初三培优专题18 圆的对称性
九年级数学圆的对称性16页PPT
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据由垂题径设定得理A ,D是 B A7 .B2 的,C 中点 D ,2 C.是4 ,H AB 的 中N 1 点M ,CD 就1 N 是.5 .拱高.
AD 1 AB 17.2 3.6,
2
2
2
O D O CD CR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
F
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
的三角形 的特点.
O
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
R2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
• 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
• 相信自己能独立 完成解答.
做一船做 能6过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
• 解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
A
60D0
B
O ø650
C
随堂练习 10
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
• 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
• 2、熟练地运用定理及其推论、勾股定理，并用方 程的思想来解决问题.
九年级数学圆的对称性1
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
垂径定理三种语言 垂径定理三种语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦 于弦的直径平分弦, 定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧. 并且平分弦所对的两条弧
C
如图∵ 是直径, 如图∵ CD是直径 是直径 CD⊥AB, ⊥
B O
A
M└ └
●
∴AM=BM,
A E B
. O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为 ， 连结 。 作 ⊥ ，垂足为E， 厘米， ＝ 。 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ＝ 厘米 ∵AB＝8厘米 ＝ 厘米 ∴AE＝4厘米 ＝ 厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有 中 根据勾股定理有OA＝5厘米 ＝ 厘米 ∴⊙O的半径为 厘米。 ∴⊙ 的半径为5厘米。 的半径为 厘米
A H
M
N 0
G
D
B
E
F
C
思考题： 思考题：
已知：AB和CD是 内的两条平行弦，，AB=6cm， ，，AB=6cm 已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm 的半径为5cm 5cm， ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。 求出AB、 CD间的距离。 AB 间的距离
M└ └
●
A
B O
你能发现图中有哪些等量关系? 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由. 与同伴说说你的想法和理由
题设
D
结论
可推得
由 ① CD是直径 是直径 ② CD⊥AB ⊥
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理
如图,小明的理由是 如图 小明的理由是: 小明的理由是 连接OA,OB, 连接OA,OB, OA=OB. 则
九年级数学圆的对称性知识点
九年级数学圆的对称性知识点圆是数学中一个非常重要的几何概念，它具有丰富的对称性质。
在九年级数学中，我们学习了许多有关圆对称性的知识点。
本文将围绕这一主题，探讨圆的对称性在数学中的应用和意义。
1. 点、线和面的对称性在数学中，几何图形可以根据其对称性质进行分类。
点对称性是最基本的对称性质，它是指图形绕着一个固定点旋转180度后能够重合。
线对称性是指图形相对于一条线对称，两侧对应部分完全一致。
面对称性则是指图形相对于一个面对称，两侧对应部分完全一致。
对称性在几何学中具有重要的应用，它能够帮助我们分析和解决许多问题。
2. 圆的旋转对称性圆具有旋转对称性，这是因为任何一个圆可以绕着其圆心旋转一定角度后得到一个与原圆完全一致的新圆。
这个旋转角度称为圆的旋转角，它可以是任意角度。
利用圆的旋转对称性，我们可以解决许多有关圆的问题，比如确定两个圆是否相等、快速计算圆的周长和面积等。
3. 圆的轴对称性除了旋转对称性，圆还具有轴对称性。
轴对称性是指圆相对于一条直线对称，即对于圆上的任意一点P，当P的关于直线L的对称点也在圆上时，称直线L为圆的轴线。
利用圆的轴对称性，我们可以判断一个图形是否关于某条直线对称，从而简化几何证明的过程。
4. 圆的纵轴对称性和横轴对称性圆的轴对称性可以进一步分为纵轴对称性和横轴对称性。
当圆相对于一条垂直于x轴的直线对称时，称这条直线为圆的纵轴线；当圆相对于一条垂直于y轴的直线对称时，称这条直线为圆的横轴线。
纵轴对称性和横轴对称性在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到图形的对称性质，简化问题的分析。
5. 圆的切线与辅助线的对称性在与圆相关的问题中，切线和辅助线的对称性也是常见且有用的。
以圆的切线为例，对于圆上的任意一点P，过点P作一条切线，这条切线与半径的夹角为90度，且在切点处与圆相切。
利用切线的对称性，我们可以解决一些与圆的切线有关的几何问题，比如判断切线与圆的位置关系、计算切线的长度等。
圆的基本性质培优(九上)
圆的基本性质培优（一）圆的基本性质有：一．是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二．二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．三．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ．注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45 D ．16175 思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过图形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．习题练习1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与EF 的大小关系是（ ）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD ＞EFC ． AB+CD<EFD ．不能确定3. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm4. 一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25 C ．3 D ．316 5．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．6．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．7．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．⌒9．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．10. 如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 过点D 、H ， 且DH ⊥x 轴，DH=8．（1）求点H 的坐标；（2）如图，点A 为⊙O 和x 轴负半轴的交点，P 为AH 上任意一点，连接PD 、PH ， AM ⊥PH 交HP 的延长线于M ，求的值；11．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长；(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EF B ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EF D ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB AC ． （天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的A BCD E图1图2一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结PA ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BPA =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BPA ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造PA +PF ，PB +PD 相关线段；③取BD 的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，PA +PB； ⑵如图2，PA +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则PA +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图C ABDA3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ）A ．0.5c mB ．1c mC ．1.5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmt sAt sBtssO DAOCD AE CD FBABC DFEP （第6题图）APB C（第4题图）（第7题图） （第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=1 2（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1D12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为960，BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）AD CB NOJ MK L（第12题图）O A E CD FBABCD E A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） ABC ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN=3AC （武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A C O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）ADOB E GFN AC BDO P （第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ．（江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）10．⑴如图1，已知PA ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知PA ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．AB CD O M （第8题图）A图1CP BDEO A 图2CPBD EOx（第9题图）11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．AC O LE BDMH（第11题图）AC M N OD B（第12题图）专题18 圆的对称性 例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论． 例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB ·cos 30°＝2×3＝3，∴OH ＝AF ＋FH －OA ＝3＋2－r ．在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，∴(32r +-)2＋12＝r 2，解得r ＝2．(2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2．例4 提示：BD 2－AD 2＝(BE 2＋ED 2)－(AE 2＋ED 2)＝(BE ＋AE )(BE －AE )＝AB (BE －AE )，只需要证明AC ＝BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ． 例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1．例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得AB ＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG ＝2．(3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥P A 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt △ASM ≌Rt △FTM ，Rt △PMS ≌Rt △PMF ．∴PS ＝12PM ．∴P A ＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ＝3PM ．∴333PA PF PB PD PM +===+为定值．A 级 1．49或7 2.85 3．1 4．35．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE 2＝AO 2－AE 2＝(4214AB -)，OF 2＝OD 2－FD 2＝414-CD 2，∴OE 2＋OF 2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB 2＋CD 2＝28．得x 1＝－3(舍去)，x 2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145.B 级1.26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2.103 3.3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R.4.D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2(2－a)2＋(12)2＝r 2 ，解得a ＝1316，r ＝517165.A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6.解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为⌒AC 的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF.又DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠AFO.∴△ODE ≌△OAF.∴AF ＝DE.∵DE ＝3∴AC ＝6.解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证⌒AC ＝2⌒AD ＝⌒AD ＋⌒AG ＝⌒DG ，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7.连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB ∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1.于是AD ＝AC 2－CD 2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH 2＋BH 2＝2＋4＝6，BC ＝AC 2－AB 2＝9－6＝ 3.∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8.提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9.⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485.∴D(－485，245).⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP 上.10.⑴在AE 上截取AF ＝BP ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CAF ≌△CBP ，CF ＝CP .又CD ⊥PA ，则PE ＝FE ，故AE ＝PB ＋PE.⑵AE ＝PE －PB ，在PE 上截取PF ＝PB ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CPF ≌△CPB ，CF ＝CB ＝CA.又CD ⊥AP ，则FE ＝AE ，故AE ＝PE －PB.11.连结BD ，∠CBA ＝∠DBA ，CB ＝BD ，由∠AOC ＝∠CBD ，∠A ＝∠BDE ，得△AOH ∽△DBM ，∴OH OA ＝BM BD＝12，即BM ＝12BC.12.延长AC 至点E ，使CE ＝BC ，连结MA ，MB ，ME ，BE.∵AD ＝DC ＋BC ＝DC ＋CE ＝DE ，又MD ⊥AE ，∴MA ＝ME ，∠MAE ＝∠MEA.∵∠MAE ＝∠MBC ，，又由CE ＝BC 得∠CEB ＝∠CBE ，∴∠MEB ＝∠MBE ，得MA ＝ME ＝MB ，即M 为优弧⌒AB 的中点，而MN⊥AB ，∴MN 是⊙O 的直径.。
2020-2021学年中考数学陪优专题专题18 圆的对称性_答案
专题18 圆的对称性例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论．例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB·cos30°＝2×3＝3，∴OH ＝AF ＋FH －OA ＝3＋2－r ．在Rt△ODH 中，OH2＋DH2＝OD2，∴(32r +-)2＋12＝r2，解得r ＝2．(2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2． 例4 提示：BD2－AD2＝(BE2＋ED2)－(AE2＋ED2)＝(BE ＋AE)(BE －AE)＝AB(BE －AE)，只需要证明AC ＝BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ．例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1． 例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得AB ＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG ＝2．(3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥PA 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt△ASM ≌Rt △FTM ，Rt△PMS ≌Rt△PMF ．∴PS ＝12PM ．∴PA ＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ＝3PM ．∴3333PA PF PB PDPM +===+为定值．A 级 1．49或7 2.85 3．1 4．35．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE2＝AO2－AE2＝(4214AB -)，OF2＝OD2－FD2＝414-CD2，∴OE2＋OF2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF2＋OF2＝OP2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB2＋CD2＝28．得x1＝－3(舍去)，x2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145.B 级1.26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2.103 3.3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R.4.D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋12＝r2(2－a)2＋(12)2＝r2 ，解得a ＝1316，r ＝51716 5.A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6.解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为⌒AC 的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF.又DE ⊥AB ，∴∠DEO＝∠AFO.∴△ODE ≌△OAF.∴AF ＝DE.∵DE ＝3∴AC ＝6.解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证⌒AC ＝2⌒AD ＝⌒AD ＋⌒AG ＝⌒DG ，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7.连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB ∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1.于是AD ＝AC2－CD2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH2＋BH2＝2＋4＝6，BC ＝AC2－AB2＝9－6＝ 3.∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8.提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9.⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB ∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485.∴D(－485，245).⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP上.10.⑴在AE 上截取AF ＝BP ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CAF ≌△CBP ，CF ＝CP .又CD ⊥PA ，则PE ＝FE ，故AE ＝PB ＋PE.⑵AE ＝PE －PB ，在PE 上截取PF ＝PB ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CPF ≌△CPB ，CF ＝CB ＝CA.又CD ⊥AP ，则FE ＝AE ，故AE ＝PE －PB.11.连结BD ，∠CBA ＝∠DBA ，CB ＝BD ，由∠AOC ＝∠CBD ，∠A ＝∠BDE ，得△AOH ∽△DBM ，∴OH OA ＝BM BD ＝12，即BM ＝12BC.12.延长AC 至点E ，使CE ＝BC ，连结MA ，MB ，ME ，BE.∵AD ＝DC ＋BC ＝DC＋CE ＝DE ，又MD ⊥AE ，∴MA ＝ME ，∠MAE ＝∠MEA.∵∠MAE ＝∠MBC ，，又由CE ＝BC 得∠CEB ＝∠CBE ，∴∠MEB ＝∠MBE ，得MA ＝ME ＝MB ，即M为优弧⌒AB的中点，而MN⊥AB，∴MN是⊙O的直径.。
苏教版九年级-圆的对称性-知识点及典型例题（附答案）
苏教版九年级-圆的对称性-知识点及典型例题（附答案）圆的对称性主要内容：1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
经过圆心的直线是对称轴。
圆心是它的对称中心。
2. 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
如图，用几何语言表示如下：⊙O中，（1）∵∠AOB＝∠A'OB'（3）∵AB＝A'B'5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图：几何语言【典型例题】例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C 为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。
求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA ＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：第8题例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略解：【模拟试题】一. 选择题。
1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（）A.B. 1C.D.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成立的是（）A. B.C. D.4. 下列命题中正确的是（）A. 圆只有一条对称轴B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于弦的直径平分这条弦D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（）A. AB ＞CDB. AB ＝CDC. AB ＜CDD. 不能确定二. 填空题。
初三培优专题18 圆的对称性
AC
DB
（第 6 题图）
O
B
A
EC
DF
（第 7 题图）
A
E CP F D
B （第 8 题图）
7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若 AB=10cm，CD=8cm，那么 A，B 两点到直线 CD 的距离之和
为（ ）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
8．如图，半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P，连结 OP．若 OP=1，求 AB2+CD2 的
AP
BE
C
O
F
D 图3
⑵ 如图 2，若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，F 是 C»D 的中点，G 是 F»B 的中点，⊙O 的半径为 1，求弦
FG 的长； ⑶ 如图 3，在⑵中若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，P 为劣弧上一动点，连结 PA，PB，PD，PF，求证：
PA PF
的定值．
PB PD
【例 4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC，D 为 B¼AC 的中点，DE⊥AB 于 E．求证：BD2-AD2=AB g
AC． （天津市竞赛试题）
解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明． D A E C
B
圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形
⑴如图 1，PA+PB= 3 PH；
⑵如图 2，PA+PB=PH；
⑶ 进 一 步 ， 如 图 3 ， 若 ∠ APB=α ， PH 平 分 ∠ APB ， 则 PA+PB=2PHcos 为 定
初三数学培优之圆的对称性
初三数学培优之圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧»AB ，»D C ，»EF ．如果»AB +»D C =»EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EFB ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EFD ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为¼BAC的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB g AC ．（天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．ABCD E图1图2【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是»CD的中点，G 是»FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结P A ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BP A =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BP A ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造P A +PF ，PB +PD 相关线段；③取»BD的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等． 本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，P A +PBPH ； ⑵如图2，P A +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则P A +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图C ABCDDA3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD g ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —»AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ）A ．0.5c mB ．1c mC ．1.5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmt sOt sO BtsO sO DA OCD AE CD FBABC DF EP （第6题图）APB C（第4题图）（第7题图）（第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是»BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=12（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1D12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在»BC的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，»AC 的度数为960，»BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）O A E CD FBABCDE A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）A D CB NOJ MK L（第12题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） ABC ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是»AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN=3AC （武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A C O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为»AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）AD O BE GFN ACBDO P（第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，»»AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ． （江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，»»CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）10．⑴如图1，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧»AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧»AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．x（第9题图）ABC D O M （第8题图）A图1CPBDEO A图2C PB D EO11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．AC O LE BDMH（第11题图）AC M N OD B（第12题图）。
九年级数学下册《圆的对称性》PPT课件
2021
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
2021
圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转180°后仍与原来的 圆重合。
180°
所以圆是中心对称图形。 2021
㎝，
10
C E
O
D A
2021
C
B B
练习4:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D
E C
O
B
2021
思考题
B 已知：AB是⊙O直径，
CD是弦，AE⊥CD，
O.
BF⊥CD
求证：EC＝DF
A
EC
D F 2021
2021
∵把圆心角等分成360份,则每一份 的圆心角是1º.同时整个圆也被分成 了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧.
O
∴∠1=∠2=500
12
∴B⌒C=500 B⌒D=500
C
ED
∴A⌒D=A⌒DB-B⌒DB2021源自=1800-500 =1300
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
专题18 圆的对称性——初中数学培优
专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EF B ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EFD ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB AC ．（天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．A BCDE图1图2【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结P A ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BP A =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BP A ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造P A +PF ，PB +PD 相关线段；③取BD 的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，P A +PB； ⑵如图2，P A +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则P A +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2 图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图A3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ）A ．0.5c mB ．1c mC ．1.5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmtttOAE CD FBABC DF EP （第6题图）（第4题图）（第7题图）（第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=1 2（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1ADA12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为960，BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）O A E CD FBABCDE A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）A D CB NOJ M K L（第12题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） AB．2C ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN（武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）AD O BE GFN ACBDO P（第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ．（江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）10．⑴如图1，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．x（第9题图）ABC D O M （第8题图）A图1CPBDEO A图2C PB D EO11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．专题18 圆的对称性 例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论．例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB ·cos 30°＝OH ＝AF ＋FH －OA2－r ．在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，∴2r -)2＋12＝r 2，解得r ＝2． (2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2．例4 提示：BD 2－AD 2＝(BE 2＋ED 2)－(AE 2＋ED 2)＝(BE ＋AE )(BE －AE )＝AB (BE －AE )，只需要证明AC ＝BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ． 例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1．例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得ABAC O LE BDMH（第11题图）AC M N ODB（第12题图）＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG (3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥P A 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt △ASM ≌Rt △FTM ，Rt △PMS ≌Rt △PMF ．∴PS ＝12PM ．∴P A＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ．∴PA PF PB PD +==+为定值．A 级 1．49或7 2.85 3．1 4 5．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE 2＝AO 2－AE 2＝(4214AB -)，OF 2＝OD 2－FD 2＝414-CD 2，∴OE 2＋OF 2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB 2＋CD 2＝28．得x 1＝－3(舍去)，x 2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145..26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2.103 3.3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R. 4.D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2(2－a)2＋(12)2＝r 2 ，解得a ＝1316，r ＝51716 5.A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6.解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为⌒AC 的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF.又DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠AFO.∴△ODE ≌△OAF.∴AF ＝DE.∵DE ＝3∴AC ＝6.解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证⌒AC ＝2⌒AD ＝⌒AD ＋⌒AG ＝⌒DG ，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7.连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB ∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1.于是AD ＝AC 2－CD 2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH 2＋BH 2＝2＋4＝6，BC ＝AC 2－AB 2＝9－6＝ 3.∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8.提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9.⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB ∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485.∴D(－485，245).⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP 上.10.⑴在AE 上截取AF ＝BP ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CAF ≌△CBP ，CF ＝CP.又CD ⊥PA ，则PE ＝FE ，故AE ＝PB ＋PE.⑵AE ＝PE －PB ，在PE 上截取PF ＝PB ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CPF ≌△CPB ，CF ＝CB ＝CA.又CD ⊥AP ，则FE ＝AE ，故AE ＝PE －PB.11.连结BD ，∠CBA ＝∠DBA ，CB ＝BD ，由∠AOC ＝∠CBD ，∠A ＝∠BDE ，得△AOH ∽△DBM ，∴OH OA＝BMBD＝12，即BM＝12BC.12.延长AC至点E，使CE＝BC，连结MA，MB，ME，BE.∵AD＝DC＋BC＝DC＋CE＝DE，又MD ⊥AE，∴MA＝ME，∠MAE＝∠MEA.∵∠MAE＝∠MBC，，又由CE＝BC得∠CEB＝∠CBE，∴∠MEB＝∠MBE，得MA＝ME＝MB，即M为优弧⌒AB的中点，而MN⊥AB，∴MN是⊙O的直径.。
九年级圆对称性课件
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任务二：做一做
推理格式：
B O
如图所示：
A
(1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A O B= A′O′B′,
∴A B=A′B′，A B= A′B′.
B′
O′ A′
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任务二：做一做
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′， A O B=
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合。
B′
B
A′ O′
A O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
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任务二：做一做
在上述操作和探究中，你会得出什么结论？
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等。
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
⌒⌒
A′O′B′.
(3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
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探索总结
任务二：做一做
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等。
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任务三：学以致用
3.如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦， ∠AOC=∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为 什么？
当堂练习 检测固学
4. 如图在⊙O中，A⌒B=A⌒C ，∠ABC=60°，
求证:∠AO折叠法研究了圆是轴对称图形。 2.利用旋转的方法得到了圆既是旋转对称图形 又是中心对称图形。 3. 我们进一步探究了圆心角、弧、弦、弦心距 之间相等关系定理，以及应用。
九上 圆的对称性 垂径定理 知识点+例题+易错点(分类全面)
2.2 圆的对称性一、温故知新1、轴对称图形：把一个图形沿着 折叠，如果直线两旁的部分 能够 ，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是 。
2、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 。
二、归纳知识点知识点1 圆的对称性（重点） 通过旋转与折叠的方法，我们得到：★ 圆的旋转不变性，即一个圆绕圆心旋转任何角度后，都与它自身重合； ★ 圆是 图形，圆心是它的对称中心；★ 圆是 图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系（重点）★ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。
★ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 。
例.如图，在⊙O 中，点A 为BC ⌒的中点，AE ⊥OB 于点E ，AF ⊥OC 于点F ，你能说明AE 与AF 相等吗？PA知识点3 圆心角的度数与它所对的弧的度数关系（重点）★ 1 的弧：将顶点在圆心的周角等分360份，每一份圆心角是1 的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把1 的圆心角所对的弧叫做1 的弧。
★一般地，n 的圆心角对着n 的弧，n 的弧对着n 的圆心角，即圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
例3、如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，∠B=25 ，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，求AD⌒的度数。
知识点4 垂径定理（难点）★垂径定理：；★ 垂径定理的符号语言表现形式：例、如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，求弦AB 的长。
三、典型例题题型一： 利用垂径定理求线段的长例1.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连接OC ，若OC=5，CD=8,则AE ？题型二： 综合运用垂径定理及勾股定理解决生活问题AE 0B例2.某地有一座圆弧形拱桥，如图，桥下水面宽度AB为7.2cm，拱顶C高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？题型三：利用分类讨论思想求平行弦之间的距离例3、已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD，AB=12cm,CD=16cm求AB和CD之间的距离。
九年级数学第三章圆的对称性
圆的对称性【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点进阶：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点进阶：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点进阶：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点进阶：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点进阶：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点进阶：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明例1.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.例2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．类型二、垂径定理的综合应用例3.如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）例4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．例5.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．举一反三：【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． ．求证：AC BD【巩固练习】一、选择题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．65°2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4 D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是2、3，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75° D．15°或75°5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O 的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．A．252寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm二、填空题7．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且AB BC CD==．若∠COD=40°，则∠ADO=______度．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O 的弦AB 垂直于AC ，AB =6cm ，AC =4cm ，则⊙O 的半径等于______cm ．10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，连接AC ．若∠CAB=22.5°，CD=8cm ，则⊙O 的半径为 cm ．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm ，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为 ．(第12题)12．如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合）连结AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD=15，35OE OC ∶∶，求弦AB 和AC 的长．14．如图所示，C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，PE ⊥BC 于E ，若BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，求弦AB 的长．15．如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．EODCBA。
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专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧»AB ，»D C ，»EF ．如果»AB +»D C =»EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EFB ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EF D ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）ABCDEF解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为¼BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB g AC ．（天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形A ABC O DED ECB O 图1图2A BCD E问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ． ⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是»CD的中点，G 是»FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结P A ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BP A =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BP A ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造P A +PF ，PB +PD 相关线段；③取»BD的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等． 本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，P A +PB =3PH ； ⑵如图2，P A +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则P A +PB =2PHc o s2α为定AP CDB MOABCO 图1DDAOE GFCB BA C O E P F图2图3值．能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD g ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题） 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —»AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ） A ．0.5c m B ．1c m C ．1.5c m D ．2c m第3题图第2题图C ABCDDO BA图1A600300300PHBPABH600图2 PABH 图3APBC（第4题图）tsOAt s OBt s OCtsO D7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ） A ．12cm B ．10cm C ．8cm D ．6cm8．如图，半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ．若OP =1，求AB 2+CD 2的值． （黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点B 作BN ⊥AM 于N ，其延长线交⊙O 于点C ，弦CD 交AM 于点E ．⑴ 如果CD ⊥AB ，求证：EN =NM ；⑵ 如果弦CD 交AB 于点F ，且CD =AB ，求证：CE 2=EF •ED ；⑶ 如果弦CD ，AB 的延长线交于点F ，且CD =AB ，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O 的内接四边形ABMC 中，AB >AC ，M 是»BC的中点，MH ⊥AB 于点H ．求证：BH =12（AB -AC ）．（河南省竞赛试题）A BOCD AE CD FBABC DF EP （第6题图）ABC D O EFM（第9题图）（第7题图）（第8题图）11．⑴如图1，圆内接△ABC 中，AB =BC =CA ，OD ，OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G ．求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC 面积的13． ⑵如图2，若∠DOE 保持0120角度不变，求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC 的面积的13．12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长． （上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．图2图1EOAGF ED OABCC BD AH BMC （第10题图）ADCBNO JM K L （第12题图）2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在»BC的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，»AC 的度数为960，»BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________． （陕西省竞赛试题）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） A ．2 B ．52C ．54D ．517165．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是»AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN =22AC C ．MN =35AC D ．MN =33AC （武汉市选拔赛试题）6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为»AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．第4题图第5题图NM A BC O O A E CD FBABCD E A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）A D OB E GF NACB DO P （第7题图）（第6题图）C7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长． （全国初中数学联赛试题）8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，»»AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ． （江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，»»CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14A A C ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）AB CDO M （第8题图）10．⑴如图1，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧»AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧»AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．Axy OD CBP （第9题图）A图1C P B DE O A 图2CPBD EOAC O LE BDMH（第11题图）AC MNODB（第12题图）。