九年级数学圆的对称性2
苏教版九年级数学(上)《2.2圆的对称性(2)》教学设计-优质教案
OCDA2.总结 垂径定理：数学语言（符号）表述： 板书垂径定理的内容活动意图：本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验，本环节采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究、归纳得出垂径定理性质。
环节三：运用新知 教师活动4例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 。
线段AC 与BD 相等吗？为什么？例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3㎝，求⊙O 的半径。
变式:在半径为5㎝的⊙O 中，有长为8㎝的弦AB ，求点O 到AB 的距离。
想一想：若点P 是AB 上的一动点，你能写出OP 的范围吗？学生活动4（1）例1需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．（2）学生独立分析，老师板书，写出证明过程．例2是例1的延伸，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．变式：生生互动完成！想一想：学生合作完成，并交流展示，教师引导归纳活动意图：本环节依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。
采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。
环节四：课堂小结OABOFEDCBA7.板书设计 2.2圆的对称性（2）垂径定理：例题板书：（略）学生板书：（略）数学语言（符号）表述：8.作业与拓展学习设计1.过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 .2.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 cm.3.⊙O的弦AB为103cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___4.已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, AEC=45°,求CD的长。
苏科9上教案 5.2圆的对称性(2)
5.2圆的对称性（2）--[ 教案]备课时间: 主备人:一、学习目标:1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程2、掌握垂径定理3、会运用垂径定理解决有关问题重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用二、知识准备：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。
2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
三、学习内容：提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？ 结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
练习： 1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、给出几何语言例 1 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB相等吗？为什么？例 2如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB B⑴求的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
四、知识梳理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。
五、达标检测：1、 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____2、已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。
北师大九年级数学下 圆的对称性(2)
圆的对称性
一、填空题
1. 圆是轴对称图形，它有条对称轴，圆又是对称图形，圆心是它的；
2. 如图，在⊙O中，如果AB⌒= CD⌒，那么AB = ，∠AOB =∠，假设OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，那么OEOF；
3. ：⊙O的弦AB = 24 cm，OC⊥AB，垂足为C. 假设OC = 43cm，那么⊙O直径长为 cm.
二、选择题
1. ：AB⌒、CD⌒是⊙O的两条劣弧，且AB⌒= 2CD⌒，那么弦AB与CD之间的关系为〔〕
A. AB = 2CD
B. AB < 2CD
C. AB > 2CD
D. 不能确定
2. 以下说法中，正确的选项是〔〕.
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 相等的弧所对的弦相等
D. 相等的弦所对的弧相等
三、解答题
1. ：如图，⊙O中，AB⌒= BC⌒= CD⌒，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比拟∠OEF与∠OFE的大小，并证明你的结论.
2. 如图，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO =∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？
3.如图，：⊙O的两弦AB、CD相交于点P，如果AB = CD，那么OP与AC互相垂直吗？为什么？
参考答案
一、填空题
1.无数，中心，对称中心；
2.CD，COD，= ；
3. 163cm.
二、选择题
1. B；
2. C.
三、解答题
1.提示：证OE = OF.
2.提示：过O分别作PA、PD的垂线.
3.提示：设法证PA = PC及OP平分∠APC.。
3.1.1圆的对称性(2)
CE = DE.
AE − CE = BE − DE.
即
AC = BD.
练习
1、如图 圆O中，AB∥CD. 、 中
求证： 求证：∠AOC = ∠BOD.
证明： 证明：
由上例知 AC = BD
O · C A B D
∴∠AOC = ∠BOD
2、如图 圆O中，AB∥CD. 、 中 ∥ 求证： 求证：AC=BD.
相等 ……
A B
O · C
D
在同一个圆中，如果弧相等， 在同一个圆中，如果弧相等，那么 它们所对的圆心角相等吗？ 它们所对的圆心角相等吗？所对的弦也 相等吗？你能讲出道理吗？ 相等吗？你能讲出道理吗？
相等 ……
垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？ 垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？
如图，直径CD垂直于弦 如图，直径 垂直于弦AB. 垂直于弦 根据定理1可得，直线 是线段 是线段AB的垂直平分线 根据定理 可得，直线CD是线段 的垂直平分线 可得 从而点A与点 关于直线 对称． 从而点 与点B关于直线 对称． 与点 关于直线CD对称
A B O · C D
在同一个圆中，如果圆心角相等， 在同一个圆中，如果圆心角相等， 那么它们所对的弧相等， 那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同一个圆中，如果弦相等， 在同一个圆中，如果弦相等，那 么它们所对的圆心角相等吗？ 么它们所对的圆心角相等吗？所对的 弧相等吗？你能讲出道理吗？ 弧相等吗？你能讲出道理吗？
证明: 证明
∵ AB∥CD ∥
∴
AC = BD
C A
O · D B
∴ ∠AOC =∠BOD 又 OC=OB OA=OD
∴△AOC≌△BOD ∴ AC=BD
北师大版九年级数学下册第三章2圆的对称性
于点E,AD=OB,试说明 B︵D
︵
= DE
,并求∠A的度数.
解析 设∠A=x°.∵AD=OB,OB=OD,∴OD=AD.
∴∠AOD=∠A=x°.∴∠ABO=∠ODB=∠AOD+∠A=2x°.
∵AO=AB,∴∠AOB=∠ABO=2x°.
︵
︵
∴∠BOD=2x°-x°=x°,即∠BOD=∠AOD.∴ BD = DE .在△AOB中,由三角形的内
解析 ∵ A︵E = B︵D ,∴∠BOD=∠AOE=32°, ∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°. 答案 D
点拨 本题在求角的度数时运用了转化思想,在同圆或等圆中,利用圆心 角、弧、弦之间的关系可以实现角、线段、弧之间的转化.
题型二 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等 例2 (2019江苏南京中考)如图3-2-3,☉O的弦AB、CD的延长线相交于 点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
︵
︵
圆心角的度数,因为∠BOA=2∠COD,所以 AB 的度数= CD的度数的2倍,所
︵
︵
以在同圆或等圆中, AB =2 CD ,所以B项正确.C、D项错误.
4.如图3-2-2,AB、CD是☉O的两条直径,弦BE=BD,则 A︵C 与 B︵E 是否相等?为 什么?
图3-2-2
解析 A︵C= B︵E .理由:连接AC.∵AB、CD是☉O的直径,且∠AOC=∠BOD,
2.如图3-2-1,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形 各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影 部分的面积是( )
图3-2-1 A.4π B.3π C.2π D.π 答案 D 利用圆的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之
2.2圆的对称性 (2)2
C
在Rt AOC中，AO2 AC2 OC 2
设⊙O的半径为R, 则
R2 302 (R 10)2 R 50
2R 100cm,即内径为100cm的管道。
如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 有水部分弓形的高为2，弦AB=4
求⊙O的半径．
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧 的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人 员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽 度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问 修理人员应准备内径多大的管道？
解：过点O作OC⊥AB,垂足为点
C,交⊙O与点D，连接OA。
AC 1 AB 30,
D
2 OC OD CD AO 10.
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
过圆内任意一点有没有最短的 弦和最长的弦，如果有请你把它找 出来
初中数学 九年级(上册)
2.2 圆的对称性 （2）2
垂径定理三种语言：
文字语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
图形语言
几何语言
老师提示: 垂径定理是圆中
苏科版2022年九年级数学上册 《圆的对称性》教材预习辅导讲义(附解析)
2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。
2022春九年级数学下册第3章圆2圆的对称性授课课件新版北师大版ppt
第三章 圆
1 课堂讲解 圆的对称性
圆心角与所对的弧、弦之间的关系
相等圆心角、弧、弦之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心，
它具有旋转不变性.
知识点 1 圆的对称性
知1－讲
1．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来 的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
知2－练
4 【中考·台湾】如图，圆O过五边形OABCD的四个 顶点．若A︵D＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°， ︵ 则BC的度数为何？( B ) A．25° B．40° C．50° D．55°
知2－练
5 已知AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE ＝40°，则B︵D的度数是( D )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
知3－练
︵ 5 【中考·兰州】如图，在⊙O中，点C是AB的中
B
O·
A
A1
B1 ·
O1
归纳
知3－导
弧、弦、圆心角之间的关系． 在同圆或等圆中： (1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． (2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． (3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
知3－讲
例3 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE . 又∵ AD=CE， ∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
知3－练
︵ 1 已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB
苏科版数学九年级上册《2.2 圆的对称性》教学设计
苏科版数学九年级上册《2.2 圆的对称性》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》第二章“圆”的第三节《2.2 圆的对称性》的内容，主要介绍了圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线，以及圆的对称性质在实际问题中的应用。
本节内容是学生对圆的基本性质的进一步理解，也是对圆的轴对称性质的深入探究。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的基本数学知识，对圆的基本性质有一定的了解。
但是，对于圆的对称性质的理解可能还不够深入，需要通过本节课的学习，使学生对圆的对称性质有更深刻的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解圆的对称性质，能运用圆的对称性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解。
2.圆的对称性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生通过观察、操作、推理等活动，自主探究圆的对称性质。
六. 教学准备1.教学课件。
2.练习题。
3.圆规、直尺等作图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的对称图形，如圆、圆环、圆形的桌面等，引导学生观察这些图形的对称性质，引出圆的对称性质的学习。
2.呈现（10分钟）用课件展示圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。
同时，让学生用圆规、直尺等作图工具，实际作图，验证圆的对称性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用圆的对称性质，解决一些实际问题，如如何用圆规和直尺画一个特定角度的圆弧，如何判断一个图形是否是圆的对称图形等。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对圆的对称性质的理解。
5.拓展（5分钟）引导学生思考圆的对称性质在实际问题中的应用，如圆形的桌面如何摆放才能使每个人到桌子的距离相等，如何设计圆形的图案等。
2014新版浙教版九年级数学上3.2圆的轴对称性(2)ppt课件
结论
O A E D B
｝｛
CD⊥AB
EA=EB
直径平分弧
｛
（1）直径(或过圆心的直线)垂直于弦
（2）直径平分弦
请你用命题的形式表述你的结论?
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
直径(或过圆心的直线)垂直于弦
｛
（1）直径平分弦
（2）直径平分弦所对的弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
(1)当两条弦在圆心的两侧时 C
A
●
O B
D
(2)当两条弦在圆心的同侧时
C
A
●
O B
D
师生共同总结：
１．本节课主要内容： 垂径定理的另两个定理．
2．垂径定理的应用： （1）计算（2）证明．
3．解题的主要方法： （1）连接弧的中点与圆心和画半径是圆中常见的辅助线； （2）已知弦长,弓形高,求半径（或弦心距)时,经常利 用的勾股所对是弦的长)
为36m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7m，求桥拱 的半径.
练习2：如图，在直径为130mm的圆铁片上切下一
块高为32mm的弓形铁片,求弓形的弦AB的长.
32mm B O
A
已知圆O的半径为5cm,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm, 求AB与CD间的距离.
EA=EB (AB非直径)
结论
O
｝｛
CD⊥AB ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ AD=BD
A
E D
B
直径平分弦(非直径)
｛
（1）直径(或过圆心的直线)垂直于弦
（2）直径平分弦所对的弧
请你用命题的形式表述你的结论?
青岛版-数学-九年级上册- 圆的对称性(2) 教学案2
3.1 圆的对称性 教学案（二）一、教与学目标：1．知道圆是中心对称图形并能说出对称中心.2．会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.二、教与学重点难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.三、教与学方法：自主探究，合作交流四、教与学过程：（一）、情境导入：（1）什么是中心对称图形?（2）我们采用什么方法研究中心对称图形?（二）、探究新知：1、问题导读：（1）将一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，你有什么发现？（2）圆是中心对称图形吗？如果是，哪个点是它的对称中心？（3）什么是圆心角（4）由圆的中心对称性，你还能发现圆的哪些性质？2、合作交流：按照下列步骤进行小组活动：（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O′（2）在⊙O 和⊙O′中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、A′B′.（3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O′重合，∠AOB 与∠'''B O A 重合。
在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流.（4）如果将2中的∠AOB =∠'''B O A 换为AB= A′B′或AB=A′B′，你能发现什么结论？（5）如果将2中两个圆心角相等改为多个圆心角相等，你能得出哪些结论？’ ’利用这一性质，你能画出正n 边形。
3、精讲点拨：（1）上述三个方面的定理可以总结为：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意：“同圆或等圆中”是定理的先决条件.（2）利用圆的中心对称性，可以作出正n 边形，正六边形是非常特殊的正多边形，它的边长等于其外接圆的半径（三）、学以致用：1、巩固新知：（1）如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦。
若AB=CD ，则 ，若AB= CD ，则 ，若∠AOB=∠CO 'D ，则 ，（2）完成课本71页例3，72页练习1、2.，32、能力提升：（3）如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，如果∠AOC=∠BOC ，那么∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？（4）如图，在⊙O 中，AC=BD ，∠AOB=50°,求∠COD 的度数．（四）、达标测评：1、选择题：（1）下列命题中，真命题是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．度数相等的弧是等弧D ．相等的弧所对弦相等（2）在同圆中，若AB=2CD ，则AB 与2CD 的大小关系是（ ） O ’ D C OB AA．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．不能确定2、填空题：（3）一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．（4）如图，AB是⊙O的直径，BC = CD = DE,∠BOC=40°，则∠AOE的度数是度3、解答题：（4）（5）如图，在⊙O中，AB=AC，∠A=40°,求∠B的度数．（6）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为40°，求∠AOC 的度数.（7）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=DC，AC与BD相等吗？为什么？五、课堂小结：（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？(2) 对于本节所学内容你还有哪些疑惑？六、作业布置：练习74页2题3题七、教学反思：。
苏科版数学九年级上册2.2《圆的对称性》教学设计
苏科版数学九年级上册2.2《圆的对称性》教学设计一. 教材分析《圆的对称性》是苏科版数学九年级上册第二章第二节的内容。
本节课主要学习了圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是圆的直径所在的直线等。
通过本节课的学习，使学生能够理解圆的对称性质，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的定义、圆的方程等，同时也学习了平面图形的对称性。
因此，学生对于对称性的概念已经有所了解，但对于圆的对称性质还需要进一步的引导和探究。
三. 教学目标1.理解圆的对称性质，知道圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是圆的直径所在的直线。
2.能够运用圆的对称性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和运用。
2.圆的对称轴的确定。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握圆的对称性质，并能够运用到实际问题中。
六. 教学准备1.教学课件或黑板。
2.圆形教具。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图形，如圆、正方形、矩形等，引导学生回顾对称性的概念，并提问：你们认为圆具有对称性吗？圆的对称性质是什么？2.呈现（10分钟）利用多媒体课件或黑板，呈现圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是圆的直径所在的直线。
同时，通过举例说明圆的对称性质。
3.操练（10分钟）让学生拿出圆形教具，观察并尝试找出圆的对称轴。
学生可以自行尝试，也可以与同桌相互讨论。
在学生操作过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些关于圆的对称性的练习题，让学生独立完成。
题目可以包括判断题、选择题和解答题等。
学生完成后，教师进行讲解和点评。
5.拓展（10分钟）让学生思考：圆的对称性质在实际生活中有哪些应用？引导学生举例说明，如圆形的桌面、圆形的路面等。
苏科版九年级上5.2圆的对称性(二)课件
M└
●
O
条件
CD为直径 CD⊥AB
D
B
CD平分弧ADB
基本图形：
C
A
M└
●
B O
D
例1 已知：如图，在以O为圆心的两个 同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与 BD相等吗？为什么？O ABiblioteka .D BC
P
例题解析
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
探索规律
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
A
M└
●
B O
O
D A B
C
【挑战自我】
画一画 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
C A
●
【相关概念】 B 【巩固训练】
最长弦与最短弦
O
如图，M为半径为5的⊙O内的一点， 且MO=3,在过点M的所有⊙O的弦中， 弦长为整数的弦共有 条，
D
思考题:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
F
D O E C
B
小结：
1：圆是轴对称图形 2：垂径定理及其运用
初中数学九年级上册 （苏科版）
5.2. 圆的对称性(2)
复习
如图，若AB=CD则（ ⌒ ⌒ 若 AB=CD 则（
华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识(圆的对称性2)》优质课课件
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
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You made my day!
倍 速 课 时 学 练
我们，还在路上……
解：连结OA，作OE⊥AB于E，则
OE=3cm,AE=BE
A
∵AB=8cm
∴AE=4cm
E
B
└
•o
在Rt中有 OA= OE2 AE2
= 32 42
=5cm ∴ ⊙O的半径为5cm
解后指出：从例2看出圆的半径OA， 圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构 成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理 结合起来，解决这类问题就显得很 容易了。
(4)多方练习，分层评价.
• 练习：
A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，
则圆心到弦的距离是(
)cm
C
答案：3
•o
E
D
B组 在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离
为5,则圆o的直径是(
)
C
E
O•
D
答案：26
A
C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，
AE＝16，BE=4,则CD＝(
)
例1、如图，在⊙O中，A⌒C =B⌒D ∠1＝45o，求∠2的度数。
。
。
解Байду номын сангаас∵
⌒⌒
AC =BD
∴ ⌒ ⌒⌒ ⌒
AD－BC＝ＢＤ－BC
∴ ⌒AＢ =Ｃ⌒D
∴ ∠2＝∠1＝45°
B
C
A
2
D
1
O
我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直 径所在的直线都是它的对称轴。
试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2等分，4 等分，8等分。
数学：3.2《圆的对称性》课件2(北师大版九年级下)(20200806110820)
[单选]眼球固定液的组成包括（）A.甲醛B.乙醇C.冰醋酸D.蒸馏水E.以上均是 [多选]出现干酪样坏死的疾病有A.结核病B.伤寒C.梅毒D.麻风E.阿米巴病 [判断题]贷记卡允许按最低还款额还款，信用额度可循环使用。A.正确B.错误 [单选,A1型题]世界卫生组织建议，纯母乳喂养可持续至婴儿（）A.2个月B.4个月C.6个月D.9个月E.12个月 [单选]下列除哪项外均是经脉特点（）A.内属脏腑B.运行气血主干C.外络支节D.走行浅而易见E.表里相合 [问答题,简答题]口罩的选择要求 [单选,A2型题,A1/A2型题]最常用、最有效的热力灭菌法是（）A.煮沸法B.巴氏消毒法C.流通蒸汽灭菌法D.高压蒸汽灭菌法E.间歇灭菌法 [单选]某企业实行标准工时制。2012年3月，为完成一批订单，企业安排全体职工每工作日延长工作时间2小时，关于企业向职工支付加班工资的下列计算标准中，正确的是()。A.不低于职工本人小时工资标准的100%B.不低于职工本人小时工资标准的150%C.不低于职工本人小时工资标准的200%D.不 [单选,A2型题,A1/A2型题]特发性血小板减少性紫癜患者的最重要护理措施是观察和预防（）A.胃肠道出血B.脑出血C.鼻出血D.尿道出血E.感染 [单选,A1型题]在其他情况不变的情况下，对于一般商品来说，随着收入的增加，需求会有所（）。A.上升B.不变C.不确定D.下降E.先上升后不变 [多选]U1930web中可以配置的有：（）A.预定会议B.一号通C.无条件呼叫前转D.license加载 [单选]下列项目中，不属于支付结算的基本原则的是（）。A．恪守信用，履约付款B．谁的钱进谁的账，由谁支配C．信息保密D．银行不垫款 [单选]（）属于水生植物。A、肾蕨B、晚香玉C、马蹄莲D、菖蒲 [单选,A2型题,A1/A2型题]近3天，患者自觉右侧胸疼，第2次X线检查显示右侧肋膈角消失。诊断肺结核伴右侧胸腔积液，下列检查对了解胸水性质更有帮助的是（）.ASTB.CKC.GGTD.LDE.ALP [单选,A1型题]关于双探头符合线路SPECT的描述正确的是（）A.是在常规SPECT上窦现正电子探测的影像设备B.需配置高能准直器C.探测器晶体改为锗酸铋制成D.可进行F、C、O、N等成像E.可逐步取代PET [单选]下列关于换热器投用前的条件错误的是（）。A、换热器已吹扫干净B、换热器已进行过试压C、换热器安装已经验收D、换热器放空阀已打开 [单选]雨期填筑路堤需借土时，取土坑距离填方坡脚不宜小于()。A．0．8mB．1mC．2mD．3m [单选]消化性溃疡慢性穿孔最常见的部位是()A．十二指肠前壁B．胃小弯C．胃窦D．十二指肠后壁E．幽门 [单选]生产要素最适度组合的选择条件是（）A.MRTS=P1/P2B.MU1/MU2=P1/P2C.MRTSLK=w/rD.MPL/MPK=r/w [填空题]无风条件下，20吨液氨泄漏形成的氨蒸汽致死浓度半径范围约（），气化扩散后的致死浓度半径可达近（）。 [单选]暂换变压器的使用时间，10KV及以下不超过A.，35KV及以上不得超过（）。A.2个月，3个月B.1个月，2个月C.3个月，4个月D.4个月，5个月 [判断题]单向离合器损坏失效后，液力变矩器就没有了转矩放大的功用。（）A.正确B.错误 [单选]铁路平面无线调车A型号电台，在调车作业中，连结员或制动员按下红键时，辅助语音提示为（）。A.停车B.注意减速C.紧急停车（×号×号）D.×号解锁 [单选]关于国内仲裁协议效力的认定，下列说法正确的是：（）A.若约定了仲裁机构，由该仲裁机构所在地基层人民法院管辖B.若约定了仲裁机构，由该仲裁机构所在地中级人民法院管辖C.若约定的仲裁机构不明确，可由仲裁协议签订地基层人民法院管辖D.若约定的仲裁机构不明确，可由被申请 [问答题,简答题]简述门座式起重机旋转制动系统失灵的常见原因，检查及处理方法。 [单选]布氏硬度HB的单位是（）A.MPaB.无单位C.kgf/c㎡D.kgf•m/m㎡ [单选]以Boyden小室法能检测（）A.小吞噬细胞的随机运动能力B.受检的细胞吞噬能力C.反映细胞杀菌的情况D.中性粒细胞的吞噬调理能力E.中性粒细胞的定向运动能力 [单选]医疗机构发现了疑似甲类传染病病人在明确诊断前，应（）A.转回社区卫生服务中心观察B.留急诊室观察C.在指定场所单独隔离治疗D.收住院进行医学观察E.转到其他医院 [填空题]确定地基承载力的方法一般有()、()、()、()等。 [单选]识别项目的关键特征是：（）A．一次性B．唯一性C．整体性D．目标明确性 [名词解释]保险备用信用证 [单选]下面可以作为知识产权投资入股的是（）A、专利许可使用权B、专利权C、著作改编权D、连锁经营权 [单选,A1型题]健康生态模型是（）A.环境-人类B.环境-人群-健康C.环境-生物D.环境-生物-健康E.环境-健康 [单选,A2型题,A1/A2型题]常用的HRP发光底物为（）A.吖啶酯B.三联吡啶钌C.鲁米诺或其衍生物D.4-MUPE.AMPPD [填空题]中转换乘的旅客其（）只能发售到旅客（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]体内物质隔离的范围不包括（）A.血液B.汗液C.胸腔积液D.羊水E.阴道分泌物 [单选]一孕妇产前检查胎儿双顶径12.2cm，剖宫产后胎儿经颅超声检查示胎儿脑室系统形态失常，第三脑室呈圆形，无回声区内未见光点群回声，脑组织受压变薄萎缩，脑室宽度为7mm，最可能的诊断是（）。A.脑出血B.脑积水C.脑肿瘤Dandy-Walker综合征E.HIE [单选]运用以前已获得的知识和经验，不需要更改地解决类似情境中的问题的思维过程叫做（）A．经验思维B．理论思维C．常规思维D．创造思维 [单选,A2型题,A1/A2型题]血浆中分子量最大的蛋白质是（）.AACB.HpC.AMGD.CERE.CRP [多选]根据织造方法不同，织物分为（）A.混纺织物B.机织物C.针织物D.非织造织物
初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性
Ｏ
3.如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦 AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD 的长为_7_____。
●O
A
D
B
C
4：如图, ⊙O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直
径CE⊥AB于D， 则半径OC=_5_____。
E
O
x D x-2
A
4
B
2
C
如 图 ， ⊙ O 的 半 径 为 5 ， 弦 AB 的 长 为8，M是弦AB上的动点，则线段OM
垂径定理的应用
5．在横截面为圆形的油槽内装入一些油后，若油面宽 AB = 600mm，圆的直径为650mm，求油的最大深 度.
E
A
600
B
O
O ø650
A
C
B
E
D
600
F
D
谈谈你今天的收获是什么？
C
O
A
EB
D
图3
１．圆是轴对称图形.过圆心的任意一条 直线都是它的对称轴.
２．垂径定理：垂直于弦的直径平分 这条弦,并且平分弦所对的弧.
如图圆形纸片， CD是⊙O直 径．
１．在⊙O上任取一点A，过 A 点A作直径CD的垂线，交⊙O 于点Ｂ，点Ｐ为垂足．·
C
●O
P
B
D
２. 将圆沿着直径CD对折，你有什么发现呢？ 发现：CP=DP,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平 分弦所对的弧.
∵在⊙O中 直径CD⊥AB ∴AP=BP，
米，求⊙O的半径。
A 4E
B
.3
5?
O
２．你知道赵州桥吗？它是１３００多年前 我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤 劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它 的跨度（弧所对的弦的长）为３７．４米， 拱高（弧的中点到弦的距离）为７．２米， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到 0.1） Ｃ
第3课时圆的对称性(2)
弦心距的概念
弦心距
O A C B
OC
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在两个等圆中,做∠AOB=∠A’O’B’
B O A
O' B' A'
这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用尺量一量！ 这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用什么方法验证? 叠合法
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆的对称性(2)
圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
做一做,想一想:
1.请同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下， 让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心 旋转，由此,你发现了什么?
结论:
圆中心对称圆形,对称轴中心是圆心.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆是轴对称图形
O
对称轴是任意一条过 圆心的直线 圆是中心对称图形 对称中心为圆心
我们已经学过的图形中，有哪些既是轴 对称图形，又是中心对称图形 ？
同圆、等圆的概念:
同圆
O
能够重合的两个圆
等圆
半径相等的两个圆
O
同圆或等圆的半径相等
O'
圆心角的概念
B A
圆心角
O C D
∠AOB ∠COD ∠AOC ∠BOD
等弧的概念
D
弦 弧
B
C
A
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧 叫做等弧
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A
C
O B
AB = CD
？！
O'
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等
D
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆的对称性2
已知 AB = CD 你能得到什么结论？
（可以添加线段）
.A .B
... O
..ห้องสมุดไป่ตู้
CD
（1）线段AB=5cm,CD=5cm,两条线段相等吗？ （2）AB的长为5cm,CD的长为5cm,两条弧相 等吗？ （3）“弧相等”指什么相等？
（1）弧的弯曲程度可以用度数来刻画，那 么弧的度数是怎么定义的呢？什么是1度的 弧？ （2）10 的弧所对的圆心角的的度数是多少？ 反过来呢？ （3）700的弧所对的圆心角的度数是 多少？ （4）n0的弧所对的圆心角的度数是多 少？
1. 如图4-15，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧
为圆的
1 3
，⊙O的半径为R，求弦AB的长。
...O
A
B
已知⊙O的半径为R，弦AB长为 R, 试求弧AB的度数。
2. 如图4-16，已知AB，CD为 ⊙O的两条直径， 弦CE∥AB，∠BOD=1100，求弧CE的度数。
D A
E
O
B C
（1）了解了10的弧的意义；
（2）知道了圆心角的度数与它所 对弧的度数相等的关系。
大演草：习题5.3第1,2,3（画图）
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