (t ) yT (t ) 0
t T 其他
二者满足绝对可积的条件，则
xT (t ) yT (t )

X X (T , ) X Y (T , )

S X ( )e j d
对于广义平稳随机过程
RX (t , t ) RX ( ) A RX (t , t ) A RX ( ) RX ( )
则
S X ( ) RX ( )e j d

1 RX ( ) 2

S X ( )e j d
2S X ()
d n X( t ) dn t
2n S X ()
S ( 0 )
X(t )e j0 t
RX ( )e j0
例
已知零均值平稳过程X(t)的
6 S X ( ) 4 , 求RX ( )与DX t . 2 5 4