简谐振动(单摆)
简谐振动的能量、单摆和复摆
简谐运动能量图
o
能量
x−t
T
ϕ =0 t x = A cosωt v − t v = − Aω sin ω t
1 E = kA 2 2 1 2 2 E p = kA cos ω t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 2 2 2 Ek = mω A sin ωt 2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
− 2A/ 2
2 x1 = ± A 2
O
2A/ 2
x
x1 = ±7.07×10 m
−3
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能 ）当物体的位移为振幅的一半时动能、 各占总能量的多少? 各占总能量的多少
1 2 1 A E Ep = kx = k = 2 2 2 4
ω = k /m
1 2 2 （振幅的动力学意义） E = Ek + Ep = kA ∝ A 振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力， 简谐运动的系统机械能守恒 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒 保守力 运动的系统
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
x, v
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
（3）总能量； ）总能量；
机械振动
E = Ek ,max= 2.0 × 10 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？
−3
Ep1 = Ek1 = =
E 2
kA2 4
Ep1 = kx
简谐振动
一、简谐运动1.定义。
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。
表达式为：F= -kx⑴简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。
也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。
⑵回复力是一种效果力。
是振动物体在沿振动方向上所受的合力。
⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。
平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。
（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以不处于平衡状态）⑷F= -kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。
凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。
2.熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。
⑴由定义知：F∝x，方向相反。
⑵由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。
⑶由以上两条可知：a∝x，方向相反。
⑷v和x、F、a的关系最复杂：当v、a同向（既 v、F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（既 v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。
3.从总体上描述简谐运动的物理量。
振动的最大特点是往复性或者说是周期性。
因此振动物体在空间的运动有一定的运动范围，用振幅A来描述；在时间上用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。
⑴振幅A是描述振动强弱的物理量。
（注意一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）⑵周期T是描述振动快慢的物理量。
（频率f=1/T也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。
对任何简谐振动有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，既振动是简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。
单摆与简谐振动
单摆与简谐振动单摆和简谐振动是物理学中重要的概念，它们在自然界和科学实验中都具有广泛的应用。
本文将分别介绍单摆和简谐振动的概念、原理、数学模型以及相关应用。
一、单摆1. 概念和原理单摆是由一个质点和一个可以绕固定轴旋转的轻细线组成的物体。
当质点偏离平衡位置后，由于重力作用，质点将产生向平衡位置恢复的力，从而使得单摆呈现周期性的摆动。
根据牛顿第二定律和牛顿万有引力定律，可以推导出单摆的运动方程为：$\frac{{\partial^2\theta}}{{\partial t^2}} = -\frac{g}{L}\sin\theta$其中，$\theta$表示单摆离开平衡位置的偏离角度，$t$表示时间，$g$表示重力加速度，$L$表示单摆的长度。
2. 数学模型为了解决上述运动方程，可以使用近似方法。
当摆角（$\theta$）非常小的时候，可以使用简谐近似，即将正弦项线性近似为弧度。
这样，单摆的运动方程可以简化为：$\frac{{\partial^2\theta}}{{\partial t^2}} = -\frac{g}{L}\theta$该方程与简谐振动的运动方程形式相同，因此可以认为单摆是一种简谐振动。
3. 应用单摆广泛应用于物理实验和科学研究中。
它可以用来测量重力加速度、研究摆动的周期和频率、验证简谐振动的理论等。
此外，单摆还可以用作演示器材，使人们更直观地了解和理解振动的性质和规律。
二、简谐振动1. 概念和原理简谐振动是指在没有摩擦和阻力的情况下，物体围绕平衡位置做往复运动的现象。
简谐振动的物体可以是弦、弹簧、气体分子等。
根据胡克定律和牛顿第二定律，可以推导出简谐振动的运动方程为：$\frac{{\partial^2x}}{{\partial t^2}} = -\frac{k}{m}x$其中，$x$表示物体离开平衡位置的偏移距离，$t$表示时间，$k$表示恢复力系数（弹簧的弹性系数、线的拉力系数等），$m$表示物体的质量。
单摆运动
单摆运动的运用
当单摆周期T=2s时，由公式推导，摆长大约为 1m，这种情秒摆常见于摆钟上。 注意：在目前高中阶段，一般研究摆角小于 10°的情况（即近似看做简谐运动），且高中 阶段教材中仅涉及在试验中推测公式，不涉及单 摆周期要涉及到高等数学）。
详细说明
质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动 的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密 度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度 为 l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过 悬点铅垂线所 成角度小于10°，放手后质块往复振动，可视 为质点的振动，其周期 T只和l和当地的重力加速度g有关， 即 而和质块的质量 、形状和振幅的大小都无关系，其运动状 态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。如果振动的 角度大于 10°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不 成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就 成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。首先由 牛顿力学，单摆的运动可作如下描述：
科技名词定义
中文名称：单摆 英文名称：simple pendulum
定义：用一根绝对挠性且长度不变、质量可
忽略不计的线悬挂一个质点，在重力用 下在铅垂平面内作周期运动，就成为单 摆。
单摆运动的演示
用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质 点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。单 摆在摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件下振动 时，可近似认为是简谐运动。单摆运动的周期公式： T=2π√(L/g).其中L指摆长，g是当地重力加速度。
详细的公式推导
M = - m * g * l * Sin x. 其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。 我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。由力矩 与角加速度的关系不难得到， M = J * β。 其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶 导数）是角加速度。 于是化简得到 x'' * l = - g * Sin x. 我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项 就得到化简了的运动方程 x'' + Sin x = 0. 因为单摆的运动方程（微分方程）是 x'' + Sin x = 0…………（1） 而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是 x'' + x = 0………………（2）
简 谐 振 动
国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹 （Hz）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k
m
故有：
T 2π m k
1 k
2π m
由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性 质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期 和频率称为固有周期和固有频率。
v dx Asin（t ）
dt
a
d2x dt 2
2 Acos（t
）
【例10-1】如下图所示，一质量为m、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状态。 将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖 直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在 摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。
由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx
上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。
根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：
a F k x mm
因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω的平方表示，即ω2 ＝k/m，故上式可写为：
物理学
简谐振动
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
1.1 简谐振动的运动方程
如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。
单摆简谐运动公式
一、
1.首先，对于简谐运动（以弹簧振子举例），我们知道：
（1）F=−kx
（这里的k数值虽然与弹簧劲力系数相同，但物理意义表示为回复力与位移的比值）
（2）（x=Asin（ω.t+φ)
2.我们还知道：
（3）F=ma
3.要求周期，就要找到周期与其简谐运动本身的联系，由T=2π/ω
我们可知我们所求的T隐藏在（2）中。
4.我们需要联立上述公式以期望得出关于关于T的公式，
由于(3)牛顿第二定律的F可以用（1）带入，而且m属于已知条件，
所以我们迫切需要知道a，这样我们的问题就解决了。
5.我们来求加速度：
对于（2）我们知道进行一次求导其导函数为
（v=A⋅ωcos（ω.t+φ)
其物理意义为简谐运动某质点的瞬时速度。
知道了速度之后我们要知道瞬时加速度，就需要二次求导,得（4）（a=−A⋅ω2sin（ω.t+φ)
于是我们得到了加速度。
6.将（1）（4）代入（3），我们得
（−kx=−mA⋅ω2sin（ω.t+φ)
与（2）联立我们得（5）k=mω2
7.由T=2π/ω代入（5），我们终于得到简谐运动周期公式T=2πmk
二、那对于单摆又是怎样的呢？
我们知道：在单摆振幅极小时我们将其近似看做简谐运动，
其回复力F=−mgsinΘ此时可近似看做F≈−mglx
这里的mgl也就是所谓的回复力与位移比值k
将此处k代入简谐运动公式我们就得到了单摆周期公式（振幅极小时）：T=2πlg。
高中物理 单摆简谐运动的能量受迫振动和共振
单摆简谐运动的能量受迫振动和共振一、考点聚焦1、单摆，在小振幅条件下单摆做简谐运动Ⅱ2、单摆周期公式Ⅱ3、振动中的能量转化Ⅰ4、自由振动和受迫振动，受迫振动的频率Ⅰ5、共振及其常见的应用Ⅰ二、知识扫描1、单摆：一根上端固定的细线，下系一个小球就构成了单摆。
要求细线的质量、弹性可以忽略，线的长度比小球的直径大得多。
单摆的回复力是摆球重力的切向分力。
在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动。
单摆的周期公式为T=2πgl2、简谐运动的能量：简谐运动的能量就是振动系统的总机械能。
振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，则系统机械能越大。
阻尼振动的振幅越来越小。
3、简谐运动的过程是系统的动能和势能相互转化的过程，转化过程中机械能的总量保持不变。
在平衡位置处，动能最大势能最小，在最大位移处，势能最大，动能为零。
4、受迫振动：物体在外界驱动力的作用下的运动叫做受迫振动。
物体做稳定的受迫振动时振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
5、共振：当驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，这种现象叫做共振。
当驱动力的频率等于物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大。
驱动力的频率与物体的固有频率相差越远，受迫振动的振幅越小。
声波的共振现象叫做共鸣。
三、好题精析例1 铁道上每根钢轨长12.5m，若支持车厢的弹簧和车厢组成的系统周期为0.6s，那么列车的速度为多大时，车厢振动得最厉害？〖解析〗车厢振动的最厉害是因为发生了共振，由共振条件可知T驱=T固=0.6sT驱=vlV=6.05..12=21(m/s)〖点评〗火车行驶时，每当通过钢轨的接缝处时就受到一次冲击，该力即为驱动力。
当驱动力的频率与振动系统的固有频率相等时就发生了共振，车厢振动得最厉害。
例2 单摆做简谐运动时，下列说法正确的是（）A、摆球质量越大、振幅越大，则单摆振动的能量越大B、单摆振动能量与摆球质量无关，与振幅有关C、摆球到达最高点时势能最大，摆线弹力最大D、摆球通过平衡位置时动能最大，摆线弹力最大〖解析〗对于无阻尼单摆系统，机械能守恒，其数值等于最大位移处摆球的重力势能或平衡位置处摆球的动能。
单摆是简谐运动的严格证明高中物理机械振动北京海淀
1 单摆简谐振动的较严格证明
由E p =E k 可得出 ，根据机械能守恒
由此可求得
小球在P 点时的速度为v ，它沿半径为l 的圆弧运动，
所以它的向心加速度为
讨论小球在水平方向的运动，以小球的平衡位置为原点，以水平向右的方向为x 轴的正向，向上的方向为y 轴的正向，则小球在P 点时的加速度沿x 轴的分量为
上式近似为
此式与简谐振动的定义相比较，可知小球在x 方向的运动在摆角θ<<1弧度的条件下是一个简谐振动．由公式a=-ω2x 可以得出这个简谐振动的角频率
再由T=2π/ω可得出相应的周期，也就是单摆振动的周期公式。
简谐振动知识点精解
简谐振动·知识点精解1．简谐振动的特征(1)简谐振动的定义在跟对平衡位置的位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动，叫简谐振动。
①做简谐振动的回复力是由物体所受的合外力或某个力的分力提供。
②简谐振动物体回复力的表达式为：F=-kx(2)简谐振动的动力学特征F=-kx式中的k为回复力与位移的比例常数(未必是弹簧的劲度系数)，x是相对平衡位置的位移，负号表示回复力的方向始终与位移方向相反。
(3)简谐振动的运动学特征振动的位移随时间接正弦或余弦规律变化。
2．弹簧振子的振动过程具体情况见下表：3．单摆的周期公式(1)单摆做简谐振动①在物理学里，单摆是实际摆的理想化，是指在一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置。
②单摆做简谐振动的条件：振动过程中的最大编角不超过5°。
③单摆做简谐振动的回复力是重力mg沿圆弧切线的分力F=mgsinα提供(不要误认为是摆球所受的合外力)。
当α很小时(5°以下)，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，OP就是摆锤偏离平衡位置的位移。
如图7-3所示。
设摆长是l，因为sin式中负号表示力F跟位移x的方向相反。
由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数k来代替，所以上式可以写成F=-kx可见，在摆角很小情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐振动。
(2)单摆的周期公式①在摆角很小情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆锤的质量和振幅无关。
②单摆周期的表达式③上式只适于小摆角(＜5°)的情况。
根据周期公式算出的T值与实际测定值间的误差，随摆角增大而增大。
摆角为7°时，误差为0.1％；15°时，0.5％；23°时，1％。
单摆的最大摆角应小于5°。
④单摆的周期在振幅较小时，与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的。
谈谈单摆实验高考点以及简谐振动周期公式推导
谈谈单摆实验高考点以及简谐振动周期公式推导谈谈单摆实验高考点以及简谐振动周期公式推导单摆实验在高考中经常出现，主要是利用单摆来测量当地重力加速度，其原理为：T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}化解为：l=\frac{g}{4π^2}T^2或 T^2=\frac{4π^2}{g}l然后作出l-T^2或 T^2-l 的图像，通过图像斜率即可得到重力加速度。
非常简单！考点在哪里？主要有两点，就是周期T怎么测量？摆长l怎么测量？先说如何衡量周期。
只需要使用秒表以及如何使用。
我已经在下面的文章中介绍过了:考点在于我们测周期的时候，肯定要测多个周期，如n个周期，再用n个周期的总时间t除以n得到一个周期的时间，然后我们就要问，从哪个点作为周期的起点和终点呢？两种选择，一是最高点，二是平衡位置，如果要有第三个选择，那就是任意位置。
答案是什么？平衡位置。
原因是什么？我们可以这样认为。
一方面，最高点的位置很难判断，无法确定是否达到最高点，所以我们选择平衡位置来计数。
但是有小伙伴提出来了，平衡位置处小球速度比较快，一下就过去了，不好计数，而最高点处小球速度慢，好计数。
这是一个很好的问题。
但是做实验不是怎么方便就能怎么来的，我们仔细来分析一下，正因为在平衡位置处小球速度快，所以才要选择在平衡位置处计数，为什么呢？我们人眼是有观测误差的，不能保证每次都百分之百正确定位某一位置，比如，我们选择在最高点计数时，可能是定位在最高点的某个范围呢，如下：当然，在平衡位置计数时，也是定位在平衡位置的某个范围内，如下：但是，我们知道，平衡位置处小球运动速度快，所以同样因为位置定位误差所造成的时间误差比较小。
例：(2016年10月浙江物理选考第21题)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，测量单摆的周期时，图中________(填“甲”“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些。
接下来，我们再讲一讲摆长的问题，就是 l ，其实很简单，摆长不只是细线的长度，而是细线长度加上小球的半径，有小伙伴说，小球的半径是不是可以忽略，当然不可以了！但是有一点，我有必要跟小伙伴们说一下，我们测量细线长度用的是一般的刻度尺，读数为x.xxcm，即xx.xmm，而小球的半径（直径）是用游标卡尺测量的，如果用10分度的游标卡尺，其读数为xx.xmm，其精度与刻度尺相匹配，如果用20分度或50分度来测量的话，其精度将高于细线测量的精度，其实是没有必要的，当然也可以这样做。
单摆、简谐振动讲解
我们知道一个运动的物体，其动能为 Ek = 1/2mv^2，对于弹簧振子来说，弹性势 能就是Ep = 1/2kx^2，这样弹簧振子的动能就表示为Ek = 1/2mv^2 = 1/2mω^2*A^2，弹性势能就表示为Ep = 1/2kx^2 = 1/2kA^2，
当物体位于平衡位置时，势能为零，最大动能为Ek = 1/2mω^2*A^2，当物体位于 最大位移处时，动能为零，弹性势能最大值为Ep= 1/2kA^2，可见弹簧振子的总能 量是保持不变的，动能与势能之间相互转化，如图2所示，任意时刻弹簧振子的总能 量等于两者之和，也就是理想弹簧振子的机械能是守恒的。
下一章《一张动图，充分理解机械波的形成及其本质》，为您讲解机械波的本质。
Hale Waihona Puke 显然，小球受到的拉力Ft对A点的力矩为零， 当角位移θ小于5度时，可认为sinθ约 等于θ ，
于是M = -mgLθ ，根据转动定律M = Jα，可知α = (d^2θ)/(dt^2) = (-mgLθ)/J，又因为重物对A 点的转动惯量 J = mL^2， 带入上式就可以得到：(d^2θ)/(dt^2) = (-g/L)θ；可以看出这个等式与上一章讲到 的简谐振动的规律式是一样的形式，θ 就相当于位移x，因此单摆 也是一种简谐振动，其角频率 ω = (g/L)^(1/2)，周期就是 T = 2π*(g/L)^(1/2)， 只要测得摆线的长度L和周期T，就可以非常方便地测出当地的重力加速度。
《单摆与简谐振动的能量，再一次看 到了机械能的魅力》
上一章说到了简谐振动的基本规律，自然界中心脏的跳动、钟摆的摆动、活塞的往 复运动、固体中原子的振动，这些都属于机械振动，而本章就讲解一种非常普遍的 振动-单摆的振动。
图1所示的单摆中，摆线的长度为L，重物的体积非常小，可认为不受空气阻力的影 响，且质量为m，当把重物拉离平衡位置后，物体就会在平衡位置左右摆动，设摆 线与竖直线之间的夹角为θ ，并规定重物在平衡位置右方时θ 为正，在左边时θ 为负， 显然重物受到的重力 G = mg，当小球在图中位置向左摆动时，重力对A点的力矩为 M = -mgLsinθ，而力矩M的大小等效为重力沿切线方向上的分力与L的乘积，力矩 的方向与小球角位移θ 相反，因此M中的负号即表示方向相反；
单摆与双摆的简谐振动性质
单摆与双摆的简谐振动性质简谐振动是物理学中的一个重要概念，它在自然界中随处可见。
其中，单摆和双摆作为简谐振动的经典例子，具有丰富的物理现象和性质。
本文将对单摆和双摆的简谐振动性质进行探讨。
一、单摆的简谐振动性质单摆是由一个质点和一根不可伸长的轻绳组成的物体，当质点从平衡位置被偏离后，便会受到重力的作用而产生振动。
单摆的简谐振动性质可以从以下几个方面进行分析。
首先，单摆的周期与摆长有关。
根据物理学原理，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
即当摆长增加时，周期也会相应增加。
这是因为摆长增加会导致重力作用力的减小，从而延长了摆动的时间。
其次，单摆的振幅与摆长无关。
振幅指的是质点离开平衡位置的最大位移，而根据简谐振动的定义，振幅不会影响振动的周期和频率。
因此，无论摆长如何变化，单摆的振幅都不会对振动性质产生影响。
再次，单摆的频率与重力加速度有关。
频率指的是单位时间内振动的次数，而根据简谐振动的公式，频率与重力加速度的平方根成正比。
因此，重力加速度越大，单摆的频率也越高。
最后，单摆的能量守恒。
在单摆的振动过程中，质点的动能和势能会不断转化，但总能量保持不变。
这是因为单摆的振动是由重力势能和弹性势能之间的转换所导致的，而能量守恒定律保证了能量的总和始终保持不变。
二、双摆的简谐振动性质双摆是由两个单摆组成的系统，其中一个单摆固定在支架上，另一个单摆悬挂在第一个单摆的质点上。
双摆的简谐振动性质相较于单摆更加复杂，但也有一些共同之处。
首先，双摆的周期与摆长有关。
与单摆类似，双摆的周期与摆长的平方根成正比。
但是，双摆的摆长是由两个摆长之和决定的，因此其周期相对于单摆来说更长。
其次，双摆的频率与重力加速度有关。
同样地，双摆的频率与重力加速度的平方根成正比。
但由于双摆是由两个单摆组成的系统，其频率相对于单摆来说更低。
最后，双摆的能量守恒。
与单摆相似，双摆的能量也是守恒的。
在双摆的振动过程中，质点的动能和势能会相互转换，但总能量保持不变。
什么是简谐振动介绍简谐振动的特性与应用
什么是简谐振动介绍简谐振动的特性与应用知识点：简谐振动的概念与特性简谐振动是一种基本的振动形式，它是指物体在恢复力作用下，沿着固定轴线进行的往复运动。
在简谐振动中，物体的加速度与位移成正比，且方向相反。
这种振动具有以下特性：1.周期性：简谐振动的运动规律具有周期性，即物体完成一个完整的往复运动所需的时间是固定的。
这个周期被称为振动周期，用T表示。
2.振幅：简谐振动的最大位移称为振幅，用A表示。
振幅反映了振动的强度，即物体从平衡位置偏离的最大距离。
3.频率：简谐振动的频率f是指单位时间内完成的振动次数，它与振动周期T的关系为：f = 1/T。
频率的单位是赫兹（Hz）。
4.角频率：简谐振动的角频率ω是指物体在单位时间内沿圆周运动的弧度数，它与振动周期T的关系为：ω = 2πf。
角频率的单位是弧度每秒（rad/s）。
5.相位：简谐振动的不同时刻，物体所处的位置和速度状态称为相位。
相位差反映了两个简谐振动之间的相对位置关系。
6.谐波：简谐振动可以看作是无数个谐波（正弦或余弦波）叠加而成。
谐波是指振动方程中的频率为整数倍的角频率的振动分量。
知识点：简谐振动的应用简谐振动在生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1.机械振动：简谐振动在机械领域中具有重要意义，如桥梁、建筑物的抗震设计，以及各种振动机械的研究和制造。
2.声学：声波是一种常见的简谐振动，它在生活中应用于音乐、语音传播等方面。
声学的研究有助于提高音质和降低噪声污染。
3.电磁学：电磁波也是一种简谐振动，它在无线电、电视、手机等通信技术中发挥着重要作用。
4.物理学：简谐振动在物理学中具有基础地位，如弹簧振子、单摆等实验模型，它们有助于研究物体运动的规律。
5.生物学：生物体内外的许多振动现象都可以看作是简谐振动，如人的呼吸、心跳等。
研究简谐振动有助于了解生物体的生理功能和生态平衡。
6.控制工程：在控制工程领域，简谐振动用于分析和设计各种振动控制系统，以提高系统的稳定性和性能。
物理高考真题汇编——简谐运动、单摆
广西华南烹饪技工学校物理高考真题汇编——简谐振动、单摆第27节 简谐振动1.2013年上海卷4．做简谐振动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是 A ．位移 B ．速度C ．加速度D ．回复力答案：B解析：做简谐振动的物体，当它每次经过同一位置时，位移相同，加速度相同，位移相同，可能不同的物理量是速度，选项B 正确。
2.2015年上海卷17．质点运动的位移x 与时间t 的关系如图所示，其中做机械振动的是 （ ABC ）解析：机械振动是指物体在某一平衡位置附近做来回运动，质点运动的位移x 与时间t 的关系如图所示中，ABC 正确，D 错误。
3.2013年安徽卷24.（20分）如图所示，质量为M 、倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k 、自然长度为l 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m 的物块。
压缩弹簧使其长度为34l 时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。
重力加速度为g 。
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x 表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动； （3）求弹簧的最大伸长量；（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？ 答案：（1）k αmg L sin + （2）见解析 （3）k αmg L sin 24+（4）αααμsin cos 44cos )sin 4(2kL mg Mg αmg kL -++≥解析：（1）设物体在斜面上平衡时，弹簧的伸长量为ΔL ，有sin =∆-L k αmg解得kαmg L sin =∆ 此时弹簧的长度为kαmg L sin +（2）当物块的位移为x 时，弹簧的伸长量为ΔL ，物块所受合力为 )s i nL x k αmg F ∆+-=（合联立以上各式可得kx F -=合，可知物块作简谐振动。
简谐振动类单摆
23．2015东1（18分）如图甲所示，在劲度系数为k 的轻弹簧下挂一个质量为m 的物体，将物体从弹簧原长处无初速释放；图乙所示的物体和弹簧与图甲中完全相同，用手托着物体从弹簧原长处缓缓下落，直至手离开物体后，物体处于静止。
（不考虑空气阻力）（1）简要说明图甲中的物体被释放后做什么运动；（2）做出图乙中手对物体的支持力F 随物体下降位移x 变化的示意图，借助F -x 图像求支持力F 做的功的大小；（3）利用弹力做功只和始末位置有关的特点，求图甲中物体运动的最大速度。
23．（1）图甲所示物体被释放后做简谐运动。
（2）图乙中物体受重力mg 、弹簧弹力f 和支持力F ，因为缓缓下落，所以对任意位置满足kx mg F -=①当下降位移x =0时，支持力F =mg ； 当mg =kx ，即下降位移kmgx =时，支持力F =0。
F -x 图像如答图所示，图线下所围的面积等于支持力F 做的功：kg m k mg mg W 222121==②（3）图甲所示物体运动过程中只受到重力和弹簧弹力， 在受力满足kx mg =，即下降位移kmgx =时，有最大速度v 对物体从释放到有最大速度的过程应用动能定理，有221mv W mgx =-弹③因为图甲与图乙所示弹簧完全相同且弹簧弹力做的功只与始末位置有关，因此上式中的弹W 与图乙所示过程中弹簧弹力做的功相等对图乙所示过程应用动能定理0=--W W mgx 弹④F x得到弹W kg m 2221=代入③式，解得：图甲中物体运动的最大速度：kmg v =24．（20分）2015朝2（1）如图甲所示，M 、N 是真空中两个电荷量均为+Q 的固定点电荷，M 、N 间的距离为a ；沿MN 连线的中垂线建立坐标轴，P 是x 轴上的点，30OPM ∠=°。
已知静电力常量为k 。
a ．求P 点场强的大小和方向；b ．在图乙中定性画出场强E 随x 变化的图像（取向右为场强E 的正方向）。
单摆的简谐振动的条件
单摆的简谐振动的条件单摆是物理学中常见的振动系统，其由一质点用一个不可伸长的细线悬挂在垂直方向上，质点在重力作用下做简谐振动。
而单摆的简谐振动需要满足一定的条件，下面将对单摆的简谐振动的条件作详细阐述。
1. 摆线不能扭曲为了保证单摆的简谐振动，摆线必须保持直线状态，而不能在运动过程中发生扭曲，这需要摆线具有足够的硬度和韧性，以保证不会在振动过程中发生形变和扭曲。
当摆线发生扭曲时，模型就会变得复杂起来，导致简谐振动失去稳定性，从而难以预测和控制。
2. 摆线必须垂直于地面在实际操作中，单摆的摆线必须始终保持垂直于地面，以确保重力始终在同一平面内作用于摆球的质心上。
如果摆线与地面不垂直，那么就会导致摆球沿着一条弯曲的路径运动，这将造成简谐振动的条件不满足。
3. 摆球必须被视为质点在单摆系统中，摆球必须被视为质点，这意味着它必须具有无限小的大小和质量，从而可以忽略任何摆球的形变和细节。
另外，在摆动过程中，不会发生刚体的转动或者形变，因此，单摆中的摆球可以被看作一个点，并且其运动轨迹可以用一个简单的数学公式来描述。
4. 摆球受到的阻力必须非常小为了确保单摆的简谐振动，摆球受到的空气阻力必须非常小。
当摆球在振动过程中受到阻力时，其振幅将会逐渐减小，直至最终停止。
因此，摆球必须摆动于真空环境中，或者在阻力非常小的环境中，以确保简谐振动条件的满足。
5. 摆球受到的重力始终保持不变在单摆系统中，摆球必须始终受到相同的重力作用，以确保其简谐振动的稳定性。
当摆球受到的重力发生变化时，其振幅和频率也会相应发生变化，从而简谐振动的条件将不再成立。
总之，单摆的简谐振动必须满足一系列严格的条件，而这些条件的细节和规范需要根据实际情况进行调整和修改。
在实际操作中，还需要注意不同条件之间的相互作用和影响，以确保出现更准确的简谐振动效果。
1简谐运动单摆教案
第 次课 学生： 讲课时刻: 年 月 日 ： --- ：教师审核教师授课课题一、授课目的与考点分析：本课主要讲解简谐运动和单摆运动。
二、授课内容：一、机械振动1、概念：物体在某一位置附近 运动即为机械振动，简称振动。
2、平衡位置简介―――弹簧振子（结构，运动演示）运用理想化方法，突出主要因素，忽略次要因素，抽象出物理模型——弹簧振子，研究弹簧振子在理想条件下的振动 振动图像的获取方法：A ―――水摆法（实验：在行间匀速走动，地上留下水摆的图像） B----- 频闪照相描迹法（课本P 2）（观看课件：描迹法作图像）3、简谐运动的振动图象是一条什么形状的图线呢？简谐运动的位移指的是什么位移？（相对平衡位置的位移）【做一做】当弹簧振子振动时，沿垂置于振动方向匀速拉动纸带，毛笔P 就在纸带上画出一条振动曲线。
说明：匀速拉动纸带时，纸带移动的距离与时间成正比，纸带拉动一定的距离对应振子振动一定的时间，因此纸带的运动方向可以代表时间轴的方向，纸带运动的距离就可以代表时间。
介绍这种记录振动方法的实际应用例子：心电图仪、地震仪。
理论和实验都证明：（1）简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线。
让学生思考后回答：振动图象在什么情况下是正弦，什么情况下是余弦？（由开始计时的位置决定） 4、讨论图线：（请同学们相互讨论）（1）图线的x 、y 轴（横、纵坐标）分别表示什么物理量？（2）曲线是不是质点的运动轨迹？质点做的是什么运动？速度与加速度如何变化？ （3）图象的物理意义是什么？ （4）这条图线的特点是什么？二、通过图5振动图象，让同学回答直接描述物理量。
1．直接描述量： ①振幅A ： ②周期T ： ③任意时刻的位移X 。
2．间接描述物理量：（请学生总结回答）频率f ： x-t 图线上一点的切线的斜率等于V 。
【知识运用】例1、下图是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题： 1、在2s 、4s 、8s 这三个时刻，质点的位移是多少？ 2、在4s 、6s 、10s 这三个时刻，质点各在哪里？ 起航学校个性化辅导教案提纲y/cm 4 20 8 12 16 2 6 10 14 1 -2 -1t/s3、在1s 、3s 、5 s 这三个时刻，质点向哪个方向运动？2．某个弹簧振子在水平方向上做简谐运动，下列说法中正确的是（ ） A ．该振子的加速度和位移大小成正比，方向相反 B ．该振子的加速度和位移大小成正比，方向相同 C ．该振子做非匀变速运动 D ．该振子做匀变速运动3．如图，一水平弹簧振子，O 为平衡位置，振子在B 、C 之间做简谐运动，设向右为正方向，则振子（ ） A ．由C 向O 运动时，位移为正值，速度为正值，加速度为正值 B ．由O 向B 运动时，位移为正值，速度为正值，加速度为负值C ．由B 向O 运动时，位移为负值，速度为正值，加速度为负值D ．由O 向C 运动时，位移为负值，速度为负值，加速度为正值4．关于水平方向上做简谐运动的弹簧振子的位移，加速度和速度间的关系，下列说法中正确的是（ ） A ．位移减小时，加速度减小，速度增大B ．位移的方向 总是跟加速度的方向 相反，跟速度的方向相同C ．振子的运动方向 指向平衡位置 时，速度的方向 跟位移方向相同D ．振子的运动方向改变时，加速度的方向也改变5．若做简谐运动的弹簧振子的振幅是A ，最大加速度的值为a m ，则在位移X=A/2处振子的加速度值a= 。
单摆简谐运动公式
单摆简谐运动公式简谐振动是物体产生振动的一种现象，单摆简谐运动是这种振动的一种特殊形式。
在物理学中，它通常是一个小摆动源被一个恒定的弹力所支持，而随时间而改变的运动。
简谐振动是一种非线性系统中发生的一种常见形式，它的发生是由摆动到一定程度而过程极限所引起的。
它的发生会在一定程度内规律的发生。
单摆简谐运动的公式可以被写成：x=A0cosw0t，其中A0是摆动源的初始振幅，w0是角频率，其值为2πf，f是频率。
又有角加速度，它的值是-w^2*A0*sin(w*t)，A0是摆动源的初始振幅，刚开始摆动时，A0的值是最大的，随着时间的推移，A0的值势必会变小，这是由于摆动的消耗和空气阻力所导致的。
单摆简谐运动的运行有一定的规律，也可以用用动量守恒原理来证明它的稳定性。
根据动量守恒原理，单摆的动量的变化等于外力的反作用，当摆子运动时，外力的有效力就是摆动源的重力和摆环外的弹力力之和，摆动源的重力会对摆动产生拉力或推力，使得摆环总是保持着向量力的和为零。
摆动源的动量变化符合动量定理： d(mv)/dt=F，其中m为摆动源的质量，v表示摆环在特定时刻的速度，F为摆动源受到的外力。
上式中，除了拉力和推力之外，还有空气阻力的作用，则可以写成：d(mv)/dt=F-f，其中f是空气阻力的系数。
据此可求出运动的轨迹，即x = A0cos(ωt) - f/m*t，其中A0是振动的振幅，ω是角频率，f是空气阻力的系数，m是摆动源的质量。
此外，还有空气阻力的非线性作用，此时的运动公式又可以进一步更新，即x = A0cos(ωt) - f/2m*t2，从公式可以看出，随着时间的流逝，振幅A0也会随之变小，这就是单摆振动消退的原因之一。
单摆简谐运动作为一种常见的振动现象，已经得到了广泛的应用。
它的运动有着一定的规律性，且受到空气阻力和动量守恒定律的影响。
科学家们以动量守恒原理为基础，建立了单摆简谐运动公式，以便对单摆简谐振动进行分析和计算。
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• 析：设将摆提至最大偏 后释放，当摆至偏角 为 时，角速度为 ，根据机械能守恒定律有：
• 而对没有凹槽的一般单摆有：
• • 因此该振动系统的周期为
• 例5. 用一根长为L的细绳将一个密度
的小球
拴在盛水的容器底上，如图1所示。若使小球稍微偏
离平衡位置而振动起来，它的周期将是多少？（水的
阻力不计）
能力·思维·方法
【解析】(1)振幅为最大位移的绝对值，从图像可 知振幅A=5cm. (2)从图像可知周期T=0.8s，则振动的频率： f=1/T=1/0.8=1.25Hz. (3)由各时刻的位移变化过程可判断：t=0.1s、 0.7s时，质点的振动方向向上； t=0.3s，0.5s时，质点的振动方向下.
能力·思维·方法
【例3】将某一在北京准确的摆钟，移到南 极长城站，它是走快了还是慢了?若此钟在 北京和南极的周期分别为T北、T南，一昼夜 相差多少?应如何调整?
能力·思维·方法
【解析】单摆周期公式T= 2 l ，由于北京和南极
g 的重力加速度g北、g南不相等，且g北＜g南，因此 周期关系为：T北＞T南.
单摆简谐运动的图像
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展
要点·疑点·考点
1.单摆
(1)单摆：一条不可伸长的、忽略质量的 细线，一端固定，另一端拴一质点，这样构 成的装置叫单摆.
这是一种理想化的模型，实际悬线(杆)下接 小球的装置都可作为单摆.
(2)单摆振动可看作简谐运动的条件是最 大偏角α＜5°.
(5)单摆的等时性：在小振幅摆动时，单摆的 振动周期跟振幅和振子的质量都没关系.
要点·疑点·考点
2.简谐运动图像 (1)物理意义：表示振动物体的位移随时间变化
的规律.注意振动图像不是质点的运动轨迹. (2)特点：简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线.
要点·疑点·考点
(3)作图：以横轴表示时间，纵轴表示位移.如 图7-2-2所示.
能力·思维·方法
(4)质点在0.4s通过平衡位置时，首次具有负方向 的速度最大值.
(5)质点在0.2s时处于正向最大位移处时，首次具 有加速度负方向的最大值.
(6)在0.6s至0.8s这段时间内，从图像上可以看出， 质点沿负方向的位移不断减小，说明质点正沿着 正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所 以质点做加速运动.
能力·思维·方法
【例1】如图7-2-4所示，一块涂有 碳黑的玻璃板，质量为2kg，在拉 力F的作用下，由静止开始竖直向 上做匀变速运动，一个装有水平振 针的振动频率为5Hz的固定电动音 叉在玻璃板上画出了图示曲线，量 得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm，求外 力的大小.(g=10m/s2)
C.无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞 都不可能在平衡位置右侧
D.无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞 都不可能在平衡位置左侧
延伸·拓展
【解析】本题考查碰撞问题，且与单摆的周 期相结合，是综合性较强的应用题.单摆做简
谐运动的周期T= 2 l / g ，与摆球的质量无
关，与振幅的大小无关，碰后经过1/2T都将 回到最低点再次发生碰撞，下一次碰撞一定 发生在平衡位置，不可能在平衡位置左侧或 右侧.本题答案为C、D.
延伸·拓展
【解题回顾】本题在分析两次碰撞之间的时 间时用到了小球的运动是单摆的简谐运动模 型，运用模型解决问题是一种重要的物理思 想和能力.
如图6所示的装置中，摆球质量为m，摆长为L， 凹槽形滑块的质量为M，m与M、M与水平面之 间光滑。现使摆线偏转微小角度，从静止释放， 使摆球带动凹槽在水平面内振动（摆球在最低 点也不和凹底接触）。试求这个系统的振动周 期。
要点·疑点·考点
(4)应用： ①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x. ②判定各时刻的回复力、加速度方向. ③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、 动能、势能的变化情况.
课前热身
1.振动的单摆小球通过平衡位置时，小球受到 回复力的方向或大小正确的是(B)
A.指向地面 B.指向悬点 C.大小为0 D.垂直于摆线
课前热身
2.发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大(D) A.增大摆球质量 B.缩短摆长 C.减小单摆振幅 D.将单摆由山下移至山顶
课前热身
3.一单摆的周期T0=2s，则在下述情况下它的周 期会变为多大? (1)摆长变为原来的1/4，T= 1 s. (2)摆球质量减半，T= 2 s. (3)振幅减半，T= 2 s.
延伸·拓展
【例5】如图7-2-7所示，两单摆摆长相同，平 衡时两摆球刚好接触.现将摆球A在两摆线所在 平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两 摆球分开各自做简谐运动.以mA、mB分别表示摆 球A、B的质量，则( )
延伸·拓展
A.如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位 置左侧
B.如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位 置左侧
课前热身
4.关于简谐运动的图像，下列说法中正确是(BCD) A.表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线 B.由图像可求出质点振动的振幅和周期 C.表示质点的位移随时间变化的规律 D.由图像可判断任意时刻质点的速度方向和加速 度方向
课前热身
5.图7-2-3是某质点做简谐运动的图像，可知， 振幅是 2 cm，周期是 4 s，频率是 0.25 Hz.
【解题回顾】本题的难点是将图中曲线看做是两 种运动合成的结果.图中O点应为振动的起始点， 水平方向向左开始做简谐运动；竖直方向做匀加 速直线运动.
能力·思维·方法
【例2】如图7-2-5所示，是一个质点的振动图 像，根据图像回答下列各问：(1)振动的振幅； (2)振动的频率；(3)在t=0.1s、0.3s、0.5s、 0.7s时质点的振动方向；(4)质点速度首次具有 负方向最大值的时刻和位置；(5)质点运动的加 速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；(6) 在0.6s至0.8s这段时间内质点的运动情况.
为使该钟摆在南极走时准确，必须将摆长加长.
摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢 不同是由摆钟的周期变化引起的，分析时应注意：
(1)摆钟的机械构造决定了钟摆每完成一次全振 动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确 时钟摆的周期Ts.
能力·思维·方法
(2)在摆钟机械构造不变的前提下，周期变小时， 在给定时间内全振动的次数多，钟面上显示的时 间多.同理，周期变大时，钟面上显示的时间就少. 因钟面显示的时间总等于摆动次数N乘以准确摆钟 的周期Ts，即t显=N·Ts，所以在同一时间t内，钟 面指示时间之比等于摆动次数之比.
Hale Waihona Puke 能力·思维·方法【分析】从t=0开始经过1/4周期，振子具有 正方向的最大加速度；因为加速度方向总是 指向平衡位置，且加速度大小与位移大小成 正比，所以此刻振子应处在负的最大位移处， t=0时，振子应位于平衡位置，所以D对.
能力·思维·方法
【解题回顾】分析图像问题首先是理解图 像的物理意义，比如振动图像不能当成是 质点的运动轨迹；其次是掌握一些应用方 法和技巧，例如本题用的是特殊值方法， 另外还有应用图线的截距、斜率、包围面 积等方法.
•
• 例6. 一辆汽车以加速度a匀加速前进，在 车里有一个摆长为L的单摆，则该单摆 作微小角度摆动时的周期为多大？
• 例20．倾角为θ的光滑斜面上固定一摆长为L的单摆如图所示，它 做简谐运动的周期为
• 例3. 如图2(a)所示是一种记录地震装置的水平摆, 摆球m固定在边长 为L、质量可略去不计的等边三角形的顶角A上, 它的对边BC跟竖直线 成不大的夹角α,摆球可绕固定轴BC摆动, 求摆球作微小摆动时的周期.
说明在南极振动一次时间变短了，所以在南极摆 钟变慢了.
设此钟每摆动一次指示时间为t0s，在南极比在 北京每天快(即示数少)△ts.
能力·思维·方法
则在北京(24×60×60/T北)t0=24×60×60① 在南极(24×60×60/T南)t0=24×60×60-△t② 由①②两式解得△t=24×60×60(T北-T南)/T南.
T 2
3L
2g sin
(3)对于走时不准确的摆钟，要计算其全振动的 次数，不能用钟面上显示的时间除以其周期，而 应以准确时间除以其周期，即N准=t/T准.
能力·思维·方法
【例4】如图7-2-6所示，一个弹簧振子在A、B间 做简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时0 点(t=0)，经过1/4周期，振子具有正方向的最大 加速度，那么图7-2-6所示四个运动图像中正确反 映运动情况的图像是(D)
能力·思维·方法
【解析】振动周期T=1/5s=0.2s，图中OA、AB、
BC三段运动时间均为t=1/5s=0.1s，玻璃板的
运动为匀变速运动，设其加速度为a，由
△s=at2得:
a
(9
4) (4 0.12
1)
102
m
/
s2
2m /
s2
由牛顿第二定律得F-mg=ma，则F=mg+ma=24N.
能力·思维·方法
要点·疑点·考点
(3)摆球做简谐运动的回复 力是重力在切线方向的分力 F回=G1，如图7-2-1所示，重 力的另一分力G2和摆线的拉 力合力提供向心力.FG2=mv2/l在最大位移处v=0， F=G2.
图7-2-1
要点·疑点·考点
(4)周期公式：T= 2 l
g 式中l为小球摆动的圆孤半径即摆长，量取时 应从圆心量到球心.g为当地重力加速度(受力 复杂时有“等效重力加速度”之说).