导数与不等式常考题型
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导数与不等式题型
1．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．
(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；
(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
(3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex
>-成立． 本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力． 对于第（1）问，只要运用导数的方法法研究出函数()f x 的单调性即可，最值就容易确定了；对于第（2）问，是一个不等式恒成立的问题，可通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题来处理；对于第（3）问，可以通过构造函数，利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明．
解析： (1) '()ln 1f x x =+， 当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减， 当1(,)x e ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． ① 102t t e <<+<
，t 无解； ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e
==-； ③ 12t t e
≤<+，即1t e ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以min 110()1ln t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩
， ，． (2) 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x
=++>，则2
(3)(1)'()x x h x x +-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==．
因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=．
（3） 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e
>
-∈+∞， 由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到．
设2()((0,))x x m x x e e
=
-∈+∞，则1'()x x m x e -=，易得max 1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到， 从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex >-成立． 2、已知函数ln ()x x k f x e
+=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.
（Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意2
0,()1x g x e -><+.
【答案】
3、已知函数a N n x a x x f n ,),1ln()
1(1)(*∈-+-=其中为常数. （Ⅰ）当n =2时，求函数)(x f 的极值；
（Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n ，当2≥x 时，有.1)(-≤x x f
【分析及解】（Ⅰ）定义域为),1(+∞，当2=n 时，),1ln()1(1)(2-+-=
x a x x f ∴3232)
1(22)1(2)1()(--+-=---='x a ax ax x x a x f ① 当0=a 时，3)1(1)(--
='x x f ， ∵1>x ，∴0)1(3>-x 恒成立，即0)(<'x f 在),1(+∞∈x 上恒成立，故)(x f 在),1(+∞∈x 上为减函数，∴
)(x f 无极值。