利息理论第8章利率风险的度量.pptx

现将d 对 i 求导，可得
。
d (d di
)
d di
n
tvt Rt
t 1 n
vt Rt
t 1
v
t
n 1
vt
Rt
t
n
1
t
2vt
Rt
n
vt
Rt
2
t
n 1
tvt
Rt
2
t 1
n
t 2vt Rt
n
tvt Rt
2
v
t
1 n
vt Rt
t 1 n
vt Rt
4.42
t 1
3．马考勒持续期
马考勒在考虑货币时间价值的基础上，于 1938年提出了持续期的概念。所谓马考勒 持续期，是指未来一系列付款的时间与付 款的现值为权数计算的加权平均到期期限。 假设债券在未来一系列付款额 为 R1, R2 Rn ，1—n表示未来付款的到期 期限，马考勒持续期被定义为
.
。
n
d
tvt Rt
t 1
n
vt Rt
1 P
n
tvt Rt
t 1
t 1
其中：P是未来付款的现值，即债券 的价格。
.
马考勒持续期就是以未来付款的现值为 权数所计算的付款到期时间t的加权平 均数.
其值越大，说明未来付款的加权到期时 间越长，从而债券的利率风险越大。马 考勒持续期仍然是一个时间概念，可以 用年、月等时间单位计量
第八章 利率风险的度量与防范
内容
1．到期期限 2．平均到期期限 3．马考勒持续期 4．修正持续期 5．凸度 6、利率风险的防范
1．到期期限
一般而言，期限越长的债券，其价格受 利率变动的影响越大，因此，衡量债券 利率风险最传统的方法或最原始的指标 就是计算债券到期期限。
如10年期债券的到期年限为10年。这个 指标的作用有限，能区分10年期债券不 同于20年期债券，但不能区分票息不同 的两种10年期债券，故是一种很粗糙的 方法。
t 1 n vtrF vnF t 1
n
r tvt nvn r(Ia) nvn
t1 n
r vt vn
ni
ra vn ni
t 1
例： 一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为i，按 年等额分期偿还，每年末的偿还金额为R，试求出这笔贷款 的马考勒持续期。
解：
n
n
tvt R tvt (Ia)
t 1
t 1
v 2
讨论
其中 2 表示付款到期时间t的方差，
由于方差 2 0 ，所以上式必然为负。可
见， d 是的 i 减函数。
市场利率越高，马考勒持续期越短，从而债券
价格对市场利率变动的敏感性越小，债券的
利率风险越小。
若 i 0 ,则 d t
，故等
时法实际是忽略利息的期限的特例；
Rt
t 1
.
例 两种面值100元的5年期债券，年票息率 分别为5%和8%，试计算平均到期年限。
解：平均到期年限为
n
t1
tRt
t 1 n
Rt
1 5 2 5 3 5 4 560
t 1
n
t2
tRt
t 1 n
Rt
1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 5 100 8 8 8 8 8 100
由于
P(i)
d di
n t 1
vt Rt
n
tvt 1Rt
t 1
n
v tvtRt vdP(i) t 1
b P(i) vdP(i) vd d
P(i) P(i)
1 i
可见，债券价格的单位变化速率是债券的马
考勒持续期除以（1+i），所以 b 亦称
为修正持续期。
从上式可知，修正持续期同马考勒持续期一 样也是市场利率的减函数。这就是说，市场 利率越高，修正持续期越小；反之，市场利 率越低，修正持续期越大，则利率变化也越 大。
例:假设年实际利率为5%，试计算永续年金的马考 勒持续期和修正持续期。
解：
d
tvt Rt
t 1
vt Rt
t 1
(Ia) 0.05 a 0.05
1 0.05 0.052 1
0.05
21
b P(i) d 21 20 P(i) 1 i 1 0.05
5．凸度
尽管修正持续期是金融分析的重要工具，但 它只度量了利率与债券价格之间的近似线性 关系，单纯用修正持续期度量债券的利率变 化风险是不大准确的，故又出现了一个更优 越的指标来计算这种线性近似所产生的误差， 即债券的凸度。
d
t 1 n
t 1 n
vt R
vt
ni
a ni
t 1
t 1
4．修正持续期
修正持续期与马考勒持续期不同。它不再是 一个时间概念，是一个强度概念，反映了市 场利率变化对债券价格影响强度。如果假设 未来的一系列付款（R1，R2，R3，…，Rn） 表示债券的未来收益，则债券价格（未来收 益的现值）可表示为：
2．平均到期期限
。对于两个到期期限完全相同但息票不同的债券， 它们实际的利率风险是不相同的。为此，一个改进 的方法或好一点的指标便是计算债券的平均到期期 限，即以债券未来的付款作为权数计算债券的平均
到期时间。设 R1, R2 Rn 为时刻1,2,…，n的付款
额，根据等时法有
.
.
n
tRt
t
t 1 n
这表明，债券的利率风险随着债券息票率的上升而不断减小，
但减小的幅度越来越小。
例：假设债券的面值为F，期限为n，到期时按面 值偿还，年票息率为r，若市场通行的年实际利率 为i，试求债券的马考勒持续期。
解：由公式可知该债券的马考勒持续期为
n
tvt Rt
d
t 1 n
vt Rt
t 1
n
tvtrF nvnF
特例：债券的息票率为5%，市场利率为 15%的债券。
持续期
20 40 80 100
年
一般情况，债券的到期时间越长，马考勒持续期越大，但特例中， 到期时间超过20年时，到期时间越长，债券的利率风险越小。
债券的息票率对马考勒持续期的影响
。
年
20
持续期
15 10
0.1 0.2 0.3 0.4
息票率
随着债券息票率的不断上升，马考勒持续期减少的速度越来越慢。
n
n
P(i) vt Rt (1 i)t Rt
t 1
t 1
.
若用 b 表示市场利率变化时债券价格的单
位变化速率，则有
b P(i) P(i)
b 可见 也是利率 i 的减函数。
含义
债券价格的单位变化率反映了债券价格随 市场利率变化的速度。其值越大，债券价 格波动幅度越大。市场利率的较小波动， 有可能引起债券价格的大幅波动，因此， 债券利率风险大。反之，债券利率风险小。