2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1

3.1.3 空间向量的数量积运算

[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．

[重点] 空间向量的数量积运算．

[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．

知识点一 空间向量的夹角

[填一填]

1．定义：

(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．

(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →

＝a ，OB →

＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．

2．范围：

a ，b

∈[0，π]，其中，

(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当

a ，b

＝π

2

时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]

1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝

a ，－

b ＝a ，b ，对吗？

提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，

∴

－a ，b

＝

a ，－

b ＝π－a ，b ．

知识点二 空间向量的数量积

[填一填]

1．空间向量的数量积 (1)定义：

已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b

＝|a ||b |cos

a ，

b ．

(2)运算律：

①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；

③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质

[答一答]

2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？

提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？

提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．

4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b

？ 提示：不能，向量没有除法，k b

无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cos

a ，

b )

c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝

a (|

b ||

c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，

因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．

1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．

2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．

3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．

类型一 空间向量的数量积运算

【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A ­BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．

(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →

·AC →

；(4)EF →·BC →

.

【解】 (1)由题知|AB →

|＝|AC →

|＝a ，且〈AB →，AC →

〉＝60°， ∴AB →·AC →

＝a ·a ·cos60°＝12

a 2

.

(2)|AD →|＝a ，|BD →

|＝a ，且〈AD →，BD →

〉＝60°. ∴AD →·BD →

＝a ·a ·cos60°＝12

a 2

.

(3)|GF →

|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝1

2a ·a ·cos180°

＝－12

a 2

.

(4)|EF →

|＝1

2

a ，|BC →

|＝a ，又EF →

∥BD →

，

∴〈EF →

，BC →

〉＝〈BD →

，BC →

〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14

a 2

.

在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.

已知正四面体OABC 的棱长为1.

求：(1)OA →

·OB →

；(2)(OA →

＋OB →

)·(CA →＋CB →

)． 解：如图所示，

(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →

|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝

1

2

；

(2)(OA →

＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →

)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →

)＝12

＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12

－2×1×1×cos60°＝1.

类型二 利用数量积求夹角

【例2】 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．

【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→

与AC →

所成的角，因此可先求BA 1→

·AC →

，再求|BA 1→

|，|AC →

|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．

【解】 因为BA 1→

＝BA →＋AA 1→

＝BA →＋BB 1→，AC →

＝BC →－BA →

，且BA →

·BC →

＝BB 1→

·BA →

＝BB 1→

·BC →

＝0， 所以BA 1→·AC →

＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)

＝BA →·BC →－

BA

→2

＋BB 1→·BC →－BB 1→

·BA →

＝－1. 又|AC →

|＝2，|BA 1→

|＝1＋2＝ 3.