第二章22 简单线性模型参数估计

合集下载

计量经济学的2.2 一元线性回归模型的参数估计

基于样本数据，所得到的总体回归函数的一个估计函数称为样本回归函数。
问题：当我们设定总体回归模型的函数形式后，如何通过样本数据得到总体回归函数的一个估计（即样本回归函数）？--参数估计问题
E (Y | X i ) 0 1 X i
ˆ ˆ ˆ Yi f ( X i ) 0 1 X i
Xi确定
作此假设的理由：当我们把PRF表述为时，我们假定了X和u(后者代表所有被省略的变量的影响)对Y有各自的（并且可加的)影响。但若X和u是相关 25 的，就不可能评估它们各自对Y的影响。
线性回归模型的基本假设（4）
假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i~N(0, 2 ) i=1,2, …,n 意为：ui服从正态分布且相互独立。因为对两个正态分布的变量来说，零协方差或零相关意为这两个变量独立。作该假设的理由：i代表回归模型中末明显引进的许多解释
Yi 0 1 X i i
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估参数，为随机干扰项
3
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X i
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X i ui
同方差假设表明：对应于不同X值的全部Y值具有同样的重要性。
22
线性回归模型的基本假设（2-3）
假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不自相关性(不序列相关)： (2.3) 不自相关： Cov(i, j|Xi, Xj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 或记为 Cov(i, j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 意为：相关系数为0， i, j非线性相关。几何意义如下

2.2一元线性回归模型的参数估计

640000 352836
1210000 407044
1960000 1258884
2890000 1334025
4000000 1982464
5290000 2544025
6760000 3876961
8410000 4318084
10240000 6682225
12250000 6400900
ei
可得
yˆi ˆ1xi
（2.2.7）
其中，用到了正规方程组的第一个方程 ei (Yi (ˆ0 ˆ1 X i )) 0 。（2.2.7）式也称
为样本回归函数的离差形式。在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”（estimator）
和“估计值”(estimate)的区别。由（2.2.5）式或（2.2.6）式给出的参数估计结果是由一个具
体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量 0 和 1 的一
个具体数值；但从另一个角度，仅仅把（2.2.5）或（2.2.6）看成 0 和 1 的一个表达式，那
么，则是 Yi 的函数，而 Yi 是随机变量，所以 0 和 1 也是随机变量，在这个角度上，称之为
“估计量”。在本章后续内容中，有时把 0 和 1 作为随机变量，有时又把 0 和 1 作为确定
P(Yi )
1
e
1 2
2
(Yi
ˆ0
ˆ1
X
i
)
2
2
i=1,2,…,n
因为 Yi 是相互独立的，所以 Y 的所有样本观测值的联合概率，也即或然函数为：
L(ˆ0 , ˆ1, 2 ) P(Y1,Y2 , ,Yn )
1
1 2

§2.2 一元线性回归模型的参数估计

i i 2 i
β 0 = Y β1 X
例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，于所抽出的一组样本数，于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的进行。表2.2.1进行。进行
表 2.2.1 数计计参估的算表
Xi
Yi
xi
1
的样本方差： 2 = σ 2 x 2 / n ( x x )2 ∑ i ∑ i β0 Sβ
0
β1 =
∑x y ∑x
i 2 i
i
5769300 = = 0.777 7425000
β 0 = Y β 0 X = 1567 0.777 × 2150 = 103.172
因此，由该样本估计的回归方程为：
Yi = 103.172 + 0.777 X i
三、最小二乘估计量的性质
（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性）线性性，函数；函数；（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总）无偏性，体的真实值；体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量）有效性，中具有最小方差。中具有最小方差。
中，最小二乘估计量 β 0 、 β1 具有最小方差。
（2）证明最小方差性
β 1* 是其他估计方法得到的关于β1 的线性无偏估计量：假设
β 1* = ∑ ci Yi
其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数则容易证明
var(β 1* ) ≥ var(β 1 )
同理，可证明β0 的最小二乘估计量 β 0 具有最的小方差
-973 1314090 1822500 947508 640000 352836 -929 975870 1102500 863784 1210000 407044 -445 334050 562500 198381 1960000 1258884 -412 185580 202500 170074 2890000 1334025 -159 23910 22500 25408 4000000 1982464 28 4140 22500 762 5290000 2544025 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448

线性回归模型的参数估计

计算过程
牛顿-拉夫森方法首先计算误差函数的Hessian矩阵，然后使用这个矩阵来构造一个线性方程组，求解该方程组可以得到参数的更新值。
缺点
对初值敏感，且计算Hessian矩阵的开销较大。
2023
PART 03
线性回归模型的假设和限制
REPORTING
线性关系假设
01
线性关系假设是线性回归模型的核心，即因变量和自变量之间存在一种线性关系，可以用一条直线来描述。
2023
线性回归模型的参数估计
https://
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 参数估计的方法 • 线性回归模型的假设和限制 • 参数估计的步骤 • 参数估计的挑战与解决方案 • 参数估计的应用场景
2023
PART 01
引言
REPORTING
线性回归模型的定义
2023
THANKS
感谢观看
https://
REPORTING
最小二乘法
原理
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化预测值与实际值之
间的平方误差来估计参数。
计算过程
最小二乘法通过构建一个误差的平方和，然后找到使这个和最小的参数值。
优点
计算简单，易于理解和实现。
缺点
对异常值敏感，且无法处理非线性问题。
梯度下降法
原理
梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断沿着误差函数的负梯度方向更新参数，以最小化误差函数。
市场细分
通过分析消费者行为数据，利用线性回归模型对市场进行细分，帮助企业更好地了解目标客户群体。
价格预测
在商品定价方面，利用线性回归模型预测商品价格变动趋势，为企业制定合理的定价策略提供依据。

简单线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何利用模型进行

简单线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何利用模型进行数据预测一、简单线性回归模型的公式及含义在统计学中，线性回归模型是一种用来分析两个变量之间关系的方法。

简单线性回归模型特指只有一个自变量和一个因变量的情况。

下面我们将介绍简单线性回归模型的公式以及各个参数的含义。

假设我们有一个自变量X和一个因变量Y，简单线性回归模型可以表示为：Y = α + βX + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，α表示截距项（即当X等于0时，Y的值），β表示斜率（即X每增加1单位时，Y的增加量），ε表示误差项，它表示模型无法解释的随机项。

通过对观测数据进行拟合，我们可以估计出α和β的值，从而建立起自变量和因变量之间的关系。

二、参数的估计方法为了求得模型中的参数α和β，我们需要采用适当的估计方法。

最常用的方法是最小二乘法。

最小二乘法的核心思想是将观测数据与模型的预测值之间的误差最小化。

具体来说，对于给定的一组观测数据（Xi，Yi），我们可以计算出模型的预测值Yi_hat：Yi_hat = α + βXi然后，我们计算每个观测值的预测误差ei：ei = Yi - Yi_hat最小二乘法就是要找到一组参数α和β，使得所有观测值的预测误差平方和最小：min Σei^2 = min Σ(Yi - α - βXi)^2通过对误差平方和进行求导，并令偏导数为0，可以得到参数α和β的估计值。

三、利用模型进行数据预测一旦我们估计出了简单线性回归模型中的参数α和β，就可以利用这个模型对未来的数据进行预测。

假设我们有一个新的自变量的取值X_new，那么根据模型，我们可以用以下公式计算对应的因变量的预测值Y_new_hat：Y_new_hat = α + βX_new这样，我们就可以利用模型来进行数据的预测了。

四、总结简单线性回归模型是一种分析两个变量关系的有效方法。

在模型中，参数α表示截距项，β表示斜率，通过最小二乘法估计这些参数的值。

第2章线性模型(bai 修正)

1
1
11
12
yˆ x x 1
2
21
22
yˆ x x
n
1
n1
n2
x1k
x2
k
xnk
u 0
1
u 1
2
u
2
n
k
Nˆ Y Yˆ
ˆ
0
x ˆ 1k
x2k 1
ˆ
xnk
2
ˆ
k
uˆ1
Nˆ
uˆ2
uˆn
二、模型的特征分析
根据 : cov(ui , u j ) E{[ui E(ui )][u j E(u j )]} E[uiu j ], 所以
E(11)
Cov(U
)
E
(
2 1
)
E(12 ) E(22 )
E(1n ) E(2n )
E(n1) E(n2 ) E(nn )
11
Cov(U
)
E
2 1
个方程为：Y 0 1X1 2 X2 k Xk U
y1 0 1x11 2 x21 k xk1 u1 y2 0 1x12 2 x22 k xk 2 u2
yn 0 1x1n 2 x2n k xkn un
将方程组写成矩阵形式为 Y = XB + U 式中：
行
n
y1
满足基本假定，LS估计量具有优良性，否则LS方法不能使用，应发展新的方法。
个样
Y
y2
本点
yn
K＋1个解释变量
1
X
1
x11 x12
x21 x22
xk1 xk2
1 x1n x2n xkn

简单线性回归模型

简单线性回归模型线性回归是统计学中一个常见的分析方法，用于建立自变量与因变量之间的关系模型。

简单线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过最小二乘法对该关系进行拟合。

本文将介绍简单线性回归模型及其应用。

一、模型基本形式简单线性回归模型的基本形式为：y = β0 + β1x + ε其中，y为因变量，x为自变量，β0和β1为常数项、斜率，ε为误差项。

二、模型假设在使用简单线性回归模型之前，我们需要满足以下假设：1. 线性关系假设：自变量x与因变量y之间存在线性关系。

2. 独立性假设：误差项ε与自变量x之间相互独立。

3. 同方差性假设：误差项ε具有恒定的方差。

4. 正态性假设：误差项ε符合正态分布。

三、模型参数估计为了估计模型中的参数β0和β1，我们使用最小二乘法进行求解。

最小二乘法的目标是最小化实际观测值与模型预测值之间的平方差。

四、模型拟合度评估在使用简单线性回归模型进行拟合后，我们需要评估模型的拟合度。

常用的评估指标包括：1. R方值：衡量自变量对因变量变异的解释程度，取值范围在0到1之间。

R方值越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好。

2. 残差分析：通过观察残差分布图、残差的均值和方差等指标，来判断模型是否满足假设条件。

五、模型应用简单线性回归模型广泛应用于各个领域中，例如经济学、金融学、社会科学等。

通过建立自变量与因变量之间的线性关系，可以预测和解释因变量的变化。

六、模型局限性简单线性回归模型也存在一些局限性，例如：1. 假设限制：模型对数据的假设比较严格，需要满足线性关系、独立性、同方差性和正态性等假设条件。

2. 数据限制：模型对数据的需求比较高，需要保证数据质量和样本的代表性。

3. 线性拟合局限：模型只能拟合线性关系，无法处理非线性关系的数据。

简单线性回归模型是一种简单且常用的统计方法，可以用于探索变量之间的关系，并进行预测和解释。

然而，在使用模型时需要注意其假设条件，并进行适当的拟合度评估。

简单线性回归模型的估计与解释

简单线性回归模型的估计与解释简介简单线性回归模型是统计学中常用的一种回归模型，用于分析两个变量之间的关系。

本文将介绍简单线性回归模型的估计与解释方法。

一、模型的建立简单线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项。

二、模型参数的估计为了估计模型参数，常用的方法是最小二乘法。

最小二乘法的目标是使残差平方和最小化。

通过最小二乘法，我们可以得到β0和β1的估计值。

三、模型的解释1. 截距（β0）的解释截距表示当自变量X等于0时，因变量Y的平均值。

截距的估计值可以用来解释在X为0时的预测值。

2. 斜率（β1）的解释斜率表示因变量Y对自变量X的变化率。

当自变量X增加1个单位时，因变量Y的平均变化量为斜率的估计值。

斜率的正负决定了变量之间的正向或负向关系。

3. 模型的拟合优度拟合优度是用来评估模型对数据的拟合程度。

常用的指标是R方（R-Squared），它表示因变量的变异中能够被自变量解释的比例，取值范围为0到1。

R方越接近1，说明模型对数据的拟合越好。

四、模型的显著性检验为了检验自变量和因变量之间的关系是否显著，我们可以进行假设检验。

通常使用t检验对截距和斜率进行检验。

若p值小于显著性水平（通常为0.05），则认为存在显著关系。

五、模型的诊断与改进在应用简单线性回归模型时，需要进行模型诊断和改进。

常见的诊断方法包括残差分析、离群值检测和多重共线性检验等。

根据诊断结果，可以尝试改进模型，如加入非线性项或引入其他解释变量。

六、模型的应用简单线性回归模型广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会学等。

通过建立和解释简单线性回归模型，可以分析变量之间的相关性，预测未来趋势，为决策提供科学依据。

结论通过对简单线性回归模型的估计与解释，我们可以得到模型参数的估计值，解释截距和斜率的含义，评估拟合优度以及进行显著性检验。

同时，还需进行模型诊断和改进，以提高模型的准确性和可解释性。

试讲简单线性回归模型

● 从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散布图接近一条直线非线性相关——散布图接近一条曲线
● 从变量相关关系变化的方向看
正相关——变量同方向变化，同增同减负相关——变量反方向变化，一增一减不相关
7
3.相关程度的度量—相关系数
总体线性相关系数： Cov( X , Y ) Var( X )Var(Y )
33
Y 的分布性质
由于
Yi 1 2 X i ui
u i 的分布性质决定了 Yi 的分布性质。对 u i 的一些假定可以等价地表示为对Yi 的假定：
Yi

ui
X
（2）个别值表现形式
对于一定的 X i ， Y 的各个别值 Yi 分布
Xi
在 E(Y X i ) 的周围，若令各个 Yi 与条件均值 E(Y X i ) 的偏差为 u i , 显然 u i 是随机变量,则有或
Yi 1 2 X i ui
ui Yi E(Yi X i ) Yi 1 2 X i
●只有具备一定的假定条件，所作出的估计才
具有较好的统计性质。
29
2、基本假定的内容
（1）对模型和变量的假定
如
Yi 1 2 X i ui
假定解释变量 X是非随机的，或者虽然是随机的，但与扰动
项
u是不相关的
假定解释变量 X 在重复抽样中为固定值
假定变量和模型无设定误差
30
（2）对随机扰动项 u 的假定
每月家庭消费支出
1489 1538
1600 1702
1712 1778
1841 1886
2078 2179
2298 2316

第2章2一元线性回归模型的参数估计

最小二乘法给出的判断的标准是：二者之差的平方和
ˆ ˆ ˆ Q = ∑ (Y i − Y i ) 2 = ∑ (Y i − ( β 0 + β 1 X i )) 2
1 n
n
（ 2.2.3 ）
1
最小。
n ˆ ˆ ˆi ) 2 = ∑ (Yi − ( β 0 + β 1 X i )) 2 是 β$0 、 β$1 的二次函由于 Q = ∑ ( Yi − Y 1 1
3、有效性：在所有线性无偏估计量中，最、有效性：在所有线性无偏估计量中，小二乘参数估计量具有最小方差。小二乘参数估计量具有最小方差。
ˆ （1）先求 β 、 βˆ 的方差
解得：
ˆ ΣX i2 ΣYi − ΣX i ΣYi X i β 0 = nΣX i2 − (ΣX i ) 2 ˆ β1 = nΣYi X i − ΣYi ΣX i nΣX i2 − (ΣX i ) 2
(2.2.6）
方程组（2.2.5）称为正则方程组（normal equations）正则方程组（。正则方程组）
令k
i
xi = ∑ xi2
，因∑ x = ∑( X
i
i
− X ) = 0 ，故有
ˆ β1 = ∑
ˆ ˆ β 0 = Y − β1 X =
xi Y = ∑ kiYi 2 i ∑ xi
1 1 Yi − ∑ kiYi X = ∑ ( − Xki )Yi = ∑ wiYi ∑ n n
无偏性： 2、无偏性：参数估计量的期望等于总体回归参数真值
• 1、普通最小二乘法（Ordinary Least 普通最小二乘法（ Square,OLS） Square,OLS） • 给定一组样本观测值Xi, Yi（i=1,2, n），要给定一组样本观测值X i=1,2,…n），要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值，求样本回归函数尽可能好地拟合这组值，即样本回归线上的点与真实观测点的“误差” 本回归线上的点与真实观测点的“误差”尽可能地小。能地小。

§2.1 线性模型的参数估计

第2章线性回归模型§2.1 线性模型的参数估计2.1.1 线性模型的最小二乘估计一、一元线性回归模型的最小二乘估计（OLS ）总体回归模型： 12i i i Y X ββε=++，1,...,i n = 被解释变量i Y ，解释变量i X ，随机误差项i ε的含义参数12ββ和的含义样本回归模型： 12ˆˆi i iY X e ββ=++，1,...,i n = 残差：12ˆˆi i ie Y X ββ=-- 残差平方和： ()212ˆˆ2i i ie Y X ββ=--∑∑最小二乘法：()1212212ˆˆˆˆ,,ˆˆmin min 2i i i e Y X ββββββ=--∑∑()()121122ˆˆ2=0ˆˆˆ2=0ˆ2i i i2i i i i e Y X e Y X X ββββββ⎧∂=---⎪∂⎪⎨∂⎪=---⎪∂⎩∑∑∑∑ 正则方程：122ˆˆi i iii i n X Y X XX Y ββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑ 最小二乘估计量：1222ˆˆˆi i i Y X X Y nXY X nX βββ⎧=-⎪-⎨=⎪-⎩∑∑ 二、多元线性回归模型的最小二乘估计（OLS ）(一) 线性回归模型的矩阵形式12233...i i i K Ki i Y X X X ββββε=+++++， 1,...,i n =解释变量23,,...,i i Ki X X X参数12,,...,K βββ的含义，称2,...,K ββ为偏回归系数()2312233,,...,...i i i Ki i i K Ki E Y X X X X X X ββββ=++++K 维空间中K - 1维空间平面。

1122133111212223322212233...for 1...for 2.........for K K K K n n n n K n K Y X X X i Y X X X i Y X X X i nββββεββββεββββε=+++++==+++++==+++++=12111122222221...1 (1)...K K n n n n K K Y X X Y X X Y X X εβεβεβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦记12111122222221...1...,,,.....................1...K K n nn K Kn Y X X Y X X Y X X εβεβεβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥≡≡≡≡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y X βε，用粗体表示向量或矩阵，常规粗细表示标量。

统计学中线性混合模型的参数估计方法

统计学中线性混合模型的参数估计方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。

在统计学中，线性混合模型是一种常用的模型，用于处理具有多层次结构的数据。

线性混合模型的参数估计方法是统计学中的重要内容之一，本文将探讨线性混合模型的参数估计方法。

一、线性混合模型的概念与应用线性混合模型是一种广泛应用于各个领域的统计模型，特别适用于处理具有层次结构的数据。

在实际应用中，我们常常会遇到数据存在多层次结构的情况，例如，研究中的观察单位可能存在分组，而每个分组内的观察值之间可能存在相关性。

线性混合模型能够很好地处理这种情况，并提供了更准确的参数估计结果。

二、固定效应的参数估计方法在线性混合模型中，固定效应是指不随观察单位变化而变化的参数。

固定效应的参数估计方法可以通过最小二乘法来实现。

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观察值与模型预测值之间的差异来估计模型参数。

在线性混合模型中，最小二乘法可以用于估计固定效应的参数。

三、随机效应的参数估计方法在线性混合模型中，随机效应是指随观察单位变化而变化的参数。

随机效应的参数估计方法有多种，常用的方法包括最大似然估计法和广义最小二乘法。

最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它通过寻找使观察数据出现的概率最大的参数值来估计模型参数。

在线性混合模型中，最大似然估计法可以用于估计随机效应的参数。

广义最小二乘法是一种通过最小化观察值与模型预测值之间的加权平方差来估计模型参数的方法。

在线性混合模型中，广义最小二乘法可以用于估计随机效应的参数。

四、混合效应的参数估计方法在线性混合模型中，混合效应是指同时包含固定效应和随机效应的参数。

混合效应的参数估计方法可以通过联合估计固定效应和随机效应来实现。

常用的方法包括最大似然估计法和EM算法。

最大似然估计法可以通过最大化观察数据出现的概率来估计混合效应的参数。

在线性混合模型中，最大似然估计法可以用于估计混合效应的参数。

EM算法是一种通过迭代求解隐变量的期望和模型参数的极大似然估计值的方法。

线性回归模型及其参数估计

线性回归模型及其参数估计线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

它的基本假设是，自变量和因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。

在实际应用中，线性回归模型可以用于预测和解释因变量的变化。

一、线性回归模型的基本形式线性回归模型的基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示模型的参数，ε表示误差项。

二、参数估计方法为了确定模型中的参数，需要通过样本数据进行估计。

常用的参数估计方法有最小二乘法和最大似然估计法。

1. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它的基本思想是通过最小化观测值与估计值之间的差异来确定参数。

具体而言，最小二乘法通过最小化残差平方和来估计参数。

残差是指观测值与估计值之间的差异，残差平方和是所有残差平方的总和。

最小二乘法的优势在于它是一种无偏估计方法，即在大样本情况下，估计值的期望等于真实值。

2. 最大似然估计法最大似然估计法是一种基于概率统计的参数估计方法，它的基本思想是通过选择参数值，使得观测到的样本数据出现的概率最大化。

最大似然估计法的优势在于它是一种有效的估计方法，能够提供参数的置信区间和假设检验等统计推断。

三、线性回归模型的评估指标在应用线性回归模型时，需要评估模型的拟合程度和预测能力。

常用的评估指标有残差平方和、决定系数和均方根误差等。

1. 残差平方和残差平方和是评估模型拟合程度的指标，它表示观测值与估计值之间的差异的总和。

残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好。

2. 决定系数决定系数是评估模型预测能力的指标，它表示因变量的变异程度中能够被自变量解释的比例。

决定系数的取值范围为0到1，越接近1表示模型的预测能力越好。

3. 均方根误差均方根误差是评估模型预测能力的指标，它表示观测值与估计值之间的差异的平均值的平方根。

数据分析中的线性回归模型和参数估计

数据分析中的线性回归模型和参数估计数据分析是当今社会中不可或缺的一部分，它帮助我们理解和解释现实世界中的各种现象。

而在数据分析的过程中，线性回归模型和参数估计是两个重要的概念和方法。

本文将探讨线性回归模型的基本原理以及参数估计的方法。

一、线性回归模型的基本原理线性回归模型是一种用来描述两个或多个变量之间关系的统计模型。

它基于一个假设，即自变量与因变量之间存在着线性关系。

在线性回归模型中，因变量被假设为自变量的线性组合，加上一个误差项。

数学上，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。

线性回归模型的基本原理可以通过最小二乘法来解释。

最小二乘法的目标是找到一组回归系数，使得模型预测值与实际观测值之间的残差平方和最小。

通过最小化残差平方和，我们可以得到最优的回归系数估计。

二、参数估计的方法在线性回归模型中，参数估计是求解回归系数的过程。

常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计和贝叶斯估计。

1. 最小二乘法最小二乘法是线性回归模型中最常用的参数估计方法。

它通过最小化残差平方和来估计回归系数。

最小二乘法的优点是计算简单，但它对异常值敏感，可能导致估计结果不准确。

2. 最大似然估计最大似然估计是一种基于概率理论的参数估计方法。

它假设观测数据服从某个概率分布，然后通过最大化似然函数来估计回归系数。

最大似然估计的优点是具有较好的统计性质，但它需要对数据的概率分布进行假设。

3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计理论的参数估计方法。

它使用先验概率和观测数据来计算后验概率，然后通过后验概率来估计回归系数。

贝叶斯估计的优点是可以灵活地处理不确定性，但它需要选择合适的先验分布。

三、应用案例线性回归模型和参数估计在实际应用中具有广泛的应用。

例如，在市场营销中，可以使用线性回归模型来分析广告投入与销售额之间的关系，从而优化广告策略。

二元线性回归模型和参数估计

ˆ0 Y ˆ1X1 ˆ2 X 2
ˆ1
(
y
i
x
1i
)(
x2
2i
)
(
y
i
x
2i
)(
x
1i
x
2i
)
(
x2
1i
)(
x2
2i
)
(
x
1i
x
2i
)2
ˆ2
(
yi x2i )( x12i ) ( yi x1i )( x1i x2i ) ( x12i )( x22i ) ( x1i x2i )2
其中， xi Xi X， yi Yi Y ， X
设根据给定一组样本数据（ Yi，X1i，X2i），i=1，2，…， n ，采用一般最小二乘法估计得到旳样本回归模型为
Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2X2i ei ，则参数估计量 ˆ 0 、 ˆ1 、ˆ 2 应
该使残差平方和
n
ei2
n (Yi
Yˆi )2
n (Yi
ˆ0 ˆ1X1i
ˆ2i X 2i )2
i1 i1
i 1
到达最小。
根据极值存在旳必要条件，应该有
ei2
ˆ0
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i ) 0
ei2
ˆ1
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )X1i
0
ei2
ˆ2
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )X 2i
0
用
ˆ
j
表示
Beta
系数，则
ˆ
j
ˆ j
S Xj SY

第二章简单线性回归解读

例：某农场1971年至 1980年每英亩的谷物产量(bushel)和化肥施用量(pound)之间的数据见表，求出产量与化肥施用量之间的关系。 data21.xls
注：蒲式耳(谷物,水果等容量单位, 美=35.238升,英=36.368升) 1 pound (磅)=0.4536 kilogram (千克) 1 acre (英亩)=0.405 hectare (公顷)
2 i

2
令
SSR 0 ˆ 0
SSR 0 ˆ 1
得
ˆ ˆ Y n i 0 1 Xi
2 ˆ ˆ X Y X X i i 0 i 1 i
从而
正规方程
ˆ Y ˆX 0 1
n X iYi X i Yi ˆ 1 2 2 n X i X i
计量经济学
ECONOMETRICS
回归的由来
回归(Regression)一词来源于19世纪英国生物学家葛尔登(Francis Galton, 1822-1911)对人体遗传特征的实验研究。他根据实验数据发现，双亲高的孩子个子高，双亲矮的孩子个子矮，然而高和矮却不是无限制的，总是越来越趋向于人的平均身高，他称这种现象为“回归”。现在统计学上回归指的是变量之间的依存关系。
SSR U dfU
R
检验统计量
SSR R SSR U df F
dfU
原假设成立时服从自由度为1，n-2的F分布给定显著性水平，查表得临界值 F1 1, n 2 若 F F1 1, n 2 ，则拒绝原假设
H0 :

XY
0, H1 :
F

二元线性回归模型及参数估计ppt课件

(X ji Xi)2 n 1
SY
yi2 n 1
(Yi Y )2 n 1
可见，Beta系数是用解释变量标准差（SXj）和被解释变量标准差（SY）的比例对估计的偏回归系数进行调整后得到的，其数值与变量的单位无关，因而可以直接比较，用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。
设根据给定一组样本数据（ Y i，X 1i，X 2i），i=1，2，…， n ，采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为
Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2X2i ei ，则参数估计量 ˆ0 、 ˆ1 、ˆ 2 应
该使残差平方和
n

ei2
n (Yi
Yˆi )2
13
3．偏相关系数在二元线性回归分析中，也可以用偏相关系数来分析被解释变量Y对于哪一个解释变量（X1和X2）的变化更敏感。偏相关系数：是指在控制或消除其他变量影响的情况下，衡量多个变量中的某两个变量之间线性相关程度的指标。
14
当 X2 保持不变时，Y 与 X1 之间的偏相关系数为
rYX 1 X 2
Y
变化ˆ
j
个标准差（即
Y

ˆ
j
SY
）。
10
例如 ˆ1 1.02，ˆ2 0.24 ，则表示：解释变量 X1 变化 1 个
标准差，将引起被解释变量 Y 变化 1.02 个标准差；解释变量 X2 变化 1 个标准差，将引起被解释变量 Y 变化 0.24 个标准差。因此，可以说，Y 对于 X1 变化的敏感程度远大于 Y 对于 X2 变化的敏感程度。
12
例如 1 1.78 ，2 0.45 ，则表示：在样本均值附近，X1 每增加 1%，将使被解释变量 Y 增加 1.78%；而 X2 每增加 1%，将使被解释变量 Y 增加 0.45%，所以，被解释变量 Y 对于解释变量 X1 变化的敏感程度远大于对解释变量 X2 变化的敏感程度。

第2章⑵一元线性回归的参数估计

2 ˆ ˆ Yi ～ N ( 0 1 X i , )
于是， Yi 的概率函数为
P (Y i ) 1
1 2
2 2 ˆ ˆ ( Yi 0 1 X i )

2
e
i= 1 ,2 ,„ ,n
因为Yi是相互独立的，所以Y的所有样本观测值的联合概率，也即似然函数(likelihood function) 为：
• 记
1 X Xi n 1 Y Yi n x Xi X i y i Yi Y
则参数估计量可以写成：
x y ˆ i i 1 2 xi ˆ ˆ 0 Y 1X
注：在计量经济学中，往往以大写字母表示原始数据（观测值），而以小写字母表示对均值的离差（deviation)。
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大似然估计量与普通最小二乘估计量是
相同的。(见教材P34)
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。 (见教材P39)
解或然方程

2
L
*
n 2
2

1 2
4
2 ˆ ˆ (Y i 0 1 X i ) 0

证明如下：（补充）

ei
2

2 ˆ2 yi 1

2
xi
2
Y
Yi
2 ˆ yi 1 yi xi 2 i 2
nY nY
2

ˆ 1 Y i X
i
i
nY X

Y Y Y

Yi
ˆ 1 Yi X

§22 一元线性回归模型及其参数估计

由于： w (1 / n X k ) 1 X k
i i
i
1
w X (1 / n Xk ) X
i i i
i
1
n
X i X ki X i X X 0
故：
ˆ w i i 0 0 ˆ ) E ( w ) E ( ) w E ( ) E( i i i i 0 0 0 0
2
(2.2.10)
ˆ ) var( w Y ) var( i i wi2 var( 0 1 X i i ) (1 / n Xk i ) 2 2 0
1 2 2 xi 1 1 2 2 2 2 2 Xk i X k i X k i X x2 n n n n i
ˆ 、 ˆ 的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为由于 0 1
最小二乘估计量(least-squares estimators)。
最小二乘参数估计量的离差形式 (deviation form)
1 X Xi n Y 1 Y 记 i n x X X i i yi Yi Y
ˆ* c Y ii 1
其中， c
i
k i d i ，d i
为不全为零的常数。
ˆ * ) E ( c Y ) c E (Y ) c ( X ) E( ii i i i 0 1 i 1 0 ci 1 ci X i
ˆ* ˆ*) E ( 1 由的无偏性，即 1 1
i
i i

Y xi
x
2 i

第二章22 简单线性模型参数估计

-445 334050 562500 198381
-412 185580 202500 170074
-159 23910 22500 25408
28 4140 22500
762
402 180720 202500 161283
511 382950 562500 260712
1018 1068480 1102500 1035510
963 1299510 1822500 926599
5769300 7425000 4590020
640000 352836 1210000 407044 1960000 1258884 2890000 1334025 4000000 1982464 5290000 2544025 6760000 3876961 8410000 4318084 10240000 6682225 12250000 6400900 53650000 29157448
上式表示变量 yt 和 xt 之间的真实关系。其中 yt 称被解释变量（因
变量），xt 称解释变量（自变量），ut 称随机误差项， ?0 称常数项， ? 1 称回归系数（边际效果）。上面模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(yt) = ?0 + ?1 xt,（2）随机部分，ut 。
30 y
25
u 与xi 相互独立。否则，分不清是谁对yi的贡献。（4）随机扰动项与解释变量不相关假定。即
Cov ( ? i , X i ) ? E [? i ? E ( ? i ) ][ X i ? E ( X i )] ? 0
（5）正态性假定。即 ? i ~ N (0,? 2 )
异方差
Y
Y
? 0 ? ? 1X

第二章22 简单线性模型参数估计

计量经济学的2.2 一元线性回归模型的参数估计

2.2一元线性回归模型的参数估计

§2.2 一元线性回归模型的参数估计

线性回归模型的参数估计

简单线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何利用模型进行

第2章线性模型(bai 修正)

简单线性回归模型

简单线性回归模型的估计与解释

试讲 简单线性回归模型

第2章2一元线性回归模型的参数估计

§2.1 线性模型的参数估计

统计学中线性混合模型的参数估计方法

线性回归模型及其参数估计

数据分析中的线性回归模型和参数估计

二元线性回归模型和参数估计

第二章 简单线性回归解读

二元线性回归模型及参数估计ppt课件

第2章⑵一元线性回归的参数估计

§22 一元线性回归模型及其参数估计

第二章22 简单线性模型参数估计

试讲简单线性回归模型

第二章简单线性回归解读