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几何不变体系原则
几何不变体系原则几何不变体系原则是几何学的一个基本概念，用来描述物体在变化中保持几何形态和关系的性质。
它可以用来解释许多物理和数学中的问题，也是很多科学和工程领域的基础概念。
本文将详细介绍几何不变体系原则的基本概念和应用。
几何不变体系原则指的是在空间中一个对象的几何性质在变换之后保持不变。
这种不变性可以通过旋转、平移和缩放等操作来实现。
几何不变性的基本思想是，一个物体的形状和位置可以通过一系列几何变换来描述，并且这些变换不会改变物体的几何性质。
换句话说，无论如何改变一个物体的形状和位置，其几何关系都会保持不变。
几何不变体系原则的应用非常广泛。
在数学中，它被用来推导和证明几何定理。
在物理中，它被用来描述物体运动和相互作用的几何性质。
在计算机图形学中，它被用来实现图像的变换和处理。
在工程中，它被用来设计和分析各种结构和系统。
1.形状不变性：几何不变体系原则的最基本特点是对象的形状在几何变换之后保持不变。
例如，一个正方形经过旋转和缩放后仍然是一个正方形，只是大小和位置可能发生了变化。
这种形状不变性是几何不变体系原则的核心概念。
2.位置不变性：几何不变体系原则还要求对象的位置在几何变换之后保持不变。
例如，一个圆经过平移和旋转后仍然在原来的位置上，只是方向和位置可能发生了变化。
这种位置不变性是几何不变体系原则的另一个重要特点。
3.比例不变性：几何不变体系原则还要求对象的比例在几何变换之后保持不变。
例如，一个矩形经过缩放和旋转后仍然是一个矩形，只是长度和宽度可能发生了变化。
这种比例不变性是几何不变体系原则的另一个关键特点。
几何不变体系原则的应用可以通过各种几何变换来实现。
最常见的几何变换包括旋转、平移和缩放。
旋转是指将一个对象绕一个固定的点旋转一定角度，使对象的形状和位置发生变化。
平移是指将一个对象沿着一个固定的方向移动一定距离，使对象的位置发生变化但形状不变。
缩放是指将一个对象按照一个比例因子改变其尺寸，使对象的大小发生变化但形状和位置不变。
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系是指一类具有几何性质不变的变换组合，其组成规则可以简化为以下几点：
1. 平移不变性：任何平移对几何体的性质不产生变化。
平移是指将几何体的每个点沿着同一方向移动相同距离而保持原始形状不变。
2. 旋转不变性：任何旋转对几何体的性质不产生变化。
旋转是指将几何体绕着一个固定的点旋转一定角度而保持原始形状不变。
3. 缩放不变性：任何等比例的缩放对几何体的性质不产生变化。
缩放是指将几何体的每个点按照相同比例放大或缩小而保持原始形状不变。
4. 对合不变性：任何对合操作下几何体的性质不产生变化。
对合是指对几何体的两个操作进行反向操作，如顺时针旋转和逆时针旋转。
5. 反射不变性：任何对称操作不改变几何体的性质。
反射是指将几何体沿着一个对称轴折叠而保持原始形状不变。
根据这些规则，可以构建一系列几何变换操作，通过不同的变换组合来产生不同的几何不变体系。
这些简单的规则可以用来描述和理解许多几何问题和模式。
24平面几何不变体系的基本组成规则.
三、三刚片规则——平面内三个刚片的联结方式
A II B I
III
C
规律III：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在 一直线上，则组成内部几何不变且无多余约束的体系
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三个刚片两两相连，当存在无穷远瞬铰 时判断三铰共线 1、两个实铰（或有限远的虚铰）的连线与组成无 穷远瞬铰的链杆平行时， 三铰共线、体系瞬变
A
②
①
②
由二元体的性质可知：在一个体系上加上（或取消） 若干个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结 论，常为几何组成分析带来方便。
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二、两刚片规则——平面内两个刚片的联结方式
A
② ③
A II C B I
③
A
II B C
①
③ ②
B I
C I
规则II（表述之一）：两刚片用一铰和一链杆相连， 且链杆及其延长线不通过铰，则组成内部几何不变且 无多余约束的体系。 规则II（表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且 三根链杆不全交于一点且也不全平行，则组成内部几 何不变且无多余约束的体系。
C B B C
A A
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2、一个实铰（或有限远的虚铰）与两个相同方向的无
穷远瞬铰时， 三铰共线、体系瞬变。
3、三个瞬铰均为无穷远瞬铰时， 三铰共线、体系瞬变
A C A B C
B
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小 结 1) 二元体规则： 伸出两杆 （不共线）
发展结点
2) 二刚片规则： 一铰一杆 （铰可“实”可“虚”） 铰心勿穿 三根链杆 (不全平行） 不交一点
3) 三刚片规则： 三个铰链
不共一线(不全平行且不共一线)
几何不变体系原则PPT课件
连接的刚片数n 减少的自由度数m
2 3 45 2 4 68
m=（n-1）×2
作用：n个刚片用一个复铰连接，能减少（n-1）×2 个自由度。
※：一个复铰相当于（n-1）单铰
思考？？
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4 固定端：可以减少三个自由度。 5 平行支链杆：可以减少二个自由度。
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自由度的计算 W=3n-3r1-2r2-r3
W：自由度数 ； n：刚片数； r1：固定端数； r2：单铰数； r3：支链杆数。
例 计算图示体系的自由度
解
W=3×4－3×1－2×5－1 =－2
W=3×3－3×1－2×3－2 =－2
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2-2几何不变体系的组成规 律
几何不变， 且无多余约束
几何可变， 链杆通过铰
几何不变， 且有一个多余约束
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例
例
解 解 ■从基础开始增加杆件。
几何不变体系, 没有多余约 束。
几何不变体系，有4个多 余约束
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例
例
解 去掉二元体
将折杆画成直杆 几何不变体系， 且没有多余约束
解 去掉二元体 瞬变体系, 无多余约束。
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习题
习题
几何不变体系且没有多余 约束。
习题
例 C
D
例
B
E
解
A
F
解 从地基开始，依次增加二元 体AEF、ADE、FCE、CBF。
去掉一个多余约束
几何不变体系，AB为一个多 余约束。
去掉一个必要约束。
★按增加二元体顺序，多余约束可以是 ★多余约束的个数是一定的，位 AB、BC、CD、DE、EF中的任意一个。 置不一定，但也不是任意的。
几何不变体系的基本组成规则
几何不变体系的基本组 成规则
本节讨论平面杆件体系无多余约束的几何不 变体系的基本组成规则。
一、二刚片连接规则
两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相互 连接，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相连接， 组成无多余约束的几何不变体系。
Hale Waihona Puke 图2.10瞬变体系 发生微小位移后不再运动的体系 当两刚片之间用一个单铰及链杆连接时，若链
系的几何可变或不变性。
图2.14
四、对瞬变体系的进一步分析
如在图2.15(a)所示体系中，在荷载F作用下，铰C向 下发生一微小位移而到达C＇位置。
由图2.15(b)列出平衡方程
ΣX=0 FBCcosFACcos =0
得 FBC=FAC=FN
ΣY=0 2FNsinF=0
FN F
2 sin
当θ→0时，不论F有多小，FN→∞，这
将造成杆件破坏。
图2.15
结构力学
杆通过铰心［图2.11(a)、（b）］，则体系是几何可 变或瞬变的。
几何可变体系
瞬变体系 几何可变体系 图2.11
瞬变体系
二、三刚片连接规则
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两 相连，组成无多余约束的几何不变体系。
图2.12
瞬变体系 图2.13
三、加减二元体规则
二元体 两根不共线的链杆连接一个结点的装置 在一个体系上增加或减少二元体，不改变体
2.1 几何不变体系和几何可变体系
FP A A1 弹性变形 EI FP A
几何不变体系：刚体.swf
EI1=∞
几何不变体系：刚体.swf
B
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B
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一、几何不变体系和几何可变体系
2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材料 的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
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FP C D FP C C1 A B A B D
D1
a) 几何不变体系
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b) 几何可变体系
二、造成几何可变的原因
2、外部支承不恰当：如图a所示简支梁，本为几何不变 体系；但若将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b 所示，则在图示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性 平移，即变成了几何可变体系。
FP A B A FP A1
C
C1
B
ห้องสมุดไป่ตู้B1
a) 几何不变体系
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b) 几何可变体系
三、几何组成分析的目的
结构必须是几何不变体系才能承担荷载。 几何组成分析的目的主要就是要检查并设法 保证结构是几何不变体系；
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allrightsreserved重庆大学土木工程学院21几何不变体系和几何可变体系一几何不变体系和几何可变体系1几何不变体系受到任意荷载作用后若不考虑材料的应变其几何形状和位置均能保持不变的体系
2.1 几何不变体系和几何可变体系
一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑 材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
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1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。
几何不变体系
2、实际自由度S、计算自由度W和多余约束n之间的关系： S=（各部件自由度总数）－（非多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数－多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数）+（多余约束数）
所以：
S=W + n
由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是
体系的实际自由度！
11
Δ是微量
构使用.
P
只有几何不变体N 系才 N
能作为建筑结构使用！！
2
三、自由度：所谓体系的自由度是指体系运动时，可以 独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需独立坐 标的数目。
1、平面内一点＿2＿各自由度；
2、平面内一刚片＿3＿各自由度；
y x
yx 图a
yX
o
y
x
图b
3
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
m=7，h=9，r=3 W=3×m－2×h－r
=3×7－2×9－3 =0
10
注意：1、W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系 必须的约束数够不够。即：
W>0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。
W=0 实际约束数等于体系必须的约束数 不能断定体系
W<0 体系有多余约束
是否几何不变
由此可见:W≤0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而 不是充分条件。
F
Ⅱ
C A
C B
Ⅲ
19
（Ⅰ,Ⅱ） 例
Ⅰ
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
(Ⅰ,Ⅲ)
（Ⅱ，Ⅲ） （Ⅰ,Ⅱ）
（Ⅱ，Ⅲ）
如图示，三刚片以共线三铰相连 三刚片以三个无穷远处虚铰相连
7-2组成几何不变体系基本规则
几何可变体系
常变体系
瞬变体系
经微小位移后仍继续发生刚体运动的几何可变体系
原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体系
图3-12
图3-13
工程结构中不能采用瞬变体系，而且接近于瞬变的体系也应避免。
图3-14结构，由平衡条件可知，AB和BC杆的轴力
当 时，便是瞬变体系，此时若 （称为零荷载）则 为不定值；若 则 。这表明，瞬变体系即使在很小的荷载作用下也会产生巨大的内力，从而可能导致体系的破坏。
两铰在无穷远，且组成二无穷远虚铰的两对平行链杆互不平行，体系为几何不变；若相互平行，则为瞬变；若四杆平行且等长，则为常变。
三铰均无穷远时，体系瞬变；若三对同侧平行链杆各自等长，则为常变。
结构几何组成规则
结构组成分析－－判断体系是否几何可变；对于结构，
§7-2 组成几何不变体系基本规则
本章假设：所有杆件均为刚体（不考虑材料变形）
结构几何组成规则（几何不变体Biblioteka ）一刚片规则两刚片规则
三刚片规则
图3-6
图3-7
图3-8
一个结点与一个刚片用两根不共线的链杆连接可构成几何不变体系，且无多余约束。
两个刚片用一个单铰和一个不通过铰的链杆相连可构成几何不变体系，且无多余约束。
图3-14
零载法：
零载法是以静定结构静力解答惟一性为根据建立的，只用于计算自由度W=0的体系，可以从零载下是否有非零的内力存在来判定它是否几何不变。零载法不能进一步区分体系是几何常变还是瞬变 。
三刚片虚铰在无穷远处的判定规则
一铰在无穷远，且组成无穷远虚铰的两平行链杆与另二铰连线不平行，体系为几何不变；若平行，则瞬变；若平行且等长，则为常变。
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55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
几何不变体系原则介绍
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ活 动。——卢 梭