函数和表示经典例题

一、教学目标

1. 巩固函数及其表示

二、上课内容

1、回顾上节课内容

2、函数及其表示知识点回顾

3、经典例题讲解

4、课堂练习

三、课后作业

见课后练习

一、上节课知识点回顾

1、集合中元素的三个特性

元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，

元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合，元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。例如：集合{}5,4,

5,4,3,2,1是相同的集合。

,1和集合{}

2,3

2、集合的表示方法

列举法：

定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

描述法：

定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

3、子集、空集的概念.

①如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包

含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：()

或，读作：

⊆⊇

A B B A

A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.

空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

4、交集、并集.

①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、

B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：

{|,}.A B x x A x B =∈∈I 且

Venn 图如右表示.

② 类比说出并集的定义.

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的

并集（union set ），记作：A B U ，读作：A 并B ，用描述法表示是：

{|,}A B x x A x B =∈∈U 或.

Venn 图如右表示.

二、函数及其表示知识点回顾

1．映射的概念

设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).

注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x

的值相对应的y值叫做函数值，对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

5．区间的表示：例如[a,b]

三、经典例题讲解

（一）映射的概念

设B

A、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射,记作f(x).

例1：下述两个个对应是A到B的映射吗？

（1）A R

=，{|0}

→=；

f x y x

=>，:||

B y y

（2）{|0}

=∈，:f x y

B y y R

=>，{|}

A x x

→=

变式训练：若}4,3,2,1{=A，},,{c b a

∈，则A到B的映射有个，B到A的

a b c R

B=，,,

映射有个

（二）判断两函数是否为同一个函数

方法：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 例2： 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x x x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;

01,01)(x x x g

（三）求函数解析式

方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 题型1：用待定系数法求函数的解析式

例3：已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.

例4：二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f (x)＞2x ＋5.

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例5：已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f