2021-2022年高二下学期期初考试数学(理)试题 含答案
2021-2022年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案
2021-2022年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案数学 (理科) 学科试卷考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷,共2页。
满分150分，考试110分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷选择题（共 60分）一、选择题：（四个选项中只有一个正确答案，每小题5分，共计60分）1.已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=2n-1，n∈A｝，则A∩B=( )A｛1，3｝ B｛2，4｝ C{1，4} D｛2，3}2.在极坐标系下，极坐标方程(ρ－3)(θ－)＝0(ρ≥0)表示的图形是 ( )A 两个圆 B一个圆和一条射线 C两条直线 D一条直线和一条射线3.若直线的参数方程为 (t为参数)，则直线的倾斜角为 ( )A 30°B 150°C 60°D 120°4.联欢会有歌曲节目4个，舞蹈节目2个，小品节目2个，其中小品节目不能连着演出，舞蹈必须在开头和结尾，有多少种不同的出场顺序 （ ） A 480 B 960 C 720 D 180 5. 已知，，，试比较的大小 （ ）A B C D6. 函数的定义域 ( )A B C D7.求函数，的值域 （ ） A B C D8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=)0()21()0()(4x x x x x f ，则f(f(-1))= ( )A B C D 49.已知，求 （ ） A B C D10．下列哪个函数是奇函数 （ ） A BC D 11. 已知函数在上单调，则的取值范围为 （ ）A B C D12.已知函数满足，且，当时，，求 （ ） A -1 B 0 C 1 D 2第Ⅱ卷 非选择题（共 90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.已知满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥-41032202y y x y x 则的最大值为14.展开式中的系数为15.已知数列中)2(,12,211≥-==-n a a a n n 由此归纳16.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2log 22)(21x xx x f x则函数的最大值为三、解答题：17. (本题12分)已知函数 （1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式解集为，求的取值范围. 18. (本题12分)为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取80名市民，得到数据如下表：已知在全部的80人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为 （1） 请将列联表补充完整；（2） 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22)(，其中）19. (本题12分)某次考试，依次进行A 科、B 科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加考试，已知他每次考A 科合格的概率均为，每次考B 科合格的概率均为.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．(1)求甲恰好3次考试通过的概率；(2)记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.20.(本题10分)已知： 求证：中至少有一个不大于.21. (本题12分)定义在上函数，且,当时，1)21(8)41()(-⨯-=x x x f（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值和最小值.22. (本题12分)定义在上的函数，总有，且，当时， （1）求的值；（2）判断函数的奇偶性,并证明；（3）判断函数在上的单调性,并证明.长春外国语学校xx高二下学期期中考试数学理科答案一、选择题：（每题5分，共60分）二、填空题：（每题5分，共20分）13. ； 14. 60； 15.； 16. 4三、解答题：17.（本题12分）解：（1）当时，，或或（2分）或或或或（4分）不等式的解集为：（6分）关于的不等式解集为，就是求函数的最大值（8分）（2）a+a+≤a-+x（当且仅当取）xaxx)2()22(2-+=--=（10分）或 解得 （12分）18.（本题12分）（6分）024.5599.6297196044363248)32201216(8022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K （11分）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关 （12分）19.（本题12分）（1）P=18521323121)211(32=⨯⨯+⨯-⨯ (2分) （2）9431312132)2(=⨯+⨯==ξP （4分）94)211()211(3221323121)211(32)3(=-⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯==ξP (6分)91)211()211(323121)211(3231)2(=-⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯==ξP （8分）（10分）38914943942)(=⨯+⨯+⨯=ξE（12分）20.（本题10分） 证明：假设中没有一个不大于 （2分）即：，， （4分）所以有222)1()1()1(--->+++++ac c b b a即6)1()1()1(->+++++cc b b a a （6分）又因为，则所以有2)1)((2)1()(=--≥-+-aa a a ，（当且仅当即时取等号） 2)1)((2)1()(=--≥-+-bb b b ，（当且仅当即时取等号） 2)1)((2)1()(=--≥-+-cc c c ，（当且仅当即时取等号） 所以 ，， （8分）所以6)1()1()1(-≤+++++cc b b a a （当且仅当2时取等号 与6)1()1()1(->+++++cc b b a a 矛盾 所以假设错误，原命题正确所以中至少有一个不大于 （10分）21.（本题12分）（1）解：，则函数是奇函数则 （2分 ）当时，，则1)21(8)41()(-⨯-=---x x x f12841)21(8)41()()(+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--=--=--x x x x x f x f （5分）所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯+-=<-⨯-=012840001)21(8)41()(x x x x f x x x x（6分）（1） 解：令则 （10分） 对称轴为 当，即 1713216)(max =++-=x f （11分）当，即 116464)(min =++-=x f （12分）22.（本题12分） （1）令，则有 ，又则 （2分） 令，则有 ， 又，则 （4分） （2）证明：定义域为令，则有)()1()()(x f f x f x f =-=-所以为偶函数 （7分） （3）证明：，且 （8分）精品文档实用文档 令，则所以，又，由，则，而当时，所以，即，又所以函数在上是增函数 （12分）x37130 910A 鄊36152 8D38 贸921587 5453 呓27222 6A56 橖429901 74CD 瓍26945 6941 楁33642 836A 荪36768 8FA0 辠28646 6FE6 濦@24712 6088 悈。
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试理科数学试题(解析版)
甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1. 复数2iz=-（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. i-D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x，y∈R，且x y+<，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C.3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（）A. y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB. y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC. y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD. y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.故选：B.4. 函数21ln2y x x=-的单调递减区间为（）A. ()1,1-B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点，33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++,()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x=-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x aa e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20xax x af x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答 案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1. 复数2i z =-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1C.i -D. i〖答 案〗B〖解 析〗由题意知：2i z=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（ ） A. x ，y 都小于0 B. x ，y 至少有一个大于0 C. x ，y 都大于0D. x ，y 至少有一个小于0〖答 案〗C〖解 析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C.3. 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A. y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B. y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C. y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD. y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x〖答 案〗B〖解 析〗y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 故选：B.4. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ）A.()1,1- B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答 案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点， 33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++, ()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x a a e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20x ax x a f x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．。
2021-2022年高二下学期期中考试数学(理)试题 含答案(VI)
2021-2022年高二下学期期中考试数学（理）试题 含答案(VI)一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．过函数图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．设()121222104321x a x a x a a x x x ++++=+++ ,则 ( )A ．256B ．0C ．D ．13．定义运算，则(是虚数单位)为 ( ) A ．3 B ． C ． D ．4. 6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为 ( )A ．A 66B ．3A 33C ．A 33·A 33D ．4！·3! 5.记函数表示对函数连续两次求导,即先对求导得,再对求导得,下列函数中满足的是 （ ） A. B. C. D.6.下列求导运算正确是 ( ) A. B. C. (x 2cosx)’=2xsinx D. (3x )’=3x ln 3x7.设f(x)=ax 3+3x 2+2若f ’(-1)=4,则a 的值为 ( ) A. 19/3 B.16/3 C.13/3 D.10/3 8.设a,b 为实数，若复数，则 ( ) A. B.C. D.9. 证明),(21214131211+∈>-+++++N n n n 假设n=k 时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是 ( ) A.1项 B.项 C. k 项 D.项10.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个11．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 ( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 41012．A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果A 必须站在B 的左边(A 、B 可以不相邻)，则不同排法有 ( )A ． 24种B ．60种C ．90种D ．120种二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若复数，则 。
2021-2022学年新疆哈密市第一中学高二下学期期中考数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年新疆哈密市第一中学高二下学期期中考数学（理）试题一、单选题1．复数()211i z =-+，则z =（ ）A ．2B ．3CD ．5【答案】C【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】解：()2i 11i 12z =-+=-，所以z =故选：C. 2．函数1y x x=+的导数是（ ） A ．11x-B ．211x -C ．211x +D ．11x+【答案】B【解析】根据导数的计算公式计算即可. 【详解】解：1y x x=+， 211y x '∴=-. 故选：B .3．()102x e x dx +⎰等于A ．1B ．e -1C ．eD ．e +1【答案】C【分析】由题意结合微积分基本定理求解定积分的值即可. 【详解】由微积分基本定理可得：()()()()121002|110x xex dx e x e e +=+=+-+=⎰.故选C .【点睛】本题主要考查微积分基本定理计算定积分的方法，属于基础题.4．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（ ）A ．910 B ．45C ．25D ．12【答案】A【分析】先计算一名男同学都没有的概率，再求至少有一名男同学的概率即可.【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为2225110C C =，则2名同学中至少有一名男同学的概率是1911010-=. 故选：A.5．在41x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第二项的系数为（ ）A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】由二项式展开式的通项公式直接计算即可【详解】41x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的第二项为11411222114414T T C x C x x x -+⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭，所以第二项的系数为4-， 故选：B 6．函数()21ln 2f x x x =-的最小值是（ ） A ．12B ．1C ．0D ．不存在【答案】A【解析】先求出函数的定义域和导数，判断出单调性，即可求出最小值． 【详解】函数()21ln 2f x x x =-的定义域为()0,∞+，()()()111x x f x x x x+-'=-=， 所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，故()min 112f f ==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于基础题．7．函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，【答案】D【分析】利用f (x )的导数的正负即可求其单调性．【详解】∵()()3e x f x x =-，∴()()()e 3e 2e x x xf x x x '=+-=-，当x ＞2时，()0f x '>，∴f (x )的单调递增区间是()2+∞，． 故选：D ．8．设曲线22y ax =+在点x a =处的切线与直线260x y --=平行，则=a A ．1 B ．12±C ．1±D ．-1【答案】C【分析】根据导数的几何意义得到()2'22f a a ==进而求出参数值.【详解】∵()'2f x ax =，根据导数的几何意义得到：()2'22f a a ==，则21a =，1a =±. 故答案为C.【点睛】这个题目考查的是导数的几何意义，导数在某点处的取值即在该点处的斜率值.较为基础.9．函数()3223f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是A ．6B ．5C ．1D ．0【答案】A【分析】令f ′（x ）＝0，可得 x ＝0 或 x ＝6，根据导数在 x ＝0和 x ＝6两侧的符号，判断故f （0）为极大值，从而得到 f （0）＝a ＝6．【详解】∵函数f （x ）＝2x 3﹣3x 2+a ，导数f ′（x ）＝6x 2﹣6x ，令f ′（x ）＝0，可得 x ＝0 或 x ＝1，导数在 x ＝1 的左侧小于0，右侧大于0，故f （1）为极小值．导数在 x ＝0 的左侧大于0，右侧小于0，故f （0）为极大值．f （0）＝a ＝6． 故选A ．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，判断f （0）为极大值，f （1）为极小值，是解题的关键．10．已知点()00,P x y 是拋物线()2361f x x x =++上一点，且()00f x '=，则点P 的坐标为（ ） A ．()1,10 B ．()1,2--C ．1,2D ．()1,10-【答案】B【分析】对()2361f x x x =++求导，然后解方程()00f x '=，可得答案. 【详解】设()2361f x x x =++，则()66f x x '=+，故()00f x '=，即00660,1x x +==- ，则(1)3612f -=-+=-， 故()1,2P --， 故选：B.11．已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( ) A ．(2,3) B ．(3,+∞) C ．(2,+∞) D ．(-∞,3) 【答案】B【详解】f′(x)=6x 2+2ax+36, 因为f(x)在x=2处有极值, 所以f′(2)=0, 解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).点睛：本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值问题：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 12．已知函数()f x y x'=的图象如图所示（其中()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数），则以下说法错误的是（ ）A ．()()110f f ''=-=B ．当=1x -时，函数()f x 取得极大值C ．方程()0xf x '=与()0f x =均有三个实数根D ．当1x =时，函数()f x 取得极小值【答案】C【分析】由图象可判断A ；根据()f x y x'=的符号可判断B,D ；由()f x 的极大值与极小值的大小不确定可判断C.【详解】解：对于A ，由题中函数图象可知，()()110f f ''=-=成立，故A 正确； 对于B ，当1x <-时，()0f x x'<，则()0f x '>；当10x -<<时，()0f x x '>，则()0f x '<， 故=1x -时，函数()f x 取极大值，故B 正确；对于C ，由于函数()f x 的极大值与极小值的大小不确定，不能确定()0f x =根的个数，故C 错误；对于D ，当01x <<时，()0f x x'<，则()0f x '<；当1x >时，()0f x x'>，则()0f x '>，故1x =时，函数()f x 取极小值，故D 正确. 故选:C.二、填空题13．已知函数f (x )＝1x，则f ′(2)＝________.【答案】14-【详解】()()()()222211000224Xlim lim lim f x f X x x x x xX -∆+∆-+∆-===-∆→∆→∆→∆∆+∆14．若()2622020*N ++=∈n n C C n ，则n =______.【答案】4【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可. 【详解】由题意知， 因为2622020n n C C ++=*()n N ∈，所以262n n +=+或2620(2)n n +=-+， 解得n =-4(舍去)或4n =. 故答案为：415．已知a 是函数()312f x x x =-的极大值点，则a =_______.【答案】2-【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可.【详解】 ()312f x x x =-，∴ ()2312f x x -'=，令()0f x '=，则122,2x x =-=.当(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞时，()f x '＞0，则()f x 单调递增； 当()2,2x ∈-时，()f x '＜0，则()f x 单调递减，∴当x=-2时，()f x 的极大值，故()f x 的极大值点是a=-2，故答案：-2.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题. 16．已知函数32()33f x x ax bx =++在2x =处有极值，其图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，则()f x 的极大值与极小值之差为________． 【答案】4【分析】根据给定条件，求出参数a ，b 的值，再求出函数()f x 的极大值与极小值作答. 【详解】依题意，2()363f x x ax b '=++，因()f x 在2x =处有极值，则(2)0f '=， 又函数()f x 的图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，即(1)3f '=-，于是得(2)121230(1)3633f a b f a b =++=⎧⎨=++='-'⎩，解得1a =-，0b =，则2()363(2)f x x x x x '=-=-，当0x <或2x >时，()0f x '>，当02x <<时，()0f x '<，因此函数32()3f x x x =-在0x =处取极大值(0)0f =，在2x =处极小值(2)4f =-， 函数()f x 的图象在1x =处的切线31y x =-+符合题意， 所以()f x 的极大值与极小值之差为4． 故答案为：4三、解答题17．已知复数()22276)=56i R (1a a z a a a a -+--∈-＋．实数a 取什么值时，z 是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1)=6a ；(2)()()()()11,11,66a ∈-∞-⋃-⋃⋃∞，,+； (3)不存在实数a 使得z 是纯虚数【分析】（1）根据实数的定义列出方程，求解参数即可; （2）根据虚数的定义列出方程，求解参数即可; （3）根据纯虚数的定义列出方程，求解参数即可. 【详解】(1)当z 为实数时，有256=0a a --①，且22761a a a -+-有意义，即210a -≠②， 解①式得=1a 或=6a ，解②式得1a ≠±， ∴=6a ，所以当=6a 时，z 为实数；(2)当z 为虚数时，有2560a a --≠③，且22761a a a -+-有意义，即210a -≠④ 解③式得1a ≠-且6a ≠，解④式得1a ≠±， ∴1a ≠±且6a ≠，∴当()()()()11,11,66a ∈-∞-⋃-⋃⋃∞，,+时，z 为虚数； (3)当z 为纯虚数时，2222560760110a a a a a a ⎧--≠⎪⎪⎪-+=⎨-⎪⎪-≠⎪⎩解得a 无解， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数 18．设函数()32133f x x x x =+-． (1)求函数()f x 的单调区间和极值； (2)求函数()f x 在[0，3]上的最值．【答案】(1)增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)；减区间为(－3，1)；极大值为9；极小值为－53；(2)最大值为9，最小值为－53。
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，若()2i i 2i a b +=+，则i a b +=（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】A【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】依题意()2i i 2i 2i a a b +=-+=+，所以2222b a a b -==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以i a b +==故选：A2．下列函数的求导不．正确的是（ ） A ．()232x x --'=-B ．()cos cos sin x x x x x '=-C ．()1ln1010'=D ．()22x x e e '=【答案】C【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A ：由幂函数的导数公式得：()232x x --'=-.故A 正确； 对于B ：由导数的四则运算得：()cos cos sin x x x x x '=-.故B 正确； 对于C ：因为常值函数的导数为0，所以()ln100'=.故C 错误； 对于D ：由导数的四则运算得：()22x x e e '=.故D 正确. 故选：C.3．利用反证法证明“已知12345100a a a a a ++++≥，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（ ） A ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 均不大于20 B ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20 C ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不都大于20 D ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 至多有一个小于20 【答案】B【分析】根据量词的否定即可求解.【详解】1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20的否定是: 1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20.故选:B4．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．[]1,0-【答案】C【分析】设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，求出导数，即可求出切线方程，从而得到0ln 1a x =+，0b x =-，即可得到a b +的表达式，构造函数，利用导数求出函数的单调性与最大值，从而得解；【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点， 由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-， 即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-， 所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞， 所以()111x g x x x-'=-=， 所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞； 故选：C5．在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说的是真的，从而推理出正确答案.【详解】甲说：丁>乙；乙说：甲>丙；丙说：丙>丁；丁说：丙>乙.若甲的成绩最低，甲说的是真，乙丙丁说的是假，则丁>乙>丙>甲，符合题意. 若乙的成绩最低，乙说的是真，丁说的是假，即丙<乙，与乙的成绩最低矛盾，不符合题意.若丙的成绩最低，丙说的是真，即丙>丁，与丙的成绩最低矛盾，不符合题意. 若丁的成绩最低，丁说的是真，丙说的是假，即丙<丁，与丁的成绩最低矛盾，不符合题意. 故选：A6．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x 万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y （单位：万元）与贷款x 满足关系式12ln 9y x x x=--+，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A ．3万元 B ．4万元 C ．5万元 D ．6万元【答案】B【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意12ln 9y x x x=--+，且010x <≤， ()()2'22243112121x x x x y x x x x -++-++=-+==， 所以函数12ln 9y x x x=--+在()'0,4,0y >，函数递增；在()'4,10,0y <，函数递减.所以当4x =万元时，函数取得最大值. 故选：B7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；在三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W 为 A ．44r π B ．43r πC ．42r πD ．4r π【答案】B【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W V '=，求出所求．【详解】由题知，,S l V S ''==，所以类比推理，猜想，W V '=，因为312V r π=， 所以43W r π=，故选B ．【点睛】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力．8．函数()sin sin cos f x x x x =+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可排除错误答案，从而得解； 【详解】解：因为()sin sin cos f x x x x =+，[],x ππ∈-，所以()()()()()sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x f x -=-+--=--=-， 所以()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D ；又sin sin cos 102222f ππππ⎛⎫=+⋅=> ⎪⎝⎭，故排除A ，又3313316sin sin cos 133332f ππππ⎛⎫=+⋅=>= ⎪⎝⎭，故排除C ； 故选：B9．利用数学归纳法证明不等式()211112321nf n +++⋅⋅⋅+<-（*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．k 项 B ．22k 项 C ．12k -项 D ．232k ⋅项【答案】D【分析】由数学归纳法，可知增加的项，由分母的改变量即可求解. 【详解】n k =时,左边为()211112321kf k +++⋅⋅⋅+<-， 当1n k =+时，左边为()2222211111111123212212221kk k k k ++++⋅⋅⋅+++++-++-左边增加了()2222111112212221k k k k +++++++- ，共有()()2122212132k k k +⎡⎤---=⋅⎣⎦. 故选：D10．已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,18B ．()2,18C ．(][)218-∞⋃∞,,+ D ．[]2,18 【答案】B【分析】求出导函数，得到函数在()0,+∞上的单调性，列不等式，即可得到答案.【详解】()2,0.af x x x x '=->当a ≤0时, ()0.f x '>恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a >0时,令()0.f x '>可得：22a x >；令()0f x '<，可得：202a x <<， 所以要使函数()f x 在()1,3内有极值点，只需2132<<a,解可得,2<a <18. 故选：B11．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】C【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ， 452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以111121231a =⨯=. 故选：C12．若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]12ln2e 3--, B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎥⎝⎦, C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,【答案】D【分析】由方程12ln 0x x x mx -+-=分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】依题意关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，12ln 1m x x =+-，构造函数()112ln 1e e x x x x f ⎛⎫+-<< ⎝=⎪⎭，()'221221x f x x x x-=-+=， 所以()f x 在区间()()'11,,0,e 2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.122ln 2112ln 22f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 1e 21e 3e f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11e e 21e e f +=+-=，所以()12ln 2e 3m -∈-,. 故选：D 二、填空题13．(12x dx =⎰________【答案】14π+【详解】因11(2(2)x dx x dx =+⎰⎰，而122(2)101x dx =-=⎰，2222000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t πππππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+．14．已知复数12z =-，则z z =______．【答案】12-【分析】先求出z ，再利用复数的四则运算直接求解. 【详解】因为复数12z =-，所以复数12z =-，所以21212z z ⎛⎫- ⎪==-⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-15．已知函数()()21e e e e 2x x f x a a x =+--（其中R,e a ∈为自然对数的底数）在x ＝1处取得极小值，则a 的取值范围是______． 【答案】()e,∞-+【分析】先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，结合()f x 在1x =处取得极小值来求得a 的取值范围.【详解】()()()()'2e e e e e e e x x x xf x a a a =+--=+-，当0a ≥时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意. 当0a <时，由e 0x a +=解得()ln x a =-，①当()ln 1,e 0a a -<-<<时，()f x 在区间()()()()'ln ,1,0,a f x f x -<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.②当()ln 1,e a a -≥≤-时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞>递增，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是()e,∞-+. 故答案为：()e,∞-+16．已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立．则11b a ++的最大值为______． 【答案】12e【分析】由不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤进行转化，先利用特殊值求得11b a ++的取值范围，再利用导数求得11b a ++的最大值. 【详解】依题意：不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即()()ln 2e 1121x x a x b +-≤+-+①对任意的()0,x ∈+∞恒成立， ln 2e 1y x x =+-在()0,∞+上递增，则10a +>，由①，令1e x =得()()111ln 2e 1121e e e a b +⋅-≤+⋅-+，整理得1112eb a +≤+.当13e 1,2a b =-=时，1112eb a +=+，此时，①即ln 2e 13e 3x x x +-≤-，只需ln e 20x x -+≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()()'e 1ln e 20,x f x x x x f x x-+=-+>=， 所以()f x 在区间()()'10,,0,e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'1,,0,e f x f x ⎛⎫+∞< ⎪⎝⎭递减，所以()111ln e 20e e e f x f ⎛⎫≤=-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：12e【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，主要步骤是先化简不等式，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等来进行求解. 三、解答题17．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（1）设0a b ≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+．（2）设0a >，求证：2211a a a a+≥+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作差可得33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-，由0a b >，可得2()0a b -，可得2()()0a b a b +-，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）证明如下：33223232()()()()a b a b ab a a b b ab +-+=-+- 22()()a a b b b a =-+-222()()()()a b a b a b a b =--=+-又0a >，0b >，∴0a b +>，而()20a b -≥， ∴()()20a b a b +-≥， 故3322()()0a b a b ab +-+≥， 即3322a b a b ab +≥+．（2）证明：要证2211a a a a+≥+， 只要证431a a a +≥+， 只要证43(1)0a a a ---≥， 只要证3(1)(1)0a a a ---≥，只要证()31(1)0a a --≥， 只要证()22(1)10a a a -++≥，因为2(1)0a -≥，22131024a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以()22(1)10a a a -++≥成立，所以0a >时，2211a a a a+≥+成立． 19．已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线所在的直线方程；(3)若抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，求点M 的坐标和最短距离．【答案】(1)1a =，2b =，1c =- (2)420x y --=(3)()1,2M 【分析】（1）对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P 点坐标代入两个函数式，可解得,,a b c ；（2）由（2）得切线斜率，从而得公切线方程；（3）由抛物线的导数值等于4可得M 点坐标，再由点到直线距离公式可得结论． 【详解】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是()()()332100lim lim 3x x x x a x x x ax y y x a x x∆→∆→+∆++∆-+∆'===+∆∆． ()()()22200lim lim 2x x x x b x x c x bx c y y x b x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+∆∆．将()1,2P 分别代入两曲线方程得到21a =+，21b c =++．又213y x a '=+，22y x b '=+，则32a b +=+，解得1a =，2b =，1c =-． (2)由（1）知3y x x =+，2131y x '=+；当1x =时，14y '=，故切线方程 为()412y x =-+，即420x y --=．由（1）知221y x x =+-，222y x '=+，当1x =时，24y '=，故切线方程为()412y x =-+，即420x y --=．综上所述，公切线所在的直线方程为420x y --=．(3)要使抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，则抛物线在点M 处 的切线斜率应该与直线45y x =-相同， 则()()()2200lim lim 224x x x x b x x c x bx c y y x x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+=∆∆，解得1x =．又因为点M 在抛物线上，解得()1,2M ， 所以最短距离即d 为点M 到直线45y x =-的距离，代入点到直线的距离公式得d =20．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈） (1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？ (2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？ 【答案】(1)6.67万元 (2)20.09万件【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.【详解】(1)当5x =时,()212055455 6.6733p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元(2)因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3e 12ln ,p x x x =-- ()3322e e ,1x xx p x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤> 此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，故当3e 20.09x =≈时，33max3e ()12ln e 12318ep x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.21．已知函数()e xf x =，()cosg x x =-．(1)讨论函数()()()g x F x f x =的单调性；(2)设函数()()()G x f x g x ax =+-（R a ∈），若()G x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)增区间π3π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，减区间3π7π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭(2)π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()F x 的单调区间.（2）由()'0G x ≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，分离常数a ，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围. 【详解】(1)()()()cos e xg x xF x f x -==，()F x 的定义域为R .()'sin cos πsin e 4x x x F x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 设Z k ∈， ππ3π2π2ππ,2π2π444k x k k x k <+<+-<<+， π3π7π2ππ2π2π,2π2π444k x k k x k +<+<++<<+， 所以()F x 在区间()()'π3π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'3π7π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭递减.(2)()()()e cos xG x f x g x ax x ax =+-=--，π2x ≥-，()'e sin 0x G x x a =+-≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，e sin x a x ≤+在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，令()πe sin 2xh x x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭，当ππ22x -≤≤时，()'cos 0,e cos 0x x h x x ≥=+>； 当π2x >时，e 1cos 1x x >≥≥-，()'e cos 0xh x x =+>， 所以()h x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，()ππ22ππe cos e 22h x h --⎛⎫⎛⎫≥-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2e a -≤，即a 的取值范围是π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】由函数()f x 在区间上的递增（或递减）来求参数的取值范围，可利用()'f x ≥（或()'0f x ≤）恒成立来建立不等关系式，然后通过分离常数法，再次结合导数来求得参数的取值范围.22．如图，()111,P x y 、()222,P x y 、⋅⋅⋅、(),n n n Px y （120n y y y <<<⋅⋅⋅<）是曲线C ：y =上的n 个点，点(),0i i A a （i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是等腰直角三角形，其中i P 为直角顶点，0A 是坐标原点．(1)写出1a 、2a 、3a ；(2)猜想点(),0n n A a （*n ∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)12a =，26a =，312a = (2)证明见解析【分析】（1）推导出()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，结合0a 的值，可求得1a 、2a 、3a 的值；（2）结合1a 、2a 、3a 的值可猜想得出()()*1n a n n n =+∈N ，然后利用数学归纳法结合()()()2*112n n n n a a a a n ---=+∈N 和{}n a 为单调递增数列，可证得猜想成立.【详解】(1)设00a =，则依题意，可得12n nn a a x -+=，11122nn n n n n a a a a y a ---+-=-=， 代入y x =1122n n n n a a a a ---+= 即()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，由图可知{}n a 为单调递增数列，所以，1n n a a +>，所以12a =，26a =，312a =．(2)由（1）可猜想：()()*1n a n n n =+∈N ． 下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当n k =时猜想成立，即有()1k a k k =+，则当1n k =+时，由()()2112k k k k a a a a ++-=+得()()211121k k a k k k k a ++-+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()2211211120k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()112k a k k +=++（()11k k a k k a +=-<不符合题意，舍去）， 即当1n k =+时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即()()*1n a n n n =+∈N ．。
2021-2022年高二下学期期中联考数学理试题 含答案
2021年高二下学期期中联考数学理试题含答案一、选择题（本题12小题，每题5分共60分）1．已知复数的共轭复数 (为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若命题：，命题：，则是的 ( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设函数，则该函数曲线在处的切线方程是( )A. B.C. D.5．观察按下列顺序排列的等式：，，，，…，猜想第个等式应为( )A．B．C．D．6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为() A．6或－6 B．2或－2 C．4或－4 D．12或－128. 七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A .240种 B.192种 C.120种 D.96种9. 若的展开式中的系数为,则的值等于( )A. B. C. D.10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值11．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ．12. 如图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为( )二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为__________.15．如图，由曲线和直线，，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是__________16．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x 求导数，得于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .三解答题（本题6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分）17.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．设.求：(1)的值； (2)的值；(3) 的值；18．平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角 的余弦值.19．已知关于的不等式对任意恒成立；，不等式成立.若为真，为假，求的取值范围.20.设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.21．椭圆E: 离心率为,且过.(1)求椭圆E的方程;(2)已知直线过点,且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C相切于第二象限的一点,直线与椭圆E交于两点,与轴交与点,若,,且,求抛物线C的标准方程.22．已知函数在处取得极值2.（1）求的表达式；（2xx 学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷答案一．选择题DCCAB DCBAD DA12.解析：选A.“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象．当0＜x ＜12时，截面为五边形，如图所示． 由SC ⊥平面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ， 易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12＜x ＜1时，S 截面24＝(1－x 12)2 ⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′(x)＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B.二．填空题13. 14. 30 15. 14 16.16． 试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．三．解答题17解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)． (3)(2). ，令8－r ＝5r ＝3，所以a 5＝7 (6)(3) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256…………….10 18．解：（1）在中，2222cos 603,BD AB AD AB AD =+-⋅⋅⋅=所以所以，因为平面平面，所以平面，所以（5分）（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为轴，DC 为轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 则D （0，0，0），B （，0，0），C （0，1，0），A （，0，1）（6分）设平面ABC 的法向量为，而由得：取（8分）再设平面DAC 的法向量为而由得：取 （10分）所以即二面角B-AC-D 的余弦值是 （12分）19．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。
2021-2022学年四川省泸县第五中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年四川省泸县第五中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．2 B ．2i C ．2- D ．2i -【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出z ，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为(12)5z i +=，所以55(12)12(12)(12)i z i i i -==++-5(12)125i i -==-， 所以复数z 的虚部为2-. 故选：C2．命题“2,10x R x x ∀∈++≥”的否定是 A ．2,210x R x x ∀∈++< B ．2,210x R x x ∀∉++< C ．2,210x R x x ∃∉++< D ．2,210x R x x ∃∈++<【答案】D【详解】试题分析：由命题的否定可知选D 【解析】命题的否定3．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势 【答案】D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ．4．函数3()f x x x =+在点1x =处的切线方程为（ ） A ．420x y -+= B ．420x y --= C ．420x y ++= D ．420x y +-=【答案】B【分析】首先求出函数()f x 在点1x =处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．【详解】∵()231f x x ='+，∴切线斜率()14k f ='=， 又∵()12f =，∴切点为()1,2， ∴切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=． 故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．y =B ．y x =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】B【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>即c a =.又c a ==2212b a =，b a =.则其渐近线方程为y x =，故选B. 6．已知a 、R b ∈，则使得a b >成立的一个充分不必要条件为（ ） A ．22a b > B ．a b π>+ C ．a b π>- D ．a b x x >【答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、不等式的基本性质判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，取2a =-，1b =，则22a b >，但a b >不成立，A 不合乎要求； 对于B 选项，a b b π>+>，则a b a b π>+⇒>，但a b a b π>⇒>+/，如取2a =，1b =，B 满足要求；对于C 选项，取2a =，3b =，则a b π>-成立，但a b >不成立，C 不合乎要求； 对于D 选项，若01x <<，由a b x x >可得a b <，D 不合乎要求. 故选：B.7．函数()321132f x x x =+的单调递增区间是（ ）A ．()(),1,0,∞∞--+B ．()(),10,∞∞--⋃+C ．()1,0-D ．()(),0,1,-∞+∞【答案】A【分析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】由()()32211(1)0032f x x x f x x x x x x '=+⇒=+=+>⇒>，或1x <-，故选：A8．如图给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（ ）A ．10i >B ．10i <C ．20iD ．20i ≤【答案】D【分析】根据循环程序的功能进行判断即可.【详解】因为该循环结构是先判断后执行，所要计算的式子中最后一项的分母是20， 所以最后一次循环时22i =，这时需要退出循环，因此判断语句为20i ≤， 故选：D9．已知积分()101kx dx k +=⎰，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】A【分析】先求出被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理即可得出答案． 【详解】因为()101kx dx k +=⎰，所以21102kx x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以12k ＋1＝k ， 所以k ＝2. 故选：A10．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,8)B ．[2,8]C ．(,2][8,)-∞⋃+∞D ．[2,8)【答案】A【分析】求导得()22x a f x x -'=，等价于()22g x x a =-在区间()1,2的函数值有正有负，解不等式组()()120280g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩即得解.【详解】解：()222a x af x x x x='-=-，令()22g x x a =-，由于函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数，则()22g x x a =-在区间()1,2的函数值有正有负，而二次函数()22g x x a =-开口向上，对称轴为y 轴，所以()22g x x a =-在区间()1,2上递增，所以()()120280g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得28a <<.所以实数a 的取值范围是()2,8. 故选：A .11．已知直线()10ax y a R -+=∈是圆22:124C x y 的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（ ）A B C D ．【答案】C【分析】根据圆的对称性，结合圆的切线性质、两点间距离公式、勾股定理进行求解即可.【详解】由圆22:124C x y ，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆22:124C x y 的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上， 所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以AC ==所以AB ==故选：C12．定义域为R 的可导函数y=f(x)的导函数为'()y f x =，且满足()()0f x f x '+<，则下列关系正确的是A ．2(1)(0)(1)f f f e e<<- B ．2(0)(1)(1)f f f e e-<< C ．2(0)(1)(1)f f f e e -<< D ．2(0)(1)(1)f f f e e -<< 【答案】C【分析】根据题意构造函数并求导()()()',0x g x e f x g x =<，可得到函数的单调性，通过赋值得到结果.【详解】构造函数()()()()()'',0x x x g x e f x g x e f x e f x ==+<，故函数()g x 是单调递减的函数，故得到()()()()()()1101101g g g f f ef e->>⇔->> 化简得到2(0)(1)(1)f f f e e -<< 故答案为C.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，对于比较大小的题目，可以直接代入函数表达方式中，直接比较大小，如果函数表达式比较复杂或者没有函数表达式，则可以研究函数的单调性或者零点进而得到结果. 二、填空题13．已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为_______ 【答案】23-【详解】两直线平行则斜率相等，所以23m-=，解得23m =-14．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y x a =-+，则a 等于___【答案】214【分析】首先求出x ，y 的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a 的一元一次方程，解方程即可． 【详解】：14x =（1+2+3+4）＝2.5，14y =（4.5+4+3+2.5）＝3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是ˆy=-0.7x +a ，可得3.5＝﹣1.75+a ， 故a ＝214． 故答案为214【点睛】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题15．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74.若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨一颗下．珠，再从四个档中随机选择两个不同档位各拨一颗上．珠，则所表示的数字小于400的概率为__________【答案】180.125 【分析】先求出在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同挡位各拨一颗上珠，共1244C C n ==24种，再分两种情况讨论利用古典概型的概率公式得解.【详解】解：由题意，在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同挡位各拨一颗上珠，共1244C C n ==24种，①当在个、十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同挡位各拨一颗上珠时，得到的数字小于400，有1222C C =2个；②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同挡位各拨一颗上珠时，得到的数字小于400，有22C =1个．所以所拨数字小于400的概率为P 211248+==． 故答案为：18．16．已知函数2ln ()2,()e x x af xg x x x=+=-，若()()f x g x ≤在(0,)+∞恒成立，实数a 的取值范围为____.【答案】(],1-∞【分析】构造不等式构造新函数，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】由()()f x g x ≤2ln 2e x x ax x⇒+≤-，因为,()0x ∈+∞， 所以由2222ln 2e ln 2e ln(e )e x x x x x ax x x a x x a x x+≤-⇒+≤-⇒≤-， 令2e x x t =，当,()0x ∈+∞时，令222()e ()e 2e 0x x x g x x g x x '=⇒=+>， 所以函数()g x 是增函数，所以有()(0)00g x g t >=⇒>， 所以ln t t a ≤-在(0,)t ∈+∞上恒成立，ln ln t t a a t t ≤-⇒≤-，令()ln h t t t =-，即11()1t h t t t-'=-=，当1t >时，()0,()h t h t '>单调递增，当01t <<时，()0,()h t h t '<单调递减，所以min ()(1)1h t h ==， 所以要想ln t t a ≤-在(0,)t ∈+∞上恒成立，只需1a ≤， 故答案为：(],1-∞【点睛】关键点睛：构造函数利用导数的性质是解题的关键. 三、解答题17．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为(cos sin )3ρθθ-=．（1）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；（2）设直线2l 过点(1,0)P -与曲线C 交于不同两点A ，B ，AB 的中点为M ，1l 与2l 的交点为N ，求||||PM PN ．【答案】（1）曲线C ：22(1)(2)9x y -++= ；直线1l 的直角坐标方程30x y --=；（2）8.【分析】（1）直接利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+即可化曲线C 与直线1l 的极坐标方程为直角坐标方程；（2）直线2l 的参数方程1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），将其代入曲线C 的普通方程，利用根与系数的关系可得M 的参数为122(cos sin )2t t αα+=-，设N 点的参数为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=求得34cos sin t αα=-．则||||PM PN 可求．【详解】解：（1）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+，即22(1)(2)9x y -++=，1:(cos sin )3l ρθθ-=，即1:cos sin 3l ρθρθ-=，所以直角坐标方程为：30x y --=；（2）直线2l 的参数方程1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），将其代入曲线C 的普通方程并整理得24(cos sin )10t t αα---=， 设A ，B 两点的参数分别为1t ，2t ，则124(cos sin )t t αα+=-．M 为AB 的中点，故点M 的参数为122(cos sin )2t t αα+=-， 设N 点的参数为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=，整理得34cos sin t αα=-．∴1234||||2cos sin 82cos sin t t PM PN t αααα+==-=-． 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.18．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“33+”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A 、B 、C 、D 、E 五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．【答案】（1）90分；（2）76，77，78；（3）25．【分析】（1）小明原式分所在分值区间，结合频率直方图计算出该分值区间的人数占比，结合已知赋分规则，即可确定小明历史成绩的最后得分.（2）由赋分规则计算出赋分为90分、80分的人数，结合茎叶图及小明原始分大概分值，即可知小明的原始成绩的可能值.（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为A 、a 、b 、c 、d ，列举出五科中任选两科的所有可能组合，应用古典概型求概率的方法即可求概率.【详解】（1）∵此次考试历史成绩落在(]80,90，(]90,100内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的历史成绩为82分，大于80分，处于前15%， ∴小明历史成绩的最后得分为90分．（2）40名学生中，地理赋分为90分有4015%6⨯=人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有4035%14⨯=人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78；∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分， ∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为A 、a 、b 、c 、d ，∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共10种，而其中包括地理的有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d 共4种，∴小明选考科目包括地理的概率为：42105P ==． 19．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值. 【答案】(1)1,12a b ==-；(2)-4.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b ='+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0{(2)16f f c ==-'即120{8216a b a b c c +=++=- ，化简得120{48a b a b +=+=-解得1{12a b ==- （2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x ='-令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数． 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=，(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '==0，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（1）根据函数()f x =x 3-3ax 2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a ，b 的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．20．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x 、y 的相关系数r （计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若[]0.75,1r ∈，则x 、y 相关性很强；若[)0.3,0.75r ∈，则x 、y 相关性一般；若[]0,0.25r ∈，则x 、y 相关性较弱．） 57.47≈．参考公式：()()()1122211ˆˆˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑，， 相关系数()()niix x y y r --=∑．【答案】（1） 3.229.8y x =-+；（2）相关系数为0.97-，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【解析】（1）结合已知数据和参考公式求出a 、ˆb这两个系数，即可得回归方程； （2）根据相关系数的公式求出r 的值，再结合r 的正负性与r 的大小进行判断即可． 【详解】（1）由题意得，2345645x ++++==，2222171410175y ++++==，()()()()()()()()()51522222212515001327ˆ 3.221012iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆ17 3.2429.8a y bx=-=+⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程为 3.229.8y x =-+；（2）()()0.97niix x y y r --==≈-∑，0r ∴<，说明x 、y 负相关，又[]0.75,1r ∈，说明x 、y 相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【点睛】本题考查线性回归方程的求法、相关系数的计算与性质，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =，当直线l 的斜率不存在时，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦长可求得结果；（2）设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径，可得圆的方程. 【详解】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，此时248MN p ==≠，不满足，舍去； 当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则216160k ∆=+>，且212224k x x k ++=由抛物线定义得122222122444||||||(1)(1)22x k k MN MF NF x x x k k ++=+=+++=++=+= 即22448k k+=，解得1k =± 因此l 的方程为1y x =-或1y x =-+.（2）由（1）取1,k =直线l 的方程为1y x =-，所以线段MN 的中点坐标为(3，2)， 所以MN 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，该圆的圆心到直线l 的距离为d，则d ===因为该圆与准线1x =-相切，所以()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩， 解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩, 当圆心为(3,2)时，半径为4，当圆心为(11,6)-时，半径为12， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【点睛】关键点点睛：第（1）问，利用韦达定理和抛物线的定义求出抛物线的弦长是关键；第（2）问，根据几何方法求出圆的半径，利用直线与圆相切列式是解题关键. 22．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.。
2021-2022年高二下学期期中数学理试题 含答案
桂林中学xx 下学期期中考试高二理科数学试题2021年高二下学期期中数学理试题 含答案第Ⅰ卷(选择题, 共60分)一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1. 下列说法正确的是 ( )平面和平面只有一个公共点 两两相交的三条线必共面不共面的四点中, 任何三点不共线 有三个公共点的两平面必重合 2. 设均为直线,其中在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ）条件 充分不必要必要不充分 充分必要既不充分也不必要3.有三个球，一个球内切于正方体的各个面，另一个球切正方体的各条棱，第三个球过正方体的各个顶点（都是同一正方体），则这三个球的体积之比为（ ）4.过三棱锥高的中点与底面平行的平面把这个三棱锥分为两部分，则这上、下两部分体积之比为( ) 1∶4 1∶7 2∶3 1∶85. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）6. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面是边长为1的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝1，则异面直线AB与PD所成角的余弦值为 ( )2 422144237. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( )14 24 28 488. 在正三棱柱中，则与平面所成的角的正弦值为（）9.用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比xx0大的五位偶数共有（）48个 36个 24个 18个10．如图：已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，的取值范围是（）＞4 ≥4 0＜＜4 0＜≤411. 若地球半径为，在北纬45°圈上有两点，且这两点间的球面距离为，则北纬45°圈所在平面与过两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 ( ) 12．在棱长为1的正方体ABCD—中，若点P是棱上一点，则满足＋的点P的个数为（）4 6 8 12第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分）13. 菱形中，已知,10,60cm AB BAD ==∠ 垂直于所在平面且，则到的距离为 。
2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二年级下册学期期中数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．复数()231i i +=A ．2B ．－2C ．2iD ．-2i【答案】A【分析】利用即可得解.21i =-【详解】故选A.()()()23122i i i i +=-=【点睛】本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.2．观察下列算式：，，，，，，，，，用你所发现的规122=224=328=4216=5232=6264=72128=82256=⋅⋅⋅律可得的末位数字是（ ）20202A ．B ．C ．D ．2468【答案】C【分析】根据的末位数字以为周期变化可知与的末位数字相同，由此可得结果.()2n n *∈N 42020242【详解】由算式变化规律可知：末位数字分别为这个数字循环，即以为周期，()2n n *∈N 2,4,8,644又，的末位数字与的末位数字相同，即其末位数字为.20205054=⨯20202∴426故选：C.3．已知双曲线（a ＞0则a =2221x y a -=A B ．4C ．2D ．12【答案】D【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率，，ce a ==c =，=解得，12a =故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．抛物线过点，则的准线方程为( )2:4C x ay =()4,4-C A ．B ．C ．D ．1y =1y =-1x ==1x -【答案】B 【分析】将点代入抛物线方程可得a ，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.()4,4-【详解】∵抛物线过点，2:4C x ay =()4,4-∴，()24441a a -=⨯⇒=∴，2:4C x y =∴其准线方程为y ＝－1.故选：B.5．展开式中的第四项是91(x x +A ．B ．C ．D ．356x384x456x484x【答案】B【详解】试题分析：展开式中的第四项是.故选B ．91()x x +3633334991(84T C x C x x x =⋅==【解析】二项式定理．6．乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，决赛采用局胜制即先胜局者获胜，比赛结53(3束，已知每局比赛中甲获胜的概率为，则在本次决赛中甲以的比分获胜的概率为( ))233:1A ．B ．C ．D ．29498273281【答案】C【分析】甲以的比分获胜，甲只能在、、次中失败次，第次胜，根据独立事件概率即3:112314可计算．【详解】甲以的比分获胜，则甲只能在第、、次中失败次，第次获胜，3:112314因此所求概率为：．1231228C (33327P ⋅⋅=⋅=故选：C ．7．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下：甲得分：X 1123P0.40.10.5乙得分：X 2123P0.10.60.3则甲、乙两人的射击技术相比（ ）A ．甲更好B ．乙更好C ．甲、乙一样好D ．不可比较【答案】B【分析】分别求两个随机变量的数学期望，再比较.【详解】因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙的射击技术更好.故选：B8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．B ．C ．D ．516113221321116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有62，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A ．36C 3662C 516【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．9．函数在处有极值为，那么，的值为（ ）()322f x x ax bx a =+++1x =10a b A ．，B ．，411-3-3C ．，或，D ．，411-3-333【答案】A【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩,a b 【详解】，()232f x x ax b'=++由题意可知即，()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩则解得或，232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，411a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩当时，，33a b =-⎧⎨=⎩()()2310f x x '=-≥在处不存在极值，不符合题意；∴1x =当时，，②411a b =⎧⎨=-⎩()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，，，，符合题意．11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x ¢>，411a b =⎧∴⎨=-⎩故选：A ．10．若函数在区间上单调递增，则实数m 的取值范围（ ）()ln xf x e x mx =--(1,)+∞A ．B ．C ．D ．(,1)e -∞-(,1]e -∞-(,1)e -∞+(,1]e -∞+【答案】B【分析】由题意得在上恒成立，然后参变分离，构造函数，()0f x '≥(1,)+∞1(),(1,)x g x e x x =-∈+∞利用导数研究函数的最值即可求出结果.()g x 【详解】由题意，函数，可得，()ln xf x e x mx =--1()x f x e m x '=--因为函数在上单调递增，即在上恒成立，()f x (1,)+∞()0f x '≥(1,)+∞即在上恒成立，1x m e x ≤-(1,)+∞设，则，1(),(1,)x g x e x x =-∈+∞21()0x g x e x '=+>所以函数在为单调递增函数，所以，()g x (1,)+∞(1)1m g e ≤=-即实数m 的取值范围是.(,1]e -∞-故选：B.11．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b -=>>别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为||4||AB OF =O ABC ．2D【答案】D 【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．4AB OF=,,a b c 【详解】抛物线的准线的方程为，24y x =l =1x -双曲线的渐近线方程为，by x a =±则有(1,(1,)b b A B a a ---∴，，，2b AB a =24ba =2b a =∴c e a ===故选D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则a R ∈222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩ x ()0f x R 的取值范围为aA ．B ．C ．D ．[]0,1[]0,2[]0,e []1,e 【答案】C【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞ln 0x a x -≥(1,)+∞转化为在上恒成立．ln xa x ≤(1,)+∞【详解】∵，即，(0)0f ≥0a ≥（1）当时，，01a ≤≤2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->当时，，1a >(1)10f =>故当时，在上恒成立；0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞若在上恒成立，即在上恒成立，ln 0x a x -≥(1,)+∞ln xa x ≤(1,)+∞令，则，()ln x g x x =2ln 1'()(ln )x g x x -=当函数单增，当函数单减，,x e >0,x e <<故，所以．当时，在上恒成立；()()min g x g e e==a e ≤0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞综上可知，的取值范围是，a [0,]e 故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．二、填空题13．曲线在点处的切线方程为______．cos 2xy x =+()0,1【答案】220x y -+=【分析】求出代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程可得答案.y '0x =【详解】，()0cos 01f ==，，1sin 2y x '=-+012x y ='=所以切线方程为，即．112y x =+220x y -+=故答案为：．220x y -+=14．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．l ()y f x =(4,(4))f (4)(4)f f '+【答案】##5.5112【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线()45f =l (0,3)(4,5)的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.l k (4)f '()4f (4)f '【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，()45f =l (0,3)(4,5)l 531402k -==-又由直线是曲线在点处的切线，则，l ()y f x =(4,(4))f 1(4)2f '=所以．111(4)(4)522f f '+=+=故答案为：11215．的展开式中，的系数为________．()()8x y x y +-27x y 【答案】20【分析】根据，再分别求展开式中的系数与的系888()()()()x y x y x x y y x y +-=-+-8()x y -7xy 26x y 数即可.【详解】解：因，888()()()()x y x y x x y y x y +-=-+-故由题设应求展开式中的系数与的系数.8()x y -7xy 26x y 又因，88188C ()(1)C r r r r r r rr T x y x y --+=-=-当时，7r =777788(1)C 8xy T xy =-=-当时，，6r =66266782(1)C 28x T y x y =-=故所求系数为.28820-=故答案为：2016．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，O C 22y px =0p >F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.Q x PQ OP ⊥6FQ =C 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.P Q ，p 【详解】抛物线： ()的焦点,C 22y px =0p >,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵P 为上一点，与轴垂直，C PF x 所以P 的横坐标为，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为,2pp ±不妨设,(,)2p P p 因为Q 为轴上一点，且，所以Q 在F 的右侧，x PQ OP ⊥又，||6FQ = (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为，所以,PQ OP ⊥PQ OP ⋅= 2602p p ⨯-=，0,3p p >∴= 所以的准线方程为C 32x =-故答案为：.32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.三、解答题17．已知抛物线的焦点为F ，为抛物线C 上的点，且.2:2C y px =(1,)M t 3||2MF =（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，求弦长.2y x =-||AB【答案】（1）；（2）.22y x =【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C 的方程；3||122P MF =+=（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，()()1122,,,A x y B x y y x 计算可得所求值．【详解】（1），3||122P MF =+=所以，即抛物线C 的方程.1p =22y x =（2）设，()()1122,,,A x y B x y 由得222y x y x ⎧=⎨=-⎩2640x x -+=所以，126x x +=124x x =所以||AB =.==【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝ (α为弦AB 的倾斜角)．22sin pα(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB |x 1－x 2|求解．18．已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，()32f x ax bx cx=++20()'y f x =()()20,4,0，如图所示，求(1)，，的值；a b c (2)若函数有三个零点，求的取值范围．()y f x m=-m 【答案】(1)，，；1a =9b =-24c =(2).1620m <<【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.【详解】（1）由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增；2x <()0f x ¢>()f x 当时，，函数单调递减；24x <<()0f x '<()f x 当时，，函数单调递增，>4x ()0f x ¢>()f x所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，2x =()f x 4x =()f x 于是有，()()()240,220f f f ===''由，()()32232f x ax bx cx f x ax bx c'=++⇒=++所以有；12401488098422024a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，()416f =()220f =而知函数的图象如下图所示因为函数有三个零点，()y f x m=-所以函数的图象与直线有三个不同的交点，()y f x =y m =所以.1620m <<19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按63照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有26道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否4223互不影响．(1)求甲正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数的分布列．【答案】(1)；35(2)答案见解析.【分析】设考生甲正确完成题数为，则取值分别为，，，；乙1（）ξξ123()214236325C C P C ξ===2（）正确完成题数，取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列．ηη0123η【详解】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．ξξ{}123，，.()214236325C C P C ξ===（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．ηη{}0123，，，，，，()303110327P C η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()121321613327P C η⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223211223327P C η⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()333283327P C η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭应聘者乙正确完成题数的分布列为ηη123P127627122782720．已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N ＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X ，求随机变量X 的分布列；(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P ，求当n 取多少时，P 的值最大．【答案】（1）见解析；（2）1或2【分析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，设中奖次数为ζ，则ζ的可能253235p C ⨯==取值为0，1，2，3．分别求出 由此能求出ζ的分布0123PP P P ζζζζ====（），（），（），（），列和Eζ．（2）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为，，由此利用导数性质能求出n 为1或2时，P 有最()()223232133P C p p p p ξ==⋅⋅-=-+01p <<大值．【详解】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，253235p C ⨯==；；()033280(5125P C ξ===()12332361()55125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；；()22332542()(55125P C ξ===()3333273()5125P C ξ===ξ分布列为：ξ0123p8125361255412527125（2）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：， ，()()223232133P C p p p p ξ==⋅⋅-=-+01p <<，在上P 为增函数，在上P 为减函数，()2'96332P p p p p =-+=--203⎛⎫⎪⎝⎭，213⎛⎫ ⎪⎝⎭，当时P 取得最大值．23p =又，()()1122242123n n C C n p C n n +===++故 ，解得：或，2320n n -+=1n =2n =故为1或2时，有最大值．n P 21．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下01PF x =+0022y x ==PF x ⊥2PF =面的横线上，并解答．问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．()2:20C y px p =>F ()00,P x y C （1）求抛物线的标准方程．C （2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．:20l x y --=C A B ABF △注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】条件选择见解析（1）；（2）24y x =【分析】方案一 选择条件①．（1）由抛物线焦半径公式可得，解得，即可求得抛物线的标准方程为0012pPF x x =+=+2p =C ；24y x =（2）设，，，由（1）可知．联立和可得()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 20x y --=24y x =，利用韦达定理结合弦长公式，求面积即可得解.2480y y --=方案二选择条件②．（1）将，代入抛物线方程可得，所以抛物线的标准方程为；（2）同方02y =01x =2p =C 24y x =案一；方案三 选择条件③．（1）当轴时，，可得， 故抛物线的标准方程为；PF x ⊥02222p p p PF x =+=+=2p =C 24y x =（2）同方法一.【详解】方案一 选择条件①．（1）由抛物线的定义可得．02pPF x =+因为，所以，解得．01PF x =+0012px x +=+2p =故抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为ABF △1122AB d ⋅=⨯=方案二 选择条件②．（1）因为，所以，，0022y x ==02y =01x =因为点在抛物线上，()00,P x y C 所以，即，解得，2002y px =24p =2p =所以抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为 ABF △1122AB d ⋅=⨯=方案三 选择条件③．（1）当轴时，，所以．PF x ⊥222p pPF =+=2p =故抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为ABF △1122AB d ⋅=⨯=22．已知函数.()ln f x x x=（1）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f （2）求的单调区间；()f x（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1f x ax ≤-a 【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）1y x =-()f x 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.1a e ≥-【解析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；()0f x '=（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，()1ln g x x x =+()g x '()0g x '=结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.a 【详解】（1）因为函数，()ln f x x x=所以，.()1ln ln 1f x x x x x '=+⋅=+()1ln111f '=+=又因为，则切点坐标为，()10f =()1,0所以曲线在点处的切线方程为.()y f x =()1,01y x =-（2）函数定义域为，()ln f x x x=()0,∞+由（1）可知，.()ln 1f x x '=+令解得.()0f x '=1=x e 与在区间上的情况如下：()f x ()f x '()0,∞+x10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－0＋()f x ↘极小值↗所以，的单调递增区间是；()f x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是.()f x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（3）当时，“”等价于“”.1x e e ≤≤()1f x ax ≤-1ln a x x ≥+令，，，.()1ln g x x x =+1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()22111x g x x x x -'=-=1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令解得，()0g x '=1x =当时，，所以在区间单调递减.1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭当时，，所以在区间单调递增.()1,x e ∈()0g x '>()g x ()1,e 而，.1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭()11ln 1 1.5g e e e e =+=+<所以在区间上的最大值为.()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当时，对于任意，都有.1a e ≥-1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1f x ax ≤-【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.。
2021-2022年高二下学期期中考试数学(理)试题 含答案(VI)
2021年高二下学期期中考试数学（理）试题 含答案(VI)说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点， 因为函数在处的导数值， 所以，是函数的极值点. 以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确2. 设函数，则 （ ）A ．B ．C ．D ．3．复数（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．若关于的方程在上有根，则实数的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．5. 若当n →+∞时，1123(0)p p p pP n p n +++++>无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为（）A．B．C．D．6. 已知函数，在区间（）上存在极值，则实数a的取值范围是（）A.( 0,1)B.(，1)C.( ，1)D.( , 1)7. 已知z C，且|z|=1，则|z-2-2i|（i为虚数单位）的最小值是（）A．2-1 B. 2+1 C. D. 28. 平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9. 函数y=x+cosx的大致图象是(图中虚线是直线y=x) （）10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（）A．12 B. 10 C. 8 D. 611．曲线y=x2-ln x上任意一点P到直线y=x-2的距离的最小值是（）A．１B. C. ２D.12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1, f '(x)为f(x)的导函数，已知y=f '(x)的图象如右图所示，若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是（）A. (- ∞,-3)B. (- ∞,)∪(3,+∞)C.( ，3)D. ( ,)第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知复数z与 (z +2)2-8i均是纯虚数,则z = ．14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为．15. 设是连续函数，且，则f(x)= ．16．函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax (a<0) 在区间（-∞，）内单调递减，则a的取值范围是．三、解答题(本大题共4小题，共36分)17．(本小题满分8分) 已知抛物线C：y=-x2+4x-3 .（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.18. (本小题满分8分) 已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知a、b∈R,a>b>e, (其中e是自然对数的底数), 求证:b a>a b.19．（本小题8分）已知数列的前项和．（1）计算，，，；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知f(x)=ax2(a∈R), g(x)=2ln x.（1）讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性；（2）是否存在实数a，使得f(x)≥g(x)+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a的取值范围;（3）若方程f(x)=g(x)在区间上有两个不相等的实数根，求a的取值范围.兰州一中xx-2学期期中考试参考答案高二数学（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．-2i ． 14．xx1． 15. ． 16．(－∞，－1]． 三、解答题(本大题共4小题，共36分) 17．(本小题满分8分)解：(1)，1(0)4,(3)2k y y y '''====-， 所以过点A （0，－3）和点B (3，0)的切线方程分别是 ，两条切线的交点是（），………………4分(2)围成的区域如图所示：区域被直线分成了两部分，分别计算再相加，得：3333222233022[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰33232233232200332211(23)(23)(6)(23)33x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-即所求区域的面积是. ………………8分 18. (本小题满分8分) 解：（1）, ∴∴当时,,∴函数在上是单调递减.当0<x <e 时,,∴函数在(0,e )上是单调递增. ∴f (x )的增区间是(0,e ),减区间是. ………………4分 (2)证明:∵ ∴要证:只要证: 只要证.(∵)由（1）得函数在上是单调递减. ∴当时,有即. ∴ ………………8分 19．（本小题8分） 解：（1）依题设可得，，，； ………………………3分 （2）猜想：．………………………4分证明：①当时，猜想显然成立．………………………5分 ②假设时，猜想成立，即．…………………6分 那么，当时，， 即． 又， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即时，猜想也成立． ………………………7分故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分20.（本小题满分12分）解：（1）2()2ln,(0,)F x ax x=-+∞其定义域为222(1)()2(0)axF x ax xx x-'∴=-=>（i）当a>0时，由ax2-1>0得 ,由ax2-1<0得 .故当a>0时，F(x)的递增区间为，递减区间为.（ii）当恒成立故当上单调递减. ………………………4分（2）即使时恒成立.（i）当a≤0时，由（1）知当∴时不可能恒成立.，（ii）当a>0时，由（1）可知min1 ()11lnF x Fa==-=-即可 ,故存在这样的a的值，使得a的取值范围是………………………8分（3）等价于方程在区间上有两个不等解，∵在区间上为增函数，在上为减函数，∴，222ln 2ln 2()(2)42e e ϕϕϕ=<===， a 的取值范围是 ………………………12分。
2021-2022年高二下学期期中考数学(理)试题 含答案
2021-2022年高二下学期期中考数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z=的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．利用数学归纳法证明“11113212224(,)n n Nn n n++>≥∍++”的过程中，由“n=k”变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是 ( ) A.增加 B.增加和C.增加，并减少D.增加和，并减少3．若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A． B． C． D．4．若，则等于（）A．－2 B．－4 C．2 D．05．的展开式中，的系数等于，则等于（）A． B． C． D．6．3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A. 5040种B. 840种 C . 720种 D. 432种7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A． B． C． D．8．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A．2 B．4 C．2或4 D．1或29．从中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则＝（）A． B． C． D．10．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．20种 B．22 种C．24种D．36种11．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（）A． B． C．2 D．12．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题. （每小题5分，共20分）13．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|= ．14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法.15.．的展开式中含的项的系数是_______．16．已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．三、解答题：17. （本题满分10分）已知函数，其中为常数．（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调函数，求实数的取值范围．18. （本题满分12分）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积19.（本题满分12分）已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.20.（本题满分12分）9．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（2）任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（3）任意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求Eξ与Dξ.21．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.22. （本题满分12分）已知函数．（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：．1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D7．A 8．C 9．B 10．C 11. A 12．C 13. 14. 150 15. 128 16.17. （1）当时，212x x1(2x1)(x1)f(x)2x1(x0)x x x--+-'=--==>所以在区间内单调递减，在内单调递增于是有极小值，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或解得实数的取值范围是18. 由，得交点为，由定积分的几何意义得，曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．19.（1）由已知得：，（2）通项，展开式中系数最大的项是第3项（r=2）： （3）由（2）得：，即所以展开式中所有的有理项为：（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、 由题意得：1212125(1)(1)12111(1)(1)12P P P P P P ⎧⋅-+-⋅=⎪⎪⎨⎪--⋅-=⎪⎩ 解得：或， ∴.即，一个零件经过检测为合格品的概率为1/2（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为554555111312216C C ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）依题意知～B(4,1/2)，，21.（1）设事件为“两手所取的球不同色”， 则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P . （2）依题意，的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， ， 所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E .22.（1）由条件得ln 1x a x a x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在上恒成立． 设，则．当时，；当时， ，所以，．要使恒成立，必须． 另一方面，当时，，要使恒成立，必须．所以，满足条件的的取值范围是．（2）当时，不等式等价于112212222ln ()1x x x x x x ->-． 令，设，则，在上单调递增，，所以，原不等式成立．28296 6E88 溈21430 53B6 厶40629 9EB5 麵i27319 6AB7 檷32230 7DE6 緦h 38759 9767 靧/38397 95FD 闽21876 5574 啴23747 5CC3 峃=。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期期中考试数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知数列满足，，则（ ）{}n a 113a =()1211n n a n a ++=-∈+N 2022a =A ．2B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，，113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ）A ．10B ．15C ．20D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，，1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ）{}n a n 12n n S a b -=⋅+ab A ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出.1a a b =+2a a =32a a =2ab =-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a 故，解得：.()22a a a b =+2ab =-故选：A 4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即，1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即，3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦，2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故，22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以.2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ 5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610 14916 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，1145+=14712++=故第四个五边形数为.1471022+++=故选：D.6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3B ．3C ．-2D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得，()()()()22221sin 1sin 11x x x x f x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x ⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++-'-=+即，()()f x f x ''=-则()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=故选：.D 7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x '=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+∵x >0，∴，∴．2211111112222xx x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为()f x ()f b ()f x ()f a C ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答.()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，，()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增，()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.故选：D9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a c b >>a b c>>b c a>>b a c>>【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增，()0g x ¢>()()f xg x x =()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A 10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）()5ln f x x a x x =--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x ≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数，()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立，()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x ≤+又5x x +≥=x =所以，a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ）()21cos sin 4f x x x x x=-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间．1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵，()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为．81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{na 11a=-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2na 2022a=【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，，11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，，34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+--- 20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++- 321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=-20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________.143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值q 143a a a +【详解】设四个数为，，，，1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则.214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______．【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即，12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x=-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立，12x x <()F x ()0F x '≥因为，()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x -++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x +≤+又，所以，即，12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n a b n ={}n b nT【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2)1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案；()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得，11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②，2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴，13n n a a -=13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，{}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴，13n na -=13n n n n nb a -==∴，，01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n n T --=+++++ ∴，01231112111113113333333313n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴．13313932122323443n n n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且.{}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}n b n n T 【答案】(1)42n a n =-(2)21n nT n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为，{}n a d 由题意得：2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得：211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：，124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+- (84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-，1111(22121n b n n ∴=--+1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ .11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得：2n n S n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：，()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：，()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：，()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：；n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；；111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即；()*1,n k k k N =≥∈21k kS k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k kk S k k ++=+∴，12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立.N*n ∈21k kS k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，．()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x (2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x<<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b 上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：，()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：．32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得：()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值，2x =-()h x 443k -当时，有极小值，2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩．204433k ∴-<<故实数的取值范围是k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数．21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.22sin 2cos x x xa x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增，(,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x在，，，上，，单调递减，(2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得，0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以，22sin 2cos x x x a x +=-令，，，22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即，[2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增，()g x [2π]π又，，24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则，()f x [,]2ππ242a ππ- 故的取值范围，．a (022π。
2021-2022年高二下学期期中统一考试数学(理)试题 Word版含答案
2021-2022年高二下学期期中统一考试数学（理）试题 Word 版含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的． 1．复数z 满足z ＝2－i1－i，则z 等于( ) A ．1＋3i B ．3－i C.32－12iD.12＋32i 2.函数的单调减区间是（ ）A ．(0，2) B. (0，3) C. (0，1) D. (0，5)3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且BC 边经过椭圆的另外一个焦点，则△ABC 的周长是（ ）A ． B. C. D. 4. 变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.Z ＝yx，则Z 的最小值为（ ）A ．225B ．25 C ．1D ．5.在中，045,B c b ===，那么A ＝（ ） A ． B. C. 或 D.6.函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如下图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A. ⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83 C. ⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎦⎤83，3 D. ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)7.“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.下图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，……，第（670）个图案中的基础图形个数有( ) A 、xx B 、xx C 、xx D 、xx二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9. 抛物线的焦点坐标是_ _ _10. 命题：，则11. 若平面α，β的法向量分别为＝(－1,2,4)，＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为 12.13. 已知等比数列．．．．的公比q=2，其前4项和，则等于__ __ 14.已知，则函数的最大值是 。
2021-2022年高二下学期期中考试 数学(理) 含答案(I)
2021年高二下学期期中考试数学（理）含答案(I)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时l00分钟．一．选择题：本大题共l2个小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．1．复数等于(A) i (B) (C) (D)2．“因为指数函数是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，所以函数是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(A)大前提错误导致结论错 (B)小前提错误导致结论错(C)推理形式错误导致结论错 (D)大前提和小前提错误导致结论错3．在复平面内，复数对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“”类比得到“”；②“”类比得到“”；③“”类比得到“”；④“”类比得到“”；⑤“”类比得到“”；以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 55．设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为(A) (B) (C) (D)6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设(A)三个内角都不大于60o (B)三个内角都大于60o(C)三个内角至多有一个大于60o (D)三个内角至多有两个大于60o7．点P为曲线上任一点，则点P到直线y=距离的最小值为(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D)8．用数学归纳法证明“l+2+22+···+2n+2=2n+3-1，n∈N*”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为(A) 1 (B) l+2 (C) l+2+22 (D) 1+2+22+239．设函数在定义域内可导，的图象如左下图所示，则其导函数的图象可能为下列图中所示10．已知函数在x =2处取得极小值，则常数m 的值为(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D)以上答案都不对11．函数的定义域为R ，是的导数，=2，对任意x ∈R，>2，则>2x +4的解集为(A)(-l ，1) (B)(-1，+∞) (C)(- ∞，-1) (D)(-∞，+∞)12．定义在R 上的可导函数，且图象连续不断，是的导数，当x ≠0时，>0，则函数的零点的个数(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 0或2第II 卷(64分)二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．． 13．如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，则实数a 的值为 ．14．曲线在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．15．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(1)1*1=1，(2)(n+1)*1=n*l+1，则n*1= ．16．由曲线，直线以及x轴所围成的图形的面积为．17．若函数在区间(k-l，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是 . 18．已知，，若对任意的x1∈[-1,2]，总存在x2∈[1，]，使得，则实数m的取值范围是 .三．解答题：本题共4个题，共46分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上．．．．．．．．．．．19．(本小题11分)已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，DAB=90o，PA底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．(I)证明：平面PAD平面PCD；(II)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；(III)求平面AMC与面BMC所成锐二面角的大小的余弦值．20．(本小题11分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且对于任意n∈N*都有S n=2n-a n．(I)计算a1，a2，a3，a4；(II)猜想该数列的通项公式a n，并用数学归纳法证明猜想的正确性。
2021-2022年高二数学下学期期初考试试题 理(I)
2021-2022年高二数学下学期期初考试试题 理(I)xx.3本试卷共2面，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，收卷时只交答题卷。
一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。
每题5分，满分60分）1、若，则=--+→h)h x (f )h x (f lim 000h （ ）A． B． C． D．2．是函数在点处取极值的（）A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A B 1 C 2 D 34、函数有（）A．极大值5，无极小值 B．极小值﹣27，无极大值C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11，则等于（）A．-1 B．0 C．1 D．26、如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．7、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（）A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角8、设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数象可能是( )9、已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）A ．2 B ．﹣2C ．D ．10、已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11、给出命题：若是正常数，且则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数)),(()(2102192∈-+=x x x x f 的最小值及取最小值时的值分别为（ ）A ．， B ．，C ．25，D ．，12、设函数=,其中a 1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)[-，1） (B)[-，）(C)[，） (D)[，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知为一次函数，且，则= ；14、已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，则函数的表达式为15、已知函数，则在上的值域为16、设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若为奇函数，则= ；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）.17.（本小题满分11分）求由曲线与，，所围成的平面图形的面积(画出图形)。
2021-2022年高二数学下学期期中试题 理答案
2021-2022年高二数学下学期期中试题 理答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.ADCCD ABABC AB第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.(13) (14) (15)(16)三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）函数()sin()()sin 24f x x x x ππ=++-定义域为，（1）求函数的单调区间；（2）指出函数的极值点并求对应的极值.解：（1）()sin()()sin cos ()sin 244f x x x x x x x πππ=++-=+-()sin sin ()cos ()cos 44f x x x x x x x ππ'=-++-=- 得4cos 0x x π⎧>⎪⎨⎪>⎩或4cos 0x x π⎧<⎪⎨⎪<⎩，解得或 得4cos 0x x π⎧>⎪⎨⎪<⎩或4cos 0x x π⎧<⎪⎨⎪>⎩，解得或所以单调增区间为和；单调减区间为和…………5分（2）由（1）可知，极大值点为从而和；极小值点为，从而………………………………………………10分(18)（本小题满分12分）已知为实数．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】解：（1）因为2234(1)3(1)41z z i i i ω=+-=++--=--…………………………………………………………6分（2）由条件，得22(1)(1)1(1)(1)1i a i bi i i ++++=-+-++，即，，，解得……………………………………12分(19)（本小题满分12分）已知函数，对于正数，记，如图，由点(0,0),(,0),(,()),(0,())i i i i x x f x f x 构成的矩形的周长为（），都满足．(Ⅰ)求；(Ⅱ)猜想的表达式用表示，并用数学归纳法证明．【答案】(Ⅰ)解：由题意知，12(())2()(1,2,,)i i i i i C x f x x i n x =+=+=，又因为，所以12(1,2,,)i i i S x i n x =+=．令，得，又，且，故．令，得2122122122(),1,0S x x x x x x =+=+=>，故；令，得3123333122(),0S x x x x x x =++=+>，故；…………………4分 (Ⅱ)解：由上述过程猜想，下面用数学归纳法证明：①当时，，命题成立； ②假设时命题成立，即1(*)k x k k k N =-∈，则当时，，又11111()2k k k k k k S S x x x x +++=+=++，故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+，由1(*)k x k k k N =-∈，代入得2111210,0k k k x kx x ++++-=>，．即当时命题成立．综上所述，对任意自然数n ，都有成立．………………………………………………………………………………12分(20) （本小题满分12分）已知函数，其中，是自然对数的底数．(Ⅰ)若121,()()()a g x f x f x ==-，求在处切线的方程；(Ⅱ)若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围．【答案】解：（1）2212()()()(21)()x x g x f x f x x x e e --=-=---，222()(22)()(21)(2)x x x x g x x e e x x e e ----'=--+---+又切线方程为 ……………………………………4分（2）222(22)(2)2(1)2()nx nx n nx nx x e n x x a e nx n x na f x e e-----+++-'==， 设2()2(1)2n g x nx n x an =-+++-，它的图象是开口向下的抛物线，由题意对任意有两个不等实数根，且，，则对任意，即，有，又任意关于递增，，故，所以…………12分(21) （本小题满分12分）已知函数，()()(0,)g x f x x m R =+>∈． (Ⅰ) 讨论函数在区间上零点的个数； (Ⅱ) 设22(1)ln 511[1()],44x x x x x x a x f x b e e e --=-+-+=+,当时，试用反证法证明：与中至少有一个大于0．解（1）由题可得，令．设，令，得；令，得．故在上递减，在上递增．24min 2214()(),()2ln 4,()4x e e e eϕϕϕϕ∴==-==-． 当或时，无零点．当或时，有1个零点；当时，有2个零点．…………………………6分（2）（反证法）假设都不大于0，即 又22(1)ln 511ln 44x x x x x x a b x x e e e --+=-+-+++ 22(1)(ln )111ln 1(ln )(1)1x x x x x x x x x x e e e e ---=-+-+=---+ 设1()ln ,()1x x F x x x G x e -=-=-，11()1(0)x F x x x x-'=-=>，(0,1),0;(1,),0,x F x F ''∈<∈+∞>所以2()(0),(0,2),0;(2,),0x x G x x x G x G e-'''=>∈<∈+∞>， 所以210,()(2)1x G x G e>≥=-，因为不能同时取到最小值，从而222111()()1110a b F x G x e e e+=-+>--+=，与矛盾。
2021-2022年高二下学期期中考试数学理试题 含答案
2021-2022年高二下学期期中考试数学理试题含答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.如果复数(+i )(1+m i )是实数，则实数m =( )．A、-1B、1C、-D、2.已知曲线y = x2 -3 x的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为( )．A、-2B、-1C、 2D、33.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－3,1)上y＝f(x)是增函数B．在(1,3)上y＝f(x)是减函数C．在(4,5)上y＝f(x)是增函数D．在x＝2时y＝f(x)取到极小值4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( ) A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－25.曲线y =与直线y – x – 2 = 0围成图形的面积是( ) ．A、 B、 C、 D、6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( )A.540B.300C.180D.1507.对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体( )A．各正三角形内的点B．各正三角形某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形各边的中心8.若a＞2，则方程13x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A．0个根 B．1个根C．2个根 D．3个根9.在数列{a n}中，a n＝1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n，则a k＋1＝( )A．a k＋12k＋1B．a k＋12k＋2－12k＋4C．a k＋12k＋2D．a k＋12k＋1－12k＋210.(1＋)6(1＋)10展开式中的常数项为 ( )A．1 B．46 C．4245 D．4246二、填空题（每小题4分，共20分）11.用反证法证明命题：“若x，y > 0，且x + y > 2，则，中至少有一个小于2”时，假设的内容应为．12．函数f(x) = x3 - 12 x 在［－3，3］上的最小值是_________,最大值是．13.已知函数f(x) =在R上有极值，则实数a的取值范围是．14.由这六个数字组成__ __个没有重复数字的六位奇数.15．对于二项式(1-x)，有下列四个命题：①展开式中T= －Cx；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=xx时，(1-x)除以xx的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）大钟高中xx第二学期期中考试试卷高二数学（理）一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共20分）11．________________________________________________________12._____ __ ; _______13.____________ 14.____________ 15.______________三、解答题（每小题12分，共60分）16. 7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（写出解答过程及结果）（1）甲排头: （1分）（2）甲不排头，也不排尾: （1分）（3）甲、乙、丙三人必须在一起:（1分）（4）甲、乙之间有且只有两人: （1分）（5）甲、乙、丙三人两两不相邻（2分）（6）甲在乙的左边（不一定相邻）（2分）（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序: （2分）（8）甲不排头，乙不排当中:（2分）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）17.已知数列{an }满足Sn+ an= 2n +1．(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．18. 若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；及展开式中二项式系数最大的项。
2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学(理)试题 (解析版)
2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“x R ∈,若20x >,则0x >”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【详解】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“x R ∈,若0x >,则20x >”为真命题，故其否命题为真命题.故选C. 【解析】四种命题及真假性判断． 2．设复数1i1iz a +=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数=a （ ） A ．1 B ．－1C ．2D ．－2【答案】B【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再结合纯虚数的意义求解作答. 【详解】222(1i)(1i)1(1)i 11i (1i)(1i)111a a a a az a a a a a +-++-+-===++-+++，因复数z 为纯虚数，则2101aa +=+，解得1a =-， 所以实数1a =-. 故选：B3．已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（ ） A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面 故选：D4．一个关于自然数n 的命题，已经验证知1n =时命题成立，并在假设n k =（k 为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2n k =+时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ）A ．一切自然数成立B ．一切正整数成立C ．一切正奇数成立D ．一切正偶数成立【答案】C【分析】依据数学归纳法的规则去判断即可解决【详解】已经验证知1n =时命题成立，并在假设n k =（k 为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2n k =+时命题成立，那么综上可知，命题对13579n =，，，，，成立 即该命题对于一切正奇数成立 故选：C5．4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最终获奖结果种数为（ ） A ．34A B ．34CC ．34D ．43【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答. 【详解】每一项比赛的冠军在4个人中选取有4种方法， 由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为34444⨯⨯=. 故选：C6．如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（ ）A ．1OG OA OB OC =++ B ．1111333OG OA OB OC =++C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC =++【答案】D【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭故选：D 7．0a b <<是11a b b a+<+的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简不等式11a b b a+<+，再判断二者间的逻辑关系 【详解】()111a b ab a b a b a b b a ab ab-+⎛⎫+-+=-+=- ⎪⎝⎭ 当0a b <<时，0a b -<，0ab >，10ab +>， 则有()10ab a b ab +-<成立，即11a b b a+<+成立； 当21a b =-=-，时，11113231122a b b a +=-+=-+=-+=---，， 即11a b b a+<+成立，但此时0a b <<不成立. 综上可知，0a b <<是11a b b a+<+的充分不必要条件 故选：A8．若函数()sin cos f x a x x =+在[,]34ππ-为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(,3]-∞-C ．[3,1]D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】利用函数的导函数在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恒为非负数列不等式，用分离常数法求得a的取值范围.【详解】依题意，()'cos sin 0f x a x x =-≥在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即cos sin a x x ≥，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，cos 0x >，故sin tan cos x a x x ≥=，tan y x =在ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时为递增函数，其最大值为πtan14=，故1a ≥.所以选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）A ．8种B ．14种C ．20种D ．116种【答案】B【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有2232=32=6C A ⋅⨯种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有1124=24=8C C ⋅⨯种可能； 根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能. 故选：B.10．已知a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上的点，C ，D 是b 上的点，2AB =，1CD =，且AC b ⊥，BD b ⊥，则a 与b 所成角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】先计算出AB CD ,再根据cos θ=AB CD AB CD计算夹角的余弦值，即可写出答案【详解】设,θAB CD =2()1AB CD AC CD DB CD CD =++== 1cos θ=2AB CD AB CD∴= 又θ[0,180]︒︒∈ ，θ=60︒∴ 故选：C11．已知t 和3t +是函数()32f x x ax bx c =+++的零点，且3t +也是函数()f x 的极小值点，则()f x 的极大值为（ ） A ．1 B ．4C ．43D ．49【答案】B【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)f x x t x t =---，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数()f x 在3t +处取得极小值0，又t 是函数()f x 的另一零点，因此函数()f x 只有两个零点，从而有2()()(3)f x x t x t =---，求导得：()3(1)(3)f x x t x t '=----， 当1x t <+或3x t >+时，()0f x '>，当13t x t +<<+时，()0f x '<， 于是，()f x 在3x t =+处取得极小值，在1x t =+处取得极大值(1)4f t +=， 所以()f x 的极大值为4. 故选：B12．设10099a =，0.01e b =，c ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】A【分析】构造函数()()e 1xf x x =-+利用导数说明函数的单调性，即可得到e 1x x ≥+，即可判断；【详解】解：令()()e 1x f x x =-+，则()e 1xf x '=-，所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，所以()()00f x f ≥=，即()e 10xx -+≥恒成立，即e 1x x ≥+（当0x =时取等号），所以0.020.01e 10.02e >+⇒∴b c >， 又e 1x x -≥-（当0x =时取等号）， 所以当1x <且0x ≠时，有111e e 1x x x x >-⇒<-，∴0.011100e 10.0199<=-，∴a b >． 故选：A 二、填空题13．已知函数()()2223f x x f x '=++，则()2f '的值为______．【答案】4-【分析】将(2)f '作为常量对()f x 求导，得到导函数，再将()2f '作为未知量求解即可. 【详解】由解析式知：()22(2)f x x f ''=+， ∴(2)222(2)f f ''=⨯+，解得()24f '=-. 故答案为：4-.14．某单位拟从A ，B ，C ，D ，E ，F 六名员工中选派三人外出学习，要求： （1）A ，C 二人中至少选一人； （2）B ，E 二人中至少选一人； （3）B ，C 二人中至多选一人； （4）A ，D 二人中至多选一人． 由于E 因病无法外出，则该单位最终选派的三位员工为：______． 【答案】A ，B ，F【分析】依据条件（2）（3）（1）（4）的顺序去选人即可解决【详解】由于E 因病无法外出，依据条件（2）B ，E 二人中至少选一人，可知一定选派B ，依据条件（3）B ，C 二人中至多选一人，可知一定不选派C ， 又依据条件（1）A ，C 二人中至少选一人，可知一定选派A ， 又依据条件（4）A ，D 二人中至多选一人，可知一定不选派D ， 则一定选派B ，A 二人，一定不派出C ，D ，E 三人. 又共需选派3人，则一定选派F综上，该单位最终选派的三位员工为：A ，B ，F 故答案为：A ，B ，F15．将A ，B ，C ，D 四份不同的文件放入编号依次为15-的五个抽屉，每个抽屉只能放一份文件，要求文件A ，B 必须放入相邻的抽屉，文件C ，D 不能放入相邻的抽屉，则满足要求的放置方法共有______种． 【答案】24【分析】依据先分类再分步的原则去求解即可解决【详解】文件A ，B 放入1、2号抽屉时，文件C ，D 只能放入3、5号抽屉； 文件A ，B 放入2、3号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、4号或1、5号抽屉； 文件A ，B 放入3、4号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、5号或2、5号抽屉； 文件A ，B 放入4、5号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、3号抽屉. 则满足要求的放置方法共有()()22222222222222222222A A A A A A A A A A 24+++++=故答案为：2416．双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=和双曲余弦函数()e e cosh 2x x x -+=在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点A 、B ，曲线1C 在A 处的切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．①()()()sinh cosh x x '=，()()()cosh sinh x x '=；②()()22sinh cosh 1x x +=；③点P 必在曲线e x y =上；④PAB △的面积随m 的增大而减小． 【答案】①④【分析】利用求导法则可判断①；利用指数运算可判断②；求出切线PA 、PB 的坐标，联立两切线方程可得出点P 的坐标，可判断③的正误；求出PAB △的面积关于m 的表达式，结合函数的单调性可判断④的正误. 【详解】对于①，()()()e e e e sinh cosh 22x x x xx x --'⎛⎫-'===⎪⎭+⎝， ()()()e e e e cosh sinh 22x x x xx x --'⎛⎫-=⎪=⎭+'=⎝，①对； 对于②，()()222222e e e e e e sinh cosh 222x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-+++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒为1，②错；对于③，e e ,2m m A m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭、e 2,e m m B m -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，切线PA 的方程为()e e e e 22m m m mx m y --+-=--，切线PB 的方程为()e e e e 22m m m mx m y ---+=--，联立()()e e e e 22e e e e 22m m m mm m m my x m y x m ----⎧+--=-⎪⎪⎨-+⎪-=-⎪⎩，解得1e m x m y =+⎧⎨=⎩，即点()1,e mP m +， 所以，点P 不在曲线e x y =上，③错；对于④，e mAB -=，点P 到直线AB 的距离为1，则1e 2m PAB S -=△，所以，PAB △的面积随m 的增大而减小，④对. 故答案为：①④. 三、解答题17．（1）请将下列真值表补充完整；（空格处填上“真”或“假”）（2）给定命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>成立；命题q ：关于x 的方程2=0x x a -+有实根．已知命题()p q ⌝∨和命题()p q ∨⌝都是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 ；（2）[)10,4,4⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）依据真值表去判断所给命题的真假即可解决；（2）先判断出题给条件对命题p ，q 真假的要求，再去求实数a 的取值范围． 【详解】（1）从上至下依次为“真”，“假”，“真”，“真”；（2）若命题p 为真命题，则0a =或0Δ0a >⎧⎨<⎩，解得[)0,4a ∈，若命题q 为真命题，由0∆≥，解得14a ≤，要使()p q ⌝∨和()p q ∨⌝都是真命题， 则需p ，q 同真同假， 若p ，q 同真，则有10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若p ，q 同假，则有4a ≥，综上可知，a 的取值范围为[)10,4,4⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2CA =，1CB =，M 是1CC 的中点，1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长；(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【答案】6； 10【分析】（1）证明1BA AN ⊥，再利用相似三角形求解；（2）证明11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角，再解三角形求解. 【详解】(1)解：取1BB 中点N ，连接MN ，AN ，则//BC MN ， ∵1BB ⊥平面ABC ，∴1BB BC ⊥，又BC BA ⊥，,,AB BC B AB BC ⋂=⊂平面11ABB A ， ∴BC ⊥平面11ABB A ，故MN ⊥平面11ABB A ，AN 即为AM 在平面11ABB A 内的射影， 又1AM BA ⊥，∴1BA AN ⊥， 故1Rt ABN Rt A AB △△∽，∴1BN ABAB AA =，而413AB =- ∴126AA ==(2)解：连接1AB ，由（1）知11B C ⊥平面11ABB A ， 故11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角，16410AC +=111B C =，∴11sin 10C AB ∠=1019．某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，总比例常数为()0k k >．现已知相距10km 的A ，B 两家化工厂（污染源），A 化工厂的污染强度未知，暂记为()0a a >，B 化工厂的污染强度为4，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和，设()km AC x =．(1)试将y 表示为关于x ，k ，a 的等式；(2)调研表明y 在2x =处取得最小值，据此请推断出A 化工厂的污染强度． 【答案】(1)410a y k x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，()0,10x ∈(2)14【分析】（1）根据题意去将y 表示为关于x ，k ，a 的等式； （2）利用导数去求A 化工厂的污染强度． 【详解】(1)410a y k x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，()0,10x ∈；(2)()()()22222241041010x a x a y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--'=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 由题意，,210166404x ya a ==⇒-=⇒=， 经检验知，当14a =时，y 在()0,2上单减，在()2,10上单增，满足题意．所以，A 化工厂的污染强度为14．20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，棱PC 的中点为E ，3PF FB =，连接DE ，DF ，EF ．(1)若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3，求CB CD 的值．(2)设棱P A 与平面DEF 相交于点G ，且PG PA λ=，求λ的值； 【答案】2 (2)13【分析】（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设2CD =，CB m =，先利用向量求得m 的值，再去求CBCD的值； （2）利用1DG n ⊥，由向量列出关于λ的方程，再去求λ的值.【详解】(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，并设2CD =，CB m =，则()0,0,0D ，(),0,0A m ，(),2,0B m ，()0,2,0C ，()002P ,,，于是()0,1,1E ，()0,0,2DP =，(),2,0DB m =，()0,1,1DE =又31344PF FB DF DP DB =⇒=+，所以13,,422m DF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面DEF 的一个法向量()1,,n x y z =．则1304220mx y z y z ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，令4x =-，则y m =-，z m =则平面DEF 的一个法向量()14,,n m m =--．易知平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =，∴122cos ,216n n m =+，212216m =+，由此解得22m =∴22CB mCD == (2)由(0,0,2)DP =，(,0,2)PA m =-，(,0,2)PG PA m λλλ==- 可得(),0,22DG DP PA m λλλ=+=-， 由题意，G 是平面DEF 上一点，则1DG n ⊥， 则()4220m m λλ-+-=，由此解得：13λ=．21．已知函数()()()2ln 0f x x ax a =->．(1)若()f x 恰有一个零点，求a 的值； (2)若0x 是()f x 的零点，且2y x 在点()200,x x 处的切线恰与ln y x =相切，求a 的值．【答案】(1)2e a = (2)2e a =.【分析】（1）由题可得函数()2f x f ≥⎝⎭，进而可得202f ⎛= ⎝⎭，即得； （2）利用导数的几何意义可得2yx 在()200,x x 处切线l ：()20002y x x x x =-+，结合条件可得()2001ln 2x x =+，()200ln x ax =，即得.【详解】(1)∵()21212,0x f x x x x x -'=-=>， 由()0f x '=可得2x =，∴当2x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，当2x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x在⎛ ⎝⎭单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增， 所以()f x f ≥⎝⎭，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， ∴由题意可知，x =()f x的唯一零点，由20f =-=⎝⎭⎝⎭，解得：a = (2)由2y x 可得2y x '=，∴2yx 在()200,x x 处切线l ：()20002y x x x x =-+，整理得：l ：2002y x x x =-，设该切线与ln y x =相切于(),ln t t ，又1y x'=， 则l ：()1ln y x t t t=-+， 整理得：l ：1ln 1y x t t=+-，∴()002012ln ln 21ln x t x t x t⎧=⎪⇒=-⎨⎪=-⎩， ∴()2001ln 2x x =+，又由题知：()200ln x ax =，∴()()()000ln 1ln 2ln 2e ax x x =+=， ∴2e a =即为所求．22．已知函数()()ln 1R f x x ax a =++∈，()f x '为()f x 的导函数． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若210x x >>，证明：对任意R a ∈，存在唯一的()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-成立．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析【分析】（1）先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）构造函数()()()()1212f x f x F x f x x x -'=--，然后结合导数以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】(1)()()110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 在()0,∞+单调递增；②当0a <时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0f x '>，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0f x '<，∴()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递减.(2)依题意，210x x >>， 设()()()()()()121212121f x f x f x f x F x f x a x x x x x --'=-=+---，()12,x x x ∈，()F x 在定义域内单调递减， ()()()1211121f x f x F x a x x x -=+-- ()1122112ln 1ln 11x ax x ax a x x x ++-++=+-- ()1122112ln1x a x x x a x x x +-=+-- ()11212211211212lnln 1x xx x x x a a x x x x x x x x -=+--=---- 12112121ln x x x x x x x ⎛⎫-=+⎪-⎝⎭ 21121211ln x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，令()120,1x t x =∈，()11ln G t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()()112F x x x G t =-， ∵()21tG t t-'=，∴在()0,1，()()0G t G t '>⇒在()0,1单调递增， ∴()()10G t G <=，故()()11210F x G t x x =>-. 同理可得：()112122211ln x x F x x x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，令()120,1x t x =∈，()1ln H t t t =--，则()()2121F x H t x x =-，∵()11H t t'=-，∴在()0,1，()()0H t H t '<⇒在()0,1单调递减，∴()()10H t H >=，故()()21210F x H t x x =<-， 综上可知，()F x 在()12,x x 单调递减，且()10F x >，()20F x <， ∴()F x 在()12,x x 存在唯一零点0x ，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-，命题得证．【点睛】利用导数研究方程的根的个数，首先将方程变形，然后构造函数，结合导数、零点存在性定理、图象等知识来进行研究.。
2021-2022年高二数学下学期期初考试试题理
2021-2022年高二数学下学期期初考试试题理xx.3本试卷共2页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分． 1．已知复数（是虚数单位），则等于( ) A ．2 B ． C ． D ．2、已知函数在处的导数存在，则000()()lim2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A 、B 、C 、D 、 3、已知为等差数列，若,,2987321ππ=++=++a a a a a a 则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知p ：|x ﹣3|＜1，q ：x 2+x ﹣6＞0，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）A ．26B ．24C ．20D ．196、若直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆的周长，则的最小值为 （ ）A 、1 B ． C ．4 D ．67、若实数满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥--≥-+01032033my x y x y x ，且的最大值为9，则实数（ ）A. B. C. 1 D. 28、如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ． 9、函数的图象是（ ）图10、设分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.11、在锐角中，角的对边分别为若，则的最小值是（ ）A. 4 B. C. 8 D.12、,20154321)(,20154321)(20154322015432x x x x x x g x x x x x x f -⋅⋅⋅-+-+-=+⋅⋅⋅+-+-+=已知函数）的最小值为（内，则的所有零点均在且函数设函数 ),](,[)(F ),4()3()(F a b Z b a b a x x g x f x -∈-⋅+= A.6 B.8 C.9 D.10 二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13、命题“都有”的否定： ．14、设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为 15、下列说法：①函数的零点只有1个且属于区间； ②若关于的不等式恒成立，则；③函数的图像与函数的图像有3个不同的交点；④函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是1．正确的有 ．（请将你认为正确说法的序号都写上）16、在直角梯形,,,1,2,,ABCD AB AD DC AB AD DC AB E F ⊥===∥分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6个小题，共计70分． 17、(12分)已知命题和是方程的两个实根, 不等式对任意实数恒成立；命题:不等式有解,若命题是真命题,命题是假命题,求的取值范围．18、(12分)已知数列满足．（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和．19、(12分)如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，.（Ⅰ）若为中点，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20、(12分)在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右顶点为，直线过原点，且点在x 轴的上方，直线与分别交直线：于点、.（1）若点，求椭圆的方程及△ABC的面积；（2）若为动点，设直线与的斜率分别为、.①试问是否为定值？若为定值，请求出；否则，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值.21、(12分)设，函数．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，，求证：．22、(10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.南开实验学校xx 第二学期期初考试xx.3本试卷共2页，21小题，满分150分。
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2021年高二下学期期初考试数学（理）试题 含答案
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.下列命题是真命题的是（ ）
A.a ＞b 是ac 2＞bc 2的充要条件
B.a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件
C.∃∈R，e ≤0
D.若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真
2.设，其中x ，y 是实数，则
A.1
B.
C.
D.2
3.已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为+=1，双曲线C 2的方程为-=1，C 1与C 2的离心率之积为，则C 2的渐近线方程为（ ）
A.x ±2y =0
B.2x ±y =0
C.x ±4y =0
D.4x ±y =0
4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A. 13 B.12 C.23 D.34
5.已知方程x 2m 2+n –y 2
3m 2–n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
A.(–1,3)
B.(–1,3)
C.(0,3)
D.(0,3)
6.在区间（0，2]里任取两个数x 、y ，分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 到点A （-1，1）的距离小于的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（）
A． B． C． D．
9.若函数f（x）=-e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）
A.4
B.2
C.2
D.
10.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）
A. B. C. D.
11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，则直线BC1到平面D1AC的距离为（）
A. B.1 C. D.
12.双曲线C：-=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（）
A.（，）
B.（，）
C.（，）
D.（，）
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13．已知，，，若向量共面，则．
14.已知，则 = ______ ．
15.若曲线上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 ______ ．
16.= ______.
三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)
17.已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2-x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
18. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，
SA=AB=AD=2，
E是SC的中点．
（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小．
19.二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．
（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．
20.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所
成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值
范围．
21.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．
22.已知函数f（x）=ln（x-1）+（a∈R）
（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果当x＞1，且x≠2时，恒成立，求实数a的范围．
答案和解析
【答案】1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.D 10.C 11.D 12.D
13.3
14.4
15.（-ln2，2）
16.
17.解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根，
∴△=4-4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1，
∵函数f（x）=lg（mx2-x+m）的定义域为R，
∴mx2-x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2，
又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假，
若p真q假，则1＜m≤2，
若p假q真，则m≤1且m＞2，无解，
综上，实数m的取值范围是1＜m≤2．
18. 解：（1）90°
(2) 120°
19.解：（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12
个，根据f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点，且f
（0）=1，
故有f（-1）=a-2b+1＜0，即a＜2b-1，故满足条件的（a，
b）有（-2，0）、（-2，-1）、（-2，2）、
（-1，1）、（-1，2）、（2，2），共计6个，
∴所求事件的概率为=．
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，即-≥-1，求得b ≤a．
而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，如图所示：
故函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率为==．
20.解：（I）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2
∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）
∴
设为平面MAB的一个法向量，
由得
取x=1，则，
∵是平面FCB的一个法向量
∴
∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，
当时，cosθ有最大值．
∴．
21.解：（Ⅰ）由题意知，，则，
∴，
所以c=1．所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知；
②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
且设直线AB的方程为y=k（x-1），
则直线CD的方程为．
将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
所以．
同理，．
所以=，∵当且仅当k=±1时取等号
∴
综合①与②可知，
22.解：（Ⅰ）当a=3时f′（x）=＞0，即x2-6x+6＞0，又定义域为（1，+∞），解得1＜x＜3-或x＞3+，由f′（x）＜0，解得3-＜x＜3+．
所以单调增区间为（1，3-）和（3+，+∞）；单调减区间为（3-，3）；
（Ⅱ）可化为[ln（x-1）+-a]＞0（※）
设h（x）=f（x）-a，由题意可知函数h（x）的定义域为（1，+∞），
h′（x）=-=，
设g（x）=x2-2ax+2a，△=4a2-8a=4a（a-2），
①当a≤2时，h（x）在（1，+∞）上是增函数，
若x∈（1，2）时，h（x）＜h（2）=0；所以h（x）＞0，
若x∈（2，+∞）时，h（x）＞h（2）=0．所以h（x）＞0，
所以，当a≤2时，※式成立；
②当a＞2时，x1=a-＞1，
h（x）在（x1，2）是减函数，所以h（x）＞h（2）=0，※式不成立．综上，实数a的取值范围是（-∞，2]．。