3.连续介质力学
连续介质力学
矢量与张量
连续介质力学基础
克罗内克符号(Kronecker delta)
ij
1 0
i i
j j
1mam 1a 1 11a 2 21a 3 3 a 1
a a 2mam 2a 12a 2 22a 3 a 2 im m
i
3mam3a 13a 2 23a 3 3 a 3
如果e 1 ，e 2，e 3 是相互正交的单位矢量，则有 ei e j ij
变到 x1, x2 , x3 时，它们又是如何变换的。
如果变量系在变量xi中只有一个分量Φ，在变量 x 中i 只有一
个分量 ，并且在对应点，Φ 和 相等，则称为数量场。
(x1,x2,x3) (x1,x2,x3)
矢量与张量
连续介质力学基础
数量、向量和张量的解析定义
如果变量系在变量xi中有三个分量 i ，在变量x i 中有三个分
/
ei )
xi/ ijxj
矢量与张量
连续介质力学基础
一般坐标变换
一组独立的变量x1, x2, x3 可以一点在某一参考标架中的坐标。
通过方程 xi fi(x1,x2,x3) 把变量x1, x2, x3 变成一组新的变
量 x1, x2 , x3 这就规定了一个坐标变换。
逆变换 xi gi(x1,x2,x3)
绪论
连续介质力学基础
连续介质力学中的“基元”
时空系：
时间和空间是运动物体的客观存在形式。空间 表示物体的形状、大小和相互位置关系；时间 表示物体运动过程的顺序。
为描述物体的运动，需要在时间和空间中选取一特 定的标架，作为描述物体运动的的基准，这种标架 称为时空系。
绪论
连续介质力学基础
连续介质力学中的“基元”
连续介质力学(固体力学)讲解
连续介质力学 连续介质力学（Continuum mechanics）是物
理学（特别的，是力学）当中的一个分支，是处 理包括固体和流体的在内的所谓“连续介质”宏
观 性质的力学。
3
固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的 刚体 和可变形固体。刚体在 一般力学 中的 刚体力学 研究；连续介 质力学中的 固体力学 则研究可变形固体，在应力，应变等外在因素 作用下的变化规律，主要包括 弹性 和 塑性 问题。
9
二、现代力学的发展及其特点
1、现代力学的发展
材料与对象： 金属、土木石等 新型复合材料、 高分子材料、 结构陶瓷、功能材料。
尺 度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、 纳米尺度。
实验技术： 电、光测试实验技术 全息、超声、 光纤测量，及实验装置的大型化。
10
应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电 子技术等。
使工程结构分析技术；（结合CAD技术） 监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）； 工程系统动态过程的计算机数值仿真技术； 广泛应用至各工程领域。
材料设计：按所要求的性能设计材料。(90年代)
13
智能结构： 90年代开始，力学与材料、控制（包括 传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向21世纪 的、具有“活”的功能的智能结构。
塑性 ：应力作用后，不能恢复到原来的形状，发生永久形变。 弹性 ：应力作用后，可恢复到原来的形状。 流体 ：流体包括 液体 和 气体 ，无确定形状，可流动。流体最重 要的性质是 粘性 （viscosity，流体对由剪切力引起的形状的抵抗 力，无粘性的 理想气体 ，不属于流体力学的研究范围）。从理论研 究的角度，流体常被分为 牛顿流体 和 非牛顿流体 牛顿流体 ：满足 牛顿粘性定律 的流体，比如水和空气。 非牛顿流体 ：不满足 牛顿粘性定律 的流体，介乎于固体和牛顿 流体之间砄物质形态。
连续介质力学
连续介质力学的应用领域包括：工 程力学、流体力学、固体力学、生 物力学等。
连续性假设：假设介质是连续的没 有空隙或裂缝
各向同性假设：假设介质在各个方 向上都是相同的
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均匀性假设：假设介质在各个方向 上都是均匀的
小变形假设：假设介质的变形很小 不会影响其物理性质
流体：不可压缩、连续、无固定形状的 物质如空气、水等
多尺度连续介质力学：研究不同尺度下的连续介质力学问题如分子动力学、介观力学等
跨学科连续介质力学：与其他学科交叉如生物力学、环境力学等
计算连续介质力学：发展高效的计算方法和软件解决复杂问题如流体动力学、固体力学 等
PRT SIX
连续介质力学是研究流体和固体力学 的重要学科
连续介质力学的特点包括：连续性、 守恒性、对称性等
研究方法：数学模型、数值 模拟、实验验证等
研究对象：连续介质如液体、 气体、固体等
基本概念：应力、应变、位 移、速度、加速度等
应用领域：工程力学、流体 力学、固体力学等
PRT THREE
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程 弹性力学的应用：工程结构设计、地震工程、材料科学等
,
汇报人：
CONTENTS
PRT ONE
PRT TWO
连续介质力学是研究连续介质（如 液体、气体、固体等）在力作用下 的变形、流动和应力分布的学科。
连续介质力学的研究内容包括：应 力、应变、变形、流动、热传导等。
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连续介质力学基础第三章
速度定义
加速度
2 2 v u x w(a , t ) 2 2 t t t
6
物质导数:即随体导数,给定质点上函数对时间的变化率.
t F (a , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) f x t a t a t x x t t a
9
例1: 已知位移场 u1 m2t 2a1 , u2 u3 0 (Lagrange)
m 2t 2 u1 x , u2 u3 0 2 2 1 1 m t
(Euler)
w 求速度场 v 和加速度场
解:
v1 u1 2m 2ta1 , v2 v3 0 t v w1 1 2m 2 a1 , w2 w3 0 t
1) 速度(Lagrange形式)
2) 速度(Euler形式) Du u v (v )u Dt t Dui ui u vi ( x , t ) vk i Dt t xk
v v ( x, t ) v ( x1 , x2 , x3 , t ) 为瞬时速度场. vi ( x, t ) vi ( x1 , x2 , x3 , t )
分量形式:
曲面
f1 ( x1, x2 , x3 , a) 0 f2 ( x1 , x2 , x3 , a) 0
a 迹线
15
消去时间 t
欧拉描述的迹线:
Dx x (a, t ) 轨迹与速度的联系: v ( x, t ) Dt t a
dx1 v1 ( x , t ) v1 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx2 v2 ( x , t ) v2 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx3 v3 ( x , t ) v3 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt
连续介质力学
b1
=
1 H1
g1
bi
=
1 Hi
gi
b2
=
1 H2
g2
b3
=
1 H3
g3
则 bi 为正交曲线坐标系的标准化正交基。
因此，显然有
ei
⋅ej
=
bi
⋅bj
= δij
=
⎧1 ⎨⎩0
i= j i≠ j
（2.1.4） （2.1.5）
质量守恒定律（非相对论，牛顿力学观点）； 能量守恒（热力学定律）； 有限变形及连续性条件（几何方程）。 2）材料本构方程 不同材料具有不同特性是材料属性，这属性称为本构属性。本构属性的描述为本构方 程。在本课程中，只讨论本构方程的框架（形式）。 具体本构方程只有通过实验得出，本构方程包含：①应力、应变关系；②材料常数。 本课程中，研究本构方程框架所应用的基本理论为： ① 基本连续介质热力学的内变量理论； ② 基于理性化公理的本构方程原理。 所得到的本构方程框架具有本构方程的指导原则。 非线性方面在下面两个方面反映： ① 有限变形—称为几何非线性。 ② 本构方程非线性—称为物理（材料）非线性。 若同时考虑以上两个方面的非线性因素，则称为双非线性问题。
2．空间的维数
设α i 为 m 个标量，若能选取α i ，使得
m
∑αiai = 0
i =1
（2.1.1）
且α i 不全为零，则称此 m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例 1 位于同一平面内的两个矢量 a1 和 a2 （如图
2.1.1）是线性无关的，即
a1
α1a1 + α2a2 ≠ 0 （α1 和α 2 可为任意值，
3．本课程的特点
① 普遍性； ② 严密性（只有一个基本假设，物理定律和公理作为依据）； ③ 溶入于连续介质热力学； ④ 对连续介质的本构方程作框架的理论研究。
3.连续介质力学
空间坐标
v x R R T x xT xT Ω x xT xT
Ω R RT
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
2 变形和运动
运动描述
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
位移
u X , t Φ X , t Φ X , 0 Φ X , t X x X
2 变形和运动
( X , t)
在初始域和当前 域 域之间的映射
初始构形 当前构形
X X iei X iei
i 1
n SD
材料点的位置矢量
x xi e i xi e i
i 1
n SD
ei 直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 x i i X , t
f x, t d
0
f ΦX, t , t Jd 0
或
fd
0
fJd 0
二维域
f x, y dxdy
0
f X , Y JdXdY
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
DJ Jdiv v J vi J Dt xi
左散度
div v v i x j y k z v1i v 2 j v3 k v v v 1 2 3 x y z
第三连续介质力学之张量分析
（3）考察边界条件：无体力、无面力，
（4）结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数 Ф 的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。
2. 二次函数
考察其能解决的问题。 （1）检查Φ 是否满足 4 0
4
1) ax
2
4
x
2
4 2
2
x y
4
4
y
0
能被满足
（2）根据（2—23）求出应力分量{；
2 fxx 0 x 2 y 2 f y y 2a y 2 x 2 0 xy xy
x
4
2
4
x y
v y
u y
xy
3、物理方程
x
E
2
(
x
y
)
y
1
E
2
(
y
x
)
应力用 位移表示
xy
2 (1 )
E u ( x 2 1 x E v ( y 2 1 y E v xy ( 2(1 ) x
u y u y
)] s f x )] s f y
(
( S S )
us u ( S S u ) vs v
未知函数—应力、 应变、位移
位移分量
u,v
《连续介质力学》课件
动量矩守恒定律
描述物质系统动量矩变化规律的定律。
动量矩守恒定律也是连续介质力学中的基本定律之一。它指出在一个没有外力矩作用的封闭系统中，系统的总动量矩保持不 变。动量矩是系统动量和位置矢量的乘积，因此这个定律说明系统的旋转运动状态只与系统的初始状态有关，而与时间无关 。
能量守恒定律
描述物质系统能量变化规律的定律。
金属材料的疲劳和断裂 研究
01
02
03
复合材料的细观结构和 力学行为分析
04
无损检测和结构健康监 测技术
环境科学
01
土壤和岩石的力学性质研究
02
地质工程和地震工程中的稳定性分析
03
生态系统和自然资源的可持续性发展研究
04
环境流体力学的模拟和分析
06
连续介质力学的未来发展
新材料与新结构的挑战
新材料特性
能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它在连续介质力学中也有重要应用。这个定律指出在一个 封闭系统中，系统的总能量保持不变。能量的形式可以包括动能、势能、内能等，但不论能量的形式 如何转化，总量始终保持不变。
熵增原理
描述系统无序程度变化规律的定律。
熵增原理是热力学中的基本定律之一，它指出在一个 封闭的热力学系统中，系统的熵（表示系统无序程度 的物理量）总是趋向于增加。也就是说，系统总是倾 向于向更加混乱和无序的状态发展，而不是向更加有 序和有组织的状态发展。这个原理在连续介质力学中 也有重要的应用，例如在研究流体和热传导等问题时 需要考虑熵增原理的影响。
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《连续介质力学》ppt课 件
• 连续介质力学概述 • 连续介质力学的基本概念 • 连续介质力学的物理定律 • 连续介质力学的数学模型 • 连续介质力学的应用领域 • 连续介质力学的未来发展
连续介质力学几个定律汇总
第二章 连续介质力学的基本定律在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。
本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。
2.1 应力矢量与应力张量在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。
在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。
在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。
在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。
柯西假设在运动过程中的时刻t 对于任何物质坐标X 和与之对应的接触面S 上的单位法矢量n ，表面力的存在形式为()n t X t t ,,= (2.101) 通常，我们规定()n t X t t ,,=指向接触面S 的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X 和S 面与S'面的曲率相差多少。
为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S 截断成两部分A 和B ，如图2.3所示。
此时S 面就是A 和B 相互作用的接触面，B 部分对A 部分一点的作用，便可以用A 部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。
反过来，考虑A 部分对B 部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量t n -。
它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。
即t t n n =- (2.102) 对于物体内部的一点P ，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。
连续介质力学
一、引论连续介质力学研究物体的宏观力学微观粒子性质.在宏观现象中,物体变化的最小特征尺度远大于原子的尺度,虽然物理上物体是物质点的集合,质量连续性假设对物休的宏观力学过程的研究却是合理的,在连续介质力学中可以对物体进行无限的分割,也就是说,可以用场的观点来描述物体的内部变化和作用过程.质量连续性假设要求物体连续地充满它所占据的空间,即可以用三维欧氏空间的一个开集表示物体的客观存在、指示其位置.开集中的一点表征占据该位置点的一个微小介质团,这样的介质团我们称之为物体单元,开集中所有点表征的物体单元组成了物体.若要用严格的数学理性推演连续介质力学,必须知道物体单元在数学上的确切涵义,即要回答: 表征物体单元的点是开集还是闭集?若是闭集,则物体单元表现为数学上离散的点,物体是连续点的集合,可以用构形（物体在空间所占的区域）表示;若是开集,则物体单元表现为数学上点的无穷小邻域,物体是作为拓扑基的所有点邻域的并集,可以用微分流形（容许拓扑结构改变的物体表示空间）表示.从逻辑上看,目前的连续介质力学是从经典质点力学类推得出的,它一方面把物体看作连续的质点系,物体单元具有离散特征,一方面又以场的观点看待物体的内部变化和受力,物体单元变化特征要求是连续的.在质量连续性假设下,物体单元虽然宏观意义上可以看作无穷小但总还是有尺度内涵的,即具有连续性适用的典型尺度,而经典力学中的质点却没有尺度内涵德冈辰雄指出“, 连续介质无论怎样分割也不会成为质点,质点无论怎样连续也不是连续介质”我们知道,经典力学中的质点在数学上表现为三维欧氏家间中的一点（闭集）,把表征物体单元的数学上的点看作闭集,无异于沿用质点力学的观点,抹杀连续介质与质点系的区别,这样导出的连续介质力学（简称为质点观点的连续介质力学）是质点观点和场观点的大杂烩,这样的一种结合虽然使连续介质力学在其发展过程中可以同时借鉴经典力学和场论的一些成果,却妨碍了连续介质力学的现代发展,比如运用场论的现代发展—规范理论于连续介质时就显得不伦不类.实际上,质点观点在赋予物体变化连续性的同! 讨,对物体的表示空间强加了过分的约束.限制了场的观点的发挥,使连续介质力学在描述物体复杂宏观力学过程时困难重重.为了使连续介质力学摆脱质点观点的限制,.采用与现代场论一致的基本观点,物体单元用数学上的开集表示是必须的,这时连续性可以用邻域而不是距离定义从而与拓扑学的概念一致,称之为拓扑观点.我们知道,拓扑学是现代微分几何的概念基础,现代微分几何是规范场论的数学基础,因此,拓扑观点的连续介质力学是连续介质的纯粹的场理论,它可以容许物体空间拓扑结构的改变,能够刻划物休的复杂变化过程.可见,物体单元的开集表示与场的现代观点是同气共枝的,由此导出的理论保证了数学概念上的连贯、逻辑上的统一,并且能接纳耗散结构作为物体复杂变化的物理基础.二、流动与变形物体的流动由物沐单元的运动组合而成,物体的变形由物件单元的变形组合而成.物体单元不同于质点: 物体单元的开集表达隐含着单元具有尺度内涵,作为开集的点不仅有平移特征还有方向特征和尺度特征,从而可以独立地体现介质的变形和转动.物体单元的这些特征预示着单元的变形和单元的运动是两个不同的变化过程,物体单元的变形表现为点（及其邻域）的特征的改变,包括尺度的改变和方向的改变,物体单元的运动则表现为点（及其邻域）的平移（空问位置的改变）和转动（方向的改变）,可见,单元的变形与其空间位置无关,单元的运动与其尺度特征无关.与此不同,作为闭集的点不具备尺度特征和方向特征,不能独立地体现介质的变形和转动,介质的变形是通过介质点之间距离及相对方位的改变体现的,介质的转动也是通过不同介质点之间的方位关系体现的,这就客观上对物体表示空间提出了要求,难以刻划复杂的变形过程,而单元的运动由于缺乏方向性,对物休单元具有曲线运动的流运过程就无法准确把握.三、局部与整体物体的局部变化是指组成物休的各个单元的变化,物体的整体变化是指物体整体特征或性质的变化.物体单元的变化除了运动和变形外,还有该单元的相邻其它单元的物质交换,这种交换可能是微观的（分子级的）,也可能是细观的（源于结构的变化并具有耗散结构尺度的）,一般物体单元的转动不均匀性会严重影响这种交换过程;物体的整体变化不仅包括组成物体的各单元的变化,还包括物体表示空间的拓扑结构的变化,后者可以用单元问的变化联络关系表达.一般来说,物体的整体变化不能用其局部变化的直和表示.质收观点的连续介质力学限制了物体空间性质的改变,各个变化阶段的物体的表示空问要求是拓扑等价的,物体单元变化的直和等价于物体的整体变化,因此客观上要求:l）单元间的物质交换与方一向无关;2）单元的尺度变化与方向无关,也就是说,物体单元的变化是各向同性的,这相当于平直层流和均匀变形或者转动影响可忽略的微小变形的情况.在大多数宏观现象中,物体实际变化状态不满足上述要求,质点观点的连续介质力学不再适用,必须用拓扑观点考察物体单元间的变化联络关系的影响,全面研究物体的整体变化过程.四、内应力物体的变形使物体的各部分之间存在相互作用,物体这种反抗变形的内部作用称为内应力,包括应力和应力偶.具体而言,在各物件单元的表面作用有应力和应力偶,这种作用不仅与该单元的纯变形有关,还与该单元的相对转动（净转动）有关,这样,质点观点的连续介质力学中的应力原理必须修正,而非极性物体内应力偶的存在成为可能的了.拓扑观点的连续介质力学给出的非均匀有限变形理论更合理和先进,可统一壳体等转动（方向性）占优的变形理论,并且在这一新观点下,加深了对物体塑性的理解。
连续介质力学概要
46 连续介质力学概要华东理工大学化学系 胡 英46.1 引 言连续介质力学(continuum mechanics)覆盖的领域主要是热的流动、流体的流动或流体力学，以及可变形物体的力学等。
它的主要思想，是为介质的微元体积定义局部的密度、速度和能量，这些局部的性质是空间和时间的连续函数。
作为微元体积，它在概念上必须足够地大，其中包含了许多分子，因而可忽略分子间的不连续性而使用平均值；当然它又必须足够地小，使这些平均值可以随空间坐标连续变化。
连续介质力学的核心是将质量守恒、动量守恒和能量守恒原理应用于微元体积后所得到的一系列基本方程。
这些方程都是偏微分方程，通过对边值问题求解，原则上应该得出流场，即密度、流速和能量随空间的分布，以及流场随时间的演变。
然而这些连续介质力学的基本方程都是非封闭的，需要引入传递现象的基本定律，如费克定律、牛顿定律和傅里叶定律，参见《物理化学》6.2，或更广泛的本构方程，才能使方程封闭然后求解。
这些基本定律或本构方程涉及传递性质或物质函数，它们都是物质的特性，属于物理化学研究的范畴。
知道一些连续力学的知识，将有助于应用物理化学来解决实际问题。
本章将概要介绍连续介质力学的基本方程及其应用，除牛顿流体外，也将涉及非牛顿流体，后者是流变学的研究对象。
在进入主要内容前，先介绍一些基本概念。
1．流体运动的两种表示方法拉格朗日方法 它跟踪流体中质点或微团的运动。
开始时，某质点或微团的空间坐标为0r ，或笛卡儿直角坐标0x 、0y 、0z ，时间为t 时，其坐标r 应为0r 与t 的函数，),(0t r r r =，或 ),,,(000t z y x x x =，… (46-1) 相应的速度υ和加速度a 及其分量υx 、υy 、υz 和a x 、a y 、a z ，t d /d r υ=，t x x d /d =υ，… (46-2)46-2 46 连续介质力学概要 22d /d d d t t r υa ==，22d /d d /d t x t a x x ==υ，… (46-3)包括其它物性如压力p 、能量E 等，它们也应是0r 与t 的函数。
连续介质力学习题二答案
连续介质力学习题二答案连续介质力学是力学中的一个重要分支，研究的是连续介质的宏观性质和行为。
在学习连续介质力学的过程中，习题是不可或缺的一部分。
下面将为大家提供一些连续介质力学习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 一个均匀的弹性杆，长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。
如果在杆的一端施加一个拉力F，另一端固定，求杆的伸长量。
解答：根据胡克定律，弹性杆的伸长量与施加的拉力成正比。
所以，伸长量可以用下面的公式表示：ΔL = (F * L) / (A * E)其中，ΔL表示伸长量，F表示施加的拉力，L表示杆的长度，A表示横截面积，E表示杨氏模量。
2. 一个圆柱形的液体容器，底面半径为R，高度为H。
如果在容器的底部施加一个压力P，求液体容器内部的压强分布。
解答：液体容器内部的压强分布可以用下面的公式表示：P(z) = P + ρ * g * z其中，P(z)表示液体容器内部距离底部高度为z处的压强，P表示底部施加的压力，ρ表示液体的密度，g表示重力加速度。
3. 一个均匀的弹性球体，半径为R，杨氏模量为E。
如果在球体的表面施加一个压力P，求球体的压缩量。
解答：根据胡克定律，弹性球体的压缩量与施加的压力成正比。
所以，压缩量可以用下面的公式表示：ΔR = (P * R^3) / (3 * E)其中，ΔR表示压缩量，P表示施加的压力，R表示球体的半径，E表示杨氏模量。
4. 一个均匀的弹性体，体积为V，体积弹性模量为K。
如果在弹性体的体积上施加一个压力P，求弹性体的体积变化量。
解答：弹性体的体积变化量可以用下面的公式表示：ΔV = -(P * V) / K其中，ΔV表示体积变化量，P表示施加的压力，V表示弹性体的体积，K表示体积弹性模量。
以上是一些连续介质力学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
在学习连续介质力学的过程中，多做习题是非常重要的，通过解答习题可以加深对理论知识的理解和运用。
同时，也希望大家能够在学习中保持耐心和积极性，相信通过不断的努力，一定能够掌握连续介质力学的知识。
连续介质力学简介
连续介质力学简介连续介质力学是研究连续物质的物理性质和行为的学科。
它是一种宏观力学，将物质看作由连续的物质点填充而成，而不是由原子或分子组成。
连续介质力学在工程、物理、数学等领域有广泛应用，包括流体力学、弹性力学、塑性力学等分支。
一、连续介质力学应用领域连续介质力学应用领域非常广泛，包括以下几个领域：1. 工程领域：连续介质力学在工程领域有广泛的应用，如结构分析、地震工程、航空航天、土木工程等。
2. 物理领域：连续介质力学在物理领域有应用，如流体力学、弹性力学、塑性力学等。
3. 天体物理学：连续介质力学在天体物理学中有应用，如星系动力学、宇宙气体动力学、黑洞等领域。
4. 生物学：连续介质力学在生物学中有应用，如血液动力学、神经传导、肌肉运动等。
5. 环境科学：连续介质力学在环境科学中有应用，如流体动力学、水文学、气候学等。
6. 计算科学：连续介质力学在计算科学中有应用，如计算机图形学、计算物理学、计算工程、计算化学等。
在计算机图形学中，连续介质力学方法可以用于流体模拟。
这种方法将流体看作由连续的物质点填充而成，而不是由原子或分子组成。
连续介质力学方法通过求解流体的运动方程和连续性方程来模拟流体的行为。
以下是使用连续介质力学方法进行计算机图形学的流体模拟的步骤：1）. 将流体看作由连续的物质点填充而成，将流体域划分成多个小单元。
2）. 对每个小单元进行受力分析，包括重力、压力、粘力等。
3）. 求解小单元的运动方程和连续性方程，得到小单元的运动状态和密度分布。
4）. 根据小单元的运动状态和密度分布，更新整个流体的状态。
5）. 根据更新的流体状态，重新划分小单元，并重复步骤2-4，直到达到稳定的流体状态。
6）. 将模拟得到的流体状态可视化，如绘制流线、液面等。
在计算机图形学中，连续介质力学方法可以用于模拟各种流体现象，如水流、空气流、血管流动等。
这种方法能够产生逼真的动画和仿真效果，广泛应用于电影制作、游戏开发、可视化等领域。
连续介质力学
目录1简介2基本假设3研究对象4古典连续介质力学5近代连续介质力学6主要分支学科简介研究连续介质宏观力学性状的分支学科。
宏观力学性状是指在三维欧氏空间和均匀流逝时间下受牛顿力学支配的物质性状。
连续介质力学对物质的结构不作任何假设。
它与物质结构理论并不矛盾，而是相辅相成的。
物质结构理论研究特殊结构的物质性状，而连续介质力学则研究具有不同结构的许多物质的共同性状。
连续介质力学的主要目的在于建立各种物质的力学模型和把各种物质的本构关系用数学形式确定下来，并在给定的初始条件和边界条件下求出问题的解答。
它通常包括下述基本内容：①变形几何学，研究连续介质变形的几何性质，确定变形所引起物体各部分空间位置和方向的变化以及各邻近点相互距离的变化，这里包括诸如运动，构形、变形梯度、应变张量、变形的基本定理、极分解定理等重要概念。
②运动学，主要研究连续介质力学中各种量的时间率，这里包括诸如速度梯度，变形速率和旋转速率，里夫林－埃里克森张量等重要概念。
③基本方程，根据适用于所有物质的守恒定律建立的方程，例如，热力连续介质力学中包括连续性方程、运动方程、能量方程、熵不等式等。
④本构关系。
⑤特殊理论，例如弹性理论、粘性流体理论、塑性理论、粘弹性理论、热弹性固体理论、热粘性流体理论等。
⑥问题的求解。
根据发展过程和研究内容，客观上连续介质力学已分为古典连续介质力学和近代连续介质力学。
基本假设连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设”：即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配。
这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，数度，压力等）。
这些方程包括描述介质性质的方程（constitutive equations）和基本的物理定律，如质量守恒定律，动量守恒定律等。
研究对象固体：固体不受外力时，具有确定的形状。
连续介质力学(固体力学)
在金属塑性加工中，如冲压、锻造、挤压等塑性成形 过程，将工艺现象提升到理论阶段，进一步指导实践。
（塑性变形很大，弹性变形可以忽略）
17
四、弹塑性力学发展简介
➢ 1678年，Hooke：变形和外力成正比。 ➢ 1820~1830年，Navier、Cauahy、Saint Venant：应力、
12
2﹒现代力学的特点
● 与计算机应用相结合， 与其他基础或技术学科相互结合与渗透。
计算机应用：计算力学+计算机应用解决复杂、 (60年代) 困难的工程实际问题。
使工程结构分析技术；（结合CAD技术） 监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）； 工程系统动态过程的计算机数值仿真技术； 广泛应用至各工程领域。
塑性 ：应力作用后，不能恢复到原来的形状，发生永久形变。 弹性 ：应力作用后，可恢复到原来的形状。 流体 ：流体包括 液体 和 气体 ，无确定形状，可流动。流体最重 要的性质是 粘性 （viscosity，流体对由剪切力引起的形状的抵抗 力，无粘性的 理想气体 ，不属于流体力学的研究范围）。从理论研 究的角度，流体常被分为 牛顿流体 和 非牛顿流体 牛顿流体 ：满足 牛顿粘性定律 的流体，比如水和空气。 非牛顿流体 ：不满足 牛顿粘性定律 的流体，介乎于固体和牛顿 流体之间砄物质形态。
18
五、 弹塑性力学的基本假设
物体是连续的：应力、应变和位移都可用连续 函数来描述。 物体是均匀的：每一部分具有相同的性质，物 理常数不随位置的变化而变化。 物体是各向同性的：物理常数不随方向的变化 而变化。 变形是微小的：变形后物体内各点的位移远小 于原尺寸，可忽略变形引起的几何变化。
19
1、物理假设:
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部 空间，不留下任何空隙。
黄筑平,连续介质力学-概述说明以及解释
黄筑平,连续介质力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述连续介质力学是力学中的一个重要分支，研究的是连续体（连续介质）的宏观运动和相互作用。
连续介质力学最初是为了研究流体和固体力学问题而发展起来的，后来逐渐扩展到其他领域，包括声学、热力学、电动力学等。
连续介质力学的基本概念是将物质视为连续不可分割的整体，在空间上是连续分布的。
通过将物质的宏观性质表示为连续介质场，如速度场、应力场、温度场等，来描述物质的宏观行为。
连续介质力学通过建立方程和边界条件，来描述物质的运动和相互作用。
连续介质力学的研究对象可以是流体、固体或其它物质形态。
在流体力学方面，连续介质力学可以研究流体的运动、压力、速度、密度等性质，包括液体和气体的流体力学。
在固体力学方面，连续介质力学可以研究固体的弹性、塑性、断裂、变形等性质，包括固体的力学性质和变形行为。
连续介质力学在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在工程领域，可以通过连续介质力学来设计和优化结构、预测材料破坏、分析流体力学问题等。
在地球科学中，连续介质力学可以用于研究地震波传播、岩石变形等问题。
在生物医学领域，连续介质力学可以用于研究细胞变形、血液流动等生物力学问题。
总之，连续介质力学作为一门独立的力学分支，具有重要的理论价值和广泛的应用前景。
通过深入研究连续介质力学的基本概念和原理，我们可以更好地理解物质的宏观行为和相互作用，为解决实际问题提供理论支持和科学指导。
随着科学技术的不断进步和发展，连续介质力学的应用领域还将不断扩展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括对整篇文章的组织和内容的概述。
1.2 文章结构本文主要围绕黄筑平和连续介质力学展开论述，文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分：在引言部分，我们将对黄筑平和连续介质力学进行简要介绍，包括作者的背景和相关研究领域的概述。
同时，我们将介绍本文的目的，即通过探讨连续介质力学的概念、原理和应用领域，强调其重要性和应用价值。
连续介质力学-总复习
14
2.弹性体 弹性体 3.各向同性弹性体 各向同性弹性体 教 学 大 纲 4. 线性热弹性体和线弹性体
4.4 间断面 间断面条件
15
12
2. 非平衡态热力学
§4
教 学 大 纲
本构理论
4.1 本构原理
1.引言 引言 2.本构原理 2.本构原理 1)客观性原理 标架无差异原理 客观性原理(标架无差异原理 客观性原理 标架无差异原理,principle of material frame-indifference,简称 简称PMI ) 简称 2)确定性原理 确定性原理(principle of determinism) 确定性原理 3)局部作用原理 局部作用原理(principle of local action) 局部作用原理 4)相容性原理 相容性原理(requirements of consistency) 相容性原理 5)物质对称性不变原理 物质对称性不变原理(material isomorphism) 物质对称性不变原理
3
1a
1b
13.张量场函数的导数 张量场函数的导数 14.张量函数的积分定理 张量函数的积分定理 教 学 大 纲 15.Riemann-Christofell张量 张量 1c
§2
变形和运动
2.描述变形与运动的两个构形 2.描述变形与运动的两个构形
2.1 参考构形和当前构形 1.构形(位形) 1.构形 位形) 构形( 3.变形和流动 4.位置矢量和位移矢量 3.变形和流动 4.位置矢量和位移矢量 5. Lagrange坐标系和Euler坐标系 Lagrange坐标系和 坐标系和Euler坐标系 6.随体坐标系{ XA, t }和{ xi, t0 } 6.随体坐标系 随体坐标系{
连续介质力学
所以: J 0 其中: J dV dV 0
对方程两边求物质导数:
J
0
可证明: J div v
J
J
所以: div v 0 率形式的质量守恒律
证明: J div v J
引理: 设矩阵a的行列式为: a , 元素 amn 的代数余子式记作 Amn
将行列式 a 看作它的9个元素的函数，则有:
a
V
式中h表示热流矢量（或称热通量），即每单位时间每单位 面积的热流，k表示每单位质量接受外部的热（称为热源）
而 P K E
其中K为动能.
动能 K 1v2dv
v2
其中 v2 v v
由质量守恒知: dv的物质导数为零
所以: K 1 d v2 dV V 2 dt
又 1 d v2 v dv v a
三、应力理论
1. Cauchy应力
ijeie j
定义在即时构形中的应力张量 又称真应力.
变形后斜截面上的应力矢量:
作用于 da上的力:
σn σn
pnda σ nda σ da
Cauchy应力是以即时构形 中的面积为基准来度量的。
由微六面体的力矩平衡，可知经典连续介质学理论中 σ
为对称张量,即:
d dt
vdV
f
dV
σ
nda
dv vdivv σ f
dt
div v 0
3. 角动量方程 （Balance of angular momentum ） 所以：
4. 守恒率的一般形式 如果采用欧拉描述，上述三个守恒率可表达为：
固体力学常采用拉格朗日描述：
其中： 拉格朗日描述中，体元体积不变：
对物质坐标求散度
连续介质力学固体力学
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二、现代力学的发展及其特点
1、现代力学的发展
材料与对象： 金属、土木石等 新型复合材料、 高分子材料、 结构陶瓷、功能材料。
尺 度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、 纳米尺度。
实验技术： 电、光测试实验技术 全息、超声、 光纤测量，及实验装置的大型化。
连续介质力学固体力学
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一、弹塑性力学及学科分类
力学 力学是物理学的一个分支，主要研究能量和
力以及它们与固体、液体及气体 的平衡、变形或
运动的关系。
连续介质力学 连续介质力学（Continuum mechanics）是物
理学（特别的，是力学）当中的一个分支，是处 理包括固体和流体的在内的所谓“连续介质”宏观
水力学、空气动力学等学科。
6
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按研究手段分：（理论分析、实验和数值计算）
有实验力学、计算力学二个方面的分支。
按应用领域分：
有飞行力学、船舶结构力学、岩土力学、量 子力学等。
7
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2、弹塑性力学
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支学 科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等 因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布 规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生 的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变 形阶段力学响应的一门科学。
弹塑性力学和材料力学都是固体力学的分支学 科，所求解的大多数问题都是超静定问题。因此 ，在分析问题研究问题时的最基本思路是相同的 ，即对于一个静不定问题的求解，一般都要经过 三个方面的分析，这三个方面分别为：（1）静力 平衡条件分析；（2）几何变形协调条件分析；（ 3）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联立 求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不 定问题得到解决。这三方面的方程汇集于下：
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f x, t d f ΦX, t , t Jd
0
0
或
fd fJd0
0
二维域
f x, y dxdy f X , Y JdXdY
0
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
数学
+
力学
+
第3章 连续介质力学 1. 引言 2. 变形和运动 3. 应变度量 4. 应力度量 5. 应变率及框架不变性 6. 守恒方程 7. Lagrangian守恒方程
1. 引 言
1 引言
连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结 构的宏观行为的模型。 它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征，至 多具有有限个不连续点。 它忽略了非均匀性，诸如分子、颗粒或者晶体结构。
2. 变形和运动
2 变形和运动
本课程只考虑正交 直角坐标系，不区 分协变、逆变基矢
x ( X , t)
在初始域和当前域 之间的映射
初始构形 当前构形
Hale Waihona Puke X X i ei X i ei
i 1
nSD
材料点的位置矢量
x xi ei xi ei
i 1
nSD
ei -直角坐标系的单位基矢量，xi -位置矢量的分量。
位移
uX, t ΦX, t ΦX,0 ΦX, t X x X
ui xi X i
速度
v X , t
ui i X j , t X i
Φ X , t u X , t u t t
速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数
矢量场的左梯度
f f f gradf f i x j y k z
2 变形和运动
运动描述
空间变量 x 和时间 t 的任何函数的材料时间导数可以 通过链规则得到 对于标量函数 和张量函数
f x, t
ij x, t
2 变形和运动
运动条件
连续可微，一对一（F可逆），J > 0 第一个条件，变形梯度通常在材料的界面上是非连续的。在 某些现象中，例如扩展裂纹，运动本身也是非连续的。要求在运 动及其导数中非连续的数量是有限的。实际发现，有些非线性解 答可能拥有无限数量的非连续。然而，这些解答非常罕见，不能 被有限元有效地处理，所以不关注这些解答。 第二个条件，即运动为一对一的，要求在参考构形上的每一 点，在当前构形上有唯一的点与之对应，反之亦然。这是 F 规则 的必要充分条件，即F是可逆的。当变形梯度F是正常的， 则 J 0 ，因为当且仅当 J 0 时F的逆才存在。因此，第二个和 第三个条件是有联系的，后者更强。 第三个条件，更强的条件， J 必须为正而不仅非零，在第 3.5.4节看到这遵循了质量守恒。这个条件在零尺度集合上也可能 违背，例如在一个裂纹的表面上，每一个点都成为了两个点。
材料坐标左 梯度的转置
直角坐标系下二维的变形梯度给出为
x1 x X 2 X x2 y X 2 X
x Y y Y
F 的行列式用J 表示，称作Jacobian行列式或变形梯度行列式
J det F
2 变形和运动
sin r x cos r y
t X x X, t R T t x
或
t X x i X, t R Ti t x ij j
空间坐标
RT x x x R T Ω x xT x T vx T
vi DJ J Jdivv J Dt xi
左散度
divv v i x j y k z v1i v2 j v3k v v v 1 2 3 x y z
2 变形和运动
其材料时间导数给出为
Df f f f f vi v f v grad f Dt t xi t t
D ij Dt
ij t
vk
ij xk
σ σ v σ v grad σ t t
v x , x v grad v vx , y vy,x vy, y
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 xi i X , t
当参考构形与初始构形一致时，在 t ＝ 0 时刻任意点处 的位置矢量 x 与其材料坐标一致
X xX,0 ΦX,0
一致映射
ΦX, t
材料坐标 X i 为 常 数 值 的 线 被 蚀 刻 在 材 料 中 ， 恰 似 Lagrangian网格；它们随着物体变形，当在变形构形中观察时， 这些线就不再是 Cartesian 型。这种观察方式下的材料坐标被 称为流动坐标。但是，当我们在参考构形中观察材料坐标时， 它们不随时间改变。建立的方程是在参考构形上观察材料坐标， 因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。
运动条件
一个刚体的运动包括平动和绕原点的转动，刚体转动与坐标转 换的关系为
xX, t Rt X xT t xi X, t Rij t X j xTi t
1 T Rij Rij Rij
RT R I
R1 RT ,
转动是正交变换的一个例子，R是正交矩阵。图示一个矩形单 元的Lagrangian网格的刚体转动，可以看出单元的边发生转动，但 是边与边之间的夹角保持不变。单元的边是X 或Y 坐标为常数的直 线，所以在变形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。
Good for material laws
x x X ,t
EULERIAN
Relation between observer and ‘spatial unit’ fixed in time Good for laboratory measurements
Material volume material point
非线性有限元
第3章 连续介质力学
庄 茁 柳占立
2016年10月13日
绪论 连续介质力学 （Ch.3) 完全的Lagrangian有限元格式（Ch.4) 更新的Lagrangian有限元格式（Ch.4)
应力率及应力更新（Ch.3、5)
本构关系 （Ch.5) 显式求解方法和稳定性 （Ch.6) 隐式求解方法和稳定性 （Ch.6) 数值 方法
Dvi x, t vi x, t vi x, t j X, t vi vi vj Dt t x j t t x j
Dvx, t vx, t v v v v grad v Dt t t
对流项、迁移项
角速度
RT Ω R
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
12 0 0 3 3 0
动力学教材中的刚体运动方程
ω x xT vT vx
例3.1
3节点三角形有限元，设节点的运动为
x 1 t y1 t 0 x 2 t 21 at cos
t
2 t x3 t 1 btsin , 2
,
2 t y 3 t 1 bt cos 2
y 2 t 21 atsin
t
(1)
求解变形梯度F和Jacobian行列式为时间的函数， J det F 当Jacobian行列式保持常数时求出a和b的值。
Control volume Spatial point
2 变形和运动
运动描述：（几个基本量，两种导数）
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
加速度
vX, t 2 uX, t aX, t v t t 2
2 变形和运动
运动描述：
独立变量是空间坐标 x 和时间 t，称为空间或Eulerian描述
v v( x, t ) vΦX, t , t
通过链规则得到材料时间导数 （全导数）
空间时间导数
左梯度矩阵
2 变形和运动
小结： u = displacement u=x−X x is the current position = (x, y) in 2D X is the reference position = (X, Y ) in 2D x also denotes spatial (Eulerian) coordinates X also denotes material (Lagrangian) coordinate
运动条件
除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射
ΦX, t
满足以下连续性条件： 连续可微，一对一（F可逆），J > 0
这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性，即在变形物体中 不存在缝隙和重叠。然而，运动及其导数可以是非连续（如裂纹或界 面），或者在零尺度集合上具有非连续的导数，所以它是分段连续可 微的。附加上不包括零尺度集合的条件以考虑裂纹形成的可能性。 在形成裂纹的表面上，上述条件不满足。零尺度集合在一维情况 中是点，在二维中是线，三维中是平面，因为一个点具有零长度，一 条线具有零面积，一个表面具有零体积。
一个 L 网格的刚体转 动，显示在参考(未变形) 构形和当前(变形)构形中 观察到的材料坐标。
2 变形和运动
二维问题 运动