完整版二面角练习题

高考数学试卷二面角

一、选择题1. 下列关于二面角的叙述中，正确的是（）A. 二面角是由两个平面相交形成的角B. 二面角是由两个平面相交形成的两条线段所夹的角C. 二面角是由两个平面相交形成的两条射线所夹的角D. 二面角是由两个平面相交形成的两条直线所夹的角答案：C2. 在二面角中，一个平面内两条相交直线与另一个平面所成的角分别为α和β，则二面角的度数是（）A. α + βB. α - βC. |α - β|D. 90°答案：C3. 若二面角的平面角为θ，那么这个二面角的度数范围是（）A. 0° < θ < 90°B. 0° ≤ θ ≤ 180°C. 0° < θ ≤ 180°D. 90° < θ ≤ 180°答案：C4. 下列图形中，能表示二面角的是（）A. 一个等腰三角形B. 一个等边三角形C. 一个矩形D. 一个正方形答案：C5. 若二面角的平面角为60°，则其补角的度数是（）A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：B二、填空题6. 在二面角中，若一个平面内两条相交直线与另一个平面所成的角分别为α和β，则二面角的平面角为______。

答案：|α - β|7. 若二面角的平面角为θ，那么这个二面角的度数范围是______。

答案：0° < θ ≤ 180°8. 若一个二面角的平面角为45°，则其补角的度数是______。

答案：135°三、解答题9. 已知二面角的平面角为60°，求这个二面角的补角的度数。

解答过程：根据题意，设二面角的平面角为θ，则有：θ = 60°由补角的定义可知，二面角的补角为180° - θ，因此：补角= 180° - 60° = 120°所以，这个二面角的补角的度数是120°。

二面角专题练习

1、如图所示，AF 、DE 分别世O 、1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是O 的直径，6AB AC ==,//OE AD . (I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.2、如图5，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=︒．（1）求证：AG BD ⊥；（2）求二面角P AG B --的平面角的余弦值．3、如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，060=∠BCD ，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA 。

（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；（II ）求二面角A —BE —P 的大小。

A FD OQ DBCAG P ．PBCED4正视图侧视图34、一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N（1）求证：111MN AB MN BCC B⊥，平面；（2）求二面角1A BC C--的余弦值．5、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形．已知3AB=，2AD=，2PA=，PD=60PAB=∠．（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P BD A--的大小． AB CDPABCD⋅O⋅F图5A BCD⋅O⋅F 图6αβ⇒6、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。

(1)求证：DM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角；（3）求截面ADMN 的面积。

7．如图5，O ⊙的直径4AB =，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠，DAB ∠60=，F 为BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图6）．（1）求证：//OF 平面ACD ；（2）求二面角C -AD -B 的余弦值；（3）在BD 上是否存在点G ，使得FG //平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置，并求直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．。

二面角专题

1
二面角专题
题1: 设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB ＝7，求这个二面角的大小。

题2. 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55.
（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；
（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小；
题3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。

（1）求证AM //平面BDE ；
（2）求二面角A -DF -B 的大小；
A
D
E
F
M
B
C
题4.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=2
2，M为棱A1A上的点，若A1C⊥平面MB1D1。

（Ⅰ）确定点M的位置；（Ⅱ）求二面角D1－MB1－B的大小。

题 5. 如图所示，∆ADB和∆CBD都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，∠=∠=︒=
ADB CBD AD a
90,
（I）求异面直线AD、BC所成的角。

（II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时,∆PCD与∆BCD所在平面成45︒的二面角?；
A
P
B
D
C
题 6.四棱锥A BCDE
-中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，2
BC=，2
CD=，AB AC
=．
（Ⅰ）证明：AD CE
⊥；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45 ，求二面角C AD E
--的大小的余弦值．
C D E
A
B
2。

(完整版)二面角练习题

1、如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC,点E、F分别是PC、PA的中点．(Ⅰ）求证：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角A-EB-F的大小．（直接证明）2、如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是AC、BD的交点,E,F分别是AB与AD的中点．（1)求证:直线OD1与直线A1C1垂直；（2）求异面直线EF与A1C1所成角的大小；（3）求二面角B-AC-D1的大小．（三垂线定理）如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为菱形,∠BCD=60°，PD⊥AD．点E是BC边上的中点．（1）求证:AD⊥面PDE；（2）若二面角P-AD—C的大小等于60°，且AB=4，PD=338；①求V P—ABED；②求二面角P—AB—C大小．（垂面法）已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC;（Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的大小；(Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2,CD=1．（1）证明:MN∥平面PCD；(2）证明：MC⊥BD；（3）求二面角A-PB-D的余弦值．如图,在三棱锥P—ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°,AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．(I）求证：EF⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥D-PEF的体积；（Ⅲ)求二面角E—PF-B的正切值．。

二面角专项训练(人教A版)(含答案)

二面角专项训练（人教A版）一、单选题(共7道，每道10分)1.等于90°的二面角内有一点P，过P有PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，如果PA=PB=a，则P 到交线的距离为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与二面角有关的点、线、面间的距离计算2.如图，在三棱锥F-ABC中，FC⊥底面ABC，CA=CB=CF，∠ACB=120°，则二面角F-AB-C的正切值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1，则二面角A-PC-B的正弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点，则二面角B-DC1-C的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，则二面角A1-BD-C1的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥A1C，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，则二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。

二面角练习题

二面角练习题二面角是几何学中一个重要的概念，它与我们日常生活息息相关。

在几何学中，二面角是指两个平面的交线所形成的角度。

它不仅仅是一个数学概念，更是我们在空间中观察和测量角度的基本工具。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二面角的概念。

练习题一：已知一平面上有一条直线AB，另一平面上有一条直线CD，两平面相交于O点，求∠AOC和∠BOD的关系。

解析：根据二面角的定义，我们可以知道∠AOC和∠BOD的和为180度。

这是因为当两个平面相交时，它们所形成的二面角的度数之和为180度。

所以，∠AOC和∠BOD是互补角。

练习题二：在空间直角坐标系中，已知直线l1的方程为x+y+z=1，直线l2的方程为x-y+z=3，求直线l1和直线l2的二面角。

解析：为了求解这个问题，我们需要先找到直线l1和直线l2的方向向量。

直线l1的方向向量可以通过求解方程组x+y+z=1得到，即(1,1,1)。

同样地，直线l2的方向向量可以通过求解方程组x-y+z=3得到，即(1,-1,1)。

然后，我们可以通过计算这两个向量的夹角来求解二面角。

使用向量的点积公式可以得到cosθ = (1,1,1)·(1,-1,1) / |(1,1,1)||(1,-1,1)| = 1/√3。

因此，θ = arccos(1/√3)。

这就是直线l1和直线l2的二面角。

练习题三：在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为2x+y+z=4，平面P的方程为x-2y+3z=6，求直线l和平面P的二面角。

解析：为了求解这个问题，我们首先需要找到直线l的方向向量。

由于直线l的方程为2x+y+z=4，我们可以得到方向向量为(2,1,1)。

然后，我们可以通过计算这个方向向量与平面P的法向量的夹角来求解二面角。

平面P的法向量可以通过平面的方程x-2y+3z=6得到，即(1,-2,3)。

使用向量的点积公式可以得到cosθ = (2,1,1)·(1,-2,3) / |(2,1,1)||(1,-2,3)| = 9/√30。

二面角典型习题

二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角棱上一点，过P 分别在内引射线PM ，PN ，且AB αβ--αβ、，求此二面角的度数。

45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒例2、已知P 为锐二面角棱上的点，，则二l αβ--,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成面角的度数是多少。

l αβ--例3、已知二面角的度数为，在面内有一条射线AB 与棱l 成锐角，与面l αβ--θαδ，则必有（）βγ成角（A ）（B ）sin sin sin θδγ=sin sin cos θδγ=（C ）（D ）cos cos sin θδγ=cos cos cos θδγ=例4、在的二面角的面、内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离120︒l αβ--αβAC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。

（2）直线AB 与平面所成角的正弦值。

β例5、已知二面角为，上的射影，且C 在棱MN αβ--60︒,,A B BC AB αββ∈∈为在MN 上，AB 与所成角为，且，求线段AB 的长。

β60︒45AC MCB =∠=︒例6、已知二面角的度数为，的面积为S ，且DC=m ，DC αβ--θ,,A B ADC αβ∈∈∆，AB 与平面成角，当变化时，求面积最大值。

AB DC ⊥β30︒θDBC ∆in例7、已知C是以AB为直径的圆周上的一点，，30ABC∠=︒，求二面角A-45PA ABC PBA⊥∠=︒面，PB-C的正弦值。

例8、在正方体中，利用解下列各题1111ABCD A B C D-cosSSθ=射影1）P、Q分别为的中点，求平面与底面ABCD所成角的余弦值1,A A AB1C PQ2）求二面角的大小；11C BD C--3）M是棱BC的中点，求二面角的余弦值。

111D B M C--例9、已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？例10、等腰Rt 和Rt 有公共边AC ，，ADC ∆BCA ∆90,60ADC BCA ABC ∠=∠=︒∠=︒以AC 为棱折起多少度的二面角时，有BD=BC ？两个平面垂直1、两个平面垂直的证明1）定义2）判定定理2、两个平面垂直的性质例1、已知ABCD 为矩形，E 为半圆CED 上一点，且平面ABCD 平面CDE ⊥1）求证DE 是AD 与BE 的公垂线2）若AD=DE=AB ，求AD 与BE 所成角的大小。

五种方法求二面角及练习题

- - 优质资料五种方法求二面角及练习题一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D --2.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60，M 在侧棱SC 的中点（1）求二面角S AM B --的余弦值。

二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

1. 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1）证明：直线EE 1//平面FCC 1；（2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

E ABCFE 1A B 1C 1DDABCD A D C B- - 优质资料2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

二面角习题及标准答案

二面角习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

解：DPC A BE DB ASCS R NMO B DPA CB A EC5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。

解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。

解：7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。

解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：D BD ACBAC M N B F E ACDDOA BC10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．（1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；（2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ，又 PC ⊥面ABC ∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°2、解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC ∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角过 C 作 CE ⊥BD 于S则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=DPCA BE DBASCS R N MO B DPA C∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠ 4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ，连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =415∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴ 55S S cos ABD BDE ==θ∆∆ 5. 解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形且MN =a 2，A'C =a 3 ∴Ｓ□AMC'N = 2a 26'AC 21MN =⋅由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即为正方形ABCD ∴ Ｓ□ABCD =2aD B D AC BAC MN∴ 36a 26a cos 221==θ ∴ 36arccos1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，Ｓ□DM'C'M =2a 21 ∴ 66a 26a21cos 222==θ ∴66arccos2=θ 6. 解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ， AB =2， BD =2 在Rt △ABC 中， 23231AB BC AC CE =⨯=⋅=，同理 1222ABBDAD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=21CE AC AE 22=-= ∴ 212112EF =--= ∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222∴ 33cos =θ BF E ACD即所求角的大小为33arccos。

二面角专题训练

二面角专题训练一．解答题（共14小题）1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．2．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．3．如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．4．如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置．（Ⅰ）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A﹣BD﹣C的大小．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，求证：θ+φ=．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（I）证明：CD⊥AE；（II）证明：PD⊥平面ABE；（III）求二面角A﹣PD﹣C的大小．7．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．8．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．9．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．10．如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，，求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角F﹣AD﹣E的平面角的正切值．11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（I）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（II）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．13．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．（1）求证：AD⊥BC．（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知，求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E﹣PC﹣D的大小．二面角专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．中，，故所求二面角的大小为2．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．=ADB=，ADB=，的余弦值为3．如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．BC得同理可得的平面角．的大小4．如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置．（Ⅰ）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A﹣BD﹣C的大小．所以与的大小．由夹角公式求与，所以∠因此只有中，，的坐标为，所以与夹角的大小等于二面角，．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，求证：θ+φ=．，即可得到结论．=D==．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（I）证明：CD⊥AE；（II）证明：PD⊥平面ABE；（III）求二面角A﹣PD﹣C的大小．，可得．中，．的大小是7．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．=的坐标，同时易得，＞，进而由同角三角函，=AC CD=AB==AB BC=V=×=，从而EF=；DEF=的平面角的正切值为，由⊥||=1或（舍），||=1|或（舍），）||=，||=1V=××|||h=（Ⅱ）由（Ⅰ）知（，，）设非零向量=的法向量，则由⊥可得，l+m=0⊥可得，m+，n==，﹣=＜＞=，＞的平面角的正切值为8．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．，PG=BG=，因此二面角的余弦值为9．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．OB=MO=，则，，所以所以，所求二面角的正弦值是10．如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，，求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角F﹣AD﹣E的平面角的正切值．的法向量，则直线=AB．的距离为，知中，，，从而，的平面角的正切值为点为坐标原点，的方向为）可得．即因，解得.②联立①，②解得，所以．得，．即．故，，，11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．BCABAB==所成角的正弦值为12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（I）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（II）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．得，则为平面，，则的余弦值为13．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．（1）求证：AD⊥BC．（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．=BC=ACAB=AC=BC=BM=，MN=CD=，BN=AD=BMN= BMN=arccos=x=CE=14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知，求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E﹣PC﹣D的大小．：PD=，，，的大小为．。

二面角专题训练

二面角专题训练一．解答题（共14小题）1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．2．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．3．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE （Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．4．如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置．（Ⅰ）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A﹣BD﹣C的大小．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，求证：θ+φ=．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（I）证明：CD⊥AE；（II）证明：PD⊥平面ABE；（III）求二面角A﹣PD﹣C的大小．7．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．8．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．9．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．10．如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，，求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角F﹣AD﹣E的平面角的正切值．11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC 上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（I）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（II）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．13．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．（1）求证：AD⊥BC．（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知，求：（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E﹣PC﹣D的大小．。

二面角1练习及答案

二面角练习1班级姓名1.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A．互为余角B．相等C．其和为周角D．互为补角【答案】D【解析】画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.2.如图，四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V－AB－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°【答案】C【解析】如图所示，由题意可得四棱锥V－ABCD是正四棱锥，连接AC，BD，相交于点O，连接VO，则VO⊥平面ABCD.取AB的中点M，连接VM，OM，则AB⊥OM，∴AB⊥VM.∴∠OMV是二面角V－AB－C的平面角．由正方形可得OB＝BD＝×2＝，∴VO＝＝.在Rt△VOM中，tan∠VMO＝＝＝，∴∠VMO＝60°.3.如图在长方体中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】连接AC，交BD于点O，连接OC1，⊥平面ABCD，因为ABCD为正方形，则AC⊥BD，又CC所以CC1⊥BD，则BD⊥平面CC1O，所以BD⊥OC1，所以∠COC1是二面角C1－BD－C的平面角．又OC＝AC＝×AB＝.在Rt△OCC1中，CC1＝，所以tan∠COC1＝＝，所以∠COC1＝30°，故选A.4.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】取AC的中点E，取CD的中点F，连接BE，EF，BF.∵△BCD为等边三角形，F为CD中点，∴CD⊥BF.∵CD＝AD＝1，AC＝，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD⊥AD.又EF∥AD，∴EF⊥CD.∴∠EFB为A－CD－B的平面角．又EF＝，BE＝，BF＝，∴△BEF为直角三角形，cosθ＝＝.5.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】A【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形．设AD＝a，则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，所以∠B′DC＝90°.6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°7.若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为________．【答案】90°【解析】取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.8.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45°，则棱AA的长为________；二面角B－DD1－C的大小为________．【答案】45°【解析】因为ABCD是边长为1的正方形，所以对角线BD＝.又因为D1B与平面ABCD所成的角为45°，即∠D1BD＝45°.所以AA1＝DD1＝.由于CD⊥DD1，BD⊥DD1.所以二面角B－DD1－C的平面角为∠CDB.又因为△CDB为等腰直角三角形，所以二面角B－DD1－C的平面角∠CDB＝45°.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成的二面角C1－AB－C的大小为________．【答案】45°【解析】∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°.10.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为________．【答案】【解析】如图所示，由二面角的定义，知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝，∴∠BOD＝60°.∴cos∠BCD＝.11.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，【答案】1【解析】∵AB⊥平面BC∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1. 12.如图，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的余弦值.13.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.14.如图，已知VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝a.(1)求平面ABC和平面ABV所成的二面角的余弦值；(2)求三棱锥V－ABC的体积．【答案】(1)∵VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝a，∴AB＝BC＝AC＝a，∴S△ABV＝a2，S△ABC＝a2.∴平面ABC和平面ABV所成的二面角的余弦值为＝.(2)三棱锥V－ABC的体积为××a×a×a＝a3.15.如图所示，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．【答案】如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴设AO＝a，则AC＝a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝＝a，∴AD＝＝＝.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝，∴∠ADO＝60°.即二面角A－BC－O的大小是60°.16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动. (1)证明：DE⊥A1D；(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？。

(完整)二面角习题及答案

二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解2。

如图在三棱锥 S —ABC 中,SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱,BDE 与BDC 解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4,M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直,且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =，求二面角 A-BD —C 的余弦值。

解：ABAC5.已知正方体 AC ’,M 、N 分别是BB ’，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D ’D 所成的角. 解：6。

如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。

解：7。

三棱锥 A —BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6,AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。

解：9。

如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD,PC ＝a ，E 是PA 的中点。

（1）求证平面BDE ⊥平面ABCD 。

（2)求点E 到平面PBC 的距离。

(3）求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：10。

如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC上,G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21,D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.D ’B ’DAC ’BA ’CMNBF EACDDOABC11。

二面角练习题

二面角练习题1、在三棱锥P-ABC中，已知PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC，点E、F分别是PC、XXX的中点．我们需要证明两个结论：Ⅰ）PC⊥平面BEF；Ⅱ）二面角A-EB-F的大小等于120°。

为证明（Ⅰ），我们可以通过三角形的性质来解决。

首先连接PE、PF，因为PE、PF分别是三角形PBC、PAC的中线，所以PE=PF=1/2BC=1/2AC。

又因为PB=BC=AC，所以△PBE和△PBF是等腰三角形，∠PBE=∠PBF。

又因为EF是△PBE和△PBF的中线，所以EF⊥PB，即EF⊥平面ABC。

又因为BE⊥平面ABC，所以PC⊥平面BEF。

为证明（Ⅱ），我们可以利用向量的知识，设向量PA=a，向量PB=b，则向量PC=a+b。

由于PB⊥平面ABC，所以向量PB在平面ABC上的投影为0，即b在平面ABC的法向量上。

又因为AC⊥BC，所以向量AC在平面ABC的法向量上，且向量AC与向量b的夹角为60°。

因此，向量PC在平面ABC的法向量上的投影为a的模长乘以cos60°，即PC在平面ABC的法向量上的投影为1/2PA。

由于PE、PF分别是△PAC、△PBC的中线，所以PE=PF=1/2PA=1/2PC。

因此，向量PE和向量PF在平面BEF上的投影相等，即二面角A-EB-F的大小等于120°。

2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知O是AC、BD的交点，E、F分别是AB、AD的中点。

我们需要证明三个结论：1）直线OD1与直线A1C1垂直；2）异面直线EF与A1C1所成角的大小等于60°；3）二面角B-AC-D1的大小等于90°。

为证明（1），我们可以利用向量的知识。

设向量OA1=a，向量OC1=b，则向量OD1=a+b。

因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量OA1和向量OC1垂直且长度相等，所以向量OA1和向量OC1的夹角为90°。

线面角、二面角练习(含答案)

(D) 证明 , 4B L PD; G)若 P4 = PD = AB, /APD = 90“, 设 Q 为 PB 中点 , 求直线 4Q 与平面 PBC 所成角的余弦值
.(10分 ) 如图 , 在四楂锥 P 一 4BC 丁中 , 底面 4BC是D矩形 ,M7 是 P4 的中点 ,PD 平 _ 面 4L BCD,
心的 M L DN, 即异面直线 4M 与 DN 所成角大小为 90., 故选 D.
2. ( AP4D 为直角三角形 , 且 P4 = 4D, …LP4D 二 90., 即 P4 L 4D, 四边形 4B8为C正 D方形 , - DA L BA, N PANBA= 4, P4 c 面 P4B,PB C 面 P4B,
A. 307
B. 45°
二、解答题 ( 共 14 小题 , 每小题 10 分 , 共 140分 )
C. 60°
D. 90°
2.(分1) 0如图 , 平面 P4D L 平面 4BCD,4B为 C正D方形 ,AP 是 4 直角D 三角形 , 且 P4 = 4D 二 2, E
、友、G 分别是线段 P4、PD、CD 的中点。
(D) 证明 , PB平 |面 4BC ) 设二面角 D - 4F - C 为 60“,=4P 1,4一Dv, 求三棒锥丁一 4CD 的体积 .
三、填空题 ( 共 1 小题 ,每小题 5 分 , 共 5 分 )
16.(5 分 ) 已知长方体 A4BCD 一 4 BCLD 中 ,4B 万 2,4D = AA; 三 1, 则的线 BDu 与平面