导数的乘除法法则
微积分运算法则

微积分运算法则微积分是数学中的一个重要分支,它主要研究函数的变化规律和数量的无限逼近。
微积分运算法则是微积分中常用的一些规则和定理,它们可以帮助我们更方便、更准确地进行微积分运算。
本文将介绍微积分运算法则的一些基本内容。
一、导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中最基本的法则之一。
它规定了导数运算在加减乘除运算中的运用。
根据这个法则,我们可以根据已知函数的导数来求得新函数的导数。
二、链式法则链式法则是微积分中的另一个重要法则。
它用于求复合函数的导数。
复合函数是由两个或多个函数复合而成的函数。
链式法则告诉我们,复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。
三、反函数的导数反函数的导数是指如果函数f的值域上的每一个点都有唯一的反函数g,则g的导数等于f的导数的倒数。
这个法则在求反函数的导数时非常有用。
四、隐函数求导隐函数求导是指在某些情况下,函数的表达式无法直接写出,但是我们仍然可以通过一些方法求得函数的导数。
隐函数求导的关键是利用已知条件,通过求解方程组来求得导数值。
五、极限的四则运算法则极限的四则运算法则是指在求极限运算时,可以将各个极限运算符号分别作用于各个函数,并进行相应的加减乘除运算。
这个法则在求极限时非常有用。
六、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理,它用于将任意一个光滑函数表示为无穷级数的形式。
泰勒公式可以通过求导数的方式来推导得出,它在近似计算中有着广泛的应用。
七、微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理,它用于研究函数在某个区间内的变化情况。
微分中值定理告诉我们,如果函数在某个区间内连续并可导,那么在这个区间内一定存在某个点,函数在这个点的斜率等于函数在整个区间上的平均斜率。
八、积分的四则运算法则积分的四则运算法则是指在求积分运算时,可以将各个积分运算符号分别作用于各个函数,并进行相应的加减乘除运算。
这个法则在求积分时非常有用。
九、换元积分法换元积分法是微积分中的一个重要方法,它用于将一个积分问题转化为另一个更容易求解的积分问题。
专升本数学公式归纳总结

专升本数学公式归纳总结数学是一门基础学科,它的公式是解决问题的关键。
对于专升本考生来说,数学公式的掌握至关重要。
本文将对专升本数学公式进行归纳总结,方便考生在备考过程中进行查阅和复习。
一、基本运算公式1. 加减乘除法则加法法则:a + b = b + a减法法则:a - b ≠ b - a乘法法则:a × b = b × a除法法则:a ÷ b ≠ b ÷ a2. 分配律左分配律:a × (b + c) = a × b + a × c右分配律:(a + b) × c = a × c + b × c二、代数公式1. 二次根式平方差公式:(a + b) × (a - b) = a^2 - b^2完全平方公式:(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^22. 二次方程一元二次方程求根公式:x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 指数与对数指数与对数互反性:a^loga(x) = x4. 三角函数正弦函数的平方与余弦函数的平方和为1:sin^2θ + cos^2θ = 1正切函数与余切函数互为倒数:tanθ × cotθ = 1三、几何公式1. 周长和面积矩形的周长:2 × (a + b)矩形的面积:a × b正方形的周长:4 × a正方形的面积:a^2圆的周长:2πr圆的面积:πr^22. 三角形三角形的周长:a + b + c三角形的面积(海伦公式):S = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))其中,s为半周长,s = (a + b + c) / 23. 直角三角形勾股定理:c^2 = a^2 + b^2正弦定理:sinA / a = sinB / b = sinC / c余弦定理:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab × cosC四、概率与统计公式1. 基本概率公式事件A发生的概率:P(A) = n(A) / n(S)事件A与事件B同时发生的概率:P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) 2. 统计学公式均值的计算公式:μ = (x1 + x2 + ... + xn) / n方差的计算公式:σ² = [(x1 - μ)² + (x2 - μ)² + ... + (xn - μ)²] / n 标准差的计算公式:σ = √σ²五、微积分公式1. 导数公式常用函数的导数公式:常数函数:(c)' = 0幂函数:(x^n)' = nx^(n-1)三角函数:(sinx)' = cosx,(cosx)' = -sinx,(tanx)' = sec²x2. 积分公式不定积分:幂函数积分:∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,其中C为常数三角函数积分:∫sinx dx = -cosx + C,∫cosx dx = sinx + C以上只列举了一部分常用的数学公式,希望能够对专升本考生在数学备考中有所帮助。
导数的四则运算法则导学案(1)

导数的四则运算法则导学案复习回顾1. 常见函数的导数公式:(默写)='+)(b kx _________ ____='C)('αx =_____________ _______)(='x a ______)(log ='x a___________)(='x e =')(ln x _________)(sin 'α=____________ =')(cos α________2 求下列函数函数的导数(1)5)(-=x x f (2)x x x f =)( (3)sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(4)3sin π=y (5))2cos(x y -=π (6)x y 4= (7)x y 3log =【自主探究】导数的加减法运算法则:1.[]='±)()(x g x f2.[]='+c x f )(导数的乘除法运算法则1.[]=')()(x g x f ;2. ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ; 3.[]=')(x kf ;说明:1.导数的加法与减法法则两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即v u v u '±'='±)(,和(差)函数求导法则由两个可以推广到n 个。
2.导数的乘法、除法法则:①两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数的和,即v u v u uv '+'=')(。
若c 为常数,则c u c u cu '+'=')(u c '+=0u c '=。
由以上两个法则可知:)()()()(x v b x u a x bv x au '±'=±,b a ,为常数。
导数的四则运算法则课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二 求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需进化费用不断增加,已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用(单位:元),为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时,所需进化费用的瞬时变化率:
(1) 90% ;(2) 98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数;
′ ()
=
5284 ′ 5284’ ×(100−)−5284 (100−)’
(100−) =
(100−)2
(1)因为 ′ (90) =
5284
100−90 2
=
0×(100−)−5284 ×(−1)
(100−)2
(2) ’ = (2 + cos)’ = (2 )’ +(cos)’ = 2 ln2 − sin.
(3) ’ = ( 3 e )’ = ( 3 )’ e + 3 (e )’ = 3 2 e + 3 e .
(4) ’
=
2sin ’ (2sin)’ 2 − 3 ( 2 )’
北师大版
随堂小测
1.已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为 ( A )
A.1
B. 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.-1
D.0
3
2.已知物体的运动方程为s=t2+ (t是时间,s是位移),则物体在时刻t=2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4
5.2.2导数的四则运算法则

2 所以 f′(1)=ae=2,故 a= .
e
导数的运算法则的综合应用
x)(
x2 )
2x2 cos x 4x sin x
x4
2x cos
x x3
4 sin
x
.
导数的运算法则的综合应用
例 3:设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x +1.
求 y=f(x)的函数表达式.
解:因为 f′(x)=2x+1,所以 f(x)=x2+x+c(c 为常数),
解:( 1) y ′=( 2x 3) ′ +( x 2) ′ -( x ) ′+( 1) ′=6x 2+2x -1.
(2)y′=(x4)′+(cos x)′=4x3-sin x.
(3)y′=(ex)′+(ln
x
)
′
=ex
1 +
.
x
(4)y′=(5x)′-(ln
x ) ′=5x
ln
1 5-
.
x
1
(5)y′=(lg x)′+(sin x)′=
导数的运算法则的综合应用
又点( 1,0) 在切线上,所以
3x02-2x03=0,解得
x0=0
或
3 x0=
.
2
当 x0=0 时,由直线 y=0 与曲线 y=ax2+15 x-9 相切可得, 4
方程 ax2+15 x-9=0 有两个相等的实数根, 4
《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单

《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单一、学习这部分知识的目的咱们为啥要学习导数的乘法与除法法则呢?就好比你要计算一些复杂的变化关系的时候,光靠之前的知识可不够。
比如说,你在研究一个物理问题,物体的速度和它受到的力之间有某种乘积关系,或者是在经济领域,成本和产量之间有除法关系,而且它们都是在不断变化的,这时候导数的乘法和除法法则就能派上大用场啦。
就像我上次去超市,发现商品的总价和单价、数量之间的关系,当单价和数量都随着促销活动等因素变化时,就类似这种复杂的关系需要用特殊的法则来处理。
二、导数乘法法则(一)法则内容1、如果我们有两个函数,设为\(u(x)\)和\(v(x)\),那么它们乘积的导数\((u(x)v(x))'\)等于\(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)。
这里的\(u'(x)\)就是\(u(x)\)的导数,\(v'(x)\)就是\(v(x)\)的导数。
这个法则看起来有点复杂,不过咱们可以把它想象成是一种分配工作的方式。
比如说,\(u(x)\)和\(v(x)\)是两个小伙伴一起完成一项任务,它们的乘积的变化率(也就是导数)就等于\(u(x)\)自己的变化率乘以\(v(x)\)(这就好像\(u(x)\)变化的时候拉着\(v(x)\)一起),再加上\(u(x)\)乘以\(v(x)\)自己的变化率(就像\(v(x)\)变化的时候也影响着整体)。
例如,设\(u(x)=x^2\),\(v(x)=\sin x\)。
首先我们求\(u'(x)\),根据求导公式\((x^n)'= nx^{n 1}\),\(u'(x)=2x\);\(v'(x)=\cos x\)。
那么\((u(x)v(x))'=(x^2\sin x)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\sin x + x^2\cos x\)。
(二)推导过程1、从导数的定义出发,\((u(x)v(x))'\)等于\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{u(x +\Delta x)v(x+\Deltax)u(x)v(x)}{\Delta x}\)。
导数的乘法与除法法则

4.下列求导数运算正确的是 ( B )
A.
x
1 x
1
1 x2
C. 3x 3x log3 e
B.
log2
x
x
1 ln
2
x2
2x cos x x2 sin x
D.
cos
x
cos x2
5.(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点
(1,1)处的切线方程为__4_x___y___3___0_.
x)
f
(x0)
( x 0
x)2
x
2 0
f
(x0)
x
(x0
x)2
f
(x0
x) x
f
(x0)
(x0
x)2 x
x
2 0
f
(x0
).
令x
0,由于
lim (x
x0
0
x)2
x
2 0
,
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0)
f
(x 0 ),
lim (x0
x0
x)2 x
x
2 0
2x0,
知 f (x)g(x) 在x2xf0(处x)的导数值为
进入本节课的学习!
1.了解两个函数的乘、除的求导公式.
2.会运用公式,求含有和、差、乘、除综合运算的函 数的导数.(重点) 3.函数和、差、乘、除导数公式的应用,运用导数的 几何意义,求过曲线上一点的切线.(难点)
探究点1 导数乘法公式的推导应用
设函数y f (x)在x0处的导数为f (x0),g(x) x2. 我们来求y f (x)g(x) x2f (x)在x0处的导数.
导数除法运算法则

导数除法运算法则导数是微积分中的重要概念,它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中,我们经常需要对函数进行除法运算,而导数除法运算法则就是解决这类问题的重要工具。
本文将从定义、公式、应用等方面详细介绍导数除法运算法则。
一、定义导数除法运算法则是指对两个函数进行除法运算时,如何求得它们的导数。
具体来说,设函数f(x)和g(x)在某一点x0处都存在且g(x0)≠0,则它们的商函数h(x)=f(x)/g(x)在x0处的导数为:h'(x0)=[f'(x0)g(x0)-f(x0)g'(x0)]/[g(x0)]²其中,f'(x0)和g'(x0)分别表示f(x)和g(x)在x0处的导数。
二、公式导数除法运算法则的公式可以简单地表示为:(f/g)'= [f'g-fg']/g²其中,f'和g'分别表示f和g的导数。
三、应用导数除法运算法则在实际应用中有着广泛的应用。
例如,在求解极值、曲率、切线、法线等问题时,常常需要对函数进行除法运算。
下面以求解曲率为例,介绍导数除法运算法则的应用。
曲率是描述曲线弯曲程度的量,它的定义为:k=|y''|/[1+(y')²]³/²其中,y(x)为曲线的方程,y'和y''分别表示y(x)的一阶和二阶导数。
对于一条曲线,如果我们已知它的方程y(x),则可以通过导数除法运算法则求出y''/[(1+y'²)³/²],从而得到曲率k的表达式。
具体来说,我们可以将曲率的公式化简为:k=|y''|/[1+(y')²]³/²=|y''/y'|/[1+(y')²]²然后,利用导数除法运算法则,将y''/y'表示为(y'/y)'-y''/y'²,即可得到曲率的表达式:k=[(y'/y)'-y''/y'²]/[1+(y')²]²通过这个公式,我们可以方便地求解曲线的曲率,从而更好地理解曲线的形态和特征。
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′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = 2 g ( x)
可得
′ sin x cos x ⋅ x − sin x ⋅ 1 x cos x − sin x = = 2 x x x2
(2)由导数的除法运算法则可得: )由导数的除法运算法则可得:
x +1 (2) y = 2 x −1 ex + 1 − 2ex (3) y = x y′ = x e −1 (e −1)2 x π 2. 求曲线 y = 处的切线方程。 在 x = 处的切线方程。 sin x 3
− 3x2 − 4x x −1 y′ = 2 x( x2 −1)2
2 3 π k = y′ = − 3 6
′ 2 x ⋅ ln x − x 2 ⋅ 1 x2 x = x( 2 ln x − 1) = 2 2 ln x (ln x ) ln x
练习
分析: 分析: 无论题目中所给的式子多么复杂, 无论题目中所给的式子多么复杂,但是求导的实 质不会改变,求函数积( 质不会改变,求函数积(商)的导数时,都满足运算 的导数时, 法则: 法则:
x
2x =− + 2 x ln 2 ln x + 2 x x (1 + x )
7 可求得 f ′(1) = , 4
则曲线 f ( x ) = 方程为: 方程为:
1− x 1+ x
+ 2 x ln x 过点 (1,0) 的切线
7 y = ( x − 1) 4
即: 7 x − 4 y − 7 = 0 练习
(1) y = ( 2 x + 3)( 3 x − 1)
2
y′ = 18x2 − 4x + 9
( 2) y = ( x − 2) 2 x x ( 3) y = x − sin cos 2 2
2 y′ = 1− x
1 y′ = 1− cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
′
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
[kf (x)] = kf ′(x)
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = 2 g ( x)
思考:下列式子是否成立??试举例说明。 思考:下列式子是否成立??试举例说明。 ??试举例说明
∆y ( x0 + ∆x ) f ( x0 + ∆x ) − x f ( x0 ) = ∆x ∆x
2 2 0
2 ( x0 + ∆x ) 2 [ f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )] + ( x0 + ∆x )2 − x0 f ( x0 ) = ∆x 2 f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ( x0 + ∆x )2 − x0 = ( x0 + ∆x ) 2 + f ( x0 ) ∆x ∆x
g 之间的联系, 我们观察 [ f ( x)g( x)] 与 f ′(x) 、 ′(x) 之间的联系,
从定义式中, 从定义式中,能否变换出 f ′(x) 和 g′(x) ??
′
解析 对于 x0 的改变量 ∆x ,有
∆y = ( x0 + ∆x ) f ( x0 + ∆x ) − x f ( x0 )
[ f (x)g(x)]
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
特别地, 特别地,若 g( x) = k ,则有
[kf (x)]
′
= kf ′( x)
概括
一般地, 一般地,若两个函数 f (x ) 和 g (x ) 的导数分别是
f ′(x ) 和 g ′(x ) ,则:
[ f (x)g(x)]
2
本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。 本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。
(2)由导数的除法法则,可得: )由导数的除法法则,可得:
cos x − x x2 (cos x − x )′ x 2 − (cos x − x ) ⋅ 2 x = 2 2 (x ) ( − sin x − 1) x − 2 x cos x + 2 x = 4 x x sin x + 2 cos x − x =− x3
2 2
′
例4
要求切线方程,先求斜率,即导数。 分析: 要求切线方程,先求斜率,即导数。 分析: 解: 由求导运算法则可知: 由求导运算法则可知:
f ′( x ) − = 1 2 x (1 + x ) − (1 − x ) (1 + x ) 2 1 1 2 x + ( 2 x ln 2) ln x + 2 x
1 ( x ln x )′ = ( x )′ ln x + x(ln x )′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ = ln x + 1 x
例2
解: (1)设 f ( x ) = sin x , g ( x ) = x ,则可知 )
f ′( x ) = cos x, g ′( x ) = 1
由导数的除法运算法则
2 3 π π2 y =( − )x + 3 6 18
小结
导数的乘除法法则: * 导数的乘除法法则:
[ f (x)g(x)]
′
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
[kf (x)] = kf ′(x)
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = g 2 ( x)
2
1 则有: 则有:f ′( x ) = 2 x , g ′( x ) = + cos x x
根据导数的乘法法则, 根据导数的乘法法则,得:
[x (ln x + sin x)]
2
′
1 = 2 x(ln x + sin x ) + x ( + cos x ) x 2 = x + 2 x ln x + 2 x sin x + x cos x
[ f ( x ) g ( x )] = f ′( x ) g ′( x) ×
3 2
′
f ( x) f ′( x ) g ( x ) = g ′( x )
′
×
例如, 例如,f ( x ) = x , g ( x ) = x ,通过计算可知 f ′( x)g′( x)
结束
解: (1)设 )
f ( x) = x , g ( x) = e
2
x
,可知
′( x ) = 2 x , g ′( x ) = e x f
由导数的乘法法则: 由导数的乘法法则:
[ f (x)g(x)]
可得: 可得:
2 x
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
′ = 2 xe x + x 2 e x = ( 2 x + x 2 )e x (x e )
复习回顾
求导的加减法法则: * 求导的加减法法则: 两个函数和( 两个函数和(差)的导数,等于这两个函数导 的导数, 数的和( ),即 数的和(差),即
[ f (x) + g(x)]
′
= f ′( x) + g′( x)
[ f (x) − g(x)]′ = f ′(x) − g′(x)
前面学习了导数的加法减法运算法则, 前面学习了导数的加法减法运算法则,下面来研 究两个函数积、商的导数求法: 究两个函数积、商的导数求法: 引例: 引例: 处的导数为 f ′(x ) , ( x ) = x 2,求 g x0 处的导数。 y = f ( x ) g ( x ) = x 2 f ( x ) 在 x0处的导数。 设 y = f (x ) 在
[ f (x)g(x)]
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = 2 g ( x)
解: (1)可设 )
f ( x ) = x , g ( x ) = ln x + sin x
2. 求曲线 y = x( 2 + x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。 处的切线方程。
k = y′ = 27
y = 27x −18
例3
1. 计算下列函数的导数: 计算下列函数的导数:
x (1) y = 1 − cos x
y′ =
1 − cos x − x sin x (1 − cos x)2
(2)由导数的乘法法则 )
[ f (x)g(x)]
可得: 可得:
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
sin x ( x sin x )′ = ( x )′ sin x + x (sin x )′ = + x cos x 2 x
(3)由导数的乘法法则可得: )由导数的乘法法则可得:
2 2 0
平均变化率: 平均变化率:
2 ∆y ( x0 + ∆x ) 2 f ( x0 + ∆x ) − x0 f ( x0 ) = ∆x ∆x
如何得 到 f ′(x) 、g′(x)?
∆f ( x) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 即出现: 即出现: = ∆x ∆x 2 ∆g( x) ( x0 + ∆x)2 − x0 = ∆x ∆x