2021-2022年高二下学期期初考试数学(理)试题 含答案

2021年高二下学期期初考试数学（理）试题 含答案

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)

1.下列命题是真命题的是（ ）

A.a ＞b 是ac 2＞bc 2的充要条件

B.a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件

C.∃∈R，e ≤0

D.若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真

2.设，其中x ，y 是实数，则

A.1

B.

C.

D.2

3.已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为+=1，双曲线C 2的方程为-=1，C 1与C 2的离心率之积为，则C 2的渐近线方程为（ ）

A.x ±2y =0

B.2x ±y =0

C.x ±4y =0

D.4x ±y =0

4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A. 13 B.12 C.23 D.34

5.已知方程x 2m 2+n –y 2

3m 2–n

=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是

A.(–1,3)

B.(–1,3)

C.(0,3)

D.(0,3)

6.在区间（0，2]里任取两个数x 、y ，分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 到点A （-1，1）的距离小于的概率为（ ）

A. B. C. D.

7.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.

8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（）

A． B． C． D．

9.若函数f（x）=-e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）

A.4

B.2

C.2

D.

10.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）

A. B. C. D.

11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，则直线BC1到平面D1AC的距离为（）

A. B.1 C. D.

12.双曲线C：-=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（）

A.（，）

B.（，）

C.（，）

D.（，）

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13．已知，，，若向量共面，则．

14.已知，则 = ______ ．

15.若曲线上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 ______ ．

16.= ______.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2-x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

18. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，

SA=AB=AD=2，

E是SC的中点．

（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角；

（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小．

19.二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．

（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；

（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．

20.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；

（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所

成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值

范围．

21.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．

22.已知函数f（x）=ln（x-1）+（a∈R）

（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）如果当x＞1，且x≠2时，恒成立，求实数a的范围．

答案和解析

【答案】1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.D 10.C 11.D 12.D

13.3

14.4

15.（-ln2，2）

16.

17.解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根，

∴△=4-4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1，

∵函数f（x）=lg（mx2-x+m）的定义域为R，

∴mx2-x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2，

又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假，

若p真q假，则1＜m≤2，

若p假q真，则m≤1且m＞2，无解，

综上，实数m的取值范围是1＜m≤2．

18. 解：（1）90°

(2) 120°

19.解：（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12

个，根据f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点，且f

（0）=1，

故有f（-1）=a-2b+1＜0，即a＜2b-1，故满足条件的（a，

b）有（-2，0）、（-2，-1）、（-2，2）、

（-1，1）、（-1，2）、（2，2），共计6个，

∴所求事件的概率为=．

（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，即-≥-1，求得b ≤a．

而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，如图所示：

故函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率为==．

20.解：（I）证明：在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，

∴AB=2

∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3

∴AB2=AC2+BC2

∴BC⊥AC

∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD

∴BC⊥平面ACFE

（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）

∴

设为平面MAB的一个法向量，

由得

取x=1，则，

∵是平面FCB的一个法向量