三角函数复习资料
《三角函数》复习专题
《三角函数》复习专题一、重要知识点清理1．角的概念：（了解）正角：按 时针方向旋转形成的角叫做正角. 负角：按 时针方向旋转形成的角叫做负角. 零角：射线没有做任何旋转，我们称它形成一个零角. 2．象限角、象限界角（轴线角）把角置于直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边（除端点外）的位置在第几象限，就称这个角是第几象限角。
角的终边在坐标轴上的角称为象限界角，它不属于任何象限.α是第二象限角可表示为： . α是第四象限角可表示为： . 3．终边相同的角：与α角终边相同的角的集合可以记做 . 4．弧度制的定义：（略）α= . 弧长公式：l = ； 扇形面积公式：S = = .5．角度与弧度的换算：180o = ； 1o = rad ；1ra d 6.任意角的三角函数的定义：7．三角函数的值在各象限的符号：8．作三角函数线平方关系：；商数关系： ； 公式（一）：sin(2)k πα+= c o s (2)k πα+= t a n (2)k πα+= 公式（二）：sin()πα+= c o s ()πα+= t a n ()πα+= 公式（三）：sin()α-= c o s ()α-= t a n ()α-=公式（四）：sin()πα-= c o s ()πα-= t a n ()πα-= 公式（五）：sin(2)πα-= c o s (2)πα-= t a n (2)πα-= 公式（六）：sin()2πα-= c o s ()2πα-= t a n ()2πα-=公式（七）：sin()2πα+= c o s ()2πα+= t a n ()2πα+= 公式（八）：3sin()2πα-= 3c o s ()2πα-= 3t a n ()2πα-=公式（九）：3sin()2πα+= 3c o s ()2πα+= 3t a n ()2πα+= 九个诱导公式的简记口诀为： （注意公式的逆向变换，符号是关键）求值，化简的步骤为： 12．函数()y f x =为周期函数⇔存在 T ，使 恒成立； 13．函数2cos(2)13y x π=-++，的 定义域为 ；值域为 ；周期为 ；增区间 ；减区间为 ；对称轴方程为 ；对称中心为 ； 14．有关函数sin()y A x b ωϕ=++(0,0,,A b ωϕ>>为常数)的方法要点 ①求其对称轴、中心、最大值和最小值：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心是其 点；对称轴经过其 点； ②求其单调区间方法：17.正弦、余弦、正切函数的图象和性质18．函数图象变换：①函数y ＝sin(x ±φ)( φ>0)的图象可由函数y＝sin x 的图象向左(或右)平移 个单位而得到，称为 变换．这种变换的实质是：纵坐标，横坐标增加(或减少) 个单位． ②函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象可由函数y ＝sin x 的图象沿x 轴伸长(ω<1)或缩短(ω>1)到原来的ω1倍而得到，称为 变换．这种变化的实质是：纵坐标 ，横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的 倍．③函数y ＝A sin x 的图象可由函数y ＝sin x 的图象沿y 轴伸长(A >1)或缩短(A <1)到原来的A 倍而得到的，称为 变换．这种变换的实质是：横坐标 ，纵坐标伸长(A >1)或缩小(0<A <1)到原来的 倍．19．综合变换：以函数y ＝3sin(2x －3π)，x ∈R 为例．①按φ、ω、A 顺序变换：y ＝sin x →y＝sin(x －3π)→y ＝sin(2x －3π)→y ＝3sin(2x －3π) 图象变换：②按ω、φ、A 顺序变换：y ＝sin x →y ＝sin2x →y ＝sin(2x －3π)→y ＝3sin(2x －3π)图象变换：y ＝sin(x －3π)y ＝sin(2x －3π)y ＝3sin(2x －3π)y ＝sin(2x －3πy ＝3sin(2x －3π)用流程图来表示：。
三角函数总复习高三
三角函数总复习57.3.的终边上的任意一点（异于原点）0)，sec2sin sin tan tan 1tan tan 2tan 1tan ααβαβαα±-三角函数的化简、计算、注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！tan tan αcos 22α，sin 22cos α，1对角、函数名、式子结构化同)。
x 2sec x =”的内存联系――“知一求二”2cot 2tanCB A =+ ②任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. ③正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为ABC ∆外接圆半径) ④余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，=2b _________________,=2c ___________________.=A cos _______________________,=B cos _________________,=C cos _______________________.⑤面积公式 C ab S ABC sin 2121高＝底⨯=∆=_______=_________=))()((c p b p a p p ---＝rp Rabc=4（其中ABC r R c b a p ∆++=分别为、、)(21的外接圆、内切圆半径） ⑥边角之间的不等关系B A b a B A sin sin >⇔>⇔>15、正余弦定理适用的题型⑴余弦定理适用的题型 ①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。
⑵正弦定理适用的题型 ①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，这时解三角形会产生多解的情况，举例说明已知时，和、A b a 解的情况如下： i A 为锐角（A b a sin 与的关系）ii A 为钝角（b a 与的关系）16.三角函数的图像和性质1.正弦曲线：正弦函数x y sin =,R x ∈的图像叫做正弦曲线。
三角函数复习课件
x
O
x
2k k Z
k k Z
k k Z 2
四、任意角的三角函数定义
y
P(x,y)
●
的终边
r
y x y sin , cos , tan r r x
oHale Waihona Puke 2xr x y
2
三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
五、同角三角函数的基本关系式
平方关系： 商关系：
sin 2 cos 2 1
sin tan cos
3).三角函数线:（有向线段）
正弦线: MP
余弦线:OM 正切线: AT
y
T
P
o
余 弦 线
正切线
正弦线 M A
x
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
变式：已知sinα=0.8，求tanα.
方法指导：此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.
(2)已知一个角的某三角函数值，但不知角所在象限，有两解.
例1、已知tan = 3，求式子
2 2
4cos sin cos sin 的值 . 2 2 2sin sin cos 4cos
三角函数
复 习 课
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y
的终边
正角 x 零角
(,)
的终边
o
负角
与a终边相同的角的集合 A k 3600 , k R 象限角与非象限角
高三复习：三角函数-知识点、题型方法归纳
高三复习：三角函数-知识点、题型方法
归纳
一、知识点概述
1. 三角函数的定义和性质
- 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其在数轴上的周期性；
- 三角函数的基本性质和关系：正弦函数与余弦函数的关系，正切函数与正弦函数、余弦函数的关系。
2. 三角函数的图像与性质
- 正弦函数、余弦函数的图像、特征和性质；
- 正切函数的图像、特征和性质。
3. 三角函数的基本变换
- 函数y = A · sin(Bx + C) + D的图像、特征和性质；
- 函数y = A · cos(Bx + C) + D的图像、特征和性质；
- 函数y = A · tan(Bx + C) + D的图像、特征和性质。
二、题型方法归纳
1. 计算题
- 利用三角函数的定义和性质，求解给定角的正弦、余弦、正切值；
- 利用三角函数的图像和性质，求解特定函数值。
2. 解方程和不等式
- 利用三角函数的定义和性质，解三角方程和三角不等式。
3. 图像分析题
- 分析三角函数的图像特征，如振幅、周期、对称轴等；
- 利用函数的基本变换，画出特定三角函数图像。
4. 证明题
- 利用三角函数的基本性质和关系，进行数学推导和证明。
三、总结
三角函数是高中数学的重要内容，通过复和掌握三角函数的知识点和题型方法，可以帮助学生提高解题能力和应用能力。
在复过程中，建议注重基本概念的理解、公式的记忆和方法的灵活运用，以及多做相关题目进行巩固和实践。
以上是三角函数复习的知识点和题型方法归纳，希望对你的高三复习有所帮助。
祝你学业进步，取得好成绩！。
三角函数专题复习
三角函数专题复习（一）1. 三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
一、要点●疑点●考点1、任意角和弧度制：①、任意角：正角（按逆时针方向旋转形成的角）、负角（按顺时针方向旋转形成的角）、零角（没有作任何旋转的角）；②、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；【注意】：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
③、a：终边相同的角的集合：S={β︱β=α+k·360o，k∈Z}；b：终边在x轴上的角的集合：S={β︱β=k•180o，k∈Z}；c：终边在y轴上的角的集合：S={β︱β=90o+k·180o，k∈Z}；d：终边在坐标轴上的角的集合：S={β︱β=k·90o，k∈Z}；e：终边在直线y=x上的角的集合：S={β︱β=45o+k•180o，k∈Z}④、角度制与弧度制：用度作为单位来度量角的单位制叫着角度制；用实数作为单位来度量角的单位制叫着弧度制；把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫着1弧度的角，用符号rad表示，读着弧度。
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角αα的正负由角α的终边的旋转方向决定。
角度制与弧度制的转化只要通过【注意】：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。
三角函数复习
三角函数复习基本概念、定义、公式1. 定义：在角α终边上任取一点(,)P x y，r =正弦函数sin α=y r 余弦函数cos α=x r 正切函数tan y xα=2. 三角函数值的符号：第一象限角，三个三角函数的值都取正；第二象限角，sin α为正，其余为负；第三象限角，tan α为正，其余为负；第四象限角，cos α为正，其余为负。
3. 三角函数值与角的关系4同角三角函数关系式：22sin cos 1αα+= ； sin tan cos ααα=5. 诱导公式 练习1. 角θ的终边经过一点(1,3)A -，则sin ___θ=；cos ___θ= ；tan ___θ=2.sin tan 0αα⋅>，则α为第 象限角；若A 是三角形的一个内角，sin cos 0A A ⋅<，则A 的取值范围是 3. 求下列角的三角函数值：sin(1560)______-= 19sin()_____6π-= 11cos _____3π= 13tan()____4π-= 11tan ____6π= s i n ()____2π-= c o s 240___= 4. 已知4cos 5α=-且α为第二象限角,求sin ,tan αα的值.5. 已知tan ϕ=求sin ,cos ϕϕ的值.6. 已知tan 4α=，计算(1)2sin 3cos cos sin αααα-+;(2)2sin sin cos ααα+⋅三角恒等变换 1、两角和差公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；2、倍角公式 变形：（降幂公式） 22tan tan 21tan ααα=- 21cos (1cos 2)2αα=+ sin 22sin cos ααα= 21sin (1cos 2)2αα=-2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3、合一变形sin cos )a b αααϕ+=+，其中tan ,(,)baϕϕππ=∈-，且ϕ与点(,)a b 在同一象限练习 7.sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0 Ｂ．12Ｃ．2Ｄ．18. 已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于9. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，2αβ+=_________.10. ABC ∆中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC = .11. 已知3sin ,5αα=为第二象限角,且tan()1αβ+=,则tan β=_______, tan 2β=_______.12. 已知tan 2θ=,则tan()4πθ+=________, cos 2θ=_______.三角函数图像与性质13. 不等式sin 0,[0,2]x x π<∈的解集为( )A ．3(,)22ππB. 3[,]22ππC. (0,)πD. (,2)2ππ 14. 下列函数中，周期为π2的是（ ）A ．sin 2x y =B ．sin 2y x =C ．tan 4xy =D ．cos 4y x =15. 函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π16. 若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数17. 函数cos 2cos sin 2sin55y x x ππ=+的单调减区间是( )A. 5[,] ()1212k k k Z ππππ-+∈ B. 3[,] ()105k k k Z ππππ++∈C. 55[,] ()126k k k Z ππππ++∈D. 52[,] ()63k k k Z ππππ++∈18. 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．19. 把函数x y 3sin 21=的图象向左平移6π个单位，得到函数的解析式为（ ） A.)33sin(21π+=x y B. )33sin(21π-=x y C. x y 3cos 21= D.x y 3cos 21-=20. 要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象（ ） (A )向左平移3π个单位 (B ) 向左平移6π个单位(C ) 向右平移3π个单位 (D ) 向右平移6π个单位21. 把sin ()y x x =∈R 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，得到的图象所表示的函数是（ ）A 、sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B 、sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C 、sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D 、sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 22. 已知函数)sin(2ϕ+ω=x y （|ϕ|＜)2π(A )ω=1110,ϕ= 6π (B ) ω=1011, ϕ=－6π(C )ω=2, ϕ=6π (D )ω=2, ϕ=－6π23. 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ） A 、4,2πϕπω== B 、6,3πϕπω==C 、4,4πϕπω==D 、45,4πϕπω==24. 函数y =cos (2x +)2π的图象的一条对称轴方程是（ ）(A ) x =－2π (B )x =－4π (C )x =8π(D )x =π 25. 函数)252sin(π+=x y 的图象的一个对称轴方程是（ ） Ａ．4π-=x Ｂ．2π-=x Ｃ．8π=x Ｄ．45π=x。
三角函数的专题复习-最经典最全
三角函数的专题复习-最经典最全
1. 三角函数的基本概念
- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义及其关系- 弧度和角度的转换及其应用
- 三角函数在直角三角形中的应用
2. 三角函数的性质
- 周期性和奇偶性
- 正负变化规律
- 三角函数的大小关系及其应用
3. 三角函数的图像和性质
- 正弦函数的图像和性质
- 余弦函数的图像和性质
- 正切函数的图像和性质
- 三角函数图像的平移、伸缩等变换
4. 三角函数的求值和计算
- 特殊角的三角函数值
- 三角函数的和差化积公式
- 三角函数的倍角和半角公式
- 三角函数的三角恒等式
5. 三角函数的应用
- 三角函数在几何中的应用
- 三角函数在物理中的应用
- 三角函数在工程中的应用
- 三角函数在生活中的应用
6. 典型例题和题解析
- 理解和掌握三角函数的概念和性质
- 运用不同的定理和公式解决相关问题
- 练解题技巧和应用能力
以上是三角函数的专题复习内容，包括基本概念、性质、图像和性质、求值和计算、应用以及典型例题和习题解析。
希望这份文档对您的复习有所帮助，祝您复习顺利！。
三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)
三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[-]1,1[-最值 当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1；当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期 最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性 奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增； 在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增； 在]2,2[πππ+k k 上单调减 对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。
(完整版)高中数学三角函数复习专题
高中数学三角函数复习专题一、知识点整理 :1、角的看法的推行：正负，范围，象限角，坐标轴上的角；2、角的会集的表示：①终边为一射线的角的会集：x x2k, k Z=|k 360o, k Z②终边为向来线的角的会集：x x k, k Z；③两射线介定的地域上的角的会集：x 2k x2k, k Z④两直线介定的地域上的角的会集：x k x k, k Z；3、任意角的三角函数：（1）弧长公式： l a R R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数， l 为弧长。
（2）扇形的面积公式：S 1lR R 为圆弧的半径， l 为弧长。
2（3）三角函数定义：角中边上任意一点 P 为 ( x, y) ，设 | OP |r 则：sin y, cos x ,tan y r= a 2b2 r r x反过来，角的终边上到原点的距离为r 的点P的坐标可写为：P r cos, r sin 比如：公式 cos()cos cossin sin的证明（4）特别角的三角函数值α032 64322sin α012310-10222cosα13210-101222tan α0313不存不存0 3在在（5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。
（6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）y T 如图，角的终边与单位圆交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，P 垂足为 M ，则Ao 过点 A(1,0)作 x 轴的切线，交角终边OP 于点 T，则M x。
（7）同角三角函数关系式：①倒数关系： tana cot a 1sin a ②商数关系： tan acosa③平方关系： sin 2 a cos2 a1（ 8)引诱公试sin cos tan三角函数值等于的同名三角函数值，前方-- sin+ cos- tan加上一个把看作锐角时，原三角函数值的- tan-+ sin- cos符号；即：函数名不变，符号看象限+- sin- cos+ tan2-- sin+ cos- tan2k++ sin+ cos+ tansin con tan2+ cos+ sin+ cot三角函数值等于的异名三角函数值，前方2+ cos- sin- cot加上一个把看作锐角时，原三角函数值的3- cos- sin+ cot2符号 ;3- cos+ sin- cot2即：函数名改变，符号看象限 : sin x cos x cos x比方444cos x sin x444.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cos() cos a cos sin a sin sin( a) sin a coscosa sintan a(atan a tan注：公式的逆用也许变形)1 tan a tan．．．．．．．．．（2）二倍角公式：sin 2a 2sin acosa cos 2a cos2 a sin 2 a12 sin2 a 2 cos2 a 12 tan atan 2a1 tan2 a(3)几个派生公式：①辅助角公式：a sinx bcosx a2b2 sin(x)a22 cos()b x比方： sinα± cosα＝ 2 sin4＝ 2 cos4．sinα±3 cosα＝ 2sin3＝2cos3等．②降次公式： (sin cos) 21sin 2cos21cos2,sin 21cos222③ tan tan tan()(1 tan tan)5、三角函数的图像和性质：（此中 k z ）三角函数y sin x定义域（- ∞， +∞）值域[-1,1]最小正周期T2奇偶性奇[ 2k,2k]22单调性单调递加[ 2k,2k3 ]22单调递减x k对称性2(k ,0)零值点x ky cosx（- ∞， +∞）[-1,1]T 2偶[( 2k 1) ,2k ]单调递加[( 2k , (2k 1) ]单调递减x k(k,0)2x k2y tan xx k2（-∞，+∞）T奇(k,k)22单调递加k(,0)x kx k2x 2 k，最值点y max1ymax 1；无x k2x(2k 1) ，y min1y min1 6、 .函数y Asin( x) 的图像与性质：（本节知识观察一般能化成形如y Asin( x) 图像及性质）（ 1）函数 y Asin( x) 和 y Acos( x2 ) 的周期都是T（ 2）函数y A tan( x) 和 y Acot( x) 的周期都是T（ 3）五点法作y Asin( x) 的简图，设t x，取0、、、3、2来求相应x22的值以及对应的y 值再描点作图。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
高中三角函数知识点复习总结
第四章 三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ(3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α==3.任意角的三角函数yxx y x rr x y rr y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式（一） 诱导公式：α±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。
如：()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。
（二）同角三角函数的基本关系式：①平方关系1cos sin22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。
（三） 关于公式1cos sin22=+αα的深化sin αtan αα()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。
2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）；b)化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。
三角函数的图象与性质-高考数学复习
3
6
2
2−1
∴ω＝4 k －2，又0＜ω＜6，∴ω＝2.
目录
是：
（0，1） ，
π
，0
2
，
（π，－1） ，
3π
，0
2
，
（2π，1）.
提醒
函数 y ＝ sin x ， x ∈[0，2π]， y ＝ cos x ， x ∈[0，2π]
的五个关键点的横坐标是零点和极值点（最值点）.
目录
高中总复习·数学
2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中 k ∈Z）
函数
y ＝ sin x
A. T ＝π， A ＝1
B. T ＝2π， A ＝1
C. T ＝π， A ＝2
D. T ＝2π， A ＝2
解析：
）
2π
T ＝ ＝π， A ＝2－1＝1，故选A.
2
目录
高中总复习·数学
3. 函数 y ＝4 sin （2 x ＋π）的图象关于（
A. x 轴对称
）
B. 原点对称
C. y 轴对称
解析： 记 f （ x ）＝4 sin （2 x ＋π）＝－4 sin 2 x ，所以 f （－
2. 已知函数 f （ x ）＝2 sin
经过点
π
，2
6
和
π
（ω x ＋φ）（0＜ω＜6，｜φ｜＜ ）的图象
2
2π
, −2
3
，则ω＝
2
.
π
2π
π
2π
解析：∵ 和 是函数 f （ x ）的极值点，则 x ＝ ， x ＝ 是对称
6
3
6
3
2π
高考三角函数复习专题
三角函数复习专题一、核心知识点归纳：★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===R 为ABC ∆外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩三、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.如图,设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点,Q P 、是 单位圆上的两点,O 是坐标原点,6π=∠AOP ,[)παα,0,∈=∠AOQ ．1若34(,)55Q ,求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；2设函数()f OP OQ α=⋅,求()αf 的值域． 2．已知函数2()22sin f x x x =-.Ⅰ若点(1,P在角α的终边上,求()f α的值； Ⅱ若[,]63x ππ∈-,求()f x 的值域.考点二：三角函数的图象和性质3.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．Ⅰ求()f x 的最小正周期及解析式；Ⅱ设()()cos 2g x f x x =-,求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换4．已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.1若1)(=θf ,求θθcos sin ⋅的值；2求函数)(x f 的单调增区间.3求函数的对称轴方程和对称中心 5.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-0x ω∈>R ，,相邻两条对称轴之间的距离等于2π．Ⅰ求()4f π的值；Ⅱ当 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值． 6、已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . Ⅰ求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；Ⅱ若0()23x f =,0ππ(, )44x ∈-,求0cos 2x 的值.7、已知πsin()410A +=,ππ(,)42A ∈． Ⅰ求cos A 的值； Ⅱ求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．考点六：解三角形8．已知△ABC 中,2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ设向量(cos , cos 2)A A =m ,12(, 1)5=-n ,求当⋅m n 取最 小值时,)4tan(π-A 值.9．已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． Ⅰ求)4(πf 的值；Ⅱ若)2,0(π∈x ,求)(x f 的最大值；Ⅲ在ABC ∆中,若B A <,21)()(==B f A f ,求AB BC 的值．10、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 分,且满足2cos cos c b Ba A-=． Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ若a =求△ABC 面积的最大值．11、 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且b 2+c 2-a 2=bc ．9第题图Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x xx f +=,当)(B f 取最大值23时,判断△ABC 的形状．12、在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,已知1tan 2B =,1tan 3C =,且1c =. Ⅰ求tan A ； Ⅱ求ABC ∆的面积.13、在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且274sin cos222A B C +-=． Ⅰ求角C 的大小； Ⅱ求sin sin A B +的最大值．高三文科---三角函数专题11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=A .45- B .35- C .35 D .452.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为)2,2(0-P ,角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为3.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,点A 的坐标是13(,)22,则当012t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t 单位：秒的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,124.函数f (x)Asin(wx ),(A,w,=+φφ）为常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示,则f (0)____的值是5.已知函数f (x)A tan(x )=ω+ϕω＞0,2π＜ϕ,y f (x)=的部分图象如下图,则f24π=__________. 6. 函数f x=sinx －cosx ＋6π的值域为A ． －2 ,2B .33C .－1,1D .－33 8.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是 A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦14.定义在⎪⎭⎫⎝⎛20π,的函数y=6cosx 图像与y=5tanx 图像的交点为P,过点P 作PP 1⊥x轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 .16.如图,四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数sin 2y x =, sin()6y x π=+,sin()3y x π=-的图像如下,结果发现其中有一位同学作出的图像有错误,那么有错误．．的图像是 A B C D17.已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是20.设sin 1+=43πθ（）,则sin 2θ=A 79- B 19- C 19 D 7922.已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________25.若tan θ＋1tan θ=4,则sin 2θ=A ．15B . 14C . 13D . 1226.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则cos2α=A 555527.若02πα<<,02πβ-<<,1cos ()43πα+=,3cos ()42πβ-=则cos ()2βα+= A33 B 33-53 D 628. 设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为 ． 29.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,1若,cos 2)6sin(A A =+π 求A 的值；2若c b A 3,31cos ==,求C sin 的值.30.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=3点D 在BC 边上,∠ADC=45°,则AD 的长度等于___.31.在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,,已知8b=5c,C=2B,则cosC=A257 B 257- C 257± D 2524 34.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且53cos =A ,135cos =B ,3=b 则c =35. 如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=A 、31010 B 、1010 C 、510 D 、51536. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c , 若2222a b c +=,则cos C 的最小值为A .3. 22C . 12D . 12-37.在ABC 中,60,3B AC ==则2AB BC +的最大值为 . 39. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>43. 已知函数()tan(2),4f x x =+πⅠ求()f x 的定义域与最小正周期；II 设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα,若()2cos 2,2f =αα求α的大小45. 设函数22())sin 4f x x x π=++. I 求函数()f x 的最小正周期；II 设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.47.设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω,其中.0>ω Ⅰ求函数y f (x )= 的值域Ⅱ若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.48. 函数2()6cos 33(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.Ⅰ求ω的值及函数()f x 的值域； Ⅱ若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 52. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c --= 1求A ； 2若2a =,ABC ∆的面积为3；求,b c .53.在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．已知cos A ＝23,sin B ＝5C ．Ⅰ求tan C 的值； Ⅱ若a 2求∆ABC 的面积．54.在△ABC中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+= 1求证： 2B C π-=2若2a =,求△ABC 的面积.56.已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.Ⅰ求函数()f x 的最小正周期；Ⅱ若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围. 57.在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =． 1求证：tan 3tan B A =； 2若5cos 5C =，求A 的值．58. 已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_____.59.已知ABC ∆ 的一个内角为120o ,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为_______60.已知等比数列{a n }的公比q=3,前3项和313.3S = I 求数列{a n }的通项公式；II 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值,且最大值为a 3,求函数fx 的解析式.63.函数22xy sin x =-的图象大致是 64.函数fx=sin x ωϕ+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.1若6πϕ=,点P 的坐标为0,332,则ω= ； 2求∆ABC 面积65设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.I 求BII 若1sin sin 4A C =,求C .66在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =++.Ⅰ求A ;Ⅱ设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.67在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.Ⅰ求sin A 的值;Ⅱ若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影68已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4. Ⅰ求实数a 的值;Ⅱ设22()[()]2sin g x f x x =-,求()g x 的单调递增区间.69在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.Ⅰ求证：,,a b c 成等比数列； Ⅱ若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .三角函数1、在ABC ∆中,已知内角3A π=,边BC =设内角B x =,面积为y .1求函数()y f x =的解析式和定义域； 2求y 的最大值.2、已知a ＝coos α,sin α,b ＝coos β,sin β,其中0＜α＜β＜π． 1求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；2若k a ＋b 与a －k b 的长度相等,求β－α的值k 为非零的常数．3、已知3sin22B A ++cos 22BA -=2, cocacobs ≠0,求tanAtanB 的值; 5、已知ABC ∆中,1||=AC ,0120=∠ABC ,θ=∠BAC ,记→→•=BC AB f )(θ, 1求)(θf 关于θ的表达式； 2求)(θf 的值域；6、已知向量],2[),2cos ),122(cos(),2cos ),122(sin(ππππ∈-+=+=x x x b x x a ,函数b a x f ⋅=)(.I 若53cos -=x ,求函数)(x f 的值；II 将函数)(x f 的图象按向量c ＝)0)(,(π<<m n m 平移,使得平移后的图象关于原点对称,求向量c .9、在ABC ∆中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ;I 求锐角B 的大小；II 如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值; 10、已知向量()()3cos2,1,1,sin2,,m a x n b a x a b R ==-∈,集合{}2cos ,22M x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,若函数()f x m n x M =∈在时,取得最大值3,最小值为－1,求实数,a b 的值16、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= I 求cos B 的值；II 若2=⋅BC BA ,且22=b ,求c a 和b 的值.21、已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = 2,0,且m 与n 所成角为错误!,其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角;ＡＢＣ1201求角B 的大小;2求 C A sin sin +的取值范围;26、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,C ＝2A,43cos =A , 1求B C cos ,cos 的值；2若227=⋅BC BA ,求边AC 的长; 30、已知ABC △的面积为3,且满足60≤⋅≤AC AB ,设AB 和AC 的夹角为θ． I 求θ的取值范围；II 求函数)4(sin 2)(2πθθ+=f －θ2cos 3的最大值与最小值．33、已知△ABC 的面积为３,且06,AB AC AB AC θ→→→→≤•≤设和的夹角为; 1求θ的取值范围；2求函数22()(sin cos )f θθθθ=+-的最大值和最小值; 36、已知A B 、是△ABC 的两个内角,向量2cos, sin 22A B A Ba +-=（）,若6||2a =. Ⅰ试问B A tan tan ⋅是否为定值若为定值,请求出；否则请说明理由； Ⅱ求C tan 的最大值,并判断此时三角形的形状. 38、在△ABC 中,已知35=BC ,外接圆半径为5. Ⅰ求∠A 的大小； Ⅱ若ABC AC AB ∆=⋅，求211的周长. 40、如图A 、B 是单位圆O 上的点,C 是圆与x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为)54,53(,三角形AOB 为正三角形． Ⅰ求COA ∠sin ；Ⅱ求2||BC 的值．45、已知函数fx=4sin 24π42x ππ≤≤1求)(x f 的最大值及最小值；2若不等式|fx －m|<2恒成立, 求实数m 的取值范围49、已知函数fx ＝·,其中＝sin ωx ＋cos ωx,错误!cos ωx,＝cos ωx －sin ωx,2sin ωx ω＞0,若fx 相邻的对称轴之间的距离不小于错误!. 1求ω的取值范围；2在△ABC 中,a,b,c 分别为A,B,C 的对边,a ＝错误!,b+c ＝3,当ω最大时,fA ＝1,求△ABC 的面积.56、已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角,其对边分别为c b a ,,,若)2sin ,2cos (A A -=m ,)2sin ,2(cos A A =n ,32=a ,且21=⋅n m ．1若ABC ∆的面积3=S ,求c b +的值． 2求c b +的取值范围．59、在锐角△ABC 中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且tanA －tanB＝1＋tanA ·tanB ．1若a 2－ab ＝c 2－b 2,求A 、B 、C 的大小；2已知向量m ＝sinA,cosA,n ＝cosB,sinB,求｜3m －2n ｜的取值范围．62、已知函数0)6(,cos sin cos 2)(2=+=πf x x a x x f1求函数)(x f 的最小正周期及单调增区间；2若函数)(x f 的图象按向量)1,6(-=πm 平移后得到函数)(x g 的图象,求)(x g 的解析式.64、设向量)2,(),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(ππβπαββαα∈∈=-=+=c b a ,2sin,3,,2121βαπθθθθ-=-求且的夹角为与的夹角为与c b c a 的值;68已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,向量65(,cos )22A B A B +-=a ,且3|| 5.5=a 1求tan tan A B 的值；2求C 的最大值,并判断此时ABC ∆的形状.74、在△ABC 中,,0),1,(),cos ,sin 3(),2cos ,(cos πλ≤≤--x C x x B x x A 若△ABC 的重心在y 轴负半轴上,求实数λ的取值范围．76、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ Ⅰ判断△ABC 的形状； Ⅱ若k c 求,2=的值.77、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos cos B C ba c=-+2. I 求角B 的大小；II 若b a c =+=134，,求△ABC 的面积.78、已知ABC ∆中,a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边,关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集． 1求角C 的最大值；2若72c =,ABC ∆的面积S =求当角C 取最大值时a b +的值． 84、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A c Bb+=． Ⅰ求角A ； Ⅱ若m (0,1)=-,n ()2cos ,2cos 2C B =,试求|m +n |的最小值． 90、已知锐角△ABC 三个内角为A 、B 、C,向量22sin ,cos sin pA A A 与向量sin cos ,1sin qA A A 是共线向量.Ⅰ求角A. Ⅱ求函数232sin cos 2C By B 的最大值.96、已知]),0[,0)(cos()(πωωπ∈Φ>Φ+=x x f 是R 上的奇函数,其图像关于直线43=x 对称,且在区间]41,41[-上是单调函数,求ω和Φ的值; 98、已知向量(1tan ,1),(1sin 2cos 2,3)x x x =-=++-b a ,记().f x =⋅b a1求fx 的值域及最小正周期；2若224f f ααπ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角.α。
三角函数复习讲义
三角函数一．知识回顾1.任意角的定义角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2.任意角的分类正角：按_________方向旋转形成的角；负角：按_________方向旋转形成的角；零角：一条射线没有作_______旋转形成的角．3.象限角在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的_______与x轴的____________轴重合．则终边在第几象限就是第几象限角.4.终边相同的角与角α终边相同的角可以表示成β＝_____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．5.弧度制(1)定义长度等于___________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)公式6.一些特殊角与弧度数的对应关系.7.同角三角函数关系式（1）平方关系：_____________________. （2）商数关系：_________________________．8.三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么：(1)______叫做α的正弦，记作sinα，即sin α＝_______；(2)______叫做α的余弦，记作cosα，即cos α＝________；(3)______叫做α的正切，记作tanα，即tan α＝_____________．9.三角函数在各象限的符号口诀：“___________________________________________________”．10.诱导公式(1)sin(2kπ＋α)＝_______; cos(2kπ＋α)＝________； tan(2kπ＋α)＝________.(2)sin(π＋α)＝________; cos(π＋α)＝________； tan(π＋α)＝_________.(3)sin(－α)＝__________； cos(－α)＝_________； tan(－α)＝____________.(4)sin(π－α)＝________； cos(π－α)＝_________； tan(π－α)＝__________.(5)sin(π2－α)＝__________; cos(π2－α)＝___________.(6)sin(π2＋α)＝__________; cos(π2＋α)＝__________.11.正弦函数和余弦函数的图像与性质奇函数偶函数12．正切函数y＝tan x的图象与性质π（1）y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为___________; （2）y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为___________. 14．正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换y=sinx 向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移|ϕ|个单位→ _________________所有点的横坐标变为原来1ω倍→___________________所有点的纵坐标变为原来A倍→ ____________________．二．例题精析：类型一终边相同的角与象限角例1 （1）下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )A．510° B．150° C．－150°D．－390°（2）已知角α＝2 010°，则角α是第______象限角变式训练：（1）与－2 002°终边相同的最小正角是________．（2）16π3是第______象限角（3）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角类型二 同角函数基本关系式例2 （1）已知α∈(π2，π)，sin α＝1213，求cos α，tan α.（2）已知tan α＝43，且α是第三象限角，求 sin α，cos α．（3）已知tan α＝3，求下列各式的值：①3cos α－sin α3cos α＋sin α； ②2sin 2α－3sin αcos α； ③5sin 3α＋cos α2 cos 3α＋sin 2αcos α.变式训练：（1）已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为_________ (2)若tan α=43-,则sin 4cos 5sin 2cos αααα-+= , 1+2sin αcos α= .类型三 任意角三角函数的定义例3 （1）已知cos θtan θ＜0，那么角θ是( )象限角A ．第一或第二B ．第二或第三C ．第三或第四D ．第一或第四 （2）当α为第二象限时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是__________．变式训练：(2013·周口高一检测)如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 例4 （1）已知角的终边与单位圆的交点坐标为（−√32,12），则=________；sin α=______; tan α =_____.（2）已知角α终边经过P(4，5)，则sin α =______;cos α＝_______；tan α =________.变式训练：（1）已知α=5π3，求α的正弦、余弦、正切。
三角函数复习
三角函数一．任意角 1. 角的分类正角：顺时针旋转得到的角 负角：逆时针旋转得到的角 0度角：不旋转 2. 象限角第一象限角 {α| 2k π<α<2k π+2π，k ∈z} 第二象限角 {α| 2k π+2π<α<2k π+π，k ∈z} 第三象限角 {α| 2k π+π<α<2k π+23π，k ∈z} 第四象限角 {α| 2k π+23π<α<2k π+2π，k ∈z}3. 与α终边相同的角 απβ+=k 2 ，k ∈z 二．弧度制1. 弧度制与角度制之间的转换度180=rad π1度π180=radrad 1801π=度2.弧长公式 r l ∙=α 扇形面积公式 r lr S 22121α==三、任意角的三角函数1、 定义：任意角α，它终边与单位圆交点 P （u ，v ），那么u 叫做α的余弦，记作cos α v 叫做α的正弦，记作sin α，vu叫做α的正切，记作tan α。
2、 诱导公式1c o s s i n 22-+αα αααcos sin tan -组数 一 二 三 四 五六角 2k π+α π+α —α π—α απ-2απ+2正弦 sin α —sin α sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α —cos α cos α—cos α sin α —sin α正切 tan αtan α—tan α—tan α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限3、 两角和与差三角函数公式βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (±-± βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s( -±βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n ( ±-±4、 y ＝a sin x ＋b cos x 型，可引用辅角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)．常见的有 )cos 23sin 21(2cos 3sin x x x x ±=± )cos 21sin 23(2cos sin 3x x x x ±=± )cos 22sin 22(2cos sin x x x x ±=± 5、二倍角公式αααc o s s i n 22s i n- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s ------ ααα2t a n 1t a n 22t a n-- 四、三角函数的图像与性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴： x ＝k π＋π2(k ∈Z )； 对称中心： (k π，0)(k ∈Z )对称轴： x ＝k π(k ∈Z )； 对称中心： (k π＋π2，0) (k ∈Z )对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0 (k ∈Z ) 周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )； 单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ；单调减区间[2k π，2k π单调增区间_(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z )＋π](k ∈Z )奇偶性 奇函数偶函数奇函数五、函数)sin(ϕω+-x A y 的图像1、有关概念)sin(ϕω+-x A y )0,0(>>ωA振幅 周期频率相位 初相Aωπ2-Tπω21--T f ϕω+xϕ2、五点法 x ωϕ-ωϕπ-2ωϕπ- ωϕπ-23ωϕπ-2ϕω+x0 2π π π23 2π )sin(ϕω+-x A yA 0—A3、x y sin -变换得到)sin(ϕω+-x A yx y sin -−−−−−−−→−个单位向左（右）平移ϕ)sin(ϕ+-x y −−−−−−→−倍横坐标变为原来的ω1)sin(ϕω+-x y −−−−−−→−倍纵坐标变为原来的A )sin(ϕω+-x A y −−−−−−−→−个单位向上（下）平移b b x A y ++-)sin(ϕω②x y sin -−−−−−−→−倍横坐标变为原来的ω1x y ωsin -−−−−−−−→−个单位向左（右）平移ωϕ)sin(ϕω+-x y −−−−−−→−倍纵坐标变为原来的A )sin(ϕω+-x A y −−−−−−−→−个单位向上（下）平移b b x A y ++-)sin(ϕω注： 左加右减------针对x 上加下减------针对常数b 横坐标变换------针对x 的系数ω （倍ω1） 纵坐标变换------针对振幅A （A 倍）三角函数练习1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )．A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π＋π4，k ∈Z 3．函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【解析】令2x ＋π3＝k π＋π2，则x ＝k π2＋π12(k ∈Z )∴当k ＝0时，x ＝π12，选D.4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0)B .⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，0解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 答案 B5．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是( )A.(0，π)B.⎝⎛⎭⎫－π2，0C.⎝⎛⎭⎫3π2，2π D .⎝⎛⎭⎫－π，－π2 6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对任意x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )【解析】当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，∴f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z∵f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ ∴sin φ<0 ∴φ＝2k π－5π6由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π 得x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( )A ．关于点(π12，0)对称B ．关于直线x ＝5π12对称C 关于点(5π12，0)对称D ．关于直线x ＝π12对称8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数． 答案 D9.要得到⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象向左平移_8π__单位.10..y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为___5_____，此时x ＝_____34π＋2k π，k ∈Z _________. 11．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是 .【解析】∵f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，又π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6. ∴当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )取最大值32. 12.已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3___________.13.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为____(2k ,2k ]3πππ+(k ∈Z )_________.14.(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)的值域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域.解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值域为(0,2]. (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98. ∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1].15．设函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1，将函数f (x )的图象向左平移α个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若0＜α＜π2，且g (x )是偶函数，求α的值．【解析】(1)∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)g (x )＝f (x ＋α)＝2sin[2(x ＋α)＋π4]＝2sin(2x ＋2α＋π4)，g (x )是偶函数，则g (0)＝±2＝2sin(2α＋π4)，∴2α＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .α＝k π2＋π8(k ∈Z )，∵ 0＜α＜π2，∴α＝π8.16、已知向量m ＝(3sin2x －1，cos x )， n ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m n ⋅，x ∈R.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间．【解析】(1)f (x )＝m ·n ＝3sin2x －1＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)∴对称轴方程为：2x ＋π6＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤k π＋π6∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．。
三角函数知识点归纳及复习题
1 三角函数知识点归纳及复习题1、逆时针方向——正角，顺时针方向——负角，没有旋转——零角2、终边相同的角．所有与α终边相同的角构成的集合可记为S ＝{x | x ＝ α ＋ k ·360°，k ∈Z }．3、象限角角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为界限角．4、三角函数象限符号（一象限都为正，sin 横着走，cos 竖着，tan 斜着）5、弧度定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；弧度记作 rad n ° 与 α rad 的换算公式：α＝n π180 或者 n °＝α ·（180π）°正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.6、特殊角三角函数值角度 0° 30° 45° 60° 90° 弧度 sin α cos α tan α7、任意角三角函数的定义当角 α 不变时，对于角 α 的终边上任意一点P （x ，y ），r ＝x 2+y 2 不论点 P 在角 α 的终边上的位置如何，三个比值x r ，y r ，yx 始终等于定值．因此定义：角 α 的余弦cos α ＝ xr ；角 α 的正弦sin α ＝ yr ；角 α 的正切tan α ＝ y x8、同角三角函数的基本关系式：sin 2 α＋cos 2α＝1；sin αcos α＝tan α ．9、诱导公式（函数名不变，符号看象限） 公式（一）：sin(α＋k ·2π) ＝ sin α；cos(α＋k ·2π) ＝ cos α （k ∈Z ）； tan(α＋k ·2π) ＝ tan α． 公式（二）：sin （－α）＝－sin α； cos （－α）＝ cos α； tan （－α）＝－tan α． 公式（三）sin (α ± π ) ＝－sin α； cos (α ± π ) ＝－cos α； tan (α ± π ) ＝ tan α． 推论sin(π－α)＝sin α； cos (π－α)＝－cos α．一、选择题：++xyo sin α--xcos αyo +-+-tan αxyo ++--2 1．60-︒角的终边在 ( ).A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2．与角30︒终边相同的角是 ( ).A 、60-︒B 、390︒C 、-300︒D 、390-︒ 3．150︒= ( ). A 、34π B 、23π C 、56π D 、32π 4．3π-=（ ）. A 、30︒ B 、60-︒ C 、60︒ D 、90︒5. 已知54sin =α，∈α（0，2π）则αtan 的值为( )A: 43 B: -43 C: 34 D: -346．化简42•的结果是（ ）A: 3a B: 6a C: 9a D: 12a7．如果∂角是第四象限的角，则角α-是第几象限的角 ( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 8．已知角α的终边上的点P 的坐标为（-3，4），则sin α=（ ）.A 、35-B 、 45C 、34-D 、43-9．与75︒角终边相同的角的集合是（ ）.A 、75,}k z ββ=︒⨯︒∈｛｜+k 360 B 、75,}k z ββ=︒⨯︒∈｛｜+k 180 C 、75,}k z ββ=︒⨯︒∈｛｜+k 90 D 、75,}k z ββ=︒⨯︒∈｛｜+k 270 10．已知sin 0,θ<且tan 0,θ>则角θ为( )A 、 第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 11．下列各选项中正确的是( )A 、终边相同的角一定相等B 、第一象限的角都是锐角C 、锐角都是第一象限的角D 、小于090的角都是锐角 12．已知α为第一象限的角，化简tan = ( ) A 、 tan α B 、tan α- C 、sin α D 、cos α 13．下列各三角函数值中为负值的是（ ）A 、sin115︒B 、cos330︒C 、tan(120)-︒D 、sin80︒ 二、填空题：14．60︒= 150︒= （角度化弧度）23π= 12π= （弧度化角度） 15．若tan 0θ>,则θ是第 象限的角.16．sin390︒= , cos(60)-︒=17．设点P （1，α终边上，则cos α= ，tan α= . 三、解答题：18．已知αsin +αcos =2，求αsin αcos 19.3sin 4cos tan 2,ααααα-=已知求的值。
高中数学三角函数知识点(复习)
三角函数知识点复习● 任意角1、 正角：逆时针方向旋转而成的角。
负角、零角2、 象限角的集合第一象限角的集合：{}Z k k x k x ∈︒+︒⋅︒⋅，＜＜90360360| 3、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ.● 弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 1rad α的弧度数的绝对值 rl =α. 2、 角度与弧度的互化： 2π rad=360°；π rad=180°3、 弧长公式：R Rn l απ==180. 扇形面积公式：lR R n S 213602==π.● 任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设22r x y =+）sin y r α=，cos x r α=，tan yx α=，cot x yα=3、三角函数值在各象限的符号（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦）4、 三角函数线的画法.设任意角α的顶点在原点0，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P （x,y ），过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A （1,0）作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T正弦线：MP 余弦线：OM 正切线：AT5、 三角函数的定义域三角函数定义域 αsinR αcosRαtan⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∉∈Z k k R ，ππ2,|ααα● 同角三角函数的基本关系式TM A O Px y1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=● 三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）)2(f α±πk ，“奇偶”指k 的取值。
1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三： 4、诱导公式四：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+● 正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、记住正切函数的图象：3、记住余切函数的图像y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： ()()()02023002;0,0π，；，π；π，；，π⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.● 三角函数的图象与性质1-1y=sinx -3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πo y x 1-1y=cosx -3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πo y x图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性 Z k ∈在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增 在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π3、能够对照图象讲出函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()ϕω+=x A y sin 与()ϕω+=x A y cos ：振幅A ，最小正周期为wT π2=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率π21w Tf ==.()ϕω+=x A y tan 的最小正周期为wT π=注：（1）求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈（2）ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系. ① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位()sin y x ϕ=+（左加右减）横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍平移ϕω个单位()sin y A x ωϕ=+（左加右减） 平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）§1.6、三角函数模型的简单应用。
三角函数基础知识复习1
三角函数基础知识复习（一）一、任意角：知识点1、角的概念的推广：1、“旋转”形成角（角包括顶点、始边、终边）；2、角的分类：正角、负角、零角（逆时针、顺时针、没有旋转）。
例1、（1）钟表经过10分钟，分针转了______度；（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了______度。
知识点2、象限角和轴线角：1、象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；2、轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角叫轴线角，它不属于任何象限。
如：00，900，1800，2700，3600，-900，-1800，-3600，等等。
例2、（1）3700位于第___象限；（2）-1200位于第___象限；（3）2900位于第___象限；（4）-2600位于第____象限；（5）4弧度的角位于第___象限。
例3、A=｛小于900的角｝，B=｛第一象限的角｝，则A∩B=（）A、｛锐角｝B、｛小于900的角｝C、｛第一象限的角｝D、以上都不对例4、已知集合A=｛α|α=k·900-360，k∈Z｝，B=｛β|-1800<β<1800｝，则A∩B=（）A、｛-360，540｝ B、｛-1260，1440｝ C、｛-1260，-360，540，1440｝ D、｛-1260，540｝知识点3、终边相同的角：所有与α终边相同的角（包括α本身在内）构成一个集合, 这个集合可表示为｛β|β=________________________｝，终边相同的角相差3600的整数倍。
例5、已知角α=450，则在区间[-7200，00]内且与α终边相同的角是____________________。
例6、已知α是第二象限的角，且2α与7α的终边相同，则α=________________________。
例7、用描述法写出下列角的集合：（1）第一象限的角___________________；（2）第二象限的角___________________；（3）第三象限的角___________________；（4）第四象限的角___________________；（5）x轴正半轴上的角________________；（6）x轴负半轴上的角_____________________；（7）x轴上的角_______________；（8） y轴正半轴上的角_________________；（6）y轴负半轴上的角___________________________；（7）y轴上的角________________；（8）坐标轴上的角______________________________。
三角函数复习提纲
三角函数复习提纲一、引言-介绍三角函数的概念和历史背景二、正弦函数A.定义和性质-正弦函数的定义-正弦函数的周期性-正弦函数的奇偶性-正弦函数的变幅和相位-正弦函数的图像和主要特点B.正弦函数的基本关系-正弦函数的和差化积公式-正弦函数的倍角公式-正弦函数的半角公式-正弦函数的倒数公式C.正弦函数的应用-正弦函数在几何中的应用-正弦函数在物理中的应用-正弦函数在工程中的应用三、余弦函数A.定义和性质-余弦函数的定义-余弦函数的周期性-余弦函数的奇偶性-余弦函数的变幅和相位-余弦函数的图像和主要特点B.余弦函数的基本关系-余弦函数的和差化积公式-余弦函数的倍角公式-余弦函数的半角公式-余弦函数的倒数公式C.余弦函数的应用-余弦函数在几何中的应用-余弦函数在物理中的应用-余弦函数在工程中的应用四、正切函数A.定义和性质-正切函数的定义-正切函数的周期性-正切函数的奇偶性-正切函数的变幅和相位-正切函数的图像和主要特点B.正切函数的基本关系-正切函数的和差化积公式-正切函数的倍角公式-正切函数的半角公式-正切函数的倒数公式C.正切函数的应用-正切函数在几何中的应用-正切函数在物理中的应用-正切函数在工程中的应用五、其他三角函数A.割函数-割函数的定义和性质-割函数在几何、物理、工程等领域的应用B.余割函数-余割函数的定义和性质-余割函数在几何、物理、工程等领域的应用六、三角函数的应用A.三角函数的图像和振动问题-三角函数的周期性在振动问题中的应用B.三角函数的图像和电路问题-正弦函数和余弦函数在电路问题中的应用C.三角函数的图像和声波问题-正弦函数和余弦函数在声波问题中的应用七、综合练习和解答-提供一些练习题，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的应用题，并提供详细解答八、结论-总结三角函数的重要性和应用领域-强调练习的重要性和如何提高解题能力九、参考资料-提供相关教材、参考书目等信息注：以上只是一个提纲，实际在写作时需要完善每个部分的内容，可以根据实际需要进行调整和补充。
三角函数复习专题
三角函数复习专题一、核心知识点归纳：★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222c o s 2c o s 2c o s2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
（2）角的配凑。
α＝（α＋β）－β，β＝－等。
（3）升幂与降幂。
主要用2倍角的余弦。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。
asin θ＋bcos θ＝sin (θ＋)，这里辅助角所在象限由a 、b 的符号确定，角的值由tan ＝确定。
2.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
2βα+2βα-22b a +ϕϕϕϕab。
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三角函数复习资料一、选择题：1．(2007年全国高考题)函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是 A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是 A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A ． ]3,0[πB ． ]127,12[ππC ． ]65,3[ππD ． ],65[ππ5．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数．若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A ． 21-B ．21C ． 23-D ．23 6．(2006年全国高考题)锐角三角形的内角A 、B 满足tan A －A2sin 1＝ tan B ，则有A ．sin 2A –cosB ＝ 0 B ．sin 2A ＋ cos B ＝ 0C ．sin 2A – sin B ＝ 0D ．sin2A ＋sinB ＝07．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度8．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是 ( )A ．4B ．12C ．2D ．149．(2007年全国高考题)已知函数y ＝tan x ω在（－π2，π2）内是减函数，则( )A ．0 <ω≤1B ．－1 ≤ω< 0C ．ω≥ 1D ．ω≤ －110．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ） A. 21-B 23C 23-D 21二、填空题：11．(2007年全国高考题)设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α ＝_____________．12．(2006年上海春季高考题)函数x x y arcsin sin +=的值域是 ． 13．设f (n )＝cos(n π2＋π4)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2006)＝ ． 14．已知tanα＋cotα＝－2，则tan n α＋cot n α＝______ ．15．(2007年湖南高考题)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在[0，πn ]上的面积为2n (n ∈N *)，则(i)函数y ＝sin3x 在[0，2π3]上的面积为 ；(ii) 函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为 ．三、解答题： 16．（本题满分12分）已知1cot tan sin 2),2,4(,41)24sin()24sin(2--+∈=-⋅+αααππααπαπ求的值． 17．（本题满分12分）（2007年上海春季高考题）已知tan α是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值． 18．(本题满分14分) (2007年湖南高考题)已知在△ABC 中，sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0．求角A 、B 、C 的大小． 19．(本题满分14分）(2006年广东高考题)化简f (x )＝cos(6k +13π＋2x )＋cos(6k －13π－2x )＋23sin(π3+2x )(x ∈R ，k ∈Z)，并求函数f (x )的值域和最小正周期．20．（本题满分14分）(2007年天津高考题) 某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC ＝80（米），塔所在的山高OB ＝220（米），OA ＝200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α，tanα＝12，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高） 21．(本题满分14分)设关于x 的函数22cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为()f a ． ⑴ 写出()f a 的表达式；⑵试确定能使1()2f a =的a 值，并求出此时函数y 的最大值．三角函数参考答案一、选择题(5分×10＝50分)二、填空题(4分×5＝20分)11．－34 12．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--21sin ,21sin ππ 13．－2 14．2(－1)n 15．43；π＋23。
三、解答题(共80分) 16．解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+,414cos 21)42sin(21==+=ααπ 得 .214cos =α 又125),2,4(παππα=∈所以于是ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos)2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 17．解： ∵ tan α是方程01sec 22=++αx x 的较小根， ∴ 方程的较大根是cot α． ∵ tan α＋cot α＝αsec 2-，即αααcos 2cos sin 1-= ∴ 21sin -=α． …… 5分 解得 672ππα+=k ，或Z ∈-=k k ,62ππα． …… 8分当)(672Z ∈+=k k ππα时，αtg 33=，αctg 3=； 当)(62Z ∈-=k k ππα时，αtg 33-=，αctg 3-=，不合题意．∴ Z ∈+=k k ,672ππα． …… 12分18．解法一 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B AOPl y BC α即.0)cos (sin sin =-A A B因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A =由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B 解法二：由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0、π<c ，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求. 再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B19．解：)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f (x )的值域为[]4,4-，最小正周期πωπ==2T 。
20．解：如图所示，建立平面直角坐标系，则)0,200(A ，)220,0(B ，)300,0(C ．直线l 的方程为αtan )200(-=x y ，即2200-=x y ． 设点P 的坐标为),(y x ，则)2200,(-x x P （200>x ） 由经过两点的直线的斜率公式xx x x k PC28003002200-=--=，xx x x k PB26402202200-=--=． 由直线PC 到直线PB 的角的公式得6401602886426402800121601tan 2⨯+-=-⋅-+=+-=x x x xx x x x k k k k BPC PCPB PCPB28864016064-⨯+=xx （200>x ）要使BPC tan 达到最大，只须288640160-⨯+xx 达到最小． 由均值不等式2886401602288640160-⨯≥-⨯+x x ．当且仅当xx 640160⨯=时上式取等号．故当320=x 时BPC tan 最大．这时，点P 的纵坐标y 为602200320=-=y ．由此实际问题知，20π<∠<BPC ，所以BPC tan 最大时，BPC ∠最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC ∠最大．21．(1)f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x )＝2(cos x －a 2)2－a 22－2a －1。
当a ≥2时，则cos x ＝1时，f (x )取最小值，即f (a )＝1－4a ；当－2＜a ＜2时，则cos x ＝a 2时，f (x )取最小值，即f (a )＝－a 22－2a －1；当a ≤－2时，则cos x ＝－1时，f (x )取最小值，即f (a )＝1；综合上述，有f (a )＝21,2,121,22,214, 2.a a a a a a ≤-⎧⎪⎪----<<⎨⎪-≥⎪⎩(2)若f (a )＝12，a 只能在[－2,2]内。
解方程－a 22－2a －1＝12，得a ＝－1，和a ＝－3.因－1∈[－2,2]，故a ＝－1为所求，此时f (x )＝2(cos x ＋12)2＋12；当cos x ＝1时，f (x )有最大值5。