导数的乘除法法则

x
2x =− + 2 x ln 2 ln x + 2 x x (1 + x )
7 可求得 f ′(1) = ， 4
则曲线 f ( x ) = 方程为： 方程为：
1− x 1+ x
+ 2 x ln x 过点 (1,0) 的切线
7 y = ( x − 1) 4
即： 7 x − 4 y − 7 = 0 练习
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = 2 g ( x)
可得
′ sin x cos x ⋅ x − sin x ⋅ 1 x cos x − sin x = = 2 x x x2
（2）由导数的除法运算法则可得： ）由导数的除法运算法则可得：
复习回顾
求导的加减法法则： ＊ 求导的加减法法则： 两个函数和（ 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 的导数， 数的和（ ），即 数的和（差），即
[ f (x) + g(x)]
′
= f ′( x) + g′( x)
[ f (x) − g(x)]′ = f ′(x) − g′(x)
前面学习了导数的加法减法运算法则， 前面学习了导数的加法减法运算法则，下面来研 究两个函数积、商的导数求法： 究两个函数积、商的导数求法： 引例： 引例： 处的导数为 f ′(x ) ， ( x ) = x 2，求 g x0 处的导数。 y = f ( x ) g ( x ) = x 2 f ( x ) 在 x0处的导数。 设 y = f (x ) 在
1 ( x ln x )′ = ( x )′ ln x + x(ln x )′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ = ln x + 1 x
例2
解： （1）设 f ( x ) = sin x , g ( x ) = x ，则可知 ）
f ′( x ) = cos x, g ′( x ) = 1
由导数的除法运算法则
2 3 π π2 y =( − )x + 3 6 18
小结
导数的乘除法法则： ＊ 导数的乘除法法则：
[ f (x)g(x)]
′
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
[kf (x)] = kf ′(x)
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = g 2 ( x)
′
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
[kf (x)] = kf ′(x)
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = 2 g ( x)
思考：下列式子是否成立？？试举例说明。 思考：下列式子是否成立？？试举例说明。 ？？试举例说明
[ f (x)g(x)]
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = 2 g ( x)
解： （1）可设 ）
f ( x ) = x , g ( x ) = ln x + sin x
结束
解： （1）设 ）
f ( x) = x , g ( x) = e
2
x
，可知
′( x ) = 2 x , g ′( x ) = e x f
由导数的乘法法则： 由导数的乘法法则：
[ f (x)g(x)]
可得： 可得：
2 x
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
′ = 2 xe x + x 2 e x = ( 2 x + x 2 )e x (x e )
（2）由导数的乘法法则 ）
[ f (x)g(x)]
可得： 可得：
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
sin x ( x sin x )′ = ( x )′ sin x + x (sin x )′ = + x cos x 2 x
（3）由导数的乘法法则可得： ）由导数的乘法法则可得：
′ 2 x ⋅ ln x − x 2 ⋅ 1 x2 x = x( 2 ln x − 1) = 2 2 ln x (ln x ) ln x
练习
分析： 分析： 无论题目中所给的式子多么复杂， 无论题目中所给的式子多么复杂，但是求导的实 质不会改变，求函数积（ 质不会改变，求函数积（商）的导数时，都满足运算 的导数时， 法则： 法则：
x +1 (2) y = 2 x −1 ex + 1 − 2ex (3) y = x y′ = x e −1 (e −1)2 x π 2. 求曲线 y = 处的切线方程。 在 x = 处的切线方程。 sin x 3
− 3x2 − 4x x −1 y′ = 2 x( x2 −1)2
2 3 π k = y′ = − 3 6
2
本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。 本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。
（2）由导数的除法法则，可得： ）由导数的除法法则，可得：
cos x − x x2 (cos x − x )′ x 2 − (cos x − x ) ⋅ 2 x = 2 2 (x ) ( − sin x − 1) x − 2 x cos x + 2 x = 4 x x sin x + 2 cos x − x =− x3
g 之间的联系， 我们观察 [ f ( x)g( x)] 与 f ′(x) 、 ′(x) 之间的联系，
从定义式中， 从定义式中，能否变换出 f ′(x) 和 g′(x) ？？
′
解析 对于 x0 的改变量 ∆x ，有
∆y = ( x0 + ∆x ) f ( x0 + ∆x ) − x f ( x0 )
2
2 x0 f ′( x0 ) + 2 x0 f ( x0 ) = g ( x0 ) f ′( x0 ) + g ′( x0 ) f ( x0 )
x f ( x ) 的导数是： x 2 f ′( x ) + ( x 2 )′ f ( x ) 因此， 的导数是： 因此，
2
由此可以得到： 由此可以得到：
2
1 则有： 则有：f ′( x ) = 2 x , g ′( x ) = + cos x x
根据导数的乘法法则， 根据导数的乘法法则，得：
[x (ln x + sin x)]
2
′
1 = 2 x(ln x + sin x ) + x ( + cos x ) x 2 = x + 2 x ln x + 2 x sin x + x cos x
(1) y = ( 2 x + 3)( 3 x − 1)
2
y′ = 18x2 − 4x + 9
( 2) y = ( x − 2) 2 x x ( 3) y = x − sin cos 2 2
2 y′ = 1− x
1 y′ = 1− cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
[ f (x)g(x)]
′
= f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
特别地， 特别地，若 g( x) = k ，则有
[kf (x)]
′
= kf ′( x)
概括
一般地， 一般地，若两个函数 f (x ) 和 g (x ) 的导数分别是
f ′(x ) 和 g ′(x ) ，则：
[ f (x)g(x)]
∆y ( x0 + ∆x ) f ( x0 + ∆x ) − x f ( x0 ) = ∆x ∆x
2 2 0
2 ( x0 + ∆x ) 2 [ f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )] + ( x0 + ∆x )2 − x0 f ( x0 ) = ∆x 2 f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ( x0 + ∆x )2 − x0 = ( x0 + ∆x ) 2 + f ( x0 ) ∆x ∆x
解析
求下列函数的导数： 例3 求下列函数的导数：
cos x − x (1) y = x (ln x + sin x ) ; ( 2) y = 2 x
2
解析
1− x x 例4 求曲线 f ( x ) = + 2 ln x 过点 (1,0) 的 1+ x 切线方程。 切线方程。
解析
1. 计算下列函数的导数： 计算下列函数的导数：
[ f ( x ) g ( x )] = f ′( x ) g ′( x) ×
3 2
′
f ( x) f ′( x ) g ( x ) = g ′( x )
′
×
例如， 例如，f ( x ) = x , g ( x ) = x ，通过计算可知
[ f (x)g(x)]
′
≠ f ′( x)g′( x)
′ f ( x) f ′( x) g( x) ≠ g′( x)
求下列函数的导数： 例1 求下列函数的导数：
(1) y = x 2e x ;
( 2) y = x sin x ; ( 3) y = x ln x
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求下列函数的导数： 例2 求下列函数的导数：
sin x x2 (1) y = ; ( 2) y = x ln x
[
]
由于
∆x→0
lim( x0 + ∆x) = x
2
2 0
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) lim = f ′( x0 ) ∆x→0 ∆x 2 (x0 + ∆x)2 − x0 lim = 2x0 = g′( x0 ) ∆x→0 ∆x
处的导数值是： 所以 f ( x ) g ( x ) = x f ( x ) 在 x0 处的导数值是：
2 2
′
例4
要求切线方程，先求斜率，即导数。 分析： 要求切线方程，先求斜率，即导数。 分析： 解： 由求导运算法则可知： 由求导运算法则可知：
f ′( x ) − = 1 2 x (1 + x ) − (1 − x ) (1 + x ) 2 1 1 2 x + ( 2 x ln 2) ln x + 2 x
2 2 0
平均变化率： 平均变化率：
2 ∆y ( x0 + ∆x ) 2 f ( x0 + ∆x ) − x0 f ( x0 ) = ∆x ∆x
如何得 到 f ′(x) 、g′(x)？
∆f ( x) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 即出现： 即出现： = ∆x ∆x 2 ∆g( x) ( x0 + ∆x)2 − x0 = ∆x ∆x
2. 求曲线 y = x( 2 + x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。 处的切线方程。
k = y′ = 27
y = 27x −18
例3
1. 计算下列函数的导数： 计算下列函数的导数：
x (1) y = 1 − cos x
y′ =
1 − cos x − x sin x (1 − cos x)2