第三章平面力系的平衡问题
第三章平面力系的合成与平衡
滑轮的受力图如图3.10(c)所示。
为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，使x、 y轴分别与反力NBC、NAB垂直。
∑Fx=0,-NAB+Tcos60°-TBDcos30°=0 得 NAB=Tcos60°-TBDcos30°=-7.33kN NAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相反。即杆AB受压力作用。再由
R Rx2 Ry2 ( Fx )2 ( Fy )2
tan Ry Fy
Rx
Fx
上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影 定理。
【例3.3】图3.7所示的吊环上作用有3个共面的拉力，各 力的大小分别是T1=3kN、T2=1kN、T3=1.5kN，方向如图
【解】绳AB作用于桩上的拉力是由绳BD传来的。因此先 取结点D为研究对象求出绳BD的拉力。
作用在结点D上的力有已知力F、绳DE的拉力TDE和 绳BD的拉力TDB,这三个力组成一平面汇交力系。结点D 的受力图如图3.11(b)所示。
选直角坐标系如图，使y轴与TDE垂直。列平衡方程
∑Fy=0,TDBsinα-Fcosα=0 得 TDB=Fcotα=4000N 再取结点B为研究对象。作用在结点B上的力有绳BC、 BD和BA的拉力TBC、TBD、TBA，绳BD给两结点D和B的 作用力应大小相等、方向相反，即有TBD=TDB=4000N。 力TBC、TBD、TBA组成一个平面汇交力系，结点B的受力 图如图3.11（c)所示。
3.1 平面汇交力系 3.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。
平面力系的平衡问题
平面力系
例2.9 一悬臂吊车如图a所示，横梁AB长l = 2m假设其重 量Q = 1kN集中于质心C，吊重P = 6kN作用于D点，已知 α=30º，a = 1.6m，求铰支座A的约束反力与拉杆BF的拉 力。
平面力系
解：（1）受力分析 将横梁AB分离出来，主动力有重力Q和吊重P；拉杆BF
由于只有两端受力视为二力杆，拉力为T；A为固定铰支座， 约束反力有FAx和FAy。受力图如图b所示。
倾倒，在离中心线 x 处附加
一平衡重FQ，但又必须防止
起重机在空载时向左边倾倒。
试确定平衡重FQ以及离左边 轨道的距离 x 的值。
平面力系
解 : 以整个起重机为研究对象
进行受力分析，对满载和空载
情况分别考虑。
x
（1）满载时：作用在起重机
上的五个力构成平面平行力系。
n
M A (Fi ) 0
i 1 n
平面力系
静定与静不定
平面力系
1.3 刚体系统平衡问题的解法
由若干个物体通过适当的联接方式(约束)组成的系统称 为物体系统，简称物系。工程实际中的结构或机构，如多 跨梁、三铰拱、组合构架、曲柄滑块机构等都可看作物体 系统。
研究物体系统的平衡问题时，必须综合考察整体与局部 的平衡。当物体系统平衡时，组成该系统的任何一个局部 系统以至任何一个物体也必然处于平衡状态，因此在求解 物体系统的平衡问题时，不仅要研究整个系统的平衡，而 且要研究系统内某个局部或单个物体的平衡。
机械工程基础
平面力系
1．求解单个刚体平衡问题的思路和步骤 （1）弄清题意，选取研究对象，取隔离体。 （2）受力分析，标出已知力，在约束拆除处标出约束反 力，画受力图。 （3）列平衡方程式，求解未知量。
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
基础篇 单元三 平面力系的平衡
当物系平衡时，系统内的每一部分都是平衡的。既可以选 择整个物系为研究对象，也可以选择其中的某几个或某一个物 体作为研究对象。
单元三 平面力系的平衡
课题三 物体系统的平衡
对于一般的静定物系平衡问题，应首先画出整体、局部或单 个物体的受力图，再从有已知力且未知量数少于或等于独立平衡 方程数的物体着手分析，便可解除全部未知量。若物系内分离体 均不符合可解条件，必须寻找有局部可解条件的分离体。
课题一 平面任意力系的平衡
单元三 平面力系的平衡
课题一 平面任意力系的平衡
由平衡方程可知，平面任意力系平衡的解析条件为：力系 中各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零，各力对力 系作用面内任意一点之矩的代数和等于零。除基本形式之外， 平面任意力平衡方程还可表示为二力矩形式。
M M
座的约束力。
解 (1)取齿轮轴为研究对象，画其受力图，如图3-2b。
(2)建立直角坐标系Axy，如图3-2b所示，列平衡方程求解
单元三 平面力系的平衡
课题一 平面任意力系的平衡
Fx 0 F FBx 0
解得 FBx F
M A(F) 0 FA 3a F 2a 2Fa Fa 0 解得 FA F
3 kN 11.4kN 2
将FT代入式(b)得 FAy G1 G2 FT sin 2.1kN
本题也可用二力矩式求解。
单元三 平面力系的平衡
课题一 平面任意力系的平衡
例3-3 减速器中的齿轮轴Ｂ端可分别简化为固定铰支座，
Ａ端可简化为可定铰支座，如图3-2a所示。已知Ｆ、a，求两支
解 取工件为研究对象。工件在水平面受三个力偶和两个螺 栓的水平约束力的作用，三个力偶合成后仍为一力偶，若工件 平衡，必有一约束力偶与它相平衡，因此螺栓A和B的水平力 FNA和FNB必组成一力偶，方向如图3-5b所示，且FNA=FNB 。列 平衡方程
理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程
10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
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29
滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16
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课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
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x
xC
x
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5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)
平面力系平衡问题的步骤
平面力系平衡问题的步骤
以下是关于平面力系平衡问题的步骤。
平面力系平衡问题的步骤如下：
1.分析受力物体和施力物体：首先，要明确力系中涉及到的物体，以及它们之间的相互作用。
2.列出所有作用在受力物体上的力：根据力的作用点和方向，将所有力按照大小和方向列出。
3.合成合力：对于多个力作用在同一物体上，需要将它们进行合成，得到一个等效的合力。
合成方法有平行四边形法则、三角形法则等。
4.求解合力矩：计算合力在各坐标轴上的分力，以确定力对物体产生的力矩。
5.判断平衡条件：根据物体所处的平衡状态（静止或匀速运动），判断各力矩之和是否为零。
如果为零，说明物体处于平衡状态；如果不为零，说明物体不受平衡力。
6.验证平衡条件：如果需要，可以通过实际操作或数值计算来验证平衡条件的正确性。
7.结论：根据分析结果，得出物体在给定力系下的平衡状态，以及可能存在的运动状态。
。
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
第三章.平面力系的合成与平衡
各力首尾相接
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡
例4
已知：
系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。
用解析法，建图示坐标系。
F
x
0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy F cos F Fx Fy
Fx cos F
Fx
x
O
Fx
F Fx2 Fy2
cos
Fy F
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 3）合力投影定理 平面汇交力系，由三个力组成的力多边形 合力投影定理建立了合力投影与各分力投影的关系
FRx Fix
当 x轴与 y 轴不是正交轴时 ：
F Fx Fy
力在坐标轴上的投影不等于力在这个轴上的分量。
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 2）力沿坐标轴的分解 当
Fx Fx
x y
y
Fy Fy
B
Fy
Fx F cos
Fy
A
β α
矢量和
θ
P
FNA 11.4kN FNB 10kN
F
FNB
F
θ P FNA
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 1）力在坐标轴上的投影 F力在 x 轴上的投影：
Fx F cosθ
Fy
Fx
F力在 y 轴上的投影：
Fy F cosβ
3 FR 2 FR1 F3 Fi i 1
简述平面力系平衡问题的求解步骤
平面力系平衡问题是工程力学中的一个重要内容，它主要研究平面内各点的受力情况，以及力的平衡条件。
在工程实践中，平面力系平衡问题的求解能够帮助工程师更好地设计和分析结构，保证其稳定性和安全性。
本文将围绕平面力系平衡问题的求解步骤展开，以便读者能够全面理解这一主题。
一、确定力的作用点和作用线在解决平面力系平衡问题时，首先需要确定力的作用点和作用线。
力的作用点是指力作用的具体位置，而作用线则是指力的作用线路。
这些确定下来之后，我们才能准确地分析和计算受力物体的平衡情况。
二、绘制受力图绘制受力图是解决平面力系平衡问题的重要步骤之一。
通过绘制受力图，可以清晰地展示各个受力物体的受力情况，包括作用力的大小、方向和作用线的位置。
这为后续的计算和分析提供了重要的基础。
三、应用平衡条件在确定了力的作用点和作用线、绘制了受力图之后，接下来需要应用力的平衡条件进行求解。
根据力的平衡条件，当一个物体处于静止或匀速直线运动时，它受到的合力和合力矩均为零。
可以通过平衡条件，求解出未知力的大小和方向，以及受力物体的平衡状态。
四、检验平衡条件在使用平衡条件求解出未知力后，需要进行检验以确保计算的准确性。
通过检验，可以验证所得结果是否符合平衡条件，以及受力物体的真实情况。
如果计算结果不符合平衡条件，需要重新检查和修正。
以上就是简要的平面力系平衡问题的求解步骤，读者可以通过以上步骤全面了解平面力系平衡问题的求解过程。
在工程实践中，我们经常会遇到各种复杂的受力情况，因此掌握平面力系平衡问题的求解方法对于工程师而言至关重要。
通过不断的练习和学习，我们可以更加灵活和准确地应用这些方法，为工程实践提供有力的支持。
平面力系平衡问题是工程力学中的一个重要内容，它主要研究平面内各点的受力情况，以及力的平衡条件。
在工程实践中，平面力系平衡问题的求解能够帮助工程师更好地设计和分析结构，保证其稳定性和安全性。
本文将围绕平面力系平衡问题的求解步骤展开，以便读者能够全面理解这一主题。
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即 110()0i n R i n O O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式：11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足()0O M F ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yF F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：1、电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并确定其数值。
解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2Q P P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
工程力学 第2版 第3章 平面力系的平衡方程及其应用
3.2 物系的平衡问题
物体系统:由若干个物体通过约束联系所组成的系统，简称为 物系。
系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每个物体也都 平衡。因此研究这类问题时，既可以取系统中的某一个物体为 分离体，也可以取几个物体的组合或者取整个系统为分离体。
1 静定和超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
注意：不能漏画固定端的约束反力偶MA，力偶只参与力矩方程，将力偶矩的大小直接代入方程， 而不参与投影方程。
在需同的样不求建要的平的一的立指矩衡，样结平定心方求，果矩位程解但是衡心置是过最一方，列不程终样程不出一也所，时，的在们的不正结这 要 选 同 确果个 意 择 ， 的就过 识 所 但 道是程 到 经 只 路正中 ， 历 要 ，确同 不 的 选 最的学 同 就 择 后。
Fx 0
Fy
0
➢ 平面平行力系的平衡方程
Fx 0( Fy 0)
M0(F) 方程组，皆可解与其平衡方程数对 应的未知数。应用力系平衡方程可以确定工程中构件在平衡时 的未知力。
2 平面力系平衡方程的应用
步骤
1）确定研究对象，画受力图 2）建立直角坐标系，确定各力与坐标轴的夹角 3）确定该平面力系的种类，列出相应的平衡方程求解未知力。
第3章 平面力系的平衡方程及其应用
平面力系的平衡方程及其应用
单个物体的平衡问题 物系的平衡问题
考虑摩擦时物体的 平衡问题
3.1 单个物体的平衡问题 1 平面力系的平衡条件
平面力系平衡的充要条件是：合力为零
➢ 平面一般力系的平衡方程 ➢ 平面汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
第三章：平面任意力系
第三章平面任意力系一、要求1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。
会应用解析法求主矢和主矩。
熟知平面任意力系简化的结果。
2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。
3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。
4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。
二、重点、难点1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。
平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。
物体及物体系平衡问题的解法。
2、本章难点：主矢与主矩的概念。
物体系的平衡问题。
三、学习指导1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。
一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。
2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。
两个力系合在一起与原力系等效。
这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。
然后，分别求平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。
于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。
3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。
主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。
（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。
平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕点转动的作用效果。
（3）主矢与简化中心的选择无关。
从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。
主矩与简化中心的选择有关。
建筑力学大纲 知识点第三章 平面力系得平衡条件
第3章 平面力系的平衡条件3.1平面汇交力系的合成与平衡条件力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
3.1.1 平面汇交力系合成的解析法设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。
按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影∑∑====ni yiRy ni xiRx F F F F 11y图3-2R F = cos RxRF F α=(3-1) cos Ry RF F β=式中α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。
3.1.2 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。
10nRx xi i F F ===∑10nRy yii F F===∑ (3-2)于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。
3.2平面力偶系的合成与平衡条件3.2.1 平面力偶系的合成应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。
∑==ni i M M 1(3-3)3.2.2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 10nii M M===∑ (3-4)3.3平面任意力系的合成与平衡条件3.3.1工程中的平面任意力系问题力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。
3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩如图3-7（a ）所示。
在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。
i ′图3-7由力12,,,n F F F '''L 所组成的平面汇交力系，可简化为作用于简化中心O 的一个力RF '，该力矢量∑==ni i RF F 1'(3-5)R F '称作平面任意力系的主矢。
第3章 平面力系的合成与平衡
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
作业
习题3-5；
习题3-8。
第三章 目录
3.1 汇交力系的合成与平衡
3.2 力线的平移
3.3 平面一般力系的合成
3.4 平面一般力系的平衡方程和应用
平面力系的 第三章 合成与平衡
教学目标
了解平面力系的定义及其分类；
掌握平面力系平衡方程的求解；
理解力线平移原理，平面力系的简化。
第三章 目录
3.1 汇交力系的合成与平衡
3.2 力线的平移
3.3 平面一般力系的合成
3.4 平面一般力系的平衡方程和应用
3.5 平面平行力系的合成与平衡
• 力系的分类
• 【思考题】
1.力系的合力与主矢有什么区别？
2.力系的主矩与合力偶有什么不同？
• 主矢的确定
FR F F
2 Rx 2 Ry
F F
2 x y
2
Fx F Rx cos FR , i FR FR
FRy Fy cos FR , j FR FR
FR2
d
F4
e
F3
a
FR
FR F1 F2 F3 F4
• 1. 力多边形
c
F2
F3
d
F4
由各分力和合力构
成的多边形 abcde 称 为力多边形，这种作图
b
F1
e
a
FR
法称力多边形法则。
合力的作用线通过汇交点，大小和方向
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
第三章 静力平衡问题(7学时)
W
A
P
C
B
本题作用于小车的是 平行于Y轴的平行力系， 系统 三个物体8个平衡方程； 约束 固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触 处各1共8个反力， 是静定问题。
2）静不定问题或超静定问题
完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程 数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。
约束反力数 m 系统中物体数 n <3n 未完全约束 m =3n 静定问题 >3n 静不定问题 静不定的次数为： k=m-3n
解物系问题的一般方法：
由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少）
[例3.1] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？ 解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X 0
由①得
T2cos T10 ①
②
Y 0T2 sin Q N D 0
1 cos T P 1 T2 2P 2
3n=3; m=4 一次静不定 3n=3; m=6 三次静不定 3n=3; m=4 一次静不定
讨论：试判断下列问题的静定性。
A
A
B
Ｃ
M
F2 F1 60
C D
A
B
B
C D
F
约束力数 m=8 物体数 n=3 m<3n 未完全约束
m=6 n=2 m=3n 静定结构
n=3 m=1+2+2+4=9 m=3n 静定结构
F0
直径 D
O
A B
工件
e
d D D
3. 破碎机轧辊D=500mm，匀速转动 破碎球形物料。f=0.3, 求能破碎的最大 物料直径d。（物重不计）
512
理论力学第3章力系平衡方程及应用
a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx
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即：力系中各力在任选的两正交坐标轴上投影 的代数和为0，以及力系中各力对任一点之矩的 代数和也等于0。 对一个研究对象建立的独立方程数为3个. 方程中至少有一个矩方程. 投影轴及矩心均为任意.
平衡方程的其它形式 二矩式
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 Fx 0
F
Ⅱ
0,
FEx
2. 选取DCE研究对象， 受力分析如图所示。
D K
G
FDB
M F 0,
C
FDB cos 45 2l FK l FEy 2l 0
FA 5 2 G 8
FK
FK F Ex F DB
FCx C
FCy
FEx
FEy
E
13G FEy G FA sin 45 8
M
A
(F ) 0
P ( 2l r ) FB l P( 2l r ) 0
F
x
0
FB 0
FAx P
FAx P 0
F
y
0
FAy P 0
FAy P
现将解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下：
1．根据问题条件和要求，选取研究对象。 2．分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究
附加条件:AB连线不能与x轴垂直 三矩式
M A (F ) 0 M B (F ) 0 M C ( F ) 0
为什么?
附加条件:A、B、C不能共线
（2）平面平行力系的平衡方程
F M
x O
0
(F ) 0
其中: x 轴与力作用线平行
二矩式 M
Fx 0
在轴线平面内受横向力或力偶作用的杆件—梁
F M
简支梁
M
F
外伸梁 悬臂梁 分布载荷的处理
连续梁 组合梁
F
M
q FR l
例2 图示平面结构，各杆自重 不计。已知：l,r,P,=45,试确 定A、B处约束反力。 解：BC杆为二力杆，以整体为 研究对象，其受力如图所示。 列平衡方程：
判断下面结构是否静定？静不定次数?
本章小结
1．平面力系平衡的必要与充分条件 F 0 FR M O M O ( F ) 0 2．平面力系的平衡方程有三种形式：
Fy 0 M O ( F ) 0 Fx 0
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
Fx 0
M A (F) 0 M B (F) 0 M C (F) 0
3．物体系统的平衡问题：
注意研究对象的选取.
4．静力学的任务:
分析受力平衡条件约束反力
A B
M
(F) 0 (F) 0
为什么?
附加条件:A、B连线不与力平行
例1 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已 知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q=100 N/m，力偶矩大小M =500N•m。长度AB =3m，DB=1 m。求活动铰支D和固定铰支A的约束力。 解：取AB梁为研究对象， 受力如图所示。
AE 2BE
3 2Q P 2
P 2 2 0.61 Q 3
例3.图示结构，各杆 自重不计。已知： l,q,M。试确定固定 端E处约束反力。 解：首先以AC杆为 研究对象，其受力 如图所示。 列平衡方程：
M
C
(F ) 0
1 M FB l ql 2 0 2 解得： M 1 FB ql l 2
矩式(矩心)和投影式(投影轴)
求解的次序,先解含一个未知量的方程.
避免解联立方程.
注意: 1.销钉处的力如何处理 2. 中间结果为负值时,代入为代数值,受力图 遵守作用力反作用力不变.
思考:如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=
CB=2l ； 定 滑 轮 半 径 为 R ， 动 滑 轮 半 径 为 r ， 且 R=2r=l, θ=45°。试求：A，E支座的约束力及BD
FBy FBx
B
F
60 C E
象，受力分析如图。
M
4m 2m 2m 2m D
FDx
FDy
M F 0
D
FBy = 6.5 k N
M F sin 60 4 F cos 60 4 FBy 6 FBx 4 0 FBx = 20.75 k N
F
FBy FBx
4.取杆AB为研究对象，受力分析如图。
F
A
x
0,
FAx FBx FE 0
M F 0, 2r FBx 2r FBy rFE 0
联立求解可得
FBx 1.5G ,
FBy 2G
练习2 如图已知 F=15 kN， M =40 kN·m。 各杆件自重不计，试求D和B处的支座约束力。
(2)考虑左半部
1 M 0 X ( P Q) C A 4 1 X (3Q P) 代入得： B 4
例2 已知：四连杆机构ABCD 受力 P、Q 作用。 求: 机构平衡时P、Q 的关系。 解:考虑整体DABC的平衡：
M
E
0
P cos 30 o BE Q AE
G 2 5G 8 3 2G 8
§3-3 静定、静不定问题
静定与静不定概念 静定问题：未知量个数= 静定问题 独立的平衡方程个数； 静不定问题：未知量个数 静不定问题 >独立的平衡方程个数。
1.如何判定?
正确的受力分析力系类型独立方程个数 2.静不定次数 静不定次数=未知量个数-独立方程个数 3.静不定问题的求解 在刚体已无自由度的基础上,增加“多余”约束. “多余”约束,力“多余”,刚度不多余. 约束反力与变形有关,需补充变形协调方程(材力)
1 FR q dx q m l 0 2
l
再求合力作用线位置。
M
A
l
0
q xdx
MA 2 h l FR 3
思考与 讨论 同一力系向不同点简化结果不同,但 最终的合成结果相同. Q1.某平面力系向A、B两点简化的主矩均为零,此 力系简化的最终结果是什么? Q2.平面汇交力系向汇交点以外任一点简化,其结 果可能是什么?不可能是什么? Q3.某平面力系向同平面内任一点简化的结果都相 同,那此力系简化的最终结果可能是什么?
2. 平面力系的平衡方程
由前面力系简化结果可知，平面力系可以简化 为一个力和一个力偶。 平 面 力 系 平 衡
F 0 FR
F F
x y
0 0
M O M O F 0
M F 0
O
（1）平面一般力系的平衡方程的基本方程
Fy 0 M O ( F ) 0 Fx 0
对象所受的全部主动力和约束力。
3．根据力系类型写平衡方程。平面一般力系只有三
个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标 系和矩心，以使方程中未知量最少。
4．求解。校核和讨论计算结果。
§3-2 刚体系统的平衡
刚体系统是指由几个刚体通过约束组成的系统。 刚体系统 求解和研究刚体系统的平衡问题时需要注意以下 几点：
杆所受的力。
D K C B Ⅰ
A
E
Ⅱ
G
D FA A
1. 选取整体研究对象，受力分析如图所示。
K C FEy
E
B Ⅰ
M E F 0 , Fx 0,
y
FA
2 2l G
5 l0 2
F A cos 45 FEx 0 F A sin 45 FEy G 0
B
F
60 C E
x
0,
FBx F cos 60 FDx 0
M
4m 2m 2m 2m D
F
FDx = 13.25 k N
y
0,
FBy F sin 60 FDy 0
FDy = 6.5 k N
FDx
FDy
研究对象的选取,尤其是第一个研究对象.
问题的突破.
平衡方程的选取,尤其是第一个方程.
（1） F'R =0，而MO≠0，原力系合成为力偶。 这时力系主矩MO与简化中心无关。 （2） MO=0，而FR ≠0，以及FR ≠0，MO≠0， 原力系合成为一个力。 （3） F'R =0，而MO=0，原力系平衡。
同向平行力系的合成 例 三角形分布载荷作用在水平梁上，如图所 示。最大载荷强度为qm ，梁长l。试求该力系的 合力。 解：先求合力。 x q qm l
G，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各
构件自重不计，试求B处的约束力。
FAy FAx
解： 1.取整体为研究对象。 2.受力分析如图。 3.列平衡方程。
FCx FCy
M F 0,
C
5r G 2r FAx 0
FAx 2.5G
G
FAy FAx FE FBx FBy
解：(1)考虑整体,受力如图所示，列平衡方程如下： 1 1 1 YB ( P Q) M A 0 YB 2a Q 2 a P 2 a 0 得： 4 3 a 3 1 0 2 0 M Y a P a Q 得： Y P Q B A A 4 4 2 2 Fx 0 X A X B Q 0
第三章 平面力系的平衡问题
力作用线在同一平面内，但彼此不汇交一点， 且不都平行的力系称为平面力系。 平面力系 力系中各力近似作用在同一平面 力系有对称平面
§3-1 平面力系的平衡方程