2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1

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高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案(含解析)新人教A版选修21

3．1.3 空间向量的数量积运算[提出问题]如图所示，已知平面向量a ，b .问题1：试作出向量a ，b 的夹角．提示：如图，∠AOB 为a 和b 的夹角．问题2：若a ，b 为空间非零向量，两向量还有夹角吗？若有，试作出．提示：有；在空间取一点O ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 为两向量的夹角．[导入新知]如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b .[化解疑难]1．由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π.2．对空间任意两个非零向量a ，b ，有：(1)〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；(2)〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉.[提出问题]问题1：平面向量的数量积a·b是怎样定义的？提示：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．问题2：类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间向量数量积定义吗？提示：能，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．问题3：空间向量数量积运算满足交换律和分配律吗？提示：满足．[导入新知]1．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b ＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量数量积的性质[化解疑难]1．向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.2．向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.3．向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a ·(b ·c )都不成立．[例1] 的中点，求值：(1)EF ―→·BA ―→； (2)EF ―→·BD ―→； (3)AB ―→·CD ―→.[解] (1)EF ―→·BA ―→＝12BD ―→·BA ―→＝12|BD ―→||BA ―→|·cos〈BD ―→，BA ―→〉＝12cos 60°＝14. (2)EF ―→·BD ―→＝12BD ―→·BD ―→＝12|BD ―→|2＝12.(3)AB ―→·CD ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→) ＝AB ―→·AD ―→－AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AD ―→|cos 〈AB ―→，AD ―→〉－|AB ―→||AC ―→|cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝cos 60°－cos 60°＝0. [类题通法]求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60°，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值．[活学活用]如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为a ，求：(1)OA ―→·OB ―→；(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)．解：(1)OA ―→·OB ―→＝a ×a ×cos 60°＝12a 2.(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→－OC ―→＋OB ―→－OC ―→)＝a 2＋a 2cos 60°－2a 2cos 60°＋a 2cos 60°＋a 2－2a 2cos 60°＝a 2.[例2] 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC 1与AC 夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1， BC 1―→·AC ―→＝(BC ―→＋CC 1―→)·(AB ―→＋BC ―→) ＝(AD ―→＋AA 1―→)·(AB ―→＋AD ―→)＝AD ―→·AB ―→＋AD ―→2＋AA 1―→·AB ―→＋AA 1―→·AD ―→ ＝0＋AD ―→2＋0＋0 ＝AD ―→2＝1，又∵|BC 1―→ |＝2，|AC ―→|＝2，∴cos 〈BC 1―→，AC ―→〉＝BC 1―→·AC ―→|BC 1―→||AC ―→|＝12×2＝12.∵〈BC 1―→，AC ―→〉∈[0，π]， ∴〈BC 1―→，AC ―→〉＝π3.∴BC 1―→与AC ―→夹角的大小为π3.[类题通法](1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合转化为求平面中的角的大小．(2)由两个向量的数量积定义得cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，求〈a ，b 〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a ，b 〉的余弦值，进而求〈a ，b 〉的大小．在求a ·b 时注意结合空间图形，把a ，b 用基向量表示出来，进而化简得出a ·b 的值．[活学活用]如图，在直三棱柱ABC A1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．解：∵BA 1―→＝BA ―→＋AA 1―→＝BA ―→＋BB 1―→，AC ―→＝BC ―→－BA ―→，且BA ―→·BC ―→＝BB 1―→·BA ―→＝BB 1―→·BC ―→＝0， ∴BA 1―→·AC ―→＝－BA 2―→＝－1.又∵|AC ―→|＝2，|BA 1―→|＝1＋2＝3，∴cos 〈BA 1―→，AC ―→〉＝BA 1―→·AC ―→|BA 1―→||AC ―→|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.[例3] 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . [证明] ∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴AB ―→·CD ―→＝0，AC ―→·BD ―→＝0. ∴AD ―→·BC ―→＝(AB ―→＋BD ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝AB ―→·AC ―→＋BD ―→·AC ―→－AB 2―→－AB ―→·BD ―→ ＝AB ―→·AC ―→－AB 2―→－AB ―→·BD ―→＝AB ―→·(AC ―→－AB ―→－BD ―→)＝AB ―→·DC ―→＝0. ∴AD ―→⊥BC ―→，从而AD ⊥BC . [类题通法]当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |. ∵A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12a ＋12b ，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→＝OC ―→＋CG ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋12CC 1―→＝12a ＋12b －12c . ∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O ―→⊥BD ―→，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→，即A 1O ⊥OG . 又∵OG ∩BD ＝O ， ∴A 1O ⊥平面GBD .|＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.[解] ∵MN ―→＝MB ―→＋BC ―→＋CN ―→＝23AB ―→＋(AC ―→－AB ―→)＋ 13(AD ―→－AC ―→)＝－13AB ―→＋13AD ―→＋23AC ―→.∴MN ―→·MN ―→＝－13AB ―→＋13AD ―→＋23AC ―→·－13AB ―→＋13AD ―→＋23AC ―→＝19AB ―→2－29AD ―→·AB ―→－49AB ―→·AC ―→＋49AC ―→·AD ―→＋19AD ―→2＋49AC ―→2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN ―→|＝ MN ―→·MN ―→＝53a ，即|MN |＝53a . [类题通法]求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a |＝a 2，通过计算求出|a |，即得所求距离． [活学活用]如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长．解：∵PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→， ∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD ―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49. ∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.7.向量的夹角不明致误[典例] 如图，在120°的二面角αl β中，A ∈l ，B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA ―→·AB ―→＝0， BD ―→·AB ―→＝0.又∵二面角αAB β的平面角为120°， ∴〈CA ―→，BD ―→〉＝60°，∴CD 2＝|CD ―→|2＝(CA ―→＋AB ―→＋BD ―→)2＝CA ―→2＋AB ―→2＋BD ―→2＋2(CA ―→·AB ―→＋CA ―→·BD ―→＋BD ―→·AB ―→) ＝3×62＋2×62×cos 60° ＝144，∴CD ＝12. [易错防范]1．求解时，易混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，易把〈CA ―→，BD ―→〉＝60°错解为〈CA ―→，BD ―→〉＝120°，此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角． 2．对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错． [成功破障]如图所示，在空间四边形ABCD 中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，求MN ―→·DC ―→.解：MN ―→·DC ―→＝12BD ―→·DC ―→＝12|BD ―→||DC ―→|·cos 〈BD ―→，DC ―→〉＝12cos120°＝－14.[随堂即时演练]1．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( )A ．AB ―→·A 1C 1―→＝2a 2B ．AB ―→·AC 1―→＝2a 2 C ．AB ―→·AO ―→＝12a 2D ．BC ―→·DA 1―→＝a 2解析：选C ∵AB ―→·AO ―→＝AB ―→·12AC 1―→＝12AB ―→·(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(AB ―→2＋AB ―→·AD ―→＋AB ―→·AA 1―→) ＝12AB ―→2＝12|AB ―→|2 ＝12a 2. 2．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为( )A.12B.22 C ．－12D ．0解析：选D 如图所示， ∵OA ―→·BC ―→＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→) ＝OA ―→·OC ―→－OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OC ―→|·cos∠AOC －|OA ―→|·|OB ―→|·cos∠AOB ＝0， ∴OA ―→⊥BC ―→，∴〈OA ―→，BC ―→〉＝π2，cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝0.3．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________. 解析：由m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋(λ＋1)a ·b ＋λ|b |2＝0，得18＋(λ＋1)×32×4×cos 135°＋16λ＝0，可得18－12λ－12＋16λ＝0，解得λ＝－32.答案：－324．如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB ―→＋BC ―→|＝________，|BC ―→－EF ―→|＝________.解析：|AB ―→＋BC ―→|＝|AC ―→|＝2.EF ―→＝12BD ―→，BD ―→·BC ―→＝2×2×cos 60°＝2，故|BC ―→－EF ―→|2＝BC ―→－12BD ―→ 2＝BC ―→2－BC ―→·BD ―→＋14BD ―→2＝4－2＋14×4＝3，故|BC ―→－EF ―→|＝ 3. 答案：235．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD ―→·AC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·AC ―→＝AD ―→·AC ―→－AB ―→·AC ―→，由于AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AD ―→＋DC ―→)＝AD ―→·AD ―→＝1， AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝2×2×12＝1.∴BD ―→·AC ―→＝0，即BD ⊥AC . 又∵BD ⊥AD ，∴BD ⊥平面ADC .[课时达标检测]一、选择题1．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，〈A ′B ――→，B ′D ′―――→〉＝( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选D 因为B ′D ′∥BD ，所以A ′B ，B ′D ′的夹角即为A ′B ，BD 的夹角．因为△A ′BD 为正三角形，所以∠A ′BD ＝60°. 由向量夹角的定义可知〈A ′B ――→，BD ―→〉＝120°，即〈A ′B ――→，B ′D ′―――→〉＝120°.2．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．90°解析：选B a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22 ＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝e 1＋e 22＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝e 1－2e 22＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°.3.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( )A ．AE ―→·BC ―→＜AE ―→·CD ―→B ．AE ―→·BC ―→＝AE ―→·CD ―→ C ．AE ―→·BC ―→＞AE ―→·CD ―→D ．AE ―→·BC ―→与AE ―→·CD ―→不能比较大小解析：选C 易知AE ⊥BC ，∴AE ―→·BC ―→＝0， AE ―→·CD ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·CD ―→＝AB ―→·(BD ―→－BC ―→)＋12BC ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|BD―→|·cos 120°－|AB ―→|·|BC ―→| cos 120°＋12|BC ―→|·|CD ―→|cos 120°＜0.4．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A ．PC ―→与BD ―→B ．DA ―→与PB ―→C ．PD ―→与AB ―→D ．PA ―→与CD ―→解析：选A 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA ―→·CD ―→＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA ―→·PB ―→＝0，排除B ；同理PD ―→·AB ―→＝0，排除C.5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2；②A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0； ③AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60°； ④正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 如图所示，(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝A 1C ―→·AB 1―→＝0；AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|. 综上可知，①②正确．二、填空题6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227．已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，如图，则PC 等于________．解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BC ―→， ∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AB ―→＋BC ―→)2＝PA ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2PA ―→·AB ―→＋2PA ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→ ＝36＋36＋36＋0＋0＋2|AB ―→||BC ―→|cos 60° ＝108＋2×6×6×12＝144.∴PC ＝12. 答案：128．已知a ，b 是异面直线，点A ，B ∈a ，点C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．解析：AB ―→＝AC ―→＋CD ―→＋DB ―→，∴CD ―→·AB ―→＝CD ―→·(AC ―→＋CD ―→＋DB ―→)＝|CD ―→|2＝1， ∴cos 〈CD ―→，AB ―→〉＝CD ―→·AB ―→|CD ―→||AB ―→|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°. 答案：60° 三、解答题9．已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：如图所示，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.∵OE ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)＝12(a ＋b )，BF ―→＝OF ―→－OB ―→＝12OC ―→－OB ―→＝12c －b ，又∵|OE ―→|＝|BF ―→|＝32，∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12b 2＝－12，∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF ―→|＝－23.∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值是23.10.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面边长为 2. (1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→， BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→. ∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0. 又∵△ABC 为正三角形，∴〈AB ―→，BC ―→〉＝π－〈BA ―→，BC ―→〉＝π－π3＝2π3.∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→) ＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→ ＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2 ＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)由(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1. 又∵|AB 1―→|＝AB 1―→2＋BB 1―→2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1―→|，∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1―→2＝12，∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.。

高中数学选修2-1精品教案7：3.1.3空间向量的数量积运算教学设计

3.1.3空间向量的数量积运算教学目标1.知识与技能掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积及其运算律．2．过程与方法通过利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题、体会类比和归纳的数学思想．3．情感、态度与价值观激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力．教学重点：空间向量的夹角，数量积的概念、计算方法及其应用．教学难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化．空间向量的夹角问题导思图3－1－12如图3－1－12等边三角形ABC 中，AB →、BC →的夹角是60°吗？【答案】不是．根据平面向量夹角的定义，AB →、BC →的夹角应为120 °.图3－1－131．夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .空间向量的数量积及其性质问题导思1．平面向量的数量积a·b 的结果怎样？这一结果是向量还是数量？【答案】 a·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，结果为一数量．2．平面向量的数量积满足怎样的运算律？【答案】交换律与分配律．1．已知空间中两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b .规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a ＝0.2．空间向量数量积满足下列运算律：(1)(λa )·b ＝λ(a·b )；(2)交换律：a·b ＝b·a ；(3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．空间向量数量积的性质：若a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e ·a ＝a ·e ＝|a | cos θ；(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；(4)若θ为a 、b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |； (5)|a ·b |≤|a |·|b |.例题解析例 1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.已知：如图,分别是平面的垂线、斜线，是在平面内的射影，，且.求证：.,PO PA αAO PA αl α⊂l OA ⊥l PA ⊥【解析】用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！【解析】要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.证线l 证为r r u u r r u u r r u u r r u u r r u u r u u r r u u r r u u r r u u r 明：在直上取向量a,只要a×PA =0因a×PO =0,a×OA =0所以a×PA =a×(PO +OA)=a×PO +a×OA=0所以a⊥PA,即l⊥PA.2 ,, ,,:.m n l m l n l αα例已知直是平面的相交直如果求⊥⊥⊥线内两条线证课堂检测1．下列运算错误的是( )A ．(μa )·a ＝μa 2B ．a ·b ＝b ·aC ．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·cD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )【解析】由空间向量数量积的运算性质可知，A 、B 、C 正确，D 错误．【答案】 D2．已知边长为2的正三角形ABC 中，AB →·AC →＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4【解析】 ∵|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 60°＝2×2×12＝2.【答案】 A3．已知向量a ＝－3b ，则〈a ，b 〉＝________.【解析】 ∵a ＝－3b ，∴a 、b 共线且反向，故〈a ，b 〉＝180°.【答案】 180°4．已知|a |＝2，|b |＝3，且a 、b 夹角为π2，c ＝3a ＋2b ，d ＝λa －b ，若c ⊥d ，求λ的值．【解】 ∵|a |＝2，|b |＝3且〈a ，b 〉＝π2. ∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，a ·b ＝0.又∵c ⊥d 即(3a ＋2b )·(λa －b )＝0.r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 证别为条实数对将两边数积为内线内线明:在α作任一直g,分在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.因m与n相交,故向量m,n不平行,由向量共面的充要件知,存在惟一的有序(x,y),使g =xm +yn,上式与向量l作量，得l ×g =xl ×m +yl ×n.因l ×m =0,l ×n =0,所以l ×g =0,即l⊥g.所以l⊥g,即l垂直于平面α任一直.所以l⊥α.∴3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0.∴12λ－18＝0，∴λ＝32. 课堂小结1．因为空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面向量相同．2．求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角，证明两向量垂直可转化为两个向量的数量积为零；求线段的长度可转化为用数量积的求模公式|a |＝a ·a ；求异面直线的夹角的关键是在两直线上构造向量，使用夹角公式解决.。

高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.3 空间向量的数量积运算

探究点 4 空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴ (a) b (a b).
rr rr ⑵ a b b a (交换律).
r r r rr rr ⑶ a (b c) a b a c (分配律).
注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.
是
r b
在
r a
方向上
的射影向量.
探究点 3 空间两个向量的数量积的性质
rr 显然,对于非零向量 a, b ,有下列性质:
r r rr ①a b ab 0;
r2 r r
r
r2
② a a a ，也就是说 a a .
注：性质①是证明两向量垂直的依据；性质②是求向量的长度（模）的依据.
面的充要条件知,存在惟一的有序实数对
r rr
(x,y),使g = xm + yn,
l
将上式两边与向量l作数量积，得
rr rr rr l×g = xl×m + yl×n.
rr rr 因为l×m = 0,l×n = 0,
rr
rr
所以l×g = 0,即l⊥g.所以l⊥g,
r
gl
m
ur
n
r n
ur m g
即l垂直于平面α内任一直线.所以l⊥α.
rr
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
rr rr ⑵ a, b＝b, a.
r
a
rA
a
r
O
r
B
b
b
rr ⑶如果 a, b

,那么向量 ar
r ,b
r 互相垂直,记作 a

高中数学 3.1.3 空间向量的数量积运算(三)学案新人教A版选修2-1

§3.1.3 空间向量的数量积（三）学习目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

一、主要知识：1、空间向量的夹角及其表示：2、空间向量的数量积及性质：3、空间向量数量积运算律：二、典例分析：〖例1〗：已知正四面体O ABC -的棱长为，求：（1）OA OB ⋅u u u r u u u r ；（2）()()OA OB CA CB +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r ；（3）OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r 。

〖例2〗：如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值。

〖例3〗：已知线段,AB BD 在平面α内，BD AB ⊥，线段AC α⊥，若,,AB a BD b AC c ===，求,C D 间的距离。

〖例4〗：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，G 为1CC 的中点。

求证：1A O ⊥面GBD 。

三、课后作业： 1、设,a b r r 为空间的非零向量，下列各式：①22a a =r r ；②2a b b a a ⋅=r r r r r ；③ ()2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r ；④()222a b a b ⋅=⋅r r r r 。

其中正确的个数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、已知,a b 是异面直线，且a b ⊥，12,e e r r 分别为取自直线,a b 上的单位向量，且1223a e e =+r r r ，12b ke e =-r r r ，a b ⊥r r ，则实数k 的值为（）A 、6-B 、6C 、3D 、3- 3、设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，0AC AD ⋅=u u u r u u u r ，0AB AD ⋅=u u u r u u u r ，则BCD ∆是A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、不确定4、已知,a b 是异面直线，,A B a ∈，,C D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥，且2,1AB CD ==，则,a b 所成的角为（） A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o5、空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r >的值是（）A 、21B 、22C 、－21D 、06、在正四面体S ABC -中，,E F 分别是,SC AB 的中点，则异面直线,EF SA 所成的角为（）A 、90oB 、60oC 、45oD 、30o7、已知a =r 4b =r ，m a b =+r r r ，n a b λ=+r r r ，,135a b =o r r ，m n ⊥r r ，则λ= 。

人教版数学高二A版选修2-1学案 3.1.3空间向量的数量积运算

3．1.3空间向量的数量积运算1.了解空间向量夹角的概念及表示方法．2.掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法〈a，b〉范围通常规定，0≤〈a，b〉≤π，当〈a，b〉＝π2时，a⊥b 空间向量的夹角与向量位置关系(1)〈a，b〉＝0时，向量a，b方向相同．(2)〈a，b〉＝π时，向量a，b方向相反．(3)〈a，b〉＝π2时，向量a⊥b.2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.运算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c向量数量积的垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝|a|·|b|反向：则a·b＝－|a|·|b|性质模a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2|a|＝a·a|a·b|≤|a|·|b|夹角θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量AB→与CD→的夹角等于向量AB→与DC→的夹角．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．()(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.()(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝() A．－2B．－1C．±1 D.2答案：A在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是()A.AB→与A′C′→B.AB→与C′A′→C.AB→与A′D′→D.AB→与B′A′→答案：A已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．答案：2π3已知向量a，b满足：|b|＝2，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，则|a|＝________．答案：2探究点1 空间向量的数量积运算[学生用书P55]已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积． (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.【解】如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎡⎦⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.[变问法]若本例的条件不变，计算EF →·FC 1→. 解：EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎡⎦⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝⎛⎭⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎡⎦⎤12（c －a ）＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.空间向量数量积的计算问题的解题思路(1)在几何体中求空间向量数量积的步骤①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； ③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件．1.已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝________．解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×⎝⎛⎭⎫－12＝13. 答案：132．如图，已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →； (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．解：在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°. (1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA →2＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2OB →·OC →＝12＋2×12－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.探究点2 利用向量的数量积判断或证明垂直问题[学生用书P56]如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .求证：P A ⊥BD .【证明】由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，知DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD ，知PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0. 又P A →＝PD →＋DA →，所以P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路(1)由数量积的性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b ≠0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BC ，CD的中点，求证：A 1G ⊥平面DEF .证明：设正方体的棱长为a ，因为A 1G →·DF →＝(A 1A →＋AD →＋DG →)·(DC →＋CF →)＝A 1A →·DC →＋AD →·DC →＋DG →·DC →＋A 1A →·CF →＋AD →·CF →＋DG →·CF →＝DG→·DC→＋AD→·CF→＝12a2－12a2＝0，所以A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE，又DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面DEF.探究点3利用空间向量的数量积求夹角[学生用书P56]已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量OE→与向量BF→所成角的余弦值．【解】设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，所以OE→·BF→＝12(a＋b)·⎝⎛⎭⎫12c－b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12，设OE→与BF→所成的角为θ，cos θ＝OE→·BF→|OE→||BF→|＝－1232×32＝－23.所以向量OE→与向量BF→所成角的余弦值是－23.求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求向量BC 1→与AC →的夹角的大小．解：法一：如图，连接AD 1，CD 1，因为AD 1→＝BC 1→，所以∠CAD 1的大小就等于〈BC 1→，AC →〉．因为△ACD 1为等边三角形，所以∠CAD 1＝60°. 所以向量BC 1→与AC →的夹角的大小为60°.法二：设正方体的棱长为1，则|BC 1→|＝2，|AC →|＝ 2.BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →)＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝0＋|AD →|2＋0＋0＝|AD →|2＝1.cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12，所以〈BC 1→，AC →〉＝60°.即向量BC 1→与AC →的夹角的大小为60°.探究点4 利用数量积求两点间的距离[学生用书P56]如图，在三棱锥A -BCD 中，底面边长与侧棱长均为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD上的点，且MB ＝2AM ，CN ＝12ND ，求MN 的长．【解】因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →) ＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →2＝⎝⎛⎭⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2 ＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2 ＝59a 2，所以|MN →|＝53a .则MN 的长为53a .求两点间的距离或线段的长度的方法(1)将此线段用向量表示．(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量． (3)利用|a |＝a 2，计算出|a |，即得所求距离．1.已知在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝AD ＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC 1的长为( )A ．6 B. 6 C ．3D. 3解析：选B.设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，因此a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.由AC 1→＝a ＋b ＋c 得|AC 1→|2＝AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝6. 所以|AC 1→|＝6，故选B.2．如图，在120°的二面角α-l -β中，A ∈l ，B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，则线段CD 的长应为________．解析：因为AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，所以CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，又因为二面角α-l -β的平面角为120°，所以〈CA →，BD →〉＝60°，所以CD 2＝|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋BD →·AB →)＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，所以CD ＝12. 答案：121．已知|p |＝|q |＝1，且〈p ，q 〉＝90°，a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.4答案：A2．已知空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12B.22 C ．－12D.0解析：选 D.OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0，所以OA →⊥BC →.所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.3．若a ，b ，c 为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a －b ＋2c |＝________．答案： 54．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →与A 1P →所成角的大小为________，B 1C →·A 1P →＝________．解析：法一：连接A1D，则∠P A1D就是B1C→与A1P→所成角．连接PD，在△P A1D中，易得P A1＝DA1＝PD＝2，即△P A1D为等边三角形，从而∠P A1D＝60°，即B1C→与A1P→所成角的大小为60°.因此B1C→·A1P→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B1C→·A1P→＝(A1A→＋AD→)·(AD→＋12AB→)＝AD→2＝1.由题意可得P A1＝B1C＝2，则2×2×cos〈B1C→，A1P→〉＝1，从而〈B1C→，A1P→〉＝60°.答案：60° 1[学生用书P57]知识结构深化拓展1.空间向量数量积性质的应用(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论用于证明空间中的垂直关系．(2)|a|2＝a2，此结论用于求空间中线段的长度．(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，此结论用于求有关空间角的问题．(4)|b|cos〈a，b〉＝a·b|a|，此结论用于求空间中的距离问题．2．空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.(3)空间向量没有除法运算：即若a·b＝k，则没有a＝kb.[学生用书P131(单独成册)])[A 基础达标]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D.－3解析：选B.由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，所以(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，所以2k －12＝0，所以k ＝6.2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 解析：选C.AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD → ＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a ×a ×12＋a ×a ×12)＝14a 2. 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.P A →与CD → 解析：选A.可用排除法．因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，P A →·CD →＝0，排除D. 又因为AD ⊥AB ，所以AD ⊥PB ，所以DA →·PB →＝0，同理PD →·AB →＝0，排除B ，C ，故选A. 4.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12D.144解析：选 C.因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2P A →·AB →＋2P A →·BC →＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.5．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D.等边三角形解析：选B.因为DB →＋DC →－2DA →＝(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)＝AB →＋AC →，所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，所以|AB →|＝|AC →|，即△ABC 是等腰三角形．6．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________．解析：原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 答案：07．如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：14 8.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．解析：不妨设棱长为2，则AB 1→＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·（BC →＋12BB 1→）22×5＝0－2＋2－022×5＝0，所以〈AB 1→，BM →〉＝90°.答案：90°9．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CD →，AF →〉的余弦值； (2)求证：BD 1→⊥EF →.解：(1)AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→＋12CD →＝AA 1→－12AB →.因为AB →·AD →＝0，AB →·AA 1→＝0，AD →·AA 1→＝0，所以CE →·AF →＝(AA 1→－12AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA 1→＝12. 又|AF →|＝|CE →|＝52，所以cos 〈CE →，AF →〉＝25.(2)证明：BD 1→＝BD →＋DD 1→＝AD →－AB →＋AA 1→，EF →＝ED 1→＋D 1F →＝－12(AB →＋AA 1→)，所以BD 1→·EF →＝0，所以BD 1→⊥EF →. 10．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N → ＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，所以|a ＋b ＋c |＝5，所以|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53. [B 能力提升]11．已知空间四边形ABCD 中，∠ACD ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝2，CD ＝1，则AB 与CD 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D.90°解析：选C.根据已知∠ACD ＝∠BDC ＝90°，得AC →·CD →＝DB →·CD →＝0，所以AB →·CD →＝(AC→＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD →＝|CD →|2＝1，所以cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12，所以AB 与CD 所成的角为60°.12．在三棱锥O -ABC 中，OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，∠BOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝2，若E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，则EF ＝________．解析：因为EF →＝OF →－OE →＝12(OB →＋OC →)－12OA →，所以|EF →|2＝14(OB →＋OC →－OA →)2＝14(OB →2＋OC →2＋OA →2＋2OB →·OC →－2OB →·OA →－2OC →·OA →)．又由已知得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，OA →⊥OB →，OA →⊥OC →，OB →·OC →＝2×2×12＝2，所以|EF →|2＝14(4＋4＋4＋4)＝4.所以|EF →|＝2，即EF ＝2. 答案：2 13.(选做题)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2. (1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1)证明：AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →. 因为BB 1⊥平面ABC ，所以BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0. 又△ABC 为正三角形，所以〈AB →，BC →〉＝π－〈BA →，BC →〉＝π－π3＝2π3.因为AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →)＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC → ＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝－1＋1＝0，所以AB 1⊥BC 1. (2)结合第一问知AB 1→·BC 1→＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1. 又|AB 1→|＝（AB ―→＋BB 1―→）2＝2＋BB 1→2＝|BC 1→|. 所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12，所以|BB 1→|＝2，即侧棱长为2.。

高中数学 3.1.3空间向量的数量积(1)导学案新人教A版选修2-1

3.1.3．空间向量的数量积（1）1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．9092 复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ∙ .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知： 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 .试试： ⑴ 范围: ,a b ≤<>≤ ,a b 〈〉 =0时,a b 与 ;,a b 〈〉 =π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<> 成立吗？ ⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ∙= （选0还是0 ） ⑶ 你能说出a b ⋅ 的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ （分配律反思： ⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ （吗？举例说明.⑵ 若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = 吗？举例说明.⑶ 若0a b ⋅= ，则00a b == 或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-AAB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠= 'DAA ∠=60°,求'AC 的长.※ 动手试试练1. 已知向量,a b满足1a = ，2b = ，3a b += ，则a b -= ____.练2. ,,a b a b ==⋅= 已知, 则a b 与的夹角大小为_____.三、总结提升※ 学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列命题中： ①若0a b ∙= ，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠ 且a b a c ∙=∙ ，则b c = ③()()a b c a b c ∙∙=∙∙ ④22(32)(32)94a b a b a b +∙-=-正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e - 垂直的是（） A. 12e e + B. 12e e - C. 1e D. 2e3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA ∙ =4. 已知4a = ，2b = ，且a 和b 不共线，当 a b λ+ 与a b λ- 的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b 满足4a = ，2b = ，3a b -= ，则a b += ____1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.2. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB , 线段AC α⊥,如果AB ＝a ,BD ＝b ,AC ＝c ,求C 、D 间的距离.§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；92-96复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个向量，总是存在实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥ ，则称向量P 正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的向量 ,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+ ，，则称有序对(),x y 为向量a 的，即a ＝ .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知： ⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ 、22a λ 、33a λ ，使112233a a a a λλλ=++ . 如果123,,a a a 两两，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++ . 把的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++ ，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.试试： 1. 设23a i j k =-+ ，则向量a 的坐标为 . 2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+ q a b =- 构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面. 例2 如图，M,N 分别是四面体Q ABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a = ，',OC b OO c == ，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※ 动手试试练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-== ，求： ⑴()a b c ∙+ ； ⑵68a b c +- .练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是，， .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+- ，则点B 的坐标是3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 . 5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+ ，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=- ，当t ＝时，c 的模取得最大值.1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +- 是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +- 的坐标.。

高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算导学案理新人教A版选修2-1

高二理科数学学案课题：3.1.3空间向量的数量积运算一、学习目标：类比平面向量学习空间两个向量数量积的概念、性质和运算律二、重点：掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律难点：会用空间向量的数量积解决有关垂直的问题三、复习回顾：平面内两向量数量积的定义、夹角、性质、运算律、几何意义；四、自学指导导读：阅读课本90-91页，叙述空间向量数量积的定义、性质及运算律，并思考下列问题导思1、对于三个均不为0的数a,b,c ，若ab=ac,则b=c 。

对于向量a →、b →、c →，由a →·b →=a →·c →，能得到b →=c →吗？如果不能，请举出反例。

导思2、对于三个均不为0的数a,b,c ，若ab=c ，则a=c b (或cb a=).对于向量a →，b →，若a →·b →=k ，能不能写成a →=kb →（或b →=ka→）？也就是说向量有除法吗？导思3、对于三个均不为0的数a,b,c ，有（ab ）c=a(bc)。

对于向量a →、b →、c →,(.)a b c →→→=(.)a b c →→→成立吗？向量的数量积满足结合律吗五、导练： 1、判断真假22222)4()()3()()()2(0,0,0)1(q p q p q p q p q p c b a c b a b a b a -=-⋅+⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅===⋅则若2、仿照课本例2证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射影也垂直。

（三垂线逆定理）3、用向量方法证明线面垂直的判定定理4、已知正方体ABCD A B C D ''''-，CD '和DC '相交于点O ，连结AO ，用向量方法证明：AO CD '⊥。

六、达标检测：课本92页练习1、2、3七、反思小结：。

高中数学3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学案新人教A版选修2-1

3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[自主预习·探新知]1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义图3115已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b . 2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉(2)数量积的运算律：(2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角．[基础自测]1．思考辨析(1)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B ．( )(2)在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→的夹角为45°.( ) (3)0·a ＝0.( )(4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉为钝角．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°D [△B ′D ′C 是等边三角形，〈A ′B →，B ′D ′→〉＝〈D ′C →，B ′D ′→〉＝120°.] 3．已知|a |＝3，|b |＝2，a ·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝________.【导学号：46342138】23π [cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12. 所以〈a ，b 〉＝23π.][合作探究·攻重难]b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)如图3116所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：图3116(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →； (4)AB →·CD →.[解析] (1)由题意知，p ·q ＝0，p 2＝q 2＝1 所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2－2q 2＋p ·q ＝1. [答案] A(2)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF ·DC →＝12BD →·DC →＝－12DB →·DC →＝－12×cos 60°＝－14.(4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.1．(1)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →＝________.【导学号：46342139】14a 2 [AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·12AD →＝12AB →·AD →＋14BC →·AD →＝12a 2cos 60°＝14a 2.](2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，则OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝________.143 [OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →) ＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13OB →＋13OC →＋13OA → ∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2＝13×22＋13×32＋13×12＝143.]N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC ．[解] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →)＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC ．2．如图3117，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，CD ′与DC ′相交于点O ，连接AO ，求证：图3117(1)AO ⊥CD ′；(2)AC ′⊥平面B ′CD ′.[证明] (1)因为AO →＝AD →＋DO →＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)，因为CD ′→＝DD ′→－DC →，所以AO →·CD ′→＝12(DD ′→＋DC →＋2AD →)·(DD ′→－DC →)＝12(DD ′→·DD ′→－DD ′→·DC →＋DC →·DD ′→－DC →·DC →＋2AD →·DD ′→－2AD →·DC →)＝12(|DD ′→|2－|DC →|2)＝0，所以AO →⊥CD ′→，故AO ⊥CD ′.(2)因为AC ′→·B ′C →＝(AB →＋BC →＋CC ′→)·(B ′B →＋BC →)＝AB →·B ′B →＋AB →·BC →＋BC →·B ′B →＋BC →·BC →＋CC ′→·B ′B →＋CC ′→·BC →，可知AB →·B ′B →＝0，AB →·BC →＝0， BC →·B ′B →＝0，BC →·BC →＝|BC →|2， CC ′→·B ′B →＝－|CC ′→|2，CC ′→·BC →＝0，所以AC ′→·B ′C →＝|BC →|2－|CC ′→|2＝0，所以AC ′→⊥B ′C →，所以AC ′⊥B ′C ．同理可证，AC ′⊥B ′D ′.又B ′C ，B ′D ′⊂平面B ′CD ′，B ′C ∩B ′D ′＝B ′，所以AC ′⊥平面B ′CD ′.如图3118，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值.【导学号：46342140】图3118[思路探究] 求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.3.如图3119，已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．图3119(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D ．(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.[1．异面直线AB ，CD 所成的角为60°，则〈AB →，CD →〉的值是多少？提示：〈AB →，CD →〉＝60°或120°2．如图3120，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．图3120提示：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC ＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.如图3121所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．图3121[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →→得到|BD →|2的值，注意对〈BA →，CD →〉的讨论→得B ，D 间的距离[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC→＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.4.如图3122所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60°角，且OA ＝OB ＝OC ＝2，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．图3122[解] EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2.∴|EF →|＝2，即E ，F 间的距离为 2.[当堂达标·固双基]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3B [由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， ∴2k －12＝0，∴k ＝6.]2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中真命题的个数为( )【导学号：46342141】A ．1B ．2C ．3D ．0B [对于①，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝AA 1→2＋AD →2＋AB →2＝3AB →2，故①正确；对于②，A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0，故②正确．对于③，〈AD 1→，A 1B →〉＝120°，故③错．]3．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．0 D [OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos∠AOC －|OA →||OB →|cos∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||O B →|＝0，∴OA →⊥BC →，∴cos〈OA →，BC →〉＝0.]4．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]5．如图3123，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝C ．图3123(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长.【导学号：46342142】[解] (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13C ． (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5， ∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.。

人教A版数学选修2-1第三章空间向量与立体几何部分3.1.3空间向量的数量积运算教案

人教A版选修2-1《3.1.3空间向量的数量积运算》一、教学内容解析本课时教材选自人教A版数学选修2-1第三章空间向量与立体几何部分第3.1.3节的内容．是学生在必修二中学习立体几何初步以及在必修四中学习了平面向量数量积的基础上把平面向量的数量积运算推广到空间，并利用空间向量的数量积度量空间两条直线的夹角和空间线段的长度，并利用它判定及证明空间里的垂直关系。

本节课举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法．按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量解决空间两条直线的夹角，空间线段的长度及判定垂直，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

二、教学目标设置根据《课程标准》的要求和教材特点，结合高二学生的认知能力，确定如下三维教学目标：1、知识与技能目标：（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法；（2）掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；（3）掌握空间向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

2、过程与方法目标：（1）运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；（2）引导学生体验利用空间向量将几何问题代数化的过程，培养学生空间向量的应用意识。

3、情感、态度与价值观目标：通过师生互动，生生互助的教学活动，培养学生的类比思想、转化思想。

培养学生探究自学的能力，以及合作交流的科学态度，激发学生喜爱数学的情感。

【教学重点】两个向量的数量积的计算方法及其应用。

【教学难点】如何将立体几何问题转化为向量的计算问题。

根据以上目标的确定，教学注重培养学生的探究能力、交流能力、反思能力。

在学生已有知识和方法的基础上，通过教师引导，学生自主学习、小组讨论、交流合作的办法来实现重难点的突破，进而达到预期的教学目标。

高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.3 空间向量的数量积运算

��1 �� + ��1 ��1 + 1 �� · �� + 1 ��1 2 2 |��1 ��|· |��|
��1 ��· �� |��1 ��|· |��|
ห้องสมุดไป่ตู้
因为�� = (a+b), �� = �� −b,|�� | = |�� | =
所以异面直线 OE 与 BF 所成的角的余弦值是 .
2 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思根据空间两个向量数量积的定义:a· b=|a||b|cos<a,b>,得空间两个向量 a,b 的夹角的余弦值 cos<a,b>=
2 2
(2)(�� + ��) ·(�� + ��) = (�� + ��) ·(�� − �� + �� − �� ) =(�� + ��) ·(�� + �� − 2�� ) = (�� + ��) ·(�� + ��) − (�� + ��) ·2�� =|��|2 + 2�� ·�� + |��|2 − 2�� ·�� − 2�� ·�� 1 1 1 =1+2×1×1× + 1 − 2 × 1 × 1 × − 2 × 1 × 1 × = 3 − 2 = 1.

2020-2021学年人教A版数学选修2-1作业：3.1.3 空间向量的数量积运算

第三章 3.1 3.1.3基础练习1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】∵p ⊥q 且|p|＝|q|＝1，∴a·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p·q －2q 2＝3＋0－2＝1. 2．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F ，H 分别是BC ，AD ，AE 的中点，则AH →·AF →的值为( )A ．12a 2B ．14a 2C ．18a 2D ．38a 2 【答案】C【解析】∵正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F ，H 分别是BC ，AD ，AE 的中点，∴AH →＝12AE →＝14(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →.又AB →·AD →＝AC →·AD →＝a 2cos 60°＝12a 2，∴AH →·AF →＝18(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝18a 2.故选C ．3．如图，正四面体ABCD 的棱长为2，点E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则EF →·BA →的值为( )A ．4B ．－4C ．－2D ．2【答案】C【解析】∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12DA →＋AB →＋12BC →，∴EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12DA →＋AB →＋12BC →·BA →＝12DA →·BA →＋AB →·BA →＋12BC →·BA →＝12×22×cos 60°－22＋12×22×cos 60°＝－2.故选C ．4．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．62B ．6C ．12D ．144【答案】C【解析】∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴|PC →|＝12.5．设a ，b ，c 是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题： ①(a·b )c －(c·a )b ＝0； ②|a|－|b|<|a －b|；③(b·a )c －(c·a )b 一定不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的是________．【答案】②④【解析】根据向量数量积的定义及性质可知a·b 和c·a 是实数，而c 与b 不共线，故(a·b )c 与(c·a )b 不一定相等，故①错误；因为[(b·a )c －(c·a )b ]·c ＝(b·a )c 2－(c·a )(b·c )，所以当a ⊥b ，且a ⊥c 或b ⊥c 时，[(b·a )c －(c·a )b ]·c ＝0，即(b·a )c －(c·a )b 与c 垂直，故③错误．易知②④正确．6．空间四边形OABC 中，OB ＝6，OC ＝4，BC ＝4，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值是________．【答案】－14【解析】OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cos π3.∴cos〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝|OC →|cos π3－|OB →|cos π3|BC →|＝4×12－6×124＝－14.7.如图，已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .用向量法证明：CA 1⊥B 1D 1.证明：因为CA 1＝CD ＋CB ＋CC 1，B 1D 1＝BD ＝CD －CB ，所以CA 1·B 1D1＝(CD ＋CB ＋CC 1)·(CD －CB )＝CD 2－CB 2＋CC 1·(CD －CB )＝|CD |2－|CB |2＋CC 1·CD －CC 1·CB ＝|CD |2－|CB |2＋|CC 1|·|CD |cos ∠C 1CD －|CC 1|·|CB |cos ∠C 1CB .又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，底面ABCD 为菱形，所以|CD |2－|CB |2＋|CC 1|·|CD |cos ∠C 1CD －|CC 1|·|CB |cos ∠C 1CB ＝0，即CA 1·B 1D 1＝0.所以CA 1⊥B 1D 1.故CA 1⊥B 1D 1.8．如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AA 1，∠ACB ＝90°，E 为BB 1的中点，求异面直线CE 与AC 1所成角的余弦值．解：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，AC 1→＝－a ＋c ，CE →＝b ＋12c . ∴|AC 1|＝2|a |，|CE |＝52|a |， AC 1→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a|2. ∴cos 〈AC 1→，CE →〉＝12|a |22|a |·52|a |＝1010. ∴CE 与AC 1所成角的余弦值为1010. 能力提升9．已知空间向量a ，b 的模长相等，|a ＋2b |＝2，|2a －b|＝3，则cos 〈a ，b 〉的值为( )A ．12B ．－12C ．14D ．－14【答案】D【解析】由已知得|a|＝|b|，|a ＋2b|2＝a 2＋4b 2＋4a·b ＝5|a|2＋4a·b ＝2，|2a －b|2＝4a 2＋b 2－4a·b ＝5|a|2－4a·b ＝3，解得|a|2＝12，a·b ＝－18.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a·b |a|2＝－14.10.(多选题)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是( ) A.(AA 1＋AD ＋AB )2＝3AB 2 B.A 1C ·(A 1B 1－A 1A )＝0 C.AD 1与A 1B 的夹角为60° D.正方体的体积为|AB ·AA 1·AD | 【答案】AB【解析】如图所示，(AA 1＋AD ＋AB )2＝(AA 1＋A 1D 1＋D 1C 1)2＝AC 12＝3AB 2；A 1C ·(A 1B 1－A 1A )＝A 1C ·AB 1＝0；AD 1与A 1B 的夹角是D 1C 与D 1A 夹角的补角，而D 1C 与D 1A 的夹角为60°，故AD 1与A 1B 的夹角为120°；正方体的体积为|AB |·|AA 1|·|AD |.故选AB.11．正四面体ABCD 中，点E ，F 分别在棱AB ，CD 上且AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．【答案】413【解析】DE →＝DA →＋14AB →，BF →＝BC →＋14CD →，设正四面体ABCD 的棱长为1，则DE →2＝⎝⎛⎭⎫DA →＋14AB →2＝1＋116＋2×1×14cos 120°＝1316，∴|DE |＝134.同理，|BF →|＝134.又DE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫DA →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫BC →＋14CD →＝－14，∴cos 〈DE →，BF →〉＝DE →·BF →|DE →||BF →|＝－413.∴直线DE 和BF 所成角的余弦值为413.12．如图，已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面是边长为a 的正方形，侧棱AA 1的长为b ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，求：(1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成角的余弦值．解：(1)|AC →1|2＝(AA →1＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2AA →1·AB →＋2AA →1·AD →＋2AB →·AD →，由已知得AA 1→2＝b 2，AB →2＝AD →2＝a 2，〈AA →1，AB →〉＝〈AA →1，AD →〉＝120°，〈AB →，AD →〉＝90°，∴AA →1·AB →＝ba cos 120°＝－12ab ，同理AA →1·AD →＝－12ab ，AB →·AD →＝0. ∴|AC →1|2＝2a 2＋b 2－2ab . ∴AC 1的长为2a 2＋b 2－2ab .(2)由题意得|AC →|＝2a ，AC →＝AB →＋AD →，BD →1＝AA →1＋AD →－AB →，∴AC →·BD →1＝(AB →＋AD →)·(AA→1＋AD →－AB →)＝－ab ，|BD →1|＝2a 2＋b 2.∴cos 〈AC →，BD →1〉＝AC →·BD 1→|AC →||BD 1→|＝－b 4a 2＋2b 2. ∴直线BD 1与AC 所成角的余弦值为b4a 2＋2b 2.。

人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量的数量积运算》教案-新版

3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．已知两个非零向量，，则><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长．【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为．【知识点】空间向量的模长．【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由已知可得3,π>=<，所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π．【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练．活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=．所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=，所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=．【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅．又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型自主突破1．下列命题中正确的是（）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角为．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=．【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥，则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ．【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=．【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥．【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥．【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化．【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=，要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=．其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>===，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角．【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定．【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ．【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式．【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为．【知识点】向量模长的计算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式．【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为．【知识点】向量夹角公式的运用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>==<P A C B ．【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。

高二数学(人教A版)选修2-1导学案：3. 1.3空间向量的数量积

编号：gswhsxxx 2—1—03-03文华高中高二数学选修2-13. 1.3．《空间向量的数量积》教学目标1、能说出空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、会运用两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。

3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重、难点空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

学习方法由平面向量类比到空间向量的思想学习过程一、知识衔接：复习：空间向量基本定理及其推论；二、新课导学：1、自主学习（1）．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则------＿＿＿＿叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称＿＿＿＿＿＿＿＿，记作：＿＿＿＿；（2）．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做＿＿＿＿＿＿，记作：||a ；（3）．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作＿＿＿，即＿＿＿＿＿＿＿＿．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影；可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．（4）．空间向量数量积的性质：1．＿＿＿＿＿＿＿＿2．＿＿＿＿＿＿＿＿3．＿＿＿＿＿＿＿＿（5）．空间向量数量积运算律：1．＿＿＿＿＿＿＿＿2. ＿＿＿＿＿＿＿＿（交换律）．3．＿＿＿＿＿＿＿＿（分配律）．三、合作探究：1、已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．A CB A ' B ' e2、在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值。

高中数学《3.1.3 空间向量的数量积(1)》教案新人教A版选修2-1

向量的数量积（2）一、教学目标：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法四、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一）、知识要点：1）定义：① 设<,a b >=θ,则a b = （θ的范围为）②设11(,)a x y =，22(,)b x y =则a b = 。

注：①a b 不能写成ab ，或a b ⨯ ②a b 的结果为一个数值。

2）投影：b 在a 方向上的投影为。

3）向量数量积运算律：①a b b a = ②()()()a b a b a b λλλ== ③()a b c a c b c +=+注：①没有结合律()()a b c a b c =二）例题讲练1、下列命题：①若0a b =，则a ，b 中至少一个为0②若a 0≠且a b a c =，则b c = ③()()a b c a b c =④22(32)(32)94a b a b a b +-=-中正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、已知ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，且a=3,b=1,C=30°,则BC CA = 。

3、若a ，b ，c 满足0a b c ++=，且3,1,4a b c ===，则a b b c ++= 。

4、已知2a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +在a 上的投影为。

考点二：向量数量积性质应用一）、知识要点： ①0a b a b ⊥⇔=（用于判定垂直问题）②2a a =（用于求模运算问题） ③cos a ba b θ=（用于求角运算问题）二）例题讲练 1、已知2a =，3b =，且a 与b 的夹角为2π，32c a b =+，d ma b =-，求当m 为何值时c d ⊥ 2、已知1a =，1b =，323a b -=，则3a b += 。

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3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一空间向量的数量积运算【例1】如下图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二利用数量积求夹角【例2】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0，所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三利用数量积求距离【例3】在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解．【解】因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四利用数量积证明垂直问题【例4】如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0，即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0，即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。