4册第十章重积分三重积分
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十章 重积分
A 类：
43、将三重积分⎰⎰⎰Ω
=
xyzdv
I
分别化为在直角坐标系，柱面坐标系和球坐标系下的累次积分，
其中:Ω由226y x z --=和2
2
y
x z +=所围成。
答案：如图 ，Ω表示成2
12
2
,44,22z z z x y x
x ≤≤-≤
≤--≤≤
-，其中
2
2
22
2
16,y
x z y x z --=+=
，所以在
直角坐标系：⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
----Ω
=
=
2
1
2
2
442
2
z z x
x
xyzdz
dy
dx
xyzdv I ；
柱面坐标系：⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
-Ω
=
=2
63
2
20
sin cos r
r
zdz r rdr
d xyzdv I θθθπ
球面坐标系：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=
=
Ω
1
3
5
4
/0
20
sin cos cos sin r dr
r d d xyzdv I θθϕϕϕθππ
其中ϕ
ϕ
ϕ2
2
1
sin 2sin 231cos ++-=
r
44、求三重积分⎰⎰⎰Ω
=
dv
e
I
x
，其中1:222≤++Ωz y x 。
答案：用柱面坐标计算，其中2
2
11,10,20:r
z r r -≤≤--≤≤≤≤Ωπθ
，所以
π
π
πθπ2)1(441
110
10
1110
20
2
2
2
2
=-=⋅⋅==
=
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω
dr e
r dz e rdr dz
e
rdr d dv e
I r
r
z
r
r
z
z
B 类：
45、求下列三重积分： 1、⎰⎰⎰Ω
+=
dxdydz
y x
z I )(2
2
1
，Ω是由锥面2
2y
x z +=
及平面2
,1==z z
所围区域。
答案1：如图，积分体等于用大锥体减去小锥体 21Ω-Ω=Ω，其中
;2,20,20:1≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ;2,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ，所以
⎰⎰⎰Ω
+=
dxdydz
y x
z I )(2
2
1⎰⎰⎰Ω+=
1
)(2
2
dxdydz
y x
z ⎰⎰⎰Ω+-
2
)(2
2
dxdydz
y x
z
⎰
⎰
⎰
=
2
2
2
20
r
zdz r rdr
d π
θ
⎰
⎰
⎰
-
1
2
1
20
r
zdz
r rdr
d π
θ
4
21])1()4([]
[22
1
2
32
3
1
1
3
2
2
3
πππ⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰=
---=-
=dr r r dr r r zdz dr r zdz dr r r
r
答案2：如图，积分体等于用空心圆台加小圆柱21Ω+Ω=Ω，
⎰⎰⎰Ω
+=
dxdydz
y x
z I )(2
2
1⎰⎰⎰Ω+=
1)(2
2
dxdydz
y x
z ⎰⎰⎰Ω++
2
)(2
2
dxdydz
y x
z
⎰
⎰
⎰
=
2
2
2
1
20
r
zdz r rdr
d π
θ
⎰
⎰
⎰
+
2
1
2
1
20
zdz
r rdr
d π
θ
4
21])4([
22
3413
22
1
2
1ππ=⋅+
-=⎰
dr r r
2、z
z y x z
y x dxdydz I 2:,2
22
2
2
2
2≤++Ω++=
⎰⎰⎰
Ω
及0
,1≥≥y z
所围成。
答案：作球面坐标代换
ϕϕθϕθc o s ,s i n s i n ,s i n c o s r z r y r x ===，则有
⎰
⎰
⎰⎰-==4
/0
2
2
c o s 2c
o
s
/14/0
2)c o s
1
c o s 4(s
i n 2
s
i n πϕϕππ
ϕϕϕϕπ
ϕϕθ
d dr r d d I =
-
-=
⎰
4
/0
2
2
cos )cos 1cos 4(2
πϕϕϕπd ⎰
-
-2
/21
2
2
)14(2
du
u
u π
=
)247(6
]13
4[
2
2
/21
3
-=
-
-π
πu
u
46、求下列三重积分： 1.
2
222222221{:,R
z y x Rz
z y x dxdydz z I ≤++≤++Ω
Ω=
⎰⎰⎰
答案：两球面的交线为2/4
32
2
2
{
R z R y x ==
+，作柱面坐标代换得，
480
59])([3
2,,])()[(3
3
25
2
/3
3
12
2
2
/30
2
3
22
3
22
2
/30
3
2
2
/30
20
12
22
2
2
22
2
R udu u R u I r R
u dr r R
R r R
dr
z
r dz z rdr
d I R R
R r
R r
R R R r
R r
R R R πππ
π
θ
π
=
---=
-=--
--=
⋅
==
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰---
---则有
令
2.
1:
,2
22
22
22
2≤+
+
Ω=
⎰⎰⎰
c
z b
y a
x dxdydz y I 及0≥z
答案：
积分区域为椭球的上半部分
:Ω⎪⎩⎪⎨⎧≤≤->-≤+b y b z b y c z a x D y 投影为半椭圆及内部0,1:22222
2