第五章材料力学考试复习重点知识与练习题

第五章材料力学

主讲：钱民刚

第一节概论

材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸和形状，以达到安全与经济的设计要求。

◆一、材料力学的基本思路

（一）理论公式的建立

理论公式的建立思路如下：

（二）分析问题和解决问题

分析问题和解决问题思路如下：

◆二、杆的四种基本变形

杆的四种基本变形如表5−1 所列。

表5−1 杆的四种基本变形

◆三、材料的力学性质

在表5−1 所列的强度条件中，为确保构件不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力σmax不超过材料的某个限值。显然，该限值应小于材料的极限应力σu，可规定为极限应

力σu的若干分之一，并称之为材料的许用应力，以［σ］或［τ］表示，即

式中n 是一个大于1 的系数，称为安全

系数，其数值通常由设计规范规定；而极限

应力σu则要通过材料的力学性能试验才能确

定。这里主要介绍典型的塑料性材料低碳钢

和典型的脆性材料铸铁在常温、静载下的力

学性能。

（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下的钢称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的σ—ε曲线如图5−1 所示。

从图5−1 中拉伸时的σ—ε曲线可看出，整个拉伸过程可分为以下四个阶段。

1. 弹性阶段（Ob 段）

在该段中的直线段（Oa）称线弹性段，其斜率即为弹性模量E，对应的最高应力值σP为比例极限。在该段应力范围内，即σ≤σP，虎克定律σ=Eε成立。而ab 段，即为非线性弹性段，在该段内所产生的应变仍是弹性的，但它与应力已不成正比。b 点相对应的应力σe称为弹性极限。

2. 屈服阶段（bc 段）

该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变成分，除弹性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点σS称为屈服极限。这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成45°的滑移线，这是由于试件材料在45°的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。对于塑性材料来说，由于屈服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故σS是衡量塑性材料强度的一个重要指标。对于无明显屈服阶段的其他塑性材料，工程上将产生0.2%塑性应变时的应力作为名义屈服极限，并用σ0.2表示。

3. 强化阶段（ce 段）

在该段，应力又随应变增大而增大，故称强化。该段中的最高点e 所对应的应力乃材料所能承受的最大应力σb，称为强度极限，它是衡量材料强度（特别是脆性材料）的另一重要指标。在强化阶段中，绝大部分的变形是塑性变形，并发生“冷作硬化”的现象。

4. 局部变形阶段（ef 段）

在应力到达e 点之前，试件标距内的变形是均匀的；但当到达e 点后，试件的变形就开始集中于某一较弱的局部范围内进行，该处截面纵向急剧伸长，横向显著收缩，形成“颈缩”；最后至f 点试件被拉断。

试件拉断后，可测得以下两个反映材料塑性性能的指标。

（1）延伸率

式中 l0——试件原长；

l1——拉断后的长度。

工程上规定δ≥5%的材料称为塑性材料，δ＜5%的称为脆性材料。

（2）截面收缩率

式中 A0——变形前的试件横截面面积；

A1——试件拉断后的最小截面积。

低碳钢压缩时的σ—ε曲线与拉伸时对比可知，低碳钢压缩时的弹性模量E、比例极限σP和屈服极限σS与拉伸时大致相同。

（二）铸铁拉伸与压缩时的力学性质

铸铁拉伸与压缩时的σ—ε曲线如图5−2 所示。

图5−2 铸铁拉伸、压缩的力学性质

从铸铁拉伸时的σ—ε曲线中可以看出，它没有明显的直线部分。因其拉断前的应变很小，因此工程上通常取其σ—ε曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。它没有屈服阶段，也没有颈缩现象（故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时的最大应力σb），在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁是一种典型的脆性材料。

铸铁压缩时的σ—ε曲线与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉能力强得多，其塑性变形也较为明显。破坏断口为斜断面，这表明试件是因τmax 的作用而剪坏的。

综上所述，对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限σS（或名义屈服极限σ

0.2）作为极限应力σu的值；而对脆性材料制成的杆，应该取强度极限σb作为极限应力σu的值。

第二节轴向拉伸与压缩

◆一、轴向拉伸与压缩的概念

（一）力学模型

轴向拉压杆的力学模型如图5−3 所示。

（二）受力特征

作用于杆两端外力的合力，大小相等、方向相反，并沿杆件轴线作用。

（三）变形特征

杆件主要产生轴线方向的均匀伸长（缩短）。

◆二、轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力

（一）内力

由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力。

图5−3 轴向拉压杆的力学模型

P—轴向拉力或压力

（二）截面法

截面法是求内力的一般方法，用截面法求内力的步骤如下。

（1）截开。在需求内力的截面处，假想地沿该截面将构件截分为二。

（2）代替。任取一部分为研究对象，称为脱离体。用内力代替弃去部分对脱离体的作用。

（3）平衡。对脱离体列写平衡条件，求解未知内力。截面法的示意图如图5−4 所示。

图5−4 截面法的示意图

（三）轴力

轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以N 表示。轴力N 规定以拉力为正，压力为负。

（四）轴力图

轴力图表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线。

例5−1 试作图5−5（a）所示等直杆的轴力图。

解：先考虑外力平衡，求出支反R=10kN

显然NAB=10kN,NBC=50kN,NCD=−5kN，

NDE=20kN

由图5−5（b）可见，某截面上外力的大小

等于该截面两侧内力的变化。

图5−5 例5−1图

（a）外力图；（b）轴力图

◆三、轴向拉压杆横截面上的应力

分布规律：轴向拉压杆横截面上的应力垂直于截面，为正应力，且正应力在