互斥事件的加法
事件与概率的基本知识点总结
事件与概率的基本知识点总结事件与概率的基本知识点总结概率论是研究随机现象的可能性的一门数学学科，其中的核心概念就是事件与概率。
事件是我们希望研究的一个或一组结果，而概率是用来描述这个事件发生的可能性的。
一、事件的概念与分类事件是指我们希望研究的一个或一组结果。
根据事件的特性，可以将其分为互斥事件、相对事件和对立事件。
1. 互斥事件：指两个或多个事件不能同时发生的情况。
例如掷一枚硬币的结果只可能是正面或反面，不可能既是正面又是反面。
2. 相对事件：指两个或多个事件至少有一个发生的情况。
例如掷一个骰子，结果可能是1、2、3、4、5或6，至少会出现其中的一个数字。
3. 对立事件：指两个事件在同一次实验中不能同时发生的情况。
例如抽一张扑克牌，事件A是抽到红心，事件B是抽到黑桃，这两个事件是对立事件。
二、概率的定义与性质概率是用来描述事件发生可能性的数值，它介于0和1之间，包括0和1。
1. 频率定义：频率定义概率是指某一事件在相同条件下进行的实验中发生的频率。
即当实验次数趋于无穷大时，事件发生的频率逼近于概率。
2. 古典定义：古典定义概率适用于等可能性事件。
根据古典概率的定义，事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数目除以样本空间中的基本事件数目。
3. 几何定义：几何定义概率适用于几何模型的实验。
根据几何概率的定义，事件A发生的概率等于落入事件A的区域面积与落入样本空间的区域面积之比。
三、概率的运算法则概率运算法则是用来描述事件之间相互关系的数学原理。
1. 加法法则：对于互斥事件A和B，它们的概率和等于两个事件发生概率的和。
即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
2. 减法法则：对于事件A，它的补事件是A的对立事件，即A'。
事件A和事件A'是对立事件，它们的概率和等于1。
即P(A') = 1 - P(A)。
3. 乘法法则：对于相对事件A和B，它们的联合概率等于A的概率乘以在A发生的条件下，B发生的条件概率。
第3章 2.3 互斥事件
2.3 互斥事件学习目标 1.了解互斥事件、事件A ＋B 及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率．知识点一 互斥事件思考 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生？ 答案 不能．梳理 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件．知识点二 事件A ＋B给定事件A ，B ，我们规定A ＋B 为一个事件，事件A ＋B 发生是指事件A 和事件B 至少有一个发生．知识点三 互斥事件概率加法公式思考 一枚均匀的骰子抛掷一次，记事件A ＝“向上的点数大于2”；B ＝“向上的点数大于3”；则P (A ＋B )是否等于P (A )＋P (B )? 答案 A ＋B 即：向上的点数大于2， ∴P (A ＋B )＝46＝23，而P (A )＝46，P (B )＝36，P (A )＋P (B )＝76≠P (A ＋B )．梳理 互斥事件概率加法公式(1)在一个随机试验中，如果随机事件A 和事件B 是互斥事件，那么有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． (2)如果随机事件A 1，A 2，…，A n 中任意两个是互斥事件，那么有P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 知识点四 对立事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，记A＝“抽到红色牌”；B＝“抽到黑色牌”，则A，B的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同？答案共同点：都不能同时发生；不同点：在一次试验中，A，B必有一个发生．梳理在同一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作A；对立事件概率公式P(A)＝1－P(A)．1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(×)2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(√)3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(√)类型一事件的关系与判断例1判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．解(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．反思与感悟如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A，B这两个事件所含结果组成的集合交集为空集．跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9,10环．解A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生)．类型二概率的加法公式例2从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：(1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．解(1)事件D即事件A＋C，因为事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.(2)事件E即事件B＋C，因为事件B＝“抽到的是二等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．跟踪训练2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．解 分别记小明的成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率为P (B ＋C ＋D ＋E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.类型三 对立事件的概率例3 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少？ (2)他参加不超过2个小组的概率是多少？解 (1)从题图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”， 所以P (A )＝1－P (A )＝1－6＋8＋1060＝35＝0.6.因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6. (2)用B 表示事件“选取的成员参加3个小组”， 则B 就表示“选取的成员参加不超过2个小组”， 所以P (B )＝1－P (B )＝1－860＝1315.所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组概率等于1315.反思与感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．跟踪训练3某战士射击一次，若事件A＝“中靶”的概率为0.95，事件B＝“中靶环数大于5”的概率为0.7.(1)A的概率为多少？(2)事件C＝“中靶环数小于6”的概率为多少？(3)事件D＝“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？解(1)因为A与A互为对立事件，所以P(A)＝1－P(A)＝0.05.(2)事件B与事件C互为对立事件，所以P(C)＝1－P(B)＝0.3.(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P(A)＝0.3－0.05＝0.25.1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A＋B＝A时，P(A＋B)＝P(A)，∴④错；只有当A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．2．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对答案 C解析 由于只有一本语文书，甲、乙两同学不可能同时得到，所以这两个事件为互斥事件．又因为甲、乙可以都得不到语文书，所以这两事件不是对立事件．3．在同一事件下，若P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．以上答案都不对答案 C4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球；都是红球 B ．至少有一个红球；都是白球 C ．至少有一个红球；至少有一个白球 D ．恰有一个红球；恰有两个红球 答案 D解析 可以先考虑哪几对事件是互斥的，然后从中排除还是对立的事件后，即可获得互斥而不对立的事件．在各选项所涉及的四对事件中，仅选项B 和D 中的两对事件是互斥事件．同时，又可以发现选项B 所涉及事件是一对对立事件，而D 中的这对事件可以都不发生，故不是对立事件． 5．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是14，乙队胜的概率是13，则甲队胜的概率是________． 答案512解析 记甲队胜为事件A ， 则P (A )＝1－14－13＝512.1．互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①事件A与B 互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，也即A＝∁I B 或B＝∁I A；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.一、选择题1．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于()A．0.3 B．0.2C．0.1 D．不确定答案 D解析由于不能确定A与B是否互斥，所以P(A＋B)的值不能确定．2．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不互斥、不对立答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述几对事件中是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ 答案 C解析 从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个是奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个是奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故选C.4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85(g)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68 答案 C解析 设“质量小于4.8g ”为事件A ，“质量小于4.85 g ”为事件B ，“质量在4.8 g ～4.85 g ”为事件C ，则A ＋C ＝B ，且A ，C 为互斥事件，所以P (B )＝P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )，则P (C )＝P (B )－P (A )＝0.32－0.3＝0.02.5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A ，B ，C ，D ，E ，则A ，B ，C ，D ，E 互斥，取到理科书的概率为事件B ，D ，E 概率的和． ∴P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.6．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为( ) A.35 B.1180 C.119 D.56 答案 A解析 由于空气质量达到良或优包含污染指数T ≤100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市2017年空气质量达到良或优的概率为110＋16＋13＝35.7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 由题意知，B 表示“大于或等于5的点数出现”， 事件A 与事件B 互斥，由概率的加法计算公式， 可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝26＋26＝46＝23.8．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为710的是( )A ．都是一级品B ．都是二级品C ．一级品和二级品各1件D ．至少有1件二级品 答案 D解析基本事件总数为10,2件都是一级品包含的基本事件有3种，因此至少有1件二级品的基本事件有7种，故“至少有1件二级品”的概率为710.二、填空题9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．答案 59解析 记“同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点”的事件为A ，则P (A )＝49，至少有一个5点或6点的事件为B .则A 与B 是对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59. 故至少有一个5点或6点的概率为59. 10．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A 表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B 表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P (A )＝310，P (B )＝12，则“3个球中既有红球又有白球”的概率为________．答案 45解析 记事件C 为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A “3个球中有1个红球，2个白球”和事件B “3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A 与事件B 是互斥的，所以P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝310＋12＝45. 11．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人． 答案 120解析 可设参加联欢会的教师共有n 人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－920＝1120. 再由题意，知1120n －920n ＝12，解得n ＝120. 三、解答题12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 (1)记“他乘火车去”为事件A 1，“他乘轮船去”为事件A 2，“他乘汽车去”为事件A 3，“他乘飞机去”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P (A 1＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则P ＝1－P (A 2)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P (A 1)＋P (A 2)＝0.3＋0.2＝0.5，P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．13．玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112. (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解 方法一 (1)因为事件A ，B ，C ，D 彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112. 方法二 (1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A ＋B 的对立事件为C ＋D ，所以P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－P (C )－P (D )＝1－16－112＝34，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112， 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.四、探究与拓展14．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________. 答案 35解析 由题意知P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又P (A )＝2P (B )，联立方程组解得P (A )＝25，P (B )＝15，故P (A )＝1－P (A )＝35. 15．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )＝13，P (B ＋C )＝512，P (C ＋D )＝512，P (A ＋B ＋C ＋D )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝512，13＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14， 故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.。
新教材高中数学第七章概率2古典概型第2课时互斥事件概率的求法课件北师大版必修第一册
3
P(D)=1-P()=1-27
8
不完全相同”的概率为9.
பைடு நூலகம்
=
8
.
9
规律方法 较复杂的古典概型问题的转化策略
(1)设法把一个复杂事件分拆为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用
加法公式得出结果.
(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时,可间接地计算出其对立
事件的概率,再用对立事件的概率公式求解.
则
5
4
2
1
P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= .
12
12
12
12
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,
由互斥事件的概率加法公式,得
(1)取出的 1 球为红球或黑球的概率为
5
4
P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=12 + 12
(2)取出的 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪
1
∴P(B+C+D)=1-P(A)=1-3
=
2
.
3
∵B 与 C+D 互斥,B+C 与 D 互斥,
2
5
∴P(B)=P(B+C+D)-P(C+D)=3 − 12
=
2
5
P(D)=P(B+C+D)-P(B+C)=3 − 12
1
,
4
=
1
,
4
1
1
1
5
P(C)=1-P(A+B+D)=1-(P(A)+P(B)+P(D))=1-( + + )=13
概率的加法定理与乘法定理
概率的加法定理与乘法定理概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性。
在概率的研究中，加法定理和乘法定理是两个基本的规则，它们可以帮助我们计算复杂事件的概率。
本文将详细介绍概率的加法定理和乘法定理的概念、公式及其应用。
一、概率的加法定理概率的加法定理是指当事件A和事件B互斥（即两个事件不可能同时发生）时，事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
其数学表示为：P(A 或 B) = P(A) + P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 或 B)表示事件A或事件B发生的概率。
应用概率的加法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是互斥的，即两个事件不可能同时发生；事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。
举例来说，假设某班级有30个男生和20个女生，如果从班级中随机选出一个学生，那么选中的学生是男生或女生的概率如何计算呢？解答：由于男生和女生是互斥的，即一个学生不可能既是男生又是女生，因此可以使用概率的加法定理来计算。
设事件A为选中的学生是男生，事件B为选中的学生是女生。
根据题目给出的信息，我们可以得到P(A) = 30/50，P(B) = 20/50。
根据概率的加法定理，我们有P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 30/50 +20/50 = 50/50 = 1。
所以，选中的学生是男生或女生的概率为1，即100%。
二、概率的乘法定理概率的乘法定理是指当事件A和事件B是独立事件（即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然）时，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
其数学表示为：P(A 且 B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 且 B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
应用概率的乘法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然；事件A和事件B同时发生的可能性大于零，即事件A和事件B不能同时为不可能事件。
互斥事件
新课讲解：在一个盒子内放有10个大小相同的小 球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球.我们把 “从中摸出 1个球,得到红球”叫做事件A,“从 中摸出1个球,得到绿球”叫做事件B,“从中摸出 1个球,得到黄球”叫做事件C. 如果从盒中摸出的1个球是红球,即事件A发生, 那 么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是绿 球, 即事件B发生那么事件A就不发生. 就是说, 事件A与B不可 I 能同时发生. 绿 绿 B
(1)对立事件也称逆事件，A的对立事件记作A.
(4)对立事件的概率公式: P(A)=1–P(A)
（5）在一次试验中，两个互斥事件有
可能不发生，只有两个互斥事件在一 次试验中必有一个发生时，这样的两
个互斥事件才叫作对立事件，也就是 说两个互斥事件不一定是对立事件而
两个对立事件必是互斥事件.
6.从集合的角度看，由事件 A 所含的结 果组成集合，是全集中由事件A所含的结 果组成的集合的补集.
思考2： 当事件A与B是互斥事件时,它们 发生的情况有 A与B之一发生, A与B都不发生. 从集合意义理解：
A
B
A
B
A与B交集为空集 A、B互斥
A与B交集不为空集 A、B不互斥
练：抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与 事件B是互斥事件吗？
1.事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” 2.事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为 4” 3.事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超 过3” 4.事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3” 解：互斥事件: (1)(2)(3) 但(4)不是互斥事件,当点为5时,事件A和事 件B同时发生
事件A与事件B是互斥事件
例.在一个健身房里用拉力器进行锻炼时,需 要选取2个质量盘装在拉力器上.有2个装质量 盘的箱子,每个箱子中都装有4个不同的质量 盘:2.5kg,5kg,10kg,20kg,每次都随机地从2 个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上,再拉 动这个拉力器,随机地从2个箱子中各取1个质 量盘,下面的事件A和B是否是互斥事件?
概率2.3 互斥事件
2．3互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一互斥事件与对立事件发生是指思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？知识点二概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即.(2) 的概率为1.(3) 的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝．题型一互斥事件、对立事件的概念例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球题型二和事件的概念例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．反思与感悟事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立D ．不互斥、不对立3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝DD ．A ∪C ＝B ∪D5．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.186．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________．8．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1D ．不确定2．若A 、B 是互斥事件，则( ) A ．P (A ＋B )<1 B ．P (A ＋B )＝1 C ．P (A ＋B )>1D ．P (A ＋B )≤13．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( ) A ．0.09 B ．0.97 C ．0.99D ．0.964．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；③若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的．由题意，得⎩⎨⎧P (A )＝13， P (B ＋C )＝512， P (C ＋D )＝512， P (A ＋B ＋C ＋D )＝1，即⎩⎨⎧P (B )＋P (C )＝512， P (C )＋P (D )＝512， 13＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得⎩⎨⎧P (B )＝14， P (C )＝16， P (D )＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra .题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}， 则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56 答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析 由几何概型知，P ＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。
高二数学 互斥事件
高二数学 互斥事件一、知识要点：1、互斥事件① 如果两个事件A 和B 不能同时发生，则称A 和B 是互斥事件。
② 如果事件n A A A ,,,21 中的任意两个都是互斥事件，就说事件n A A A ,,,21 彼此互斥。
2、对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。
事件A 的对立事件记为A 。
3、互斥事件的概率加法公式如果事件A ，B 为互斥，当事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A+B 。
如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++4、对立事件的性质对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=。
5、互斥事件有与对立事件的区别与联系对立必互斥，互斥未必对立。
二、典型例题：例1、 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”。
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
⑴A 与C ⑵B 与E ⑶B 与D ⑷B 与C ⑸C 与E（2）求射击1次，命中不足7环的概率。
例3、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品。
例4、鞋柜有4双不同的鞋，随机取出4只，试求下列事件的概率：（1）取出的鞋都不成对；（2）取出的鞋恰好有2只是成对的；（3）取出的鞋至少有2只成对；（4）取出的鞋全部成对。
可能性与事件的计算
可能性与事件的计算事件的可能性与计算事件的可能性是指在某种条件下，某个特定的事件发生的概率或可能性大小。
而事件的计算则是通过一定的方法和工具，来确定事件的具体可能性。
一、概率的基本概念概率是用来描述事件发生的可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定会发生。
而在0到1之间的概率值，则表示事件发生的可能性大小。
二、计算概率的方法1. 古典概率：古典概率是基于事件样本空间中每个事件发生的可能性相等的假设。
计算古典概率的方法是：事件发生的次数除以样本空间中总事件的个数。
2. 几何概率：几何概率是基于事件发生的几何形状或空间的属性来计算概率的。
计算几何概率的方法包括计算面积、长度或体积等。
3. 统计概率：统计概率是通过统计实验或数据来计算事件发生的概率。
计算统计概率的方法包括频率方法和相对频率方法。
三、事件的可能性与计算公式事件的可能性可以通过概率来计算。
常见的计算公式有以下几种：1. 独立事件的乘法公式：当两个或多个事件相互独立时，计算它们同时发生的可能性时，可以使用独立事件的乘法公式。
公式为：P(A和B) = P(A) × P(B)，其中P(A和B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
2. 互斥事件的加法公式：当两个或多个事件互斥（即不可能同时发生）时，计算它们至少有一个事件发生的可能性时，可以使用互斥事件的加法公式。
公式为：P(A或B) = P(A) + P(B)，其中P(A或B)表示事件A或B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
3. 条件概率：当事件A的发生受到事件B的影响时，计算事件A在事件B已经发生的条件下发生的可能性时，可以使用条件概率。
公式为：P(A|B) = P(A和B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(A和B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2互斥事件有一个发生概率
第二节 互斥事件有一个发生的概率一、基本知识概要：1、互斥事件：如果事件A 与B 不能同时发生（即A 发生B 必不发生或者B 发生A 必不发生），那么称事件A ，B 为互斥事件（或称互不相容事件）。
如果事件A 1，A 2，…n A 中任何两个都是互斥事件，那么称事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥。
互斥事件的概率加法公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A 1，A 2，…n A 彼此互斥，则P （A 1+A 2+…+n A ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （n A ）；2、对立事件：如果事件A 与B 不能同时发生，且事件A 与B 必有一个发生，则称事件A 与B 互为对立事件，事件A 的对立事件通常记作A 。
对立事件A 与A 的概率和等于1，即：P （A ）+P （A ）=P （A+A ）=1；注：对立事件是针对两个事件来说的，一般地说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。
3、事件的和事件：对于事件A 与B ，如果事件 A 发生或事件B 发生，也即A ，B 中有一个发生称为事件A 与B 的和事件。
记作：A+B ， 此时P （A+B ）=P （A ）+P （B ）()B A P ⋂-；4、从集合的角度来理解互斥事件，对立事件及互斥事件的概率加法公式：设事件A 与B 它们所含的结果组成的集合分别是A ，B 。
若事件A 与B 互斥，即集合Φ=⋂B A ，若事件A 与B 对立，即集合Φ=⋂B A 且U B A =⋃，也即：B C A U =或A C B U =，对互斥事件A+B （即事件A 发生或事件B 发生）即可理解为集合B A ⋃。
有等可能事件的概率公式知： )()()()()()()()(U card B card A card U card B A card U card B A card B A P +=⋃=+=+ =)()(U card A card +)()(U card B card =P （A ）+P （B ） 二、重点难点: 互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点；互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。
互斥事件第三课时
)
A
与
B 一定互斥
A与B
一定不互斥
3.下列命题中,真命题的个数是 ( ) ①将一枚硬币抛两次,设事件A为”两次出现正面”, 事件B为”只有一次出现反面”,则事件A与B是对立事 件; ②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件 ③若事件A 与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件; ④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件. A．1 B. 2 C． 3 D． 4
因为从中一次可以摸出2只黑球，
所以事件A与事件B不是对立事件。
例题1
课本 P142例6
英语 6 11
7 8
音乐 8 10
⑴求他参加不超过2个小组的概率 ⑵求他至少参加了2个小组的概率
数学 10
分析:从图中可以看出,3个兴趣小组总 人数：6+7+8+11+10+10=60 表达要清晰，
不可少
解(1)用事件A表示“选取的成员参加不超过2个小组”用A1表示“选取成员只参 加1个小组”，A2“选取成员只参加2个小组”，A1与A2互斥事件
有时当多事件A比较 复杂，可以通过A的 对立事件求，可能 会简单点
例2.某人射击一次，命中7-10环的概率如下图
所示：
命中环数 概率
10环 0.12
9环 0.18
8环 0.28
7环 0.32
(1)求射击1次，至少命中7环的概率； (2)求射击1次命中不足7环的概率。
练习 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示： 年降水量 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) （单位:mm) 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 1.求年降水量在［100,200）（㎜）范围内的概率； 2.求年降水量在［150,300）（㎜)范围内的概率。
相容互斥原理公式
相容互斥原理公式
独立事件的发生互不影响，但它可能同时发生。
互斥事件是不能同时发生的事件，也就是说，交点是零，但它们可能会相互作用。
接触∶独立事件可能是互斥事件可能不会是互斥事件，相互排斥的事件不能是独立事件。
事件A和B的交叉口为空，A以及B只是是互斥事件，它也被称为不相容事件。
它也可以描述为：不能同时发生的事件。
作为A∩B 这是不可能的事(A∩B=Φ)，所谓的事件A和事件B互斥，它的意义是：事件A和事件B它不会在任何一个测试中同时发生。
更复杂的事件表示为几个互斥事件的总和，用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或者当一个事件的相反事件的概率很容易找到的时候，将事件概率的计算转化为相反事件的概率，简化计算。
在解决问题的时候，要注意互斥事件或相反事件的情况是满意吗。
从集合的角度看，事件A、B互斥，是事件的A所由包含B所包含的结果集的交集是空集，还有：
P(A+B)=card(A+B)/card(I)=card(A)+card(B)/card(I)=card(A )/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A以及B反对，是事件的B所一组包含，是成套事件A所一组包含，即A∩B=Φ，以及A ∪B=I。
行测容斥原理三个公式
行测容斥原理三个公式容斥原理是概率论和组合数学中一个重要的计数方法，用于解决求交集、并集等问题。
下面将介绍容斥原理的三个公式：互斥事件的加法原理、重叠事件的减法原理和容斥原理。
一、互斥事件的加法原理：在概率论中，如果A和B是两个互斥事件，那么它们的并集的概率等于它们的概率之和。
数学上可以表达为：P(A∪B)=P(A)+P(B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B的并集的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
二、重叠事件的减法原理：在概率论中，如果A和B是两个事件，那么它们的交集的概率等于它们的和减去它们的并集。
数学上可以表达为：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)其中P(A∩B)表示事件A和事件B的交集的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∪B)表示事件A和事件B的并集的概率。
三、容斥原理：容斥原理是一种组合数学中的计数方法，用于求多个集合的交集和并集的元素个数。
如果有n个集合A1，A2，...，An，那么它们的交集的元素个数可以用容斥原理表示为：A1∩A2∩...∩An，=∑，Ai，-∑，Ai∩Aj，+∑，Ai∩Aj∩Ak，-...+(-1)^(n+1)，A1∩A2∩...∩An其中，X，表示集合X中元素的个数，∑表示求和，Ai表示第i个集合。
容斥原理的应用：1.求多个集合的并集的元素个数：A1∪A2∪...∪An，=∑，Ai，-∑，Ai∩Aj，+∑，Ai∩Aj∩Ak，-...+(-1)^n，A1∩A2∩...∩An2.求多个集合的交集的元素个数：A1∩A2∩...∩An，=∑(-1)^(i+1)(，Ai，-∑(-1)^(j+1)(，Ai∩Aj，-∑(-1)^(k+1)(...)))容斥原理的推广：容斥原理可以推广到更多的事件，不仅限于两个或三个事件。
总结：容斥原理是概率论和组合数学中重要的计数方法，通过互斥事件的加法原理、重叠事件的减法原理和容斥原理可以求解事件的概率和集合的元素个数。
互斥事件的概率加法公式.
⑴ 事件A为“出现1点”,B为“出现5点”求A∪B
⑵设事件A为“出现奇数点”,B为“出现2点或3点”,求 A∪B ⑶事件A表示某地区的年降水量在100-150 mm范围内, 事件B表示降水量在150-200 mm范围内,求A∪B ⑷从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,事 件A为“取到红桃”,事件B为“取到方片”,求A∪B ⑸甲、乙2人下棋,A为“下成和棋”,B为“乙获胜”求 A∪B
3.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
年降水量 /mm 概率 ［100，150） 0.21 ［150，200） 0.16 ［200，250） 0.13 ［250，300］ 0.12
则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率为多少? 0.25
2.1思想方法
在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解 为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求 出）的彼此互斥的事件,然后利用概率的加法公 式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有 “化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的 是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条 件“彼此互斥”.
A {2}, B {1,3,5}, A B {1,2,3,5},
Ω的基本事件总数n=6,事件A、B、A∪B的基本事件数分 别为1,3,4. 1 3 4 2 P( A) , P( B) , P( A B) 6 6 6 3
即：P( A B) P( A) P( B)
1.2事件的并:
由事件A和B至少有一个发生(A发生,或B发生,或A、B都 Байду номын сангаас生)所构成的事件C,称为事件A与B的并事件(或和事件) 记作C=A∪B(或C=A+B).事件A∪B是由事件A或B所包含的 基本事件所组成的集合. 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.
相互独立事件与概率的乘法公式
2.结合引例回答下列问题 由相互独立事件的定义,很显然事件A、B是相互独立的
记 A C={从甲坛子里摸出1个球,得到黑球} B D ={从乙坛子里摸出1个球,得到黑球}
⑴A的发生与否对D事件发生的概率有影响吗? 无 A与B互为独立事件
那1么 P(A)P(表B)示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个发生的概率
即 1 P(A)P(B) P(A B)
四.例题分析
例1、甲、乙2人各进行1次射击,如果2人击中目标的概 率都是0.6,且相互之间没有影响，计算 (1)2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
另解：1- P（A·B） -P（A·B）=1 - 0．855 - （1 - 0．95）· （1 - 0．9）=0．14
答:两件都是正品的概率是0.855恰有一件是正品概率是0.14
五.课堂练习
1.若P(A)=0,P(B)=1,则事件A与事件B的关系是（ C ） A、互斥不独立 B、独立不互斥 C、独立又互斥 D、既不 独立也不互斥
解法2:两人都未击中目标的概率是 P（A B） P（A） P（B）（1 0.6)(1 0.6) 0.4 0.4 0.16, 因此,至少有1人击中目标的概率
P 1 P(A B) 1 0.16 0.84.
答：……
例2、制造一种零件,甲机床的正品率是0.9,乙机床的正品率是 0.95,从它们制造的产品中各任抽一件,计算: (1)两件都是正品的概率是多少? (2)恰有一件是正品的概率是多少?
即 如果那A么P、(1BA-P是1(·AA两)2•·个P·(·B相··)表A互n)示独=什P立(么的A1？事)·件P(, A2)·····P(想An)一．想？
3_4互斥事件
3.4互斥事件课标导读：1. 理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系2.掌握互斥事件的概率加法计算公式.3.了解“生日问题”、“彩票问题”中的概率现象、提升应用数学的意识． 问题导思1．互斥事件的概念是什么？2．互斥事件概率的加法公式是什么？3．对立事件及概率公式是什么？例题导练1.课本第113页例2变式：如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A )的概率是14，取到方块(事件B )的概率是14，问： (1)取到红色牌(事件C )的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D )的概率是多少？2、课本第114页例3变式：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？3、对一批产品的长度(单位：mm)实行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．4.某家庭电话，打进电话响第一声时被接的概率是0.1，响第2声时被接的概率为0.2，响第3声时被接的概率是0.3，响第4声时被接的概率为0.3，则电话在响第5声前被接的概率为________．5.已知直线Ax＋By＋1＝0.若A，B是从－3，－1,0,2,7这5个数中选择的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为________．6.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是______．4、(1)在一个袋子中放入3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球不放回袋中，求第1次或第2次摸出红球的概率．(2)在一个袋子中放入3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球放回袋中连续摸2次，求第1次或第2次摸出的球都是红球的概率．。
互斥事件,独立事件
(2)由派出医生最多 4 人的概率为 0.96,
得 0.96+z=1,∴z=0.04.
由派出医生最少 3 人的概率为 0.44,
得 y+0.2+0.04=0.44,∴y=0.2.
某学校在 2015 年春季田径运动会中,购进了 50 本文学
作品作为奖品.其中有 45 本是中国文学作品,有 5 本是外国文学作品,
−− − − − −
− −−
−−
− −−
(3)P=P(DEF+DEF+DEF+DEF)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)
1
3
2 4
1
2 4
3
1 4
3
2 5
=5×4×3+5×4×3+5×4×3+5×4×3=6.
电视台综艺频道组织的闯关游戏,游戏规定:前两关至
少过一关才有资格闯第三关,闯关者闯第一关成功得 3 分,闯第二关
55Leabharlann 64B.18
C.
1
16
D.
国家射击队的队员为了在世界射击锦标赛上取得优异
成绩,正在加紧备战.经过近期训练,某队员射击一次命中 7~10 环的
概率如下表所示:
命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环
概率
0.32 0.28 0.18 0.12
若该射击队员射击一次,求:
(1)射中 9 环或 10 环的概率;
号箱中取出的是红球”.
则
−
−
4 2
1
3+1 4
3 1
P(B)=2+4=3,P(B)=1-P(B)=3,P(A|B)=8+1=9,P(A|B)=8+1=3,
3.4.1互斥事件
例3：黄种人群中各种血型的人所占的比例如表
所示： 血型 A
B AB O
该血型的人所 28
29
8
35
占比%
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给 任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型 血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明 是B型血，若小明因病需要输血，问： （1）任找1个人，其血可以输给小明的概率是多少？
例1.从1,2,3，…..9这9个自然数中任取两个数，判 断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事 件，并说明理由.
（4）“至少有一个奇数”与“至少有一个偶数”；
（一奇一偶、两奇） （一奇一偶、两偶）
（5）“至多有一个奇数”与“两个都是偶数”.
（一奇一偶、两偶）
从集合的观点去理解互斥事件、对立事件的异同：
9人 15人 21人 5人
问题：从这个班任意抽取一位同学，那么这位 同学的体育成绩为优或良的概率是多少？
互斥事件的概率加法公式：
事件A＋B：事件A、B有一个发生.
A,B为互斥事件，则P(A+B)=P(A) + P(B)
推广：
事件A1 + A2 + … + An ：事件A1、A2 、… 、 An 有一个发生. A1、 A2 、 … 、 An 彼此互斥，则 P(A + A2 + … + An )=P(A1) + P(A2) ＋ …＋ P(An)
0.28 0.08 0.36
（法二）:因为事件“其血可以输给B型血的人”与 事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，所 以由对立事件的概率公式，有
P(B/ D/ ) 1 P(B/ D/ )
1 0.64 0.36
3.4.1互斥事件
记事件“射击1次，命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak 两两互斥
(1)记“射击一次，至少命中7环”为事件A，那么当 A10,A9,A8或A7之一发生时，由互斥事件的概率加法公式，得
P(A)=P(A10+A9+A8+A7)=P(A10)+ P(A9)+ P(A8)+ P(A7)=0.9
问题3:在同一次考试中,某一位同学得优或良的概率为多 少？
问题4:在同一次考试中,某一位同学得优且良的概率为多 少？
三、建构数学
1.互斥事件 在同一次试验中，不能同时发生的两个事件称为互斥 事件． 一般地，如果事件A1，A2，﹍﹍An两两互斥， 那么事件A1，A2，﹍﹍An彼此互斥.
从集合的观点来看： 两个事件互斥即这两个事件的集合的交集 是空集Φ.
年降水量（单位：mm） [100， [150， [200， [250， 150） 200） 250） 300）
概率
0.12 0.25 0.16 0.14
(2)事件“射击一次，命中不足7环”是事件“射击一次，命
A 中7环至”少7环”的对立事件，A 即
P答( ：)=1-P(A)=0.1
表示“射击一次，命中不足
试总结利用互斥事件的概率公式求概率的 步骤：
（1）确定事件为彼此互斥 （2）诸事件中有一个发生 （3）先求诸事件中分别发生的概率，再求和。
例3.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
⑴红与黑的概率；
⑵红或黑或白的概率。
8. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概 率是1/2，乙获胜的概率是1/3，则乙输 棋的概率是_______________.
互斥事件的加法
互斥事件的加法协议书一、关键信息项协议编号：____________________________甲方：____________________________乙方：____________________________签署日期：____________________________生效日期：____________________________适用范围：____________________________合同条款：____________________________二、背景说明本协议旨在明确双方在互斥事件加法理论应用中的责任和义务，以确保相关活动的顺利进行。
双方同意根据此协议进行合作，以便在实际应用中最大限度地减少风险。
三、定义互斥事件：指两个事件不可能同时发生的情况。
概率：指某一事件发生的可能性，取值范围为零到一。
四、协议内容互斥事件的加法原则1.1 互斥事件的概率相加。
1.2 若事件A与事件B为互斥事件，则P(A ∪ B) = P(A) +P(B)。
1.3 对于多个互斥事件的加法，P(A1 ∪ A2 ∪ ∪ An) = P(A1) + P(A2) + + P(An)。
双方责任2.1 甲方负责提供所需的统计数据和相关信息。
2.2 乙方负责进行数据分析并提供结果报告。
合作方式3.1 双方应定期召开会议，讨论项目进展。
3.2 双方应及时沟通，确保信息透明。
风险管理4.1 双方需共同识别可能的风险，并制定应对方案。
4.2 双方应定期评估风险管理措施的有效性。
违约责任5.1 若一方违反协议条款，需承担相应的违约责任。
5.2 违约方需赔偿因此给另一方造成的损失。
五、协议的变更和终止协议的变更需经双方书面同意。
如遇不可抗力因素，双方可协商终止协议。
六、争议解决双方应通过友好协商解决争议。
如协商未果，争议应提交至有管辖权的法院处理。
七、其他本协议自双方签字盖章之日起生效。
本协议一式两份，甲方和乙方各执一份，具有同等法律效力。
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思考：互斥事件与对立事件的关系？ 思考：互斥事件与对立事件的关系？
如事件A与B互斥，但A与B并不对立，所以 互斥， 并不对立，
问题三：事件A， 与 有什么关系 有什么关系？ 问题三：事件 ，B与E有什么关系？P(E)=?
当摸出的是红球或绿球时,即事件 或 发生 则事件E发生 发生， 发生,我 当摸出的是红球或绿球时 即事件A或B发生，则事件 发生 我 即事件 们把事件E记作 记作: (它表示 它表示A,B中有一个发生 中有一个发生) 们把事件 记作 A+B (它表示A,B中有一个发生)
互斥事件有一个发生的概率
投一枚硬币
A = {正面向上}
射击一次
B = {反面向上}
A = {击中靶心}
B = {未击中靶心}
情景：1个盒内放有10个大小相同的 小球，其中有7个红球，2个绿球,三 个黄球，从中任取一个球．
（1）A=“取出一个球,是红球” ； A=“取出一个球,是红球” 取出一个球 （2）B=“取出一个球,是绿球” ； B=“取出一个球,是绿球” 取出一个球 C=“取出一个球 是黄球” 取出一个球, （3）C=“取出一个球,是黄球”； 取出一个球,不是红球 （4）D=“取出一个球 不是红球” 。 取出一个球 不是红球” 问题一：事件A与 ， 与 ， 与 ，能同时发生吗？ 问题一：事件 与B，A与C，B与C，能同时发生吗？
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An)
根据对立事件的意义,事件A与A 互斥 ,且A+ A 是一个必然事件
所以 P ( A + A ) = P ( A ) + P ( A ) = 1
P ( A) = 1 − P ( A)
例题分析
例1 暗箱中有10个球，其中白球3个、黑球5个，红球2 个，现在任意抽取一球，求抽到黑球或红球的概率． 解： A1={抽到白球}，A2={抽到黑球}，A3={抽到红球}， 它们之间互斥，且
例题分析
例3、某人射击 次，命中 、某人射击1次 命中7~10环的概率如下 环的概率如下 表所示： 表所示： 命中环数 概 率 10环 环 0.12 9环 环 0.18 8环 环 0.28 7环 环 0.32
(1)求射击 次，至少命中 环的概率； 求射击1次 至少命中7环的概率 环的概率； 求射击 (2)求射击 次，命中不足7环的概率； 求射击1次 命中不足 环的概率； 求射击 环的概率
7+ 2 P(E)=P(A+B)= 10
7 另一方面P(A)= 另一方面 10
, P(B)=
2 10
概念1: 概念1: 互斥事件 互斥事件 1.定义：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 概念2: 概念2: 对立事件 2.定义：两个中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件 对立事件
事件A的对立事件记作 A
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 互斥事件
问题二：事件A与D有什么关系？ 问题二：事件 与 有什么关系？ 有什么关系
显然，事件 与 不可能同时发生 它们是互斥事件， 不可能同时发生， 显然，事件A与D不可能同时发生，它们是互斥事件， 又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，事件A 又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，事件 与D中必有一个发生 中必有一个发生
3 5 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= 10 10
2 ； 10 随机事件A={ 抽到黑球或红球}，则A=A2∪A3；据公式 P(A)=P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)= 7 10
例2 已知100个产品中混有5件次品，现抽10件 检验，抽到k（k=0,1,…,5）件次品的概率如下表 求抽到至少3件次品的概率．
0 次品数 概率 0.583752 0.339391 0.070219 0.006384 0.000251 0.000003 1 2 3 4 5
={抽到至少 件次品} 抽到至少3 解： 记事件A ={抽到至少3件次品}， ={抽到 件次品， =0,1,…,5)} ,5)}， 事件Ak ={抽到k件次品，(k=0,1, ,5)}， 彼此互斥， 因为事件Ak彼此互斥，所以 P(A)=P(A3)+ P(A4)+ P(A5) =0.006384+0.000251+0.000003=0.006638.
事件A所含的结果组成的集 是全集中由事件A所含 合，是全集中由事件 所含 的结果组成的集合的补集 I
A
AP(Leabharlann +B)=P(A)+P(B)(互斥事件的概率加法公式) 互斥事件的概率加法公式)
它告诉我们:如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生(A,B中有 如果事件A,B互斥 那么事件A+B发生 如果事件 互斥, 发生(A,B中有 一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和 分别发生的概率的和. 一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和.
这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对 对 立事件
（1）A=“取出一个球,是红球” ； A=“取出一个球,是红球” 取出一个球 B=“取出一个球 是绿球” 取出一个球, （2）B=“取出一个球,是绿球” ； C=“取出一个球 是黄球” 取出一个球, （3）C=“取出一个球,是黄球”； 取出一个球,不是红球 （4）D=“取出一个球 不是红球” 取出一个球 不是红球” E=“取出一个球 取出一个球， （5）E=“取出一个球，是红球 或绿球” 或绿球”
本课小结
运用互斥事件的概率加法公式时， 运用互斥事件的概率加法公式时，首先 要判断它们是否互斥， 要判断它们是否互斥，再由等可能事件的 概率公式分别求得它们的概率，然后计算. 概率公式分别求得它们的概率，然后计算.
作业:习题 作业 习题11.2 习题 3,4题 题
本课小结
互斥事件：不可能同时发生的两个事件。 互斥事件：不可能同时发生的两个事件。 是互斥事件时， 当A、B是互斥事件时，P(A+B)=P(A)+P(B) 对立事件：其中必有一个发生的两个 对立事件： 互斥事件叫做对立事件。 互斥事件叫做对立事件。当A、B是对立 事件时，P(B)=1-P(A) 事件时，P(B)=1-