复变函数(分式线性变换)
复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
复变函数课程简介
1．课程名称复变函数学时：54 学分：3课程主要内容：复变函数是数学中既经典而又充满活力的一个分支。
在数学的发展过程中，复变函数发挥了重要的作用。
它在其它学科（如空气动力学、流体力学、弹性力学、热学、电磁学、理论物理、电子工程及通讯等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论及数论等）都有重要的应用。
它一直是大学数学教育的基本内容之一。
本课程内容主要包括: 解析函数(解析函数的定义、初等函数等) 、共形映射(共形映射的定义、分式线性变换及初等映射等)、复积分(Cauchy 积分公式、Cauchy定理等)、级数(Laurent级数、孤立奇点、局部映射等)、留数及其应用(留数定理、利用留数计算积分、幅角原理、最大模原理、Schwarz引理等)、解析开拓和调和函数等内容。
教学目的及要求：通过本课程的学习, 使得学生在学习到复变函数的基本内容和基本方法的同时, 得到较好的复分析方面的训练。
并且培养学生具有.一定的利用所学知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，使学生要掌握以下内容：（1）解析函数概念与C-R条件。
包括解析性条件，初等解析函数及其性质。
（2）Cauchy积分理论。
包括Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及解析函数的无穷可微性，Liouvill定理，最大模原理，Schwarz引理等。
（3）Wierstrass级数理论。
包括Talor定理，Lanrent定理，唯一性定理，奇点分析等。
（4）Riemann保形变换理论。
包括解析变换的保形性，线性变换及其性质，区域之间保形变换的存在性与唯一性，边界对应原理等。
其中（1）是基础性知识，（2）（3）（4）分别从分析、代数、几何三个不同角度讨论了解析函数性质及其应用。
(完整)《复变函数》练习题
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福师12秋《复变函数》练习题注:1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =（ )A ． B. C ． D ．答案：D2．函数在复平面上（ ） A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C 。
处处连续，仅在点z =0可导 D.处处连续，仅在点z =0解析 答案:C3．设C 是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )A ．B ．C ．D ．0答案：C 4．，分别是正向圆周与，则( ）A ．B ．cos2C ．0D ．sin2答案：D二、填空题1()e ei--1()e ei-+1()e e i --1e e-+2()f z z =00z ≠530()C z dz z z =-⎰2iπ3020z iπ502z i π1C 2C 1z =21z -==-+-⎰⎰dz z zi dz z e i c c z212sin 21221ππ2i π1. 设，则________。
考核知识点:复数代值。
2．设是解析函数．若,则______． 考核知识点:解析函数的导数.3. 设C 为正向圆周,则 。
考核知识点：柯西积分公式.4．幂级数的收敛半径为_________.考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. = .考核知识点:复数的乘幂。
提示：6．设为的极点，则____________________．考核的知识点:函数的极点。
复变函数1-4章
(三) 复变函数的积分（8学时)
内容：复变函数积分的定义、性质和计算；柯西－古萨（Cauchy－Goursat） 基本定理及其推广-复合闭路定理；Cauchy积分公式及解析函数的高阶导数； 解析函数与调和函数的关系。 1.基本要求 （1） 理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的基本性质及一般计算 方法。 （2） 理解柯西－古萨基本定理及其推论。 （3） 熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分的方法。 （4） 了解摩勒拉(Morera）定理。 （5） 了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求 其虚（实）部。； 2.重点、难点 重点：柯西－古萨基本定理及柯西积分公式。 难点：摩勒拉(Morera）定理。 3.说明：本章内容是整个复变函数理论的基础。
3
复变函数发展的三个节点：
1、Euler公式 在复数域 下把三角函数、双曲函数和指数函数统一起来； 2、Cauchy-Riemann条件 u ; u
x y y x
eix cos x i sin x
定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，即 f (z)dz 0 3、幂函数闭路积分
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z z | z |2
18
z1 z1 ( ) z2 z2
2 2
( 3 ) z z R e ( z ) Im ( z ) x y
2
2
例1 : 设z1 5 5i , z 2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
Complex Analysis
复变函数7.2第7.2节分式线性函数
注解：
注解1、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映 射成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两 个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域 ，D1, D2 及D1', D2'，其边界分别是C及C'。
注解2、此分式线性函数把 D1映射成之中 D1', D2' 的一个区域；
注解3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点 。
y
w1
z x
w 1/ z
引理4.1:
引理4.1 不同两点 z1 及 z2 是关于圆C的对称点的 必要与充分条件是：通过 z1 及 z2 的任何圆与圆 C直交。
证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或 者C是半径为有限的圆， z1 及 z2 之中有一个是 无穷远点，则结论显然。
w az b , cz d
定理 4.2的证明：
那么，由
w1
az1 cz1
b d
,
w2
az2 cz2
b d
,
w2
az2 b cz2 d
得
w
w1
(az
b)(cz1 d ) (az1 b)(cz (cz d )(cz1 d )
d
)
(z z1)(ad bc)
分式线性函数的反函数为 z w , w
它也是分式线性函数，其中 ( )() 0
注解：
注解1、当 0 时，所定义的分式线性函数是 把z平面双射到w平面，即把C双射到C的单叶解 析函数；
复变函数第六章共形映射习题ppt课件
在 z平面上任意给定三个相异的点z1, z2, z3,
在 w 平面上也任意给定三 个相异的点w1, w2, w3, 那么就存在唯一的分式线性映射, 将 zk (k 1,2,3) 依次映射成 wk (k 1,2,3).
即w az b (ad bc 0)可由下式给出: cz d
w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
故命题得证.
[证毕]
29
例6 试将如图所示的区域映射到上半平面.
解
取分式线性映射w1
z z
i i
,
将切点i映射为w1 ,并将
z i映射为w1 0.
y i
•
O
1x
由分式线性映射的保圆性知：
i
w1将两相切的圆周映射为两平行的直线(且w1(1) i).
取旋转变换
w2
i
e 2 w1
iw1
将铅直带形域
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
14
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w zn(n 2). 映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
(z)
0
0
w zn zn w
(w)
n 0
0
15
的一条有向光滑曲线 w f [z(t)], z , 且
4
1) 导数f (z0 ) 0的幅角Arg f (z0 )是曲线C经过 w f (z)映射后在z0处的转动角. 2) 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关.
3)保角性 相交于点z0 的任意两条曲线C1与 C2之间的
复变函数理论中的共形映射及其性质
复变函数理论中的共形映射及其性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究复平面上的复数函数。
复变函数理论的一个重要概念是共形映射。
共形映射是指保持角度不变的映射关系。
本文将讨论复变函数理论中的共形映射及其性质。
一、共形映射的定义共形映射是指保持角度不变的映射关系。
设f(z)是一个定义在复平面上的复变函数，如果对于平面上任意两条非平行的曲线，这两条曲线在映射f下的对应曲线的切线之间的夹角等于原曲线对应切线的夹角，那么称f(z)是一个共形映射。
二、共形映射的性质1. 保角性质：共形映射保持角度不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，如果z1、z2、w1和w2在同一条直线上，那么它们的夹角相等。
2. 保距性质：共形映射保持距离不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，那么z1和z2之间的距离等于w1和w2之间的距离。
3. 保边界性质：共形映射保持边界不变。
若一个区域的边界曲线在共形映射下映射到另一个区域，那么映射后的曲线仍然是原来区域的边界曲线。
4. 保圆性质：共形映射将圆映射为圆。
具体来说，若一个圆在共形映射下映射为另一个曲线，那么映射后的曲线仍然是圆。
三、常见的共形映射复平面上的共形映射有很多种，下面介绍几种常见的共形映射：1. 线性变换：线性变换是一类共形映射，表达形式为f(z)=az+b，其中a和b是复数，a≠0。
线性变换可以将直线映射为直线或者圆。
2. 幂函数：幂函数是一种共形映射，表达形式为f(z)=z^n，其中n是整数。
幂函数可以将圆映射为圆或者直线。
3. 分式线性变换：分式线性变换是另一类共形映射，表达形式为f(z)=(az+b)/(cz+d)，其中a、b、c和d是复数，ad-bc≠0。
分式线性变换可以将圆、直线或者半平面映射为圆、直线或者半平面。
四、应用领域共形映射在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。
大学物理-大学物理思维导图
e1
z
的各阶导数及其在
z
0点的值，故
1
e1 z
e(1
z
3
z2
13 z3
)
1
2! 3!
因为 e1z 的唯一的奇点为 z ，1 故类似于上例可求得其
收敛圆为 z 1
例2 计算积分
I
dz
, 设L为: z 2a (a 0)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
a.指数函数ez （具有周期性）
b.三角函数
cos
z
eiz
eiz 2
, sin
z
eiz
eiz 2i
cos
z,
sin
z
可以大于1
c.双曲函数
cosh z ez ez , sinh z ez ez
2
2
从复变函数意义上说，双曲函数与三角函数基本上是
一个变量代换z iz,二者没有本质区别
（3）导数定义 （4）可导充要条件：
lim R
zn-1 或 lim
1
n zn n n zn
特别提醒：以前在实变级数中
lim
n
zn z n -1
或 lim n n
zn 然后R
1
6.圆形区域的泰勒展开
1.直接计算泰勒系数ak
f k b
k!
2.换元法：常借助 1
tk t 1
1 t k0
3.利用两个绝对收敛的幂级数的乘积和商
所以
f
'' (z)
(3 2z) (1 z)2
f
' (z),
f
浅谈分式线性变换的性质及应用
浅谈分式线性变换的性质及应用1 分式线性变换的定义在复变函数中，如果)(z f w =在区域D 内是单叶且保角的，则称它为D 内的共形映射. 形如dcz baz w ++=(1)其中0≠-bc ad 且R d c b a ∈,,,,称为分式线性变换,简记为)(z L w =,可变形为acw bdw z -+-=('1)且(1)式总可以分解成下列简单类型变换的组合: (Ⅰ)h kz w += (0≠k ) 称为整线性变换 (Ⅱ)zw 1=称为反演变换 由上可知分式线性变换是共形映射中的一种常见的基本变换,是扩充复平面到自身的一对一的映射.德国数学家A.F.Mobius 对此作过大量的研究,所以在很多文献中分式线性变换也称为Mobius 变换.2 分式线性变换的性质分式线性变换作为共形映射的一种基本变换,具有四个重要的性质,这些性质使它具有了很多的优点:在处理边界为圆弧或直线的区域变换中发挥了重要的作用,使复杂问题简单化.下面将给出它的四个重要性质.2.1 分式线性变换的保形性 定义1)289](1[P 二曲线在无穷远点处的交角为α,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为α.按照上面的定义,反演变换在0=z 及∞=z 处是保角的,且整线性变换在扩充z 平面上是保角(形)的,由此我们得出 定理1)290](1[P 分式线性变换(1)在扩充z 平面上是保形的.2.2 分式线性变换的保交比性 定义2)291290](1[-P 扩充z 平面上有顺序的四个相异点1z ,2z ,3z ,4z 构成下面的量,称为它们的交比,记为(1z ,2z ,3z ,4z )(1z ,2z ,3z ,4z )=2414z z z z --:2313z z z z --注 当四点中有一个点为∞时,应将包含此点的项用1代替. 定理2 在分式线性变换下,四点的交比不变. 证明 设 dcz baz w i i i ++= 4,3,2,1=i则))(())((d cz d cz z z bc ad w w j i j i j i ++--=- (j i ≠)利用上式可得(1w ,2w ,3w ,4w )=23132414:w w w w w w w w ----=2414z z z z --:2313z z z z --=(1z ,2z ,3z ,4z ) 证完.2.3 分式线性变换的保对称点性 定义3)294](1[P 1z ,2z 关于圆周γ:R a z =-对称是指1z ,2z 都在过圆心a 的同一条射线上,且合221R a z a z =--.此外,我们规定圆心a 与点∞关于γ对称. 在介绍定理之前先引入一引理如下: 引理)295](1[P 扩充z 平面上两点1z ,2z 关于圆周γ对称的充要条件是通过1z ,2z 的任意圆周都与γ正交.定理3 设扩充z 平面上两点1z ,2z 为关于圆周C 的一对对称点,那么在分式线性变换)(z L w =下,它们的象点1w =)(),(221z L w z L =两点也是关于圆周C 的象曲线圆周Γ的一对对称点.证明 设 过1w 及2w 的任何圆周'Γ,都是过1z ,2z 的圆周'C 由分式线性变换（1）变换而来,由上面的引理, 过1z ,2z 的任意圆周'C 都与C 正交,根据分式线性变换的保形性,过1w ,2w 的任何圆周'Γ与圆周Γ正交,又由引理知1w ,2w 关于Γ对称.证完.2.4 分式线性变换的保圆(周)性定理4 在分式线性变换(1)下,扩充z 平面上的圆周共形映射成扩充w 平面上的圆周. 证明 在圆周方程0)(22=++++D Cy Bx y x A (2) 中,令2_z z x +=,iz z y 2_-=,_22z z y x =+则(2)变为0___=+++D z z z Az ββ (3) 注 ,,,,R D C B A ∈AD >2β(在0=A 时,表示一直线),)(21iC B -=β. 在分式线性变换(1)下,利用('1)及 _______aw c b w d z -+-=(3)式变成扩充w 平面上的圆周0___=+++F w w w Ew γγ 其中Aba Dab a b a b Ab F cDc d c d c d Ad E -=++-=++-=γββββ__________)()(都是实数(在0=E 时,方程表示直线) 证完.3 分式线性变换的应用分式线性变换从几何角度“形”的方面对解析函数进行研究，是复变函数的重要组成部分，在复变函数中它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中具有重要的作用,即任给两个圆周(或直线)C 及Γ,必存在一个分式线性变换,它把C 保形变换到Γ,若在C 上按逆时针方向取三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上也是按逆时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,且这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的左(右)侧区域;若在C 上按逆时针方向取的三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上按顺时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,则这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的右(左)侧区域.下面是几个典型的分式线性变换.3.1 将上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换例1 把上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换可以写成dcz baz w ++=,其中R d c b a ∈,,,且0>-bc ad (4)证明 )(21Im _w w iw -=)(21__dz c b z a dcz b az i ++-++=)(21_2z z d cz bcad i -+-=z dcz bc ad Im 2+-=此时它必将下半平面共形映射成下半平面.注将上半z 平面共形映射成下半w 平面的分式线性变换dcz baz w ++=只需让上式（4）中条件0<-bc ad ，它必将下半z 平面共形映射成上半w 平面.3.2 将上半平面共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例2 求出将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换,并使上半平面上一点)0(Im >=a a z 变为0=w .解 如图根据分式线性变换的保对称点性,点a 关于实轴的对称点_a ,应该变到0=w 关于单位圆周的对称点∞=w ,这个变换应当具有形式_az a z kw --=其中k 是常数, k 值的确定,可使实轴上的点,例如0_=z 共形映射成单位圆周上的一点_aa kw =所以k aa k==_1因此,可以令βi e k =(β是实数),最后得到所求的变换为 _az a z e w i --=β(0Im >a ) （5）此时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆外部1>w .注 如果将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆周外部1>w ,只需将（5）式中括号里的条件变为0Im <a ,同时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆内部1<w .3.3 将单位圆周内部共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例3 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周1<w 的分式线形变换,并使一点)1(<=a a z 变到0=z .解 如图)(z L w =由题意,所求的映射应将z 平面上的单位圆1:=z C 变为w 平面上的单位圆1:'=w C .由于要把点)1(<=a a z 变为点0=w ,而关于圆周C 与点a 对称的点是_1a,关于圆周'C 与点0=w 对称点是∞,由分式线形变换的保对称点性知,所求映射应将点a z =共形映射成点0=w ,将点_1az =共形映射成点∞=w .不妨设所求分式线性变换为_'1az az kw --=,'k 为待定系数. 即za a z k a w _'_1---=令'_k a k -=得za a z kw _1--=为确定k ,利用C 上的点的象在'C 上,取点1=z 代入上式应满足1=w ,即111_=--=aa kw所以1=k ,从而得θi e k =,(θ为任意实数).所以 za a z e w i _1--=θ,(1<a ,θ为任一实数). （6）此时它必将单位圆周外部1>z 变到单位圆周外部1>w .注 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周外部1>w 的分式线性变换只需让（6）式括号中1>a 即可;同时,它必将单位圆周外部1>z 共形映射成单位圆周内部1<w .3.4 分式线性变换的综合应用综上所述,我们可求出任意圆形区域(含半平面)到圆形区域的线性变换,若没有任何其它要求,这种线性变换的表达式中包含了两个任意常数,因此,这种变换有无穷多个;如果指定区域内某点的象,则相应的这一点关于圆周(或直线)的对称点应变到相应象点关于象圆周的对称点,这样线性变换中就剩下一个任意复常数;圆的位置变换可经平移得到,圆心在原点的圆可用)0(>=ααz w 使圆放大或缩小,这样我们就可以将任意圆形域(含半平面)变成任意的圆形域(含半平面).例4 求将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0的分式线性变换)(z L w =,使符合条件0)(w i L =,.0)('>i L解 做分式线性变换Rw w 0-=ξ 将圆R w w <-0共形映射成单位圆1<ξ.然后,作出上半平面0Im >z 到单位圆1<ξ的共形映射,使i z =变成0=ξ,该分式线性变换为iz iz ei +-=θξ (为了应用以上三例的结果,我们在z 平面与w 平面间插入一个“中间”平面——ξ平面.)复合以上两个分式线性变换得iz iz e R w w i +-=-θ0 它将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0，i 变成0w .又由条件0)('>i L 可得()ie i z iz i z e dzdw R i iz i iz 2112θθ=++-+=== 也就是 ()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=2'221Re πθθi i e R i i L所以 i e i ===-θπθπθ,2,02故所求分式线性变换为 0w iz iz Riw ++-= 从以上讨论得到分式线性变换作为一类特殊的共形映射有很好的性质,保圆性、保对称点性、保形性、保交比性，并且分式线性变换能将圆形区域(含半平面)变成规则的区域,它有很多用途.总结分式线性变换的这些特性对我们以后的学习会很有帮助的.而上述这些从性质和应用两方面说明了分式线性变换的重要性，鉴于此，我尝试对该领域内主要贡献者的观点进行归纳整理，力求使该部分内容更加清晰、系统，并从几何角度对分式线性变换作全面分析，更加体现出分式线性变换的重要作用.参考文献：[1] 钟玉泉. 复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 余家荣. 复变函数[M]. 北京：高等教育出版社，2005[3] 肖荫庵. 复变函数论[M].吉林: 东北师范大学出版社,1987[4] 于慎根、杨永发、张相梅. 复变函数与积分变换[M].天津：南开大学出版社，2006[5] 钟玉泉. 复变函数学习指导[M].北京: 高等教育出版社，2005[6] 杨林生. 复变函数[M].北京: 高等教育出版社，2001[7] 郑建华. 复变函数[M]. 北京: 清华大学出版社，2005[8] 方企勤. 复变函数教程[M]. 北京: 北京大学出版社，2003[9] James Ward Brown、Ruel V. Churchill （邓冠铁译）复变函数及应用[M].机械工业出版社，2006[10] 郭洪芝、腾桂兰. 复变函数[M]. 天津：天津大学出版社，2002。
《复变函数》教学大纲
二、课程内容和学时分配 第一章
本章的主要教学内容是： （一）复数 1．复数域； 2．复平面；3．复数的模与辐角；4．复数的乘幂与方根； 5．共轭复数； 6．复数在几何上的应用举例。 （二）复平面上的点集 1．平面点集的几个基本概念； 2．区域与若尔当曲线。 （三）复变函数 1．复变函数的概念；2．复变函数的极限与连续性. (四) 复球面与无穷远点
复数与复变函数（8 学时）
1．复球面；2．扩充复平面上的几个概念。 本章的基本教学要求是：掌握复数的概念、各种表示方法及其运算。理解复数运算的几 何意义与复数方程表示的几何图形。掌握复数的乘幂与方根。了解扩充复平面的概念。理解 平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连 通域)。了解复变函数的定义，掌握复变函数的极限与连续性。
《复变函数》教学大纲
适用专业：数学与应用数学（师范） 课程类别：学位课，专业必修课 课程学时：68 学时（周 4 学时） 课程编号：50261102 课程学分：4 学分
一、课程说明
复变函数又称复分析， 是数学与应用数学专业的一门专业基础课， 也是数学分析的后续 课程。它的理论和方法，对于数学的其他分支和电学，流体力学，热力学以及一些工程技术 学科，有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生全面掌握复变函数的一些基本概念、基本 理论、基本方法，重视对数学思想方法的教学，培养学生应用这些概念与方法解决实际问题 的基本技能，积累数学知识，为学习有关专业课程做好准备，并为将来从事教学、科研以及 其它工程技术工作奠定基础。 本课程采用的教学方法是：以课堂讲授为主，辅之以习题课和讨论课。
第二章
本章的主要教学内容是：
解析函数（10 学时）
（一）解析函数的概念与柯西-黎曼方程 1．复变函数的导数与微分；2．解析函数及其简单性质；3．柯西黎。 （三）初等多值函数 1.根式函数；2．对数函数；3．一般幂函数与一般指数函数；4．具有多个有限支点的 情形；5．反三角函数与反双曲函数。 本章的基本教学要求是： 理解复变函数的导数与解析的概念， 掌握复变函数可导与解析 的充要条件， 掌握及熟练应用柯西——黎曼定理判断函数的可导性与解析性。 掌握初等函数 中的指数函数，三角函数的定义和性质；了解对数函数，幂函数与反三角函数等多值函数。
复变函数7.2 分式线性变换
a w L c
③ 约定：w=L(z)的定义域为C：
①w=L(z)将CC 结 dw b 论 ②w=L(z)的逆变换为 z cw a (7.4) 由 w a bc ad c c ③ w=L(z)在扩充z平面上是保域的 1 cz d 2. 分式线性变换 w=L(z)的分解
w w1 w2 w1 z z1 z3 z1 : : w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
定理7.10 线性变换将平面上的圆周(直线) 变成圆周或直线. 注:在扩充平面上,直线可视为经过无穷远 点的圆周.事实上(7.11)可改写为 A z z zCz 0, 欲其经过∞,必须且只须A=0.因此可以说:在线
定理7.14(边界对应定理) 设 (1)单连通区域D与G的边界分别为C和T; (2)w=f(z)将D保形变换成G; 则f(z)可以扩张成F(z),使在D内F(z)=f(z),在 D D C上F(z)连续,并将C双方单值且双方 连续地变成T. 定理7.15(边界对应定理的逆定理,判断解析 函数单叶性的充分条件). 设单连通区域D及G,分别是两条围线C及T 的内部.且函数w=f(z)满足下列条件: (1)w=f(z)在区域D内解析,在D+C上连续, (2)w=f(z)将C双方单值地变成T.
(在z沿C的正方向绕行一周的假定下).有假设 条件(2),这时w=f(z)应沿T的正向或负向绕行 一周.因此,起点在w0终点在T上的向量w-w0应 该转角 2 .于是
N ( f ( z) w0 , C) 21 T arg(w w0 ) 1
负号显示应该除去(因为N≥0).因此我们肯定 w=f(z)必须沿T的正向(T的内部在此方向的左 边)饶行,并且方程f(z)-w0=0在区域D内只有一 个根. (2)设w0位于T的外部,则必w0 f (D).因为 N ( f ( z) w0 , C) 21 T arg(w w0 ) 0, 即方程f(z)-w0=0在D内无根. (3)设w1为T上任意一点,我们来证明方程 f(z)=w1在D内无根.假定D内有一点z1使f(z1)=w1, 则可得一个以w1为中心的圆周 ,使对 内部 任意一点w’,方程f(z)=w’在D内部取一点w’位于
复变函数论第7章第2节
w
az b (7.1) cz d
cz 2 (d a ) z b 0 (7.5)
b , 当 a d 0 时 ， 7.5) 式有根 z ( d a 这时 (7.1) 成为 a b w z , d d b 所以这时有不动点 z 和 . d a 当 a d 0 时 , 必 b 0 . 不动点 b z d a 故这时 (7.1) 以 为二重不动点.
处的保角性得到 .
因而 (Ⅱ)型变换在扩充z平面上是保角的.
因此 , 有
定理 7.7 分式线性变换(7.1) 在扩充 z 平面上是共形的.
注：在无穷远点处不考虑伸 缩率的不变性.
3、分式线性变换的保交比性
定义 7.4 设z1, z2, z3, z4是扩充z 平面上的四个相异点，
则称比
z4 z1 z3 z1 : z4 z 2 z 3 z 2
(Ⅰ)
w kz h ( k 0)
1 w z
2、分式线性变换的共形性
(Ⅱ)
为了证明分式线性变换(7.1) 在扩充 z 平面上是 共形的 ,只要证明(Ⅰ) 和 (Ⅱ)型变换在扩充z平面上是 保角的 , 因为 (7.1) 在扩充 z 平面上是单叶的. 1 对于(Ⅱ)型变换 w 来说 , 只要 z 0 , z , z dw 1 则有 2 0, dz z
( z3 zk )( ad bc) w3 wk , ( k 1,2) (cz3 d )( czk d )
z z1 z3 z1 w w1 w3 w1 : . : 由此得 w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
这就是所求的分式线性映射 . 这个分式线性
变换是由三对对应点所 确定的变换 .
第四节 分式线性映射
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
复变函数与积分变换学习指导(第六章)
第七章保形变换前几章主要是用分析的方法，也就是用微分、积分和级数等，来讨论解析函数的性质和应用。
内容主要涉及所谓柯西理论；这一章主要是用几何方法来揭示解析函数的特征和应用。
保形变换现审定名为“共形映射”或“共性映照”。
它在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法。
第一节解析变换的特性一.保域性1.定理7.1(保域定理)设在区域内解析且不恒为常数，则的象也是一个区域。
证先证的每一个点都是内点。
，使,则为的一个零点,由解析函数的零点孤立性知,,使,且在上无异于的零点。
令,则。
下证。
，考察，当时，，由Rouché定理，即在内有解,从而。
再证内任两点,可用全含于内的折线连接起来。
由于是区域,在内有折线,,连接,其中。
函数把折线映射成内连接的逐段光滑曲线。
由于为内紧集，根据有限覆盖定理,可被内有限个开圆盘所覆盖,从而在内可作出连接的折线。
综合，知为区域。
2.推论7.2设在区域内单叶解析,则的象也是一个区域。
证因为在区域内单叶，故在内不恒为常数。
3.定理还可推广为：在扩充平面的区域内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数，则的像为扩充平面上的区域。
4.单叶解析函数的性质定理6.11若在区域内单叶解析，则在内。
定理7.3(局部单叶性) 设在解析且，则在的某个邻域内单叶解析。
(证明类似于和）二.解析变换的保角性——导数的几何意义1.导数辐角的几何意义设为过的光滑曲线,,则且是在处的切线的辐角。
设，故也是光滑的,。
若内过还有一个光滑曲线。
设，则即处曲线与的夹角恰好等于处曲线与的夹角。
单叶解析函数作为映射时,曲线间夹角（即切线的夹角）的大小及方向保持不变，这一性质称为旋转角不变性。
称为变换在的旋转角,仅与有关，与过的曲线的选择无关。
象曲线在处的切线正向可由原象曲线在的切线正向旋转一个旋转角得到。
2.导数模的几何意义由于,故象点间的无穷小距离与原象点间无穷小距离之比的极限是,称为变换在的伸缩率。
复变函数
o
y
(z) C : z z(t )
P z(t0 +t)
T
P0 z (t 0 )
x
结论1: (1) Argz '(t0 ): 为曲线C在该点切向量的倾角； (2) 两条相交于一点的曲线正向之间的夹角就 是它们在交点处的两条切线正向切向量之间 的夹角。 y (z) C2 : z z2 (t )
若w f ( z ) 在区域D内的每一点都是保角的， 则称函数f ( z )是区域D内的保角映射。
注： 单叶解析映射一定是保角映射。 (单叶映射就是确定一一对应的函数)
定义2 共形映射：
如果w f ( z ) 在区域D内是单叶且保角的, 则称变换w f ( z ) 在区域D内是共形的,也称 它为D内的共形映射.
z0
C1 :
z z1 (t )
o
x
2. 解析函数导数的几何意义
1 解析函数导数的辐角Argf (z)的几何意义：
设w f ( z)在区域D内解析, z0 D, 且f '( z0 ) 0,
有向光滑曲线C D : C : z z (t ), t [ , ]，t0 ( , ), z '(t0 ) 0，z0 z (t0 )
复变函数精品课程
共形映射
张红英
应用与理论 应用与理论
应用共形映射成功地解决了流体力学 、弹性力学、电学理论、同轴测量线的 设计问题、3D模型变形、脑体映射以及 其他方面的许多实际问题。
2008年，伦敦皇家大学应用数学系主 任达伦· 克劳迪(Darren Crowdy)教授在 著名的施瓦茨－克里斯托费尔映射研究 中取得突破进展。
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1 , 关于单位圆周的对称变换;
y
z
w , 关于实轴的对称变换
A
设C : z r,以圆心O为起点
C
r o.
.Pz
.P
x
的一条半直线上, 如果有两 点 P与 P 满足关系式:
.
OPgOP' r2 ,
w 1/ z 则称这两点关于圆周对称.
规定: 无穷远点的对称点是圆心O.
1, 1 ,
zw
则 1 k 1 h,
12
即 k h
(7.8),
从而
d d
|0
h k h (h k)2
| 0
1 k
0，
故变换(7.8)在 0是保角的;
于是(I )在z=是保角的,进而在扩充z平面是保角的.
3 定理7.7 分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.
9
(1) 若c 0,则(7.7)有两个根
z1,2
(a
d) 2c
,
(d a)2 4bc
当
当
0时,
0时,
有两个相异不动点z1,
有一个二重不动点z
az2;
d
.
2c
(2) 若c 0,则(7.7)变为 (d a)z b 0,
当a d 0时,(7.7)有根 z b , 这时(7.3)为 w a z b , d a
一 分式线性变换及其分解
1 分式线性变换概念
(1) 函数
w az b ,
a
b ad bc 0
cz d c d
称为分式线性变换,简记为 w L(z).
(2) 在扩充z平面上补充定义
c 0, L( d ) , L() a ;
c
c
c 0, L() .
则w L(z)定义在整个扩充z平面上.
(7.3),
1
(3) w L(z)将扩充z平面单叶地变成扩充w平面
w L(z)具有逆变换
z L1(w) dw b cw a
(7.4).
因w L(z)除极点外解析且单叶,从而
(4) 由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的
w ei z 旋转
即 w w 位似(伸缩)
w w h 平移
4
旋转与伸长(或缩短)变换
w ei z
(z) (w)
w
z o
平移映射 w z b
(z) (w)
w
b z
o
o
5
(II )型变换w 1 称为反演变换 z
此变换可进一步分解为:
a
c k h.
3
(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合
(I ) w kz h (k 0),
(II ) w 1 . z
(2) (I)(II)型变换的几何性质
(I )型w kz h称为整式线性变换
若k ei ( 0, R),则
w ei z h,
有不动点 z
b
d
及z
d
;
d a
10
当a d 0时, 必b 0, (否则w z为恒等变换)
不动点 z b , d a
故这时(7.3)以z 为二重不动点.
二 分式线性变换的共形
(1) 对(II ) w 1
z 只要z 0, ,则
dw dz
1 z2
2
2 分式线性变换的分解
h b ,k a
a z b d d kz h c 0,
az b cz d
d
a
d
bc
ad
1
c c cz d
c 0,
1
cz d a bc ad 1 c c
a bc ad
cc
h c , k bc ad
解
w 3z 4
3 i
(iz
1)
3 i
4
iz 1
iz 1
3 3 4i (3 4i) 1 3i
i i(iz 1)
zi
因此可分解为
w z4 3i, z4 ei( ) z3
z3 3 4i z2 5z2,
z2
1 z1
,
的复合.
( arctan 4),
.
注 当四点中有一点为时,包含此点的项用1代替.
如( z1 ,
z2, ,
z4 )
z4 z4
z1 z2
:1, 1
相当于z3 .
14
2 定理7.8 在分式线性变换下，四点的交比不变。
证明
设wi
azi b czi d 则wi wj
i 1, 2,3, 4, (ad bc)(zi z j ) , (czi d )(cz j d )
因此
(w1, w2, w3, w4 )
w4 w3
w1 w2
3
z1 z i,
8
例2 试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个 相异的或一个二重的不动点
证明 线性变换(7.3)
w az b (ad bc 0), cz d
的不动点适合
z
az
b
,
cz d
即 cz2 (d a)z b 0,
(7.7)
上面系数不全为零, 否则w z为恒等变换.
注 在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.
13
三 分式线性变换的保交比性
1定义7.4 扩充z平面上有顺序的四个相异点z1, z2, z3, z4
构成下面的量, 称为它们的交比,记为:(z1, z2, z3, z4 ).
(z1, z2 , z3, z4 )
z4 z1 z4 z2
:
z3 z1 z3 z2
6
y
A
C
1
o.
.Pz
.P
x
.
w 1/ z
OPA ~ OAP OP : OA OA: OP
OP OP OA2 1
即: z 1
z 1
且, z都在过单位圆
与z关于单位
圆对称的性质.
心O的同一条直线上,
7
例1
试将线性变换 w 3z 4 分解为简单变换的复合. iz 1
0，
故(II )在z 0, 是保角的.
11
定义7.3 二曲线在无穷远点处的交角为 ,就是指
它们在反演变换下的像曲线在原点的交角为 .
从而(II )在扩充z平面是保角的.
(2) 对(I) w kz h
dw dz
k
0，
在z
是保角的.
对z , 像点为w ,
由定义7.3引入两个反演变换