圆周运动

圆周运动
质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动，即质点运动时其轨迹是圆周的运动叫“圆周运动”。

它是一种最常见的曲线运动。

例如电动机转子、车轮、皮带轮等都作圆周运动。

圆周运动分为，匀速圆周运动和变速圆周运动（如：竖直平面内绳/杆转动小球、竖直平面内的圆锥摆运动）。

在圆周运动中，最常见和最简单的是匀速圆周运动（因为速度是矢量，所以匀速圆周运动实际上是指匀速率圆周运动）。

匀速相关公式
1、v(线速度)=L/t=2πr/T=ωr=2πrf=2πnr(L代表弧长，t代表时间，r代表半径，n为频率，ω为角速度)
2、ω(角速度)=θ/t=2π/T=2πf（θ表示角度或者弧度）
3、T（周期）=2πr/v=2π/ω
4、f（频率）=1/T
6、Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2f^2
7、an（向心加速度）=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^2
一、水平面内的圆周运动的两种模型
模型Ⅰ圆台转动类
小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图1所示．物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力(设最大静摩擦力等于摩擦力)提供小物块做圆周运动所需的向心力．水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”．
图1
摩擦力提供向心力
临界条件圆台转动的最大角速度ωmax=，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；
当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道．
模型Ⅱ火车拐弯类
如图2 所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力．圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”．
合力提供向心力
图2
临界条件若v=，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F之和提供火车拐弯时
所需的向心力；若v>，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F之差提供火车拐弯时所需的向心力．
二、两种模型的应用
例1 如图3所示，半径为R的洗衣筒，绕竖直中心轴00'转动，小橡皮块P靠在圆筒内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ.现要使小橡皮块P恰好不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为多大?(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
图3 图4
【解析】此题属于“圆台转动类”，当小橡皮块P绕轴00'做匀速圆周运动时，小橡皮块P受到重力G、静摩擦力f和支持力N的作用，如图4所示.
其中“恰好”是隐含条件，即重力与最大静摩擦力平衡f max=G，μN=mg
列出圆周运动方程N=mω2min R
联立解得ωmin=
例2 在半径为R的半球形碗的光滑内面，恰好有一质量为m的小球在距碗底高为H处与碗保持相对静止，如图5所示．则碗必以多大的角速度绕竖直轴在水平面内匀速转动?
图5
【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小球做匀速圆周运动时，其受到重力G和支持力F的作用，如图5所示.
隐含条件一是小球与碗具有相同的角速度ω，隐合条件二是小球做匀速圆周运动的半径r=Rcosθ．
列出圆周运动方程Fcosθ=mω2Rcosθ
竖直方向上由平衡条件有Fsinθ-mg=0
其中 sinθ=
联立解得ω=
例3 长度为2l的细绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为l的A、B两点，一质量为m的光滑小圆环套在细绳上，如图6所示．则竖直棒以多大角速度匀速转动时，小圆环恰好与A点在同一水平面内?
图6
【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小圆环做匀速圆周运动时，小圆环受到重力G、绳OB的拉力F和绳OA的拉力F的作用，如图7所示
图7
隐含条件一是小圆环与棒具有相同角速度ω，隐含条件二是小圆环光滑，两侧细绳拉力大小相等，隐含条件三是小圆环做匀速圆周运动的圆心为A点、半径为r(OA)．列出圆周运动方程 F+Fcosθ=mω2r
由平衡条件有 Fsinθ-mg=0
其中 cosθ=，sinθ=
联立解得ω=
练习
1，如图所示，半径为R半球形碗表面光滑，一质量为m小球以角速度ω在碗一做匀速，求小球所做轨道平面离碗底距离h．
如图所示，用长为L细线拴一个质量为m小球，使小球在做匀速，细线与竖直方向间夹角为θ，求：
（1）细线拉力F；
（2）小球周期T
3、如图8所示，质量均为m的A、B两物体用细绳悬着，跨过固定在圆盘中央光滑的定滑轮．物体A与圆盘问的动摩擦因数为μ，离圆盘中心距离R．为使物体A与圆盘保持相对静止，则圆盘角速度ω的取值范围为多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
图8
4、如图9所示，长度分别为l1和l2两细绳OA、OB，一端系在竖直杆，另一端系上一质量为m的小球，两细绳OA和OB同时拉直时，与竖直杆的夹角分别为30°、45°.则杆以多大角速度转动时，两细绳同时且始终拉直？
绳模型底部速度
杆模型底部速度
例题解析
轻绳模型例题
1、用细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平面内作圆周运动，则下列说法中，正确的是 [ ]
A．小球过最高点时，绳子中张力可以为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度是
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
2、质量为m 的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所受拉力之差是： [ ]
A、6mg
B、5mg
C、2mg
D、条件不充分，不能确定
3、小球在竖直放置的光滑圆轨道内做圆周运动，圆环半径为r，且刚能通过最高点，则球在最低点时的速度和对圆轨道的压力分别为： [ ]
A、4rg，16mg
B、，5mg
C、2gr，5mg
D、，6mg
4、图所示，在倾角α=30°的光滑斜面上，有一根长L=0.8m的细绳：一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2kg的小球，沿斜面作圆周运动，试计算：
（1）小球通过最高点A的最小速度。

（2）细绳抗拉力不得低于多少？若绳的抗拉力为Fmax=10N，小球在最低点B的最大速度是多少？
5、质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=l/2，过E作水平线EF，在EF上钉一铁钉D，如图所示。

若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围（不计线与钉子碰撞时的能量损失）。

P89
6、如图一摆长为l的摆，摆球质量为m，带电量为-q，如果在悬点A放一正电荷q，要使摆球在竖直平面内做完整的圆周运动，则摆球在最低点的速度最小值应为多少？
轻杆模型例题
1、轻杆一端固定在光滑的水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球，如图所示，给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P。

下列说法正确的是：
A、小球在最高点时对杆的压力为零
B、小球在最高点时对杆的压作用力的大小为mg
C、若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力一定增大
D、若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力可能增大
2，如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 [ ]
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
3、如图所示，M为固定在水平桌面上的有缺口的方形木块，abcd为圆周的光滑轨道，a为轨道的最高点，de面水平且有一定长度。

今将质量为m的小球在d点的正上方高为h处由静止释放，让其自由下落到d处切入轨道内运动，不计空气阻力，则（）
A．在h一定的条件下，释放后小球的运动情况与小球的质量有关
B．只要改变h的大小，就能使小球通过a点后，既可能落回轨道内，又
可能落到de面上
C．无论怎样改变h的大小，都不可能使小球通过a点后落回轨道内
D．调节h的大小，使小球飞出de面之外（即e的右面）是可能的
4、如图所示，在光滑水平地面上有一辆质量为M的小车，车上装有一个半径为R的光滑圆环。

一个质量为m的小滑块从跟车等高的平台上以速度v0滑入圆环。

试问：小滑块满足什么条件才能使它运动到环顶时恰好对环顶无压力？
注：此题中在最高点用的是相对速度，因半径是相对半径
5、如图所示，内径很小的光滑管道固定在水平桌面上，ABC部分为半圆形管道，CD部分为水平直管道，两部分接触处相切，管道平面在竖直平面内，上进口A处距地面的高度为H，下出口处与桌子的边缘相对齐，今有两个大小相同、质量均为m的弹性金属小球a和b，它们的半径略小于管道内径且可视为质点，先将b球静止放于D处，再将a球从A处由静止释放，让其开始沿管道运动，并与b球发生无能量损失的碰撞，求：
（1）当a球即将与b球碰撞时，a球对管道的压力为多少？
（2）当管道半径R取何值时，a球与b球碰撞后，b球离开桌子边缘的水平距离最大？最大值为多少？
6、如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆形轨道，D为BDO轨道的中央。

一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由下落，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的14/3倍，取g=10m/s2。

（1）求H的大小；
（2）试讨论此球能否到达BDO轨道上的O点，并说明理由；
（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度大小是多少？。