直线方程的点斜式
3.2.1直线的点斜式方程
1)k tan y2 y1 2)k x2 x1
注意：
( 90 )
0
( x2 x1 )
不是所有的直线都有斜率， 斜率不存在的直线为与 x 轴垂直的直线
平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜 率分别为k1、k2，有 l1∥l2 k1＝k2.
1.点斜式方程
小结
y y0 k ( x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况 ①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2
（） 1 l1 // l2 k1 k2 , 且b1 b2 .
（2）l1 l2 k1 k2 1
y b k ( x 0)
y kx b
斜率 截距
斜截式
说明:(1)当知道斜率和截距时用斜截式.
(2)斜率k要存在，纵截距b∈R.
思考
1.截距b是距离吗？ 不是，是数
2.截距与距离有什么区别？ 截距为实数，可正，可负，可为零， 而距离是大于等于零的实数. 3.b的几何意义是什么？ 与y轴交点的纵坐标
（2）l1 l2 k1 k2 1
判断下列各直线是否平行或垂直
1 (1) l1 : y x 3 2 5 (2) l1 : y x 3 1 l2 : y x 2 2 3 l2 : y x 5
(1)求经过点(1,1)，与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
直线的方程点斜式
3.2.1直线的点斜式方程复习回顾若),(),,(222111y x P y x P (x 1≠x 2)，则直线21P P 的斜率为 .若x 1=x 2，则直线21P P 的斜率 .问题情境问题1 过已知点A (−1，3)的直线有多少条？斜率为−2的直线有多少条？过已知点A (−1，3)，且斜率为−2的直线有多少条？问题2 确定一条直线需要哪几个独立条件？探究：若直线l 经过点A (−1，3)，斜率为−2，点P 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(x ，y )应满足什么样条件?知识点1直线的点斜式方程:思考1：直线l 上的每个点的坐标都满足这个方程吗？反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上吗？思考2：点斜式方程能表示平面内所有的直线吗?注：（1）当直线l 与x 轴垂直时，方程是 。
（2）当直线l 与y 轴垂直时，方程是 。
知识点2直线的斜截式方程:注： (1)斜截式给出了直线与y 轴交点坐标 ；(2) “b ”是 ；“b ”的取值范围 .(3)斜截式方程、点斜式方程适用范围： ；巩固训练例1.(1)经过点P （2，-3），且与x 轴垂直的直线的方程为 .(2)经过点P （2，-3），且与y 轴垂直的直线的方程为 .(3)已知直线经过点P (−2，3)，斜率为2，求这条直线的方程．例2已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是P （0，b ），求直线l 的方程.练习1：根据下列条件，分别写出直线的方程：(1) 经过点(4，−2)，斜率为3；(2) 斜率为−2，在y 轴上的截距为−2；(3)斜率为2，与x 轴的交点的横坐标为−1.练习2.当k 取任何实数值时，(1)直线y =kx +5恒过点 .(2)直线y −2=k (x −4)恒过点 .(3)直线y =k (x +5)恒过点 .练习3.直线y =k (x +1)(k >0)的图象可能是（ ）思考题：如果给出直线上不同的两点，我们如何求此直线的方程？。
高中数学课件 直线的点斜式方程
解.
【解析】(1)由斜率公式得 k l 因为l与l′平行，所以kl=-2．
24 2， 3 (4)
由直线的点斜式方程得y+3=-2(x-2). 即y=-2x+1.
1 (2)因为直线l′的斜率为k=-2，l与l′垂直，所以kl= ，由 2 直线的点斜式方程得y+3= 1 (x-2). 2 即y= 1 x-4. 2
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”).
(1)任何一条直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(
(2)斜截式y=kx+b可以表示斜率存在的直线.( )
)
(3)直线y=2x-1在y轴上的截距为1.(
)
)
(4)斜率为0的直线不能用直线的点斜式表示.(
提示：(1)错误.垂直于x轴的直线斜率不存在,故不能用点斜
【解析】(1)由直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可知，直线l
的斜率为k=3．
答案：3
(2)直线l的倾斜角为60°，所以直线的斜率k= 3 ，又直线l
在y轴上的截距为-2，所以直线l的斜截式方程为y=
答案：y= 3 x-2
3x-2．
(3)根据直线l的点斜式方程是y- 3 =2(x-1)， 令x=0，得y= 3 -2，故该直线的纵截距为 3 -2． 答案： 3 -2 (4)设所求直线的方程为y=kx+b，则k=- 3 ，把点(1,2)代入
2 与y轴的交点为(0,1)，则a=_______,b=_______. b 1 2.已知直线l与直线y=- x+1垂直，且与直线y=3x+5在y轴上 2
的截距相同，求直线l的方程.
【解题指南】1．根据两直线的位置关系，得出所求直线的斜 率，进而可用所求直线与y轴的交点，得出直线在y轴上的截 距，列方程组求解． 2.由两直线垂直知两直线的斜率之积等于-1，可求得l的斜率；
直线的点斜式方程
¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； （2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.【例2】已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. ¤例题精讲：【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.两点间的距离¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PP k x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.¤例题精讲：y x B (-c ,0) A (a ,b ) C (c ,0) O【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --，半径长为22142D E F +-的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B ++=+，比较d与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式0022||Ax By C d A B ++=+¤例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 .【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-； ¤例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.课后练习 一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A 第一二三象限B 第一二四象限C 第一三四象限D ．第二三四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在6若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
直线的点斜式方程知识讲解
变式：已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为 y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同， 求直线l的方程。
练习
4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
55
kl 23 2
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
试讨:(1论 )l1∥ l2的条件是 ? 什么
(2l1)l2的条件是 ? 什么
l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2
l1 ∥ l2 k1 k2 ,且b1 b2 l1 l2 k1 k2 1
练习
判断下列各直线是否平行或垂直
(1)
l1
:
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
x
3
1 l2 : y 2 x 2
P1 °°5
-°5 O
x
练习
1、写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过 A(3,1),斜率是 2 (2)经过 B( 2,2),倾斜角 300是 (3)经过 C(0,5),倾斜角 00是
(1) y 1 2 ( x 3)
(2) y 2 3 ( x 2 ) 3
(3) y 5
练习
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角：
(一)直线的点斜式方程
(1)直角坐标系内确定一条直线的几何要素？
(2)在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 l经过
的一个点 P0 x0,y0 和斜率 k ，能否将直线上所
有的点的坐标 x, y 满足的关系表示出来呢？
y
直线的点斜式方程(公开课)
直线方程种类
两点式方程
通过两点确定一条 直线。
截距式方程
通过 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距确定一 条直线。
点斜式方程
通过一点和斜率确 定一条直线。
斜截式方程
通过斜率和 $y$ 轴 上的截距确定一条 直线。
一般式方程
通过任意两个不共 线的点确定一条直 线。
点斜式方程概念
点斜式方程是一种特殊的直线方程， 它通过一点 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$ 来确定一条直线。
垂直
如果两条直线的斜率互为负倒 数，则它们垂直。
04
点斜式方程在生活实际问题 中应用
路程、速度、时间问题
01
路程问题
利用点斜式方程，可以根据已知的起点和终点，以及两点之间的斜率
（速度）来求解物体移动的路程。
02 03
速度问题
在直线运动中，速度可以表示为位移（路程）与时间的比值。通过点斜 式方程，我们可以根据已知的两点（起点和某一时刻的位置）来求解物 体的平均速度或瞬时速度。
使用点斜式方程
将已知的点和斜率代入点斜式方程 y - y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 是已知点的坐标，m 是斜率。
求解方程
通过代入 x 的值，可以求得对应的 y 值，从而得到直线上的其他点。 连接这些点即可绘制出直线。
判断点是否在直线上
已知直线方程和一个点的坐标，将点 的坐标代入直线方程。
02
03
04
利用斜率公式，$k = frac{y_2 - y_1}{x_2 x_1}$，计算直线的斜率。
当$x_1 = x_2$时，直线 垂直于x轴，斜率不存在。
当$x_1 neq x_2$时， 利用斜率公式计算得到 斜率。
直线的点斜式方程、直线的两点式方程】
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是00y y -=,或0y y =.当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =.深度剖析（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.（2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线.2．直线的点斜式方程的推导如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得y y k x x -=- (1),即00()y y k x x -=-(2).注意方程(1)与方程(2)的差异：点0P 的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点0P 不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l 的方程.上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点0P ,斜率为k 的直线l 的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义我们把直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的如果直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则方程为(0)y b k x -=-，即 叫做直线的 ，简称当b =0时，y kx =表示过原点的直线；当k =0且b ≠0时，y b =表示与x 轴平行的直线；当k =0且b =0时，0y =表示与x 轴重合的直线.深度剖析（1）纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y 轴平行时.（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y 轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.2．直线的斜截式方程的推导已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，求直线l 的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0)y b k x -=-,即y kx b =+. 三、直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y ,当1212,x x y y ≠≠时，直线l 的方程为 .这个方程是由直线l 上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 2．直线的两点式方程的推导已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y ≠≠)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的当12x x ≠时，所求直线的斜率2121y y k x x -=-任取12,P P 中的一点，例如取111(,)P x y ，由点斜式方程，得211121()y y y y x x x x --=--当12y y ≠时，可写为112121y y x x y y x x --=--.四、直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b (0,0a b ≠≠)，则由直线的两点式方程可以得到直线l 的方程为 ___________.我们把直线l 与x 轴的交点的横坐标a 叫做直线在x 轴上的_____________，此时直线在y 轴上的截距是 ___________.这个方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 和b 确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，如图，其中0,0a b ≠≠.将两点(,0)A a ,(0,)B b 的坐标代入两点式，得000y x a b a --=--,即1x ya b+=. 五、中点坐标公式若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，且线段12P P 的中点M 的坐标为(,)x y ,则____________________x y =⎧⎨=⎩.此公式为线段12P P 的中点坐标公式. 六、直线系方程 1．过定点的直线系方程当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-.由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ,当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =. 2．平行直线系方程在斜截式方程(0)y kx b k =+≠中，若k 一定，而b 可变动，方程表示斜率为k 的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.K 知识参考答案：一、00()y y k x x -=- 点斜式方程 点斜式 二、截距 y kx b =+ 斜截式方程 斜截式三、112121y y x x y y x x --=--四、1x ya b+= 截距 b 五、122x x + 122y y +K —重点直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，根据直线方程判定两直线的平行与垂直K —难点直线系问题、直线方程的综合应用K —易错忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错1．直线的点斜式方程用点斜式求直线的方程，确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解. 【例1】已知点(3,3)A 和直线l ：3542y x =-.求： （1）过点A 且与直线l 平行的直线方程； （2）过点A 且与直线l 垂直的直线方程.【例2】已知在第一象限的△ABC 中,A (1,1),B (5,1),且∠CAB =60°,∠CBA =45°,求边AB ,AC 和BC 所在直线的点斜式方程.【解析】由A (1,1),B (5,1)可知边AB 所在直线的斜率为0,故边AB 所在直线的方程为y -1=0.由AB ∥x 轴,且△ABC 在第一象限，知边AC 所在直线的斜率k AC =tan 60°=,边BC 所在直线的斜率k BC =tan(180°-45°)=-1,所以,边AC 所在直线的方程为y -1=(x -1),边BC 所在直线的方程为y -1=-(x -5).2．直线的斜截式方程根据斜率和截距的几何意义判断k ，b 的正负时，（1）0k >直线呈上升趋势；0k <直线呈下降趋势；0k =直线呈水平状态.（2）0b >直线与y 轴的交点在x 轴上方；0b <直线与y 轴的交点在x 轴下方；0b =直线过原点. 【例3】已知直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,且在y 轴上的截距为5,求直线l 的斜截式方程,并画出图形.【解析】因为直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,所以直线l 的斜率为-2. 又直线l 在y 轴上的截距为5,所以直线l 的斜截式方程为y =-2x+5. 在直线l 上取一点(1,3),作出图形如图所示.【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形. 【例4】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程.3．直线的两点式方程已知直线上两点的坐标求解直线方程，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意当直线平行于坐标轴或与坐标轴重合时，不能用两点式求解.【例5】已知三角形的三个顶点Α(－4，0)，B (0，－3)，C (－2，1)，求： (1)BC 边所在的直线的方程； (2)BC 边上中线所在的直线的方程.4．直线的截距式方程（1）由已知条件确定横、纵截距.（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式1x ya b+=中，可得所求的直线方程．（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 【例6】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．【解析】设直线的方程为1x ya b+=，则，①又直线过点，∴341a b-+=，② 由①②得93a b =⎧⎨=⎩或416a b =-⎧⎨=⎩. ∴直线的方程为193x y +=或1416x y+=-，即或．5．中点坐标公式的应用（1）利用中点坐标公式可求以任意已知两点为端点的线段的中点坐标.（2）从中点坐标公式可以看出线段12P P 中点的横坐标只与12,P P 的横坐标有关，中点的纵坐标只与12,P P 的纵坐标有关.【例7】已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y += B ．425x y -= C ．25x y += D ．25x y -=【答案】B【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(,)22++，即3(2,)2.故所求直线方程为732372322y x --=--，整理，得4250x y --=，故选B. 6．直线过定点问题本题考查了直线过定点的问题，实际上就是考查直线方程的点斜式，同时要利用数形结合的思想解题. 若直线存在斜率，则可以把直线方程化为点斜式00()y y k x x -=-的形式，无论直线的斜率k 取何值时，直线都过定点00(,)x y .【例8】已知直线:21l y kx k =++. （1）求证：直线l 过一个定点；（2）当33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．【解析】（1）由21y kx k =++，得1(2)y k x -=+．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(2,1)-． （2）设函数()21f x kx k =++，显然其图象是一条直线(如图)，若使33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，需满足(3)0(3)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即32103210k k k k -++≥⎧⎨++≥⎩,解得115k -≤≤. 所以实数k 的取值范围是115k -≤≤.7．直线的平移规律直线y kx b =+上下(或沿y 轴)平移(0)m m >个单位长度，得y kx b m =+±(上加下减)；直线y kx b =+左右(或沿x 轴)平移(0)m m >个单位长度，得()y k x m b =±+(左加右减).【例9】已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线2l ，则直线2l 的方程为 . 【答案】27y x =+【解析】根据直线的平移规律，可得直线2l 的方程为2(4)32y x =+-+，即27y x =+. 8．点斜式和斜截式的实际应用由直线的斜截式方程与一次函数的表达式的关系，利用一次函数的图象和性质求出直线方程，可以解决实际问题.9．忽略了直线重合的情形致错【例11】已知直线12:60,:(2)320l x my l m x y m ++=-++=，当12l l ∥时，求m 的值【错解】∵2l 的斜率223m k -=-，12l l ∥，∴1l 的斜率1k 也一定存在， 由1l 的方程得11k m =-,由12k k =,得213m m--=-解得3m =或1m =-∴m 的值为3或1-【错因分析】忽略了直线重合的情况，从而导致错误.【误区警示】当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，做题时容易忽略纵截距不相等，从而导致错解10．忽略直线方程的局限性致错【例12】求经过点(2,3)P ，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程. 【错解】设直线方程为1x y a a +=,将2,3x y ==代入，得231a a+=,解得5a =. 故所求的直线方程为50x y +-=.【错因分析】截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽略，导致漏解.【正解】（1）当截距为0时，直线l 过点(0,0),(2,3)， ∵直线l 的斜率为303202k -==-, ∴直线l 的方程为32y x =,即320x y -=. （2）当截距不为0时，可设直线l 的方程为1x ya a+=,∵直线l 过点(2,3)P ，∴231a a+=，∴5a =， ∴直线l 的方程为50x y +-=.综上，直线l 的方程为320x y -=或50x y +-=.【误区警示】不同形式的方程均有其适用条件，在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且不垂直于坐标轴.1．经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是 A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y －2＝3(x ＋2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y ＋2＝3(x －2)2．直线的方程00()y y k x x --= A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 3．直线1x ya b+=过一、二、三象限，则 A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜04．直线1y ax a=-的图象可能是5．与直线21y x =+垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A ．142y x =+ B ．y =2x ＋4 C ．y =−2x ＋4D ．142y x =-+ 6．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为 A ．143x y+= B ．143x y-= C ．134x y+= D ．136x y-= 7．已知直线l 1过点P (2，1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为 ． 8．直线32()y ax a a =-+∈R 必过定点 ． 9．斜率与直线32y x =的斜率相等，且过点(4,3)-的直线的斜截式方程是 . 10．已知△ABC 中,A (1,-4),B (6,6),C (-2,0),则△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的两点式方程是 .11．写出下列直线的点斜式方程:(1)经过点A (2,5),且与直线y =2x+7平行; (2)经过点C (-1,-1),且与x 轴平行.12．已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 13．已知的顶点是，，．直线平行于，且分别交边、于、，的面积是面积的14．(1)求点、的坐标； (2)求直线的方程．14．两直线1x y m n -=与1x yn m-=的图象可能是图中的A B C D15．若直线l 1:y =k (x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(-2,4)D ．(4,-2)16．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+= . 17．已知直线l 过定点A (−2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．1 2 3 4 5 6 14 15 BDCBDBBB1．【答案】B【解析】k ＝tan60°＝3，则点斜式方程为y －2＝3(x ＋2)．5．【答案】D【解析】因为所求直线与y =2x ＋1垂直，所以设直线方程为12y x b =-+.又因为直线在y 轴上的截距为4，所以直线的方程为142y x =-+. 6．【答案】B【解析】易知A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则所求直线的方程为143x y-=. 7．【答案】y －1＝－(x －2)【解析】根据题意可知直线l 1的斜率为−1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)． 8．【答案】(3，2)【解析】将直线方程变形为y −2=a (x −3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．9．【答案】392y x =+ 【解析】因为所求直线的斜率与直线32y x =的斜率相等，所以所求直线的斜率32k =.又直线过点(4,3)-，所以直线方程为33(4)2y x -=+，所以直线的斜截式方程为392y x =+.11．【解析】(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).(2)由题意知,直线的斜率k =tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y =-1. 12．【解析】由题意知，直线l 的斜率为32，故可设直线l 的方程为32y x b =+，所以直线l 在x 轴上的截距为23b -，在y 轴上的截距为b ，所以213b b --=，35b =-，所以直线l 的方程为3325y x =-. 13．【解析】(1)因为，且的面积是面积的14，所以、分别是、的中点，由中点坐标公式可得点的坐标为502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的坐标为722，⎛⎫ ⎪⎝⎭．(2)由两点式方程，可知直线的方程为502752022y x --=--，即．14．【答案】B【解析】由1x y m n -=，得y ＝n m x －n ；由1x y n m -=，得y ＝mnx －m ，即两条直线的斜率同号且互为倒数，故选B. 15．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x-4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).16．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.。
7.2(1)直线的方程-点斜式,斜结式
直线的方程
——点斜式、斜截式
1.点斜式
已知直线l经过点P ( x0 , y0 ), 斜率为k , 0 求直线l的方程
设 P ( x , y ) 是直线 l 上不同于 P0的任意一点
由斜率公式得：
y
l
k
y y0 x x0
0
P
化简为
P0
x
y y0 k ( x x0 )
条件 过点( x0,y0), 斜率为k
方程
应用范围
k存在 y y k ( x x ) 不含与x轴 点斜式 垂直的直线 斜截式 在y轴上的截距 同上 y kx b 为b,斜率为k
0 0
注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率 存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率 不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解。
直线方程的点斜式
y y0 k ( x x0 )
直线的倾斜角为00时， 0 . k 此时直线的方程是 y y 0
直线的倾斜角为900时，没有斜率
此时直线的方程是
x=x0
例1 直线l 经过点P1（-2, 3）， 倾斜角α=45º ，求这条直线的 方程，并画出图形。
解： 这条直线经过点
（分析：求直线l的斜率）
解：设直线 x 4 y 3 0的倾斜角为
则直线 l 的倾斜角为 2 1 又 tan , ( 90 ) 4 2 tan 8 k tan 2 2 1 tan 15
直线 l的方程为 :y2 8 15 ( x 3)
代入点斜式，得
P ( 2，), 斜率为 k tan 45 1 3
0
y3 x2
直线的点斜式方程
1.2.1 直线的点斜式方程 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 导语斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．已知某一斜拉索过桥塔上一点B ，那么该斜拉索的位置确定吗？一、直线的点斜式方程问题1 给定一个点P 1(x 1，y 1)和斜率k (或倾斜角)就能确定一条直线．怎样将直线上不同于P 1的所有点的坐标P (x ，y )满足的关系表达出来？提示 k ＝y －y 1x －x 1. 知识梳理我们把方程y －y 1＝k (x －x 1)称为过点P 1(x 1，y 1)，斜率为k 的直线l 的方程．方程y －y 1＝k (x －x 1)叫作直线的点斜式方程．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x 轴平行或重合时，方程可简写为y ＝y 1.特别地，x 轴的方程是y ＝0；当直线与y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x ＝x 1.特别地，y 轴的方程是x ＝0. 例1 写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，求直线l 的点斜式方程；(3)经过点C (－1，－1)，且与x 轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．解(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.所以直线的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程. 反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外．跟踪训练1求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝33x的倾斜角的2倍；(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解(1)∵直线y＝33x的斜率为33，∴直线y＝33x的倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 3.∴所求直线方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－23－3＝0.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x ＝5.(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1. ∵直线过点P (－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y －3＝－(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.二、直线的斜截式方程问题2 直线l 上给定一个点P 0(0，b )和斜率k ，求直线l 的方程．提示 y ＝kx ＋b .知识梳理1．直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 称为直线l 在y 轴上的截距．2．把方程y ＝kx ＋b 叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别：当k ≠0时，y ＝kx ＋b 为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数．故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5；(3)过点A (－1，－2)，B (－2,3)．解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y ＝3x －3.(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k ＝tan 60°＝3，由斜截式可得方程为y ＝3x ＋5.(3)斜率为k ＝3＋2－2＋1＝－5，由点斜式得y －3＝－5(x ＋2)，化为斜截式为y ＝－5x －7. 反思感悟 求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 跟踪训练2 (1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程； (3)已知直线l 的方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率、在y 轴上的截距以及与y 轴交点的坐标． 解 (1)易知k ＝－1，b ＝－2，故直线的斜截式方程为y ＝－x －2.(2)由于直线的斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化成斜截式为y ＝－43x ＋4. (3)直线方程2x ＋y －1＝0可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k ＝－2，在y 轴上的截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1)．三、点斜式直线方程的应用例3 (1)已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( )A ．(1,3)B ．(－1，－3)C ．(3,1)D ．(－3，－1)答案 C解析 直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．(2)直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 令x ＝0，得y ＝k .令y ＝0，得x ＝－2k .所以12|k |·|－2k |≥1，即k 2≥1. 所以k ≤－1或k ≥1.反思感悟 (1)注意对参数的分类讨论，在同一坐标系中作两条曲线，确定一条，判断另一条．(2)在求面积时，要将截距转化为距离．跟踪训练3 (1)若y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)有两个公共点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．a ＝1D ．0<a <1或a >1答案 A 解析 y ＝x ＋a (a >0)表示斜率为1，在y 轴上的截距为a (a >0)的直线，y ＝a |x |表示关于y 轴对称的两条射线．所以当0<a ≤1时，只有一个公共点，如图①；当a >1时，有两个公共点，如图②.(2) 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程． 解 设直线l 的斜截式方程为y ＝16x ＋b ， 则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12|b |·|－6b |＝3，即b 2＝1， 所以b ＝±1.从而所求直线l 的方程为y ＝16x －1或y ＝16x ＋1.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．方程y ＝k (x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线答案 C解析 易验证直线过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴．2．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( )A ．9B ．－9 C.274 D ．－274答案 B解析 由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.3．已知直线l 的倾斜角为60°，且在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为() A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2答案 D解析 ∵α＝60°，∴k ＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y ＝3x －2.4．若直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.1．已知一直线经过点A (3，－2)，且与x 轴平行，则该直线的方程为( )A ．x ＝3B ．x ＝－2C ．y ＝3D ．y ＝－2答案 D 解析 ∵直线与x 轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y ＝－2.2．若直线l 的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l 的方程是( )A ．y －1＝xB ．y ＋1＝xC ．y －1＝－xD ．y ＋1＝－x答案 B解析 ∵直线l 的倾斜角为45°，∴直线l 的斜率为1，又∵直线l 过点(0，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝x .3．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( )A ．60°，2B ．120°，2－ 3C ．60°，2－ 3D ．120°，2 答案 B解析 该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.4．直线y ＝ax ＋1a (a ≠0)的图形可能是( )答案 B解析 直线y ＝ax ＋1a (a ≠0)的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a.当a >0时，直线在y 轴上的截距1a >0，此时直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限；当a <0时，直线在y 轴上的截距1a<0，此时直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，只有选项B 符合． 5．(多选)直线(m 2＋2m )x ＋(2m 2－m ＋3)y ＝4m ＋1在y 轴上的截距为1，则m 的值可以是( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2 答案 CD解析 令x ＝0，得y ＝4m ＋12m 2－m ＋3. 由已知得4m ＋12m 2－m ＋3＝1，则4m ＋1＝2m 2－m ＋3，即2m 2－5m ＋2＝0，解得m ＝2或m ＝12，经检验，符合题意．6．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．R C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则3－2k ≤0，∴k ≥32. 7．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________． 答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6解析 因为直线与y 轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3，又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.8．已知两点A ⎝⎛⎭⎫12，－1，B ⎝⎛⎭⎫1，12，则直线AB 的斜率k 的值是______，直线AB 在y 轴的截距是______．答案 3 －52解析 根据题意，直线AB 上的两点A ⎝⎛⎭⎫12，－1，B ⎝⎛⎭⎫1，12， 则直线AB 的斜率k ＝12－(－1)1－12＝3， 则直线AB 的方程为y －(－1)＝3⎝⎛⎭⎫x －12，变形可得y ＝3x －52， 则直线AB 在y 轴的截距是－52. 9．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程． 解 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2.令y ＝0，得x ＝2k －2k， 由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2. 解得k ＝12. 可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)． 综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)． 10．已知△ABC 的三个顶点都在第一象限内，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝45°，∠B ＝45°.求：(1)直线AB 的方程；(2)直线AC 和BC 的方程．解 (1)因为A (1,1)，B (5,1)，所以直线AB 平行于x 轴，所以直线AB 的方程为y ＝1.(2)由题意知，直线AC 的倾斜角为∠A ＝45°，所以k AC ＝tan 45°＝1.又直线AC 过点A (1,1)，所以直线AC 的方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .同理可知，直线BC 的倾斜角为180°－∠B ＝135°，所以k BC ＝tan 135°＝－1.又直线BC 过点B (5,1)，所以直线BC 的方程为y －1＝－1×(x －5)，即y ＝－x ＋6.11．已知直线l 不经过第三象限，设它的斜率为k ，在y 轴上的截距为b (b ≠0)，则( )A ．kb <0B ．kb ≤0C ．kb >0D ．kb ≥0答案 B 解析 当k ≠0时，∵直线l 不经过第三象限，∴k <0，b >0，∴kb <0.当k ＝0，b >0时，l 也不过第三象限，∴kb ≤0.12．—次函数y ＝－m n x ＋1n的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0 答案 B解析 ∵直线y ＝－m n x ＋1n经过第一、三、四象限， ∴－m n >0，1n<0， ∴m >0，n <0，此为充要条件．因此，其必要不充分条件为mn <0.13．(多选)下列结论正确的是( )A ．方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线 B ．直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1C ．直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1D ．所有的直线都有点斜式和斜截式方程答案 BC解析 对于A ，方程k ＝y －2x ＋1表示的直线不含点(－1,2)，所以A 错误；B ，C 显然正确；对于D ，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D 错误．14．将直线y ＝x ＋3－1绕其上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是_________________.答案 y －3＝3(x －1)解析 由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)， ∴由直线的点斜式方程可得y －3＝3(x －1)．15．已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的倾斜角为直线y ＝14x ＋34的倾斜角的2倍，则直线l 的点斜式方程为____________________．答案 y －1＝815(x －2) 解析 由y ＝14x ＋34，得斜率为14， 设直线y ＝14x ＋34的倾斜角为α，直线l 的倾斜角为β，斜率为k ， 则tan α＝14，k ＝tan β＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 又直线l 过点P (2,1)，所以直线l 的点斜式方程为y －1＝815(x －2)． 16．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．(1)证明 由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．(2)解 设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0， 解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.。
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
②如图乙,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线不能用点斜式表
示,其方程为x-x0=0或x=x0.
-4-
3.2.1 直线的点斜式方程
12
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【做一做1】 若直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率 是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3 解析:直线l经过点(-1,2),且斜率为3. 答案:C
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5=4(x-2). (2)直线的倾斜角为45°,则此直线的斜率k=tan 45°=1. 故直线的点斜式方程为y-3=x-2. (3)直线与x轴平行,则倾斜角为0°,斜率k=0.
所以直线的斜率为 − 3.
3
故所求直线的点斜式方程为
y+1=−
3 (������
3
−
2).
(3)因为直线与y轴垂直,所以倾斜角为0°,
即斜率k=0.故所求直线的点斜式方程为y=-2.
-12-
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求直线的斜截式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
题型一 题型二 题型三
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正解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-2.
直线的点斜式方程 课件
探究点二 根据斜截式求直线方程
1.用直线的斜截式方程求直线方程需满足两个条件：即直 线的斜率和直线在y轴上的截距．
2．对斜截式方程的理解： (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y
＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平 行(或重合)的直线． (2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐 标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而 距离是一个非负数．
3．2.1 直线的点斜式方程
1．直线的点斜式和斜截式
点斜式
斜截式
已知 条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b
方程 y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
点斜式
斜截式
图形
适用 不适合期与x轴垂直的 不适合与x轴垂直 的
Hale Waihona Puke 范围 直线直线“截距”与“距离”是否是一回事？
提示：不是一回事．截距是直线与坐标轴交点的横坐 标或纵坐标，因此截距可正、可负，也可为零，而距 离永远非负．
[正解] 当 a＝5 时，直线方程是 x＝5； 当 a≠5 时，k＝5a－ －15＝a－4 5，又直线过点(5,1)， 所以直线方程是 y－1＝a－4 5(x－5)， 即 4x＋(5－a)y＋(a－25)＝0. 所以所求方程应为 4x＋(5－a)y＋(a－25)＝0(a≠5) 或 x＝5(a＝5)．
(1)斜率存在的直线，可写成点斜式y－y0＝k(x－x0)； (2)斜率不存在的直线，不能写成点斜式，方程为x＝x0.
已知直线l过点A(2，－3)． (1)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′平行，求其方程； (2)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′垂直，求其方程． [提示] 首先由斜率公式求出直线l′的斜率，再由直线平行 与垂直的条件求出直线l的斜率，最后由点斜式写出直线方 程．
知识讲解_直线的点斜式与两点式_基础
直线的点斜式与两点式方程要点一：直线的点斜式方程方程)(00x x k y y -=-由直线上一定点及其斜率决定，我们把)(00x x k y y -=-叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.要点诠释：1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线；2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为1y y =；3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1x x =.4.00y y k x x -=-表示直线去掉一个点),(000y x P ；)(00x x k y y -=-表示一条直线. 要点二：直线的斜截式方程如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，根据直线的点斜式方程可得)0(-=-x k b y ，即b kx y +=.我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距，方程b kx y +=由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程b kx y +=叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.要点诠释：1.b 为直线l 在y 轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；3.当0≠k 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线.5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程b kx y +=中，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距. 要点三：直线的两点式方程经过两点),(),,(222111y x P y x P (其中2121,y y x x ≠≠)的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 要点诠释：1.这个方程由直线上两点确定；2.当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.3.直线方程的表示与),(),,(222111y x P y x P 选择的顺序无关.4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--通过交叉相乘转化为整式形式121211()()()()y y x x y y x x --=--，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．要点四：直线的截距式方程若直线l 与x 轴的交点为A(a ，0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中0,0≠≠b a ，则过AB 两点的直线方程为1=+by a x ，这个方程称为直线的截距式方程.a 叫做直线在x 轴上的截距，b 叫做直线在y 轴上的截距.要点诠释：1.截距式的条件是0,0≠≠b a ，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y 轴上的截距；令y= 0得直线在x 轴上的截距.3．截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．要点五：中点坐标公式若两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，且线段12P P 的中点坐标为(x ，y)，则x=122x x +，y=122y y +，则此公式为线段12P P 的中点坐标公式．要点六：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．【典型例题】类型一：点斜式直线方程例1．求满足下列条件的直线方程。
3.2.1 直线方程的点斜式
问题2：斜截式与一次函数y=kx+b一样吗？
斜截式与一次函数y=kx+b 形式一样，但有区别。
当k≠0 时，斜截式方程就是一次函数的表现形式。
问题3：斜截式的适用范围？ 斜截式的适用范围是：k存在
应用
例2:已知直线 l1 : y k1 x b1，l2 : y k2 x b2 ，
试讨论：(1) l1 // l2 的条件是什么？ (2) l1 l2 的条件是什么？
结论:
l1 : y k1x b1，l2 : y k2 x b2
l1 // l2
k1 k2 ,且 b1 b2
l1 l2
k1k2 1
练习
练习2：写出下列直线的斜解式方程 （1）斜率是-2 ，在y轴上的截距是4 （2）斜率是0 ，在y轴上的截距是-2 练习3： （1）直线y-2=x-1 的斜率为（ 纵截距为（ ）横截距为（ （2）直线 3x+2y+6=0 斜率为（ 纵截距为（ ）横截距为（ ） ） ） ）
（3）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7
（4）经过点（2，5），倾斜角为900 （5）经过点（2，3），倾斜角为 00
探究
探究3：如图，直线 l 经过 P 0(0, b),且斜率为k, 若点P (x, y)是
直线 l 上不同于点 P0 的任意一点, 试问 x 与 y 之间应满足怎 样的关系?
y
y b k ( x 0)
O
x x0 0
或
x x0
应用
例1 直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角为45o,求直线l 的点斜式方程，并画出直线l.
解：直线经过点 P0 (2,3) ， 斜率 k tan 450 1 代入点斜式方程得 y 4 3 2 1 -3 -2 - O 1
直线的点斜式方程和两点式方程
应用场景的比较
总结词
两种方程各有适用的场景。
VS
详细描述
点斜式适用于只知道直线上一点和斜率的 情况，而两点式适用于知道直线上的两个 点的情况。在实际应用中，需要根据具体 条件选择合适的方程形式。
优缺点的比较
总结词
点斜式和两点式各有优缺点。
详细描述
点斜式的优点在于只需要知道一个点和斜率 就可以得出方程，计算简便。但缺点是当直 线与y轴平行时，无法使用点斜式表示。两 点式的优点在于只要知道两个点就可以得出 方程，适用范围更广。但缺点是需要更多的 信息来确定直线方程。
解决与直线相关的
问题
利用点斜式方程可以解决与直线 相关的问题，如求直线上的点、 判断直线是否相交等。
简化直线方程
在一些情况下，使用点斜式方程 可以更方便地表示直线方程，特 别是在已知直线上一点和斜率的 情况下。
02
直线的两点式方程
两点式的定义
两点式方程
通过直线上的两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，可以确 定一条直线的方程。两点式方 程为$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$。
04
直线方程在实际问题中 的应用
解析几何问题中的应用
解析几何是数学的一个重要分支，它通过代数方法研究几何对象之间的关系。直线方程作为解析几何 的基本元素，在解决解析几何问题中发挥着重要作用。例如，在解决平面几何问题时，可以使用直线 的点斜式方程和两点式方程来确定直线的位置和性质。
在解析几何中，直线的点斜式方程和两点式方程可以用来解决直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置 关系问题，以及直线的交点、切线等问题。这些问题的解决有助于深入理解几何图形的性质和关系， 为解决更复杂的几何问题提供基础。
直线的点斜式方程
例2:斜率是5,在y轴上的截距是-4的直线方程.
解：由已知得k =5， b= - 4， 代入斜截式方程 y= 5x - 4
1、说出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（１）y 3x 2
(2) y 3x
3， -2
3， 0
2、写出下列直线的斜截式方程： 3 3 x2 （1）斜率是 ，在 y轴上的截距是 2； y 2 2 （2）斜率是 2 ，在 y轴上的截距是 4 ；y 2 x 4
y3
（2）斜率为２时的直线方程；
y 3 2( x 1)
（3）倾斜角为 90 时的直线方程.
x 1 （4）且过原点的直线方程.
y 3 x
巩固练习
1.经过点（- 2 ，2）倾斜角是1500的直线的方程是（ （A）y＋ 2 =－ 3 x－2） （
3 3
C）
ห้องสมุดไป่ตู้
（B）y+2= （x－ 2 ） － 3
[答案](1)过定点(3，－2) (2)(－1,3)
[解析](1)由直线点斜式方程的定义知，不论k取何 实数方程y＋2＝k(x－3)总表示经过点(3,－2)，斜率为 k的直线，所以这些直线的共同特征是过定点(3,－2)． (2)将方程mx－y＋m＋3＝0变形为y－3＝m(x＋1)可 知，不论m取何实数，直线总过定点(－1,3)．
1 1 (1) l1 : y x 3 , l2 : y x 2 2 2 5 3 (2) l1 : y x , l2 : y x 3 5
l1 // l2
l1 l2
条 件 ： 有 斜 率 且 非 零 ！
例、已知直线经过点 P1,3 ，求 （1）倾斜角为 0 时的直线方程；
2、直线的斜截式方程：
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3.2.1直线的点斜式方程
一、复习与引入
是不是所有直线都有斜率？怎样求解直线的斜率？
1:不是所有直线都有斜率，倾斜角为900的直线 没有斜率
2：直线的斜率有两种求解方法：
Ⅰ: 根据倾斜角来求 k tan
注：当 为钝角时 k tan tan(1800 )
Ⅱ: 根据直线上任意两点的坐标来求
例2 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k 2x＋b2， 试讨论：（1）l1 // l2的条件是什么？（2）l1 l2的 条件是什么？
对于直线 l1 : y k1x b1
l2 : y k2x b2
Байду номын сангаас
l1 // l2 k1 k 2 , 且b1 b2
l1 l2 k1k 2 1
P2 P1
P1 P2
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
有斜率情况 ka kb a∥b
两条直线平行 无斜率情况 要无都无
有斜率情况 ka • kb 1 a⊥b
两条直线垂直
无斜率情况 一个没有，一个为0
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4。
y y0 0
y y0
O
x
1、直线方程的点斜式： y y0＝k（x x0）
?当过定点P（ 0 x0，y0），且直线l的倾斜角为90。时， 直线的方程是什么？
y l
.
x x0
P0 (x0 , y0 )
注意：不能用点斜式
O
x
1、直线方程的点斜式： y y0＝k（x x0）
例1 一条直线经过点P0（ 2，3），倾斜角＝45。， 求这条直线方程，并画出图象。
作业
课本P111 A组 第10题
解：设A（ 1 x1，y1）是直线l1上的一点， 根据斜率公式有
1 y1 0 x1 0
即x1＝y1
设x1＝1，则y1＝1，
于是A1的坐标是（1，1）。过原点及A（ 1 1，1）的 直线即为l1，如图
如图：直线l经过点P。（x。，y。），且斜率 为k，求l的方程。
设点P（x，y）是直线上不同于点P1的任意一点
y
k＝y y0 x x0
（x x0）
.
.
P(x, y)
P0 (x0 , y0 )
y y0＝k（x x0）
O
x
1、直线方程的点斜式： y y0＝k（x x0）
下面我们来看一下几个特殊的直线形式：
?当过定点P（ 0 x0，y0），且直线l的倾斜角为0。时， 直线的方程是什么？
y
.
l
P0 (x0 , y0 )