二次型(ppt文档)
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63二次型的规范型.ppt
第六章 二次型
中南财经政法大学信息系
一、 概念的引入
设
f x12 9x22 4x32 (标准型)
y1 x1
令
y2
3x2
y3 x3
z1 x1
令
z2
3x2
z3 2x3
f y12 y22 4 y32 f z12 z22 z32
所以, 二次型的标准型不唯一.
二、惯性定理
推论 :两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩 和正负惯性指数相等.
例２
1
3
1
A 2 B 2 C 3
1
1
4
则 A与C合同,A与B不合同.
例３ 判断下列对称矩阵是否合同
1 2 0 1 0 0 A 2 1 0, B 0 2 0
0 0 1 0 0 1
解：
1 2 0
z3
则
f
z12
z
2 2
z32 .
所作的线性变换为
1 0
0
x1 1 3
x2 x3
2 2
3 3
2 5 15
0
2 4 5
45 45 45
3 0
0
1 18 0
0
z1 z2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 18
z3
1 9 2 9
2 9
2 3 10 1 3 10
0
1 5 9 z1
2 5 12
9 9
z2 z3
x1
即
1 2
y1
x2
1 8
1 8
y2
2 y3
y2 y3
x3 y3
且 有 f y12 y22 y32 .
。
中南财经政法大学信息系
一、 概念的引入
设
f x12 9x22 4x32 (标准型)
y1 x1
令
y2
3x2
y3 x3
z1 x1
令
z2
3x2
z3 2x3
f y12 y22 4 y32 f z12 z22 z32
所以, 二次型的标准型不唯一.
二、惯性定理
推论 :两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩 和正负惯性指数相等.
例２
1
3
1
A 2 B 2 C 3
1
1
4
则 A与C合同,A与B不合同.
例３ 判断下列对称矩阵是否合同
1 2 0 1 0 0 A 2 1 0, B 0 2 0
0 0 1 0 0 1
解：
1 2 0
z3
则
f
z12
z
2 2
z32 .
所作的线性变换为
1 0
0
x1 1 3
x2 x3
2 2
3 3
2 5 15
0
2 4 5
45 45 45
3 0
0
1 18 0
0
z1 z2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 18
z3
1 9 2 9
2 9
2 3 10 1 3 10
0
1 5 9 z1
2 5 12
9 9
z2 z3
x1
即
1 2
y1
x2
1 8
1 8
y2
2 y3
y2 y3
x3 y3
且 有 f y12 y22 y32 .
。
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
第五章二次型--精品PPT课件
定义:复数域C上的n元二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn )
n j1
n i 1
aij
xi
x
j
其中 aij a ji ,称为C上n元Hermite型.
注: Hermite型是二次型的推广.
Hermite型矩阵_2
n元Hermite型 f ( x1, x2, , xn ) X ' AX
定理: A=A, B=B∈Cn×n，则A合同于B
r(A) = r(B)
定理: A=A, B=B∈Rn×n ，则A合同于B
A与B有相同的秩与符号差 A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数 A与B有相同的正惯性指数和秩 A与B有相同的符号差和秩
注 1 : C上n阶对称阵，按合同关系分类共有n+1类
Hermite型矩阵_4
定理:设A是一个Hermite阵,则必存在一个可 逆阵C∈Cn×n,使 CAC为对角阵且主对角线元 素是实数.
定理:设 f (x1, …, xn) 是Hermite型, 则存在非 退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y1 y1 d2 y2 y2 dn yn yn
二次型的标准型
引理:设0≠A’=A∈Kn×n,则必存在可逆阵C, 使C’AC的第(1,1)元素不等于0.
定理:设A’=A∈Kn×n,则存在可逆阵C∈Kn×n, 使C’AC为对角阵.
定理:设 f (x1…xn) 是K上n元二次型, 则存在 非退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
定理中称r为f (x1…xn)的秩, p为f (x1…xn)的 正惯性指数, q = r－p称为f (x1…xn)的负惯性 指数, s = p－q称为f (x1…xn)的符号差.
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数—二次型(课件)
称 为 由 变 量 x 1 , x 2 , , x n 到 y 1 , y 2 , , y n 的 一 个 线 性 变 换 。
记
x 1
X
x2
,
x n
y 1
Y
y2
,
y n
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n
c2n
,
cnn
则上述线性变换可以写成矩阵形式： XCY. 11
的矩阵A和二次型的秩，其 中 a 1,a 2,a 3不 全 为 零 。
解 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ( a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2
a1 2
a1
x1
( x1 , x2 , x3 ) a2 (x1, x2, x3)a2(a1,a2,a3)x2,
a3
x1 c11y1 c12y2 c1n yn x2 c2 1y1 c22y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnnxn
C 称为该线性变换的矩阵。
XCY.
若 C 0 ， 则 此 线 性 变 换 称 为 可 逆 线 性 变 换 。
如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。
a 2x 2 2 2 2 a 2x 3 2 x 3 2 a 2 n x 2 x n
称为一个(n元)二次型.
ann xn2
本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。
3
f(x1,x2,,xn) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 2 x 2 2 a 1 x 1 3 x 3 2 a 1 n x 1 x n
6
f(x1,x2, ,xn)XTA,X
高等代数讲义ppt第五章二次型
顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
二次型ppt课件
为标准形，并求所做的坐标变换。
解 因为没有二次项，先利用平方差公式 做如下变换:
x1 x2
y1 y1
y2 y2
x1 1 1 0 y1
即
x2
1
1
0
y2
(1)
x3 y3
x3 0 0 1 y3
记作
x=C1 y
将(1)式代入二次型，得
f(x1, x2, x3)= 2y12 2y22 4y2y3
例3 用配方法把三元二次型
f
(x1, x2 , x3 )
2 x12
3x
2 2
x32
4x1x2
4x1x3
8x2 x3
化为标准形，并求所用的坐标变换 x=Cy 及变换矩阵C 。
解 先按x12 及含有x1的混合项配成完全平方，即
19
f (x1, x2 , x3 )
2[x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 ] 2(x2 x3)2 3x22 x32 8x2x3
这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及
物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般
化,讨论 n个变量的二次齐次多项式的化简问题.
1
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2, ,xn的二次齐次多项式
f(x1,x2, ,xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
其中1, ,n 是实对称矩阵A的n个特征值， Q的n个列向量是A属于1, ,n 的n个标准正交变换化二次型
f (x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x22 8x2 x3 5x32
解 因为没有二次项，先利用平方差公式 做如下变换:
x1 x2
y1 y1
y2 y2
x1 1 1 0 y1
即
x2
1
1
0
y2
(1)
x3 y3
x3 0 0 1 y3
记作
x=C1 y
将(1)式代入二次型，得
f(x1, x2, x3)= 2y12 2y22 4y2y3
例3 用配方法把三元二次型
f
(x1, x2 , x3 )
2 x12
3x
2 2
x32
4x1x2
4x1x3
8x2 x3
化为标准形，并求所用的坐标变换 x=Cy 及变换矩阵C 。
解 先按x12 及含有x1的混合项配成完全平方，即
19
f (x1, x2 , x3 )
2[x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 ] 2(x2 x3)2 3x22 x32 8x2x3
这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及
物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般
化,讨论 n个变量的二次齐次多项式的化简问题.
1
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2, ,xn的二次齐次多项式
f(x1,x2, ,xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
其中1, ,n 是实对称矩阵A的n个特征值， Q的n个列向量是A属于1, ,n 的n个标准正交变换化二次型
f (x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x22 8x2 x3 5x32
一二次型及其标准形的概念-PPT精选文档
f x , x , x x x x x x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
都为二次型； 2 2 2 f x , x , x x 4 x 4 x 1 2 3 1 2 3
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型 2 2 2 f x , x , , x a x a x a x 1 2 n 11 1 22 2 nn n
2 1 2 2 2 3
的矩阵 . 解 a 1 , a 2 , a 3 , 11 22 33
a 0 , a a 2 ,a 13 31 12 21 a a 3 . 23 32
0 1 2 A 2 2 3. 0 3 3
( a x a x ) x a x n n 1 1 n 2 2 nn n a x a x a x 1 11 12 2 1 n n a x a x x 21 1 a 22 2 2 n n (x ,x , ,x ) 1 2 n a x a x n 1x 1 a n 2 2 nn n
aij xi xj .
i , j1
n
2．用矩阵表示 2 f a x a x x a x x 11 1 12 1 2 1 n 1 n 2 a x x a x a x x 21 2 1 22 2 2 n 2 n 2 a x x a x x a x n 1 n 1 n 2 n 2 nn n ( a a x a x ) x x 1 1 11 12 2 1 n n ( a x a x ) x a x 2 21 1 22 2 2 n n
2 a x x 2 a x x 2 a x x 12 1 2 13 1 3 n 1 , n n 1 n
二次型的基本概念ppt课件
x2 ,
x3 )
( x1 ,
x2 ,
x3
)
2
1
0
3 5
5 2
x1 x2 x3
1
2
2
8
1 －1 3
例3
设A
3
3
－1
，则X
T
AX
是一个
6 2 －1
二次型。
解：实际上，我们只需要判断X T AX是否 是一个二次齐次多项式。
9
1 －1 3 xΒιβλιοθήκη ( x1x2x3
)T
3
3
－1
15
X CY
证明：f ( x1 , x2 ,L, xn ) X T AX (CY )T A(CY ) Y T (CT AC )Y，
令B CT AC， 由于BT (C T AC )T C T AT (C T )T C T AC B 以及C可逆，所以，B是对称矩阵。
L
ann xn
4
a11 a12 L a1n
x1
令A
a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
X
x2 M
an1
an2
L
ann
xn
则
f ( x1, x2 ,L, xn ) X T AX , A AT ................(6.2) 称(6.2)式为二次型f ( x1, x2 ,L, xn )的矩阵表示， 对称矩阵A为f 的矩阵，A的秩为f 的秩。
a11 x1 a12 x2 L a1n xn
(
x1 ,
x2
,L,
xn
)
a21 x1
a22
x2 M
二次型ppt课件
j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 来自第1列位置的元素变成零。
惠州学院数学系
这相当于用
T1
j
(
a1 j a11
)
右乘A，用
T j1(
a1 j a11
)
T1
j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E 1 , E 2 , , E s , 使得
a11 0 0
E s E2 E1 AE1 E2 E s
惠州学院数学系
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。
等价的二次型具有相同的秩。
定理9.1.4 令 A ( a ij ) 是数域F上的一个n阶对称矩
阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c1
0
P A P
c2
0
cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形
二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形
三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
惠州学院数学系
为二次型 q ( x 1 , x 2 , , x n ) 的矩阵。因为 a ij a ji ,
所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘
法，（2）式可以写成
（3）
x1
q(
x1
,
x2
,
,
xn
)
(
x1
,
x2
,
惠州学院数学系
这相当于用
T1
j
(
a1 j a11
)
右乘A，用
T j1(
a1 j a11
)
T1
j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E 1 , E 2 , , E s , 使得
a11 0 0
E s E2 E1 AE1 E2 E s
惠州学院数学系
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。
等价的二次型具有相同的秩。
定理9.1.4 令 A ( a ij ) 是数域F上的一个n阶对称矩
阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c1
0
P A P
c2
0
cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形
二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形
三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
惠州学院数学系
为二次型 q ( x 1 , x 2 , , x n ) 的矩阵。因为 a ij a ji ,
所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘
法，（2）式可以写成
（3）
x1
q(
x1
,
x2
,
,
xn
)
(
x1
,
x2
,
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（这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn下，二次型 f ( x1, x2,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
§1 二次型的矩阵表示
例1 1）实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
2）实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x22 3x2 x3 7 x32
aij xi x j
i 1
1i jn
§1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 a12 x1x2
a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
3）复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1x2 3x1x4 5x22 (3 i)x2 x3 它们的矩阵分别是：
a
b
b c
,
2 2 3
2 3
5
3 2
3 2
7
,
0
i 2
0
i 2
0
3 2
5
3i 2
0
3i 2
0 0
32
0 0
.
0
§1 二次型的矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义： x1, x2 , , xn; y1, y2 ,
cij P,i, j 1,2,...n ，关系式
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12
y2
xn
cn1
y1
cn2
f ax2 cy2
(标准方程)
§1 二次型的矩阵表示
代数观点下
二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn )
作适当的 非退化线 性替换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12
y2
xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
§1 二次型的矩阵表示
注意: 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B.
§1 二次型的矩阵表示 §2 标准形 §3 唯一性 §4 正定二次型 章小结与习题
一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结
问题的引入:
解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax2 2bxy2 cy2
选择适当角度
θ ,逆时针旋转 坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
j1
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j 1
j 1
n
xn anj x j
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
§1 二次型的矩阵表示
一、n元二次型
1、定义：设P为数域， aij P,i, j 1,2, ,n,
n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式 f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a1n x1xn
x1
2)
令X
x2
,
由
xn
a11 a12 ... ,
x2 ,...,
xn
)
a21
a22
...
a2n x2
an1 an2 ... ann xn
§1 二次型的矩阵表示
n
线性替换 Y C 1X .
§1 二次型的矩阵表示
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX
X CY
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
Y (CAC )Y 令——B—— ——CA——C Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
令
X
x2
,Y
y2
,
C
c21
c22
...
c2n
xn
yn
cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
注 1）③或④为非退化的
C=
cij
为可逆矩阵 .
nn
2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化
a22 x22
2a2n x2 xn
a33 x32 2a3n x3 xn
①
称为数域P上的一个n元二次型．
ann xn2
§1 二次型的矩阵表示
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 , , xn ) aii xi2 2
y2
c1n yn c1n yn cnn yn
, yn 是两组文字, ③
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
§1 二次型的矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
an1 xn x1 an2 xn x2
nn
aij xixj
i1 j1
ann xn2 ②
§1 二次型的矩阵表示
a11 a12 ... a1n
令
A
a21
a22
... a2n
an1 an2 ... ann
( A pnn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵.
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
§1 二次型的矩阵表示
例1 1）实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
2）实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x22 3x2 x3 7 x32
aij xi x j
i 1
1i jn
§1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 a12 x1x2
a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
3）复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1x2 3x1x4 5x22 (3 i)x2 x3 它们的矩阵分别是：
a
b
b c
,
2 2 3
2 3
5
3 2
3 2
7
,
0
i 2
0
i 2
0
3 2
5
3i 2
0
3i 2
0 0
32
0 0
.
0
§1 二次型的矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义： x1, x2 , , xn; y1, y2 ,
cij P,i, j 1,2,...n ，关系式
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12
y2
xn
cn1
y1
cn2
f ax2 cy2
(标准方程)
§1 二次型的矩阵表示
代数观点下
二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn )
作适当的 非退化线 性替换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12
y2
xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
§1 二次型的矩阵表示
注意: 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B.
§1 二次型的矩阵表示 §2 标准形 §3 唯一性 §4 正定二次型 章小结与习题
一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结
问题的引入:
解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax2 2bxy2 cy2
选择适当角度
θ ,逆时针旋转 坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
j1
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j 1
j 1
n
xn anj x j
j 1
n
n
nn
( xi aij x j )
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
§1 二次型的矩阵表示
一、n元二次型
1、定义：设P为数域， aij P,i, j 1,2, ,n,
n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式 f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a1n x1xn
x1
2)
令X
x2
,
由
xn
a11 a12 ... ,
x2 ,...,
xn
)
a21
a22
...
a2n x2
an1 an2 ... ann xn
§1 二次型的矩阵表示
n
线性替换 Y C 1X .
§1 二次型的矩阵表示
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX
X CY
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
Y (CAC )Y 令——B—— ——CA——C Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
令
X
x2
,Y
y2
,
C
c21
c22
...
c2n
xn
yn
cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
注 1）③或④为非退化的
C=
cij
为可逆矩阵 .
nn
2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化
a22 x22
2a2n x2 xn
a33 x32 2a3n x3 xn
①
称为数域P上的一个n元二次型．
ann xn2
§1 二次型的矩阵表示
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 , , xn ) aii xi2 2
y2
c1n yn c1n yn cnn yn
, yn 是两组文字, ③
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
§1 二次型的矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
an1 xn x1 an2 xn x2
nn
aij xixj
i1 j1
ann xn2 ②
§1 二次型的矩阵表示
a11 a12 ... a1n
令
A
a21
a22
... a2n
an1 an2 ... ann
( A pnn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵.