九年级数学圆的对称性练习题
九年级数学圆的对称性2
例1、 如图，AB是⊙O的一条弦， OC⊥AB于点C，OA = 5，AB = 8。 求OC的长。
隔开8行左右
O A C B
例2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C 为弦AB的中点，OC = 3，AB = 8， 求OA的长。
隔开8行左右
O A C B
例3、如图，两个圆都以点O为圆 心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在 同一条直线上。你认为AC与BD的 大小有什么关系？为什么？
⌒
连接圆上任意两点的线段叫做弦
弦AB
弦CD
经过圆心的弦叫做直径
直径是弦，但弦不一定是直径；
注意：
半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆既不是劣弧，也不是优弧
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
1、如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为M，
C M B
1、图中相等的线段有
2、相等的劣弧有 ⌒ ⌒= 3、若AB = 10，则AM ；
O A C D B
请抄笔记
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
这个点到圆心的距离大于半径 这个点到圆心的距离等于半径 这个点到圆心的距离小于半径
点在圆内
A O C
B
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
弧、弦、ห้องสมุดไป่ตู้径
B A C O D
弧AB 记作
AB
⌒
大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧 优弧DAB 记作优弧D AB
；
A
，
O
⌒ ⌒ BC = 5，BD = 18，
则AC = ，AD = 。
D
例1、 如图，AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB于 点C，OA = 5，AB = 8。求OC的长。
北师大九年级数学下 圆的对称性(2)
圆的对称性
一、填空题
1. 圆是轴对称图形，它有条对称轴，圆又是对称图形，圆心是它的；
2. 如图，在⊙O中，如果AB⌒= CD⌒，那么AB = ，∠AOB =∠，假设OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，那么OEOF；
3. ：⊙O的弦AB = 24 cm，OC⊥AB，垂足为C. 假设OC = 43cm，那么⊙O直径长为 cm.
二、选择题
1. ：AB⌒、CD⌒是⊙O的两条劣弧，且AB⌒= 2CD⌒，那么弦AB与CD之间的关系为〔〕
A. AB = 2CD
B. AB < 2CD
C. AB > 2CD
D. 不能确定
2. 以下说法中，正确的选项是〔〕.
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 相等的弧所对的弦相等
D. 相等的弦所对的弧相等
三、解答题
1. ：如图，⊙O中，AB⌒= BC⌒= CD⌒，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比拟∠OEF与∠OFE的大小，并证明你的结论.
2. 如图，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO =∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？
3.如图，：⊙O的两弦AB、CD相交于点P，如果AB = CD，那么OP与AC互相垂直吗？为什么？
参考答案
一、填空题
1.无数，中心，对称中心；
2.CD，COD，= ；
3. 163cm.
二、选择题
1. B；
2. C.
三、解答题
1.提示：证OE = OF.
2.提示：过O分别作PA、PD的垂线.
3.提示：设法证PA = PC及OP平分∠APC.。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分50分）1．下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C．相等的弦所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等2．下列命题是真命题的是（）A．相等的弦所对的弧相等B．圆心角相等，其所对的弦相等C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等D．弦相等，它所对的圆心角相等3．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°4．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA6．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．135°7．如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连接AC、BC、OB、OC．若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数是（）A．50°B．65°C．100°D．130°8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°9．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB＝4，AD＝DC＝1，则弦BC的长为（）A．3.5B．2C．D．10．如图D、A、C、B为⊙O上的点，DC＝AB，则AD与BC的大小关系是（）A．AD＞BC B．AD＝BC C．AD＜BC D．不能确定二．填空题（共5小题，满分30分）11．如图所示，四边形AB∥CD，AD＝DC＝DB＝p，BC＝q，则AC＝（用p、q表示）．12．弦AB分圆为1：3两部分，则劣弧所对圆心角为．13．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为度．14．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．15．在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弦长为cm．三．解答题（共5小题，满分40分）16．已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，交于点E，F，连接OE，EF．（1）证明：∠EAO＝∠BAO；（2）若OE＝EF．求∠POQ的度数．17．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．18．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．19．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点．（1）求证：△EBD≌△EBF；（2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长．20．如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，求证：AB＝CD．参考答案一．选择题（共10小题，满分50分）1．解：A、正确．本选项符合题意．B、错误．应该是平分弦（此弦非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项不符合题意．C、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．故选：A．2．解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D 错误；故选：C．3．解：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．4．解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．故选：D．5．解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．6．解：连接OC、OD，∵BC＝CD＝DA，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．故选：C．7．解：由题意可得：AB＝AC，∵∠ABC＝65°，∴∠ACB＝65°，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝100°，故选：C．8．解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故选：A．9．解：如图，连AC、BD，过D作DE⊥AC于E．∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∠ABD＝∠CAD．∵BD＝＝．∵AD＝DC＝1，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA＝∠ABD，cos∠CAD＝cos∠ABD＝＝．∴AE＝AD•cos∠CAD＝，∴AC＝2AE＝，∴BC＝＝．故选：A．10．解：∵DC＝AB，∴＝，∴＝，∴AD＝BD．故选：B．二．填空题（共5小题，满分30分）11．解：延长CD交半径为p的⊙D于E点，连接AE．显然A、B、C在⊙D上．∵AB∥CD∴＝，∴BC＝AE＝q．在△ACE中，∠CAE＝90°，CE＝2p，AE＝q，故AC＝＝．故答案为：．12．解：设弦AB分圆的两部分别为x，3x，∴x+3x＝360°，解得：x＝90，则劣弧所对圆心角为90°．故答案为：90°13．解：∵一条弦把圆分成1：3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360°÷4＝90°，∴弦所对的圆心角为90°．14．解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．15．解：由题意知，设圆心为O，60°的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，则△AOB 是等边三角形，∴AO＝AB＝OB＝9cm．三．解答题（共5小题，满分40分）16．（1）证明：连接AE、OE、OF，如图所示，由题意得：OB＝OE＝OA，AE＝AB，∴∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO，，∴∠AOE＝∠AOB，∴∠EAO＝∠BAO；（2）解：∵OE＝OF，OE＝EF，∴OE＝OF＝EF，∴∠EOF＝60°，∵AE＝BF＝AB，∴，∴∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，∴∠POQ＝∠EOF＝20°．17．（1）证明：∵AB＝CD，∴＝，∵M是的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝DM．（2）解：如图，连接OM．∵DM＝BM＝4，OE⊥BM，∴EM＝BE＝2，∵OE＝1，∠OEM＝90°，∴OM＝＝＝，∴⊙O的半径为．18．证明：连接OC，如图，∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC．19．解：（1）连接OD、OF，∵B是劣弧DF的中点．∴，∴，∴BD＝BF，∠DBE＝∠EBF，在△EBD和△EBF中，∵，∴△EBD≌△EBF（SAS）；（2）∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∵AB是⊙O的直径，∴OD＝OA＝3，OE＝3﹣1＝2，过O作OG⊥CD于G，则CD＝2DG，∵∠DEB＝30°，∠EGO＝90°，∴OG＝OE＝1，由勾股定理得：DG＝＝＝2，∴CD＝2DG＝4．20．解：∵，∴，即：，∴AB＝CD．。
湘教版数学九年级下册《圆的对称性》 同步练习及答案
第2章圆 2.1 圆的对称性1. 下列命题中正确的有()①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为()A.38°B.52°C.76°D.104°3.若⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0,0)，点P的坐标为(4,2)，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.点P在⊙O内或在⊙O外4.对于下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是()A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理5. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是()A.点A在⊙O外B.点A在⊙O上C.点A在⊙O内D.不能确定6. 已知两个同心圆的圆心为O，半径分别为2和3，且2＜OP＜3，那么点P在()A.小⊙O内B.大⊙O内C.大⊙O外D.小⊙O外大⊙O内7. 下列说法中，正确的是()A.长度相等的两条弧是等弧B.优弧一定大于劣弧C.不同的圆中不可能有相等的弦D.直径是弦且是同一个圆中最长的弦8.下列命题中，不正确的是()A.圆的对称轴是直径B.圆是轴对称图形C.圆是中心对称图形D.圆的对称中心是圆心9. 点在圆上、点在圆内、点在圆外.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则当d r时，点P在⊙O内；当d ＝r时，点P在⊙O上；当d r时，点P 在⊙O外.10. 到已知点A的距离等于3cm的所有点组成的图形是.11. 以(3,0)为圆心，5为半径画圆，则圆与x轴的交点坐标为.12. .图中是⊙O的直径；弦有；劣弧有；优弧有.13. 已知⊙O的半径是5cm，AB是⊙O的一条弦，设其长度为xcm，则x的取值范围是.14. P是⊙O内一点，它到圆周上最近的距离是4cm，最远的距离是10cm，则这个圆的半径是cm.15. 已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，则点P与⊙O的位置关系是.16. 如图所示，已知OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点.求证：AD＝BC.17. 如图所示，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于B、E，AB 等于⊙O的半径，∠DOE＝78°.求∠A的度数.18. 在⊙O中，直线AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ长；(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.答案：1---8 ACABC DDA9. ＜＞10. 以A为圆心、3cm为半径的圆11. (8,0)，(－2,0)12. AC AB、BC、AC13. 0＜x ≤1014. 715. 点P 在⊙O 外部16. 解：∵OA、OB 是⊙O 的半径，∴OA＝OB ，又∵C、D 分别是OA 、OB 的中点，∴OC＝OD.在△OAD 与△OBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ OA ＝OB ∠O＝∠OOD ＝OC ，∴△OAD≌△OBC(SAS)，∴AD ＝BC.17. 解：设∠A＝x°，∵AB＝OB ＝OE ，∴△ABO、△OBE 都是等腰三角形，∴∠BOA＝∠A＝x°，∴∠OBE＝2x°，∴∠E＝2x°.由：∠DOE＝∠A＋∠E，得78°＝x ＋2x ，x ＝26°.答：∠A 的度数为26°.18. 解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB.在Rt△OPB 中，OP ＝ 3.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝32－32＝6；(2)∵PQ 2＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，∴当OP 最小时，PQ 最大，此时，OP ⊥BC ，∴OP ＝12OB ＝32，∴PQ 长的最大值为9－322＝332.1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
九年级数学苏科版上册随堂测试第2单元《 2.2 圆的对称性》 练习试题试卷 含答案
随堂测试2.2圆的对称性1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（）A．cm B．3cm C．cm D．cm4．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（）A．B．C．1D．25．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（）A．50m B．40m C．30m D．25m6．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm7．如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知⊙O交矩形ABCD的边AD于点E，F，已知AB＝EF＝2，则球的半径长为（）A．B．C．D．8．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于m．10．如图，已知AB、CD是⊙O中的两条直径，且∠AOC＝50°，过点A作AE∥CD交⊙O 于点E，则的度数为．11．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．12．如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是mm．13．如图，⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足是D，OA＝5，AD：OD＝1：4，则BC的长为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．15．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF ⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AE＝8，求CD的长．16．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A是半圆上一个三等分点，点B为的中点，点P是直径MN上的一个动点，求P A+PB的最小值．17．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．18．如图，点A、B、C在⊙O上，＝．（1）若D、E分别是半径OA、OB的中点，如图1，求证：CD＝CE．（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB＝90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A、O 不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ的最小值．19．如图1，点P表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为8m，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．20．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？参考答案1．B．2．B．3．D．4．C．5．D．6．B．7．C．8．C．9．3.2．10．80°．11．60．12.200．13．6．14．．15．（1）证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴＝，∴AC＝AD，∵过圆心O的线段CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；（2）解：∵△ACD是等边三角形，AB⊥CD，∴∠CAE＝30°，∴CE＝，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴CD＝2CE＝．16．解：作B点关于MN的对称点B′，连接OB、OB′、AB′，AB′交MN于P′，如图，∵点A是半圆上一个三等分点，点B为的中点，∴∠AON＝60°，∠BON＝30°，∵B点和B′关于MN的对称，∴∠B′ON＝30°，∴∠AOB′＝90°，∴△OAB′为等腰直角三角形，∴AB′＝OA＝，∵P A+PB＝P A+PB′≥AB′（点A、P、B′共线时取等号），∴P A+PB的最小值＝AB′，即P A+PB的最小值为．17．解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝8，∴DE＝4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．18．解：（1）连接CO．∵═，∴∠AOC＝∠BOC，∵D、E分别是半径OA、OB的中点，∴，，∴OD＝OE，在△ODC和△OEC中，∵OD＝OE，∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，∴△ODC≌△OEC（SAS）∴CD＝CE；（2）当CP⊥OA时，∵∠AOB＝90°，∠PCQ＝90°，∴∠CQO＝90°，即CQ⊥OB．∵∠AOC＝∠BOC，∴CP＝CQ，当CP与OA不垂直时，如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，M、N为垂足．∵∠AOC＝∠BOC，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝90°，∴∠MCN＝90°，∴四边形CMON是正方形，∵∠PCQ＝90°，∴∠PCM＝∠QCN，∴△PCM≌△QCN（AAS）∴CP＝CQ，∴，∴当CP取得最小值即CM的长时，PQ有最小值，∴，PQ的最小值为4．19．解：过O点作半径OD⊥AB于E，∴，在Rt△AEO中，，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．答：水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．20．解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝7.2m，∴BD＝AB＝3.6m．又∵CD＝2.4m，设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得r＝3.9．∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE＝2.4﹣2＝0.4m，∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5m，在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），∴EN＝2.96（m）．∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥。
专题11圆与圆的对称性(4个知识点7种题1个易错点)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
专题11圆与圆的对称性（4个知识点7种题1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）知识点2.点与圆的位置关系（难点）知识点3.圆的对称性（重点）知识点4.圆心角、弧、弦之间的关系（难点）【方法二】实例探索法题型1.圆的相关概念的考查题型2.点与圆的位置关系判断题型3.分类讨论思想的应用题型4.点与圆的位置关系的实际应用题型5.圆与三角形题型6.优弧、劣弧的判断题型7.辅助线的添加方法【方法三】差异对比法易错点1：在解题中忽略了点与圆的多种位置关系【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解圆、等圆、等弧等概念，深刻认识圆中的基本概念。
2.掌握点与圆的三种位置关系。
3.了解圆是中心对称图形和轴对称图形，并能确定圆的对称轴。
4.能运用圆的对称性推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题。
【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.【例1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【分析】根据弦的定义即可求解．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．AB BD CD共3条，【详解】解：图中有弦,,3.弧为端点的弧记作，读作“圆弧5.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.6.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【例3】下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．知识点2.点与圆的位置关系（难点）（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A 【例4】（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知O的位置关系是（）与OA．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定【答案】B【详解】解：∵4r=，d=，4=，∴d r∴点A在圆上，知识点3.圆的对称性（重点）（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
第五章2圆的对称性课堂练习题含2021中考题
75° .
数学
7.如图所示,AB,CD 是☉O 的两条直径,CE∥AB,求证:=.
证明:如图所示,连接 OE.
∵CE∥AB,
∴∠BOC=∠C,
∠AOE=∠E.
∵OC=OE,∴∠C=∠E,
∴∠BOC=∠AOE,
∴=.
数学
8.如图所示,已知在☉O 中,=,D,E 分别为半径 OA,OB 的中点,你认为 CD 和 CE 有何关系?为什么?
(1)求证:=.
(2)能否求出 BD 的长?若能,求出 BD 的长;若不能,说明理由.
(1)证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠COB=∠2+∠COB,即∠DOB=∠COA,
∴=.
(2)解:能.∵=,∴BD=AC.
∵AC=3 cm,∴BD=3 cm.
数学
13.如图所示,A,B 是圆 O 上的两点,∠AOB=120°,C 是劣弧的中点.
A.25°
B.30°
C.50°
D.60°
4.在☉O 中,=2,则 AB 与 CD 的大小关系是(
C )
A.AB=2CD B.AB>2CD
C.AB<2CD D.无法确定
5.如图所示,AC 是☉O 的直径,的度数为 60°,则∠ACB 的度数为 30°
.
B )
数学
6.如图所示,在☉O 中,=,∠A=30°,则∠B 的度数为
∴四边形 OACB 是菱形.
数学
(2)延长OA至点P,使得AP=OA,连接PC,若圆O的半径R=2,求PC的长.
解:(2)∵AP=OA,AC=OA,∴AP=AC,
∴∠P=∠ACP= ∠OAC=30°,
∴∠OCP=90°.
初三数学圆的对称性试题
初三数学圆的对称性试题1.圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.【答案】2cm【解析】根据这条弦把圆分为5: 1 两部分可得这条弦所对的圆心角为60°，再结合圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结果.由题意得这条弦所对的圆心角为360°÷（5+1）=60°则这条弦与半径围成的三角形为等边三角形所以这条弦的长等于半径的长，是2cm.【考点】圆的基本性质点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.2.如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=" CE," 则与弧长的大小关系是_________.【答案】相等【解析】由CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE,再结合公共边CO可得△COD≌△COE，即可得到∠COD=∠COE，从而得到结果.∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE，CO=CO∴△COD≌△COE∴∠COD=∠COE∴与弧长的大小关系是相等.【考点】全等三角形的判定和性质，圆的基本性质点评：全等三角形的判定和性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.3.如图,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm.【答案】【解析】由题意可得四边形ADOE为正方形，再根据正方形的性质结合勾股定理即可求得结果. ∵AB⊥AC，OD⊥AB,OE⊥AC∴四边形ADOE为矩形，AE=1cm∵AB=AC∴OD=OE∴矩形ADOE为正方形∴⊙O的半径【考点】圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理点评：特殊四边形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.4.如图,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C【解析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得AC的长，根据三角函数可得∠A的度数，即可求得结果.作OC⊥AB于点C则∵∴∠A=30°∵OA=OB∴∠AOB=120°故选C.【考点】垂径定理，三角函数点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.5.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A．0条B．1条C．2条D．4条【答案】A【解析】由题意当过点A的弦垂直于OA时，弦长最短，求得此时的弦长即可得到结果.由题意得垂直于OA时的弦长则过点A且长小于8的弦有1条故选B.【考点】垂径定理，勾股定理点评：垂径定理是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，往往与勾股定理结合使用，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.6.如图,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由.【答案】OC=OD【解析】过O作OM⊥AB于M，AM=BM，再由AC=BD可得CM=DM，即可得到结果.过O作OM⊥AB于M,则AM=BM.又AC=BD,故AM-AC=BM-BD,即CM=DM,又OM⊥CD,故△OCD是等腰三角形,即OC=OD.【考点】垂径定理，等腰三角形的判定点评：垂径定理是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，往往与勾股定理结合使用，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.7.如图,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA="1:4," 求工件半径的长.【答案】10cm【解析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理可得BC的长，由MB:MA=1:4可得BM的长，再根据勾股定理即可求得结果.过O作OC⊥AB于C,则BC=cm.由BM:AM=1:4,得BM=×5="3" ,故CM=-3="4.5" .在Rt△OCM中, OC2=.连接OA，则OA=即工件的半径长为10cm.【考点】垂径定理，勾股定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.8.如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,,试比较线段PC、PD的大小关系.【答案】PC=PD【解析】连接OC、OD，由可得∠BOC=∠BOD，再结合∠CPB=∠DPB，OP=OP即可证得△OPC≌△OPD，从而证得结果.连接OC、OD∵∴∠BOC=∠BOD,∵∠CPB=∠DPB∴∠CPO=∠DPO又OP=OP∴△OPC≌△OPD∴PC=PD.【考点】圆的基本性质，全等三角形的判定和性质点评：全等三角形的判定与性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.9.在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动(滑动过程中AB的长度不变),请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.【答案】O为圆心,4cm长为半径的圆【解析】先根据垂径定理及勾股定理求得OC的长，即可得到结果.可求得OC=4cm,故点C在以O为圆心,4cm长为半径的圆上,即点C 经过的路线是O为圆心,4cm 长为半径的圆.【考点】垂径定理，勾股定理点评：垂径定理是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，往往与勾股定理结合使用，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.10.如图,点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.【答案】【解析】作点B关于直线MN的对称点B′,则可得B′必在⊙O上,且.由已知得∠AON=60°,即可得到∠B′ON="∠BON=" ∠AON=30°,∠AOB′=90°连接AB′交MN于点P′,则P′即为所求的点.作点B关于直线MN的对称点B′,则B′必在⊙O上,且.由已知得∠AON=60°,故∠B′ON="∠BON=" ∠AON=30°,∠AOB′=90°连接AB′交MN于点P′,则P′即为所求的点.此时AP′+BP′=AP′+P′B′=,即AP+BP的最小值为.【考点】轴对称-最短路径的应用点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.。
圆的对称性练习题
OA2＋OB′2＝ 2，即 PA＋PB 的最小值为 2.
A．到 CD 的距离保持不变 B．位置不变 C．平分B︵D D，半径为 5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是
∠BAC，∠EAD.已知 DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦 BC 的弦心
距等于( D )
A.
41 2
B.
34 2
C．4
D．3
9．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，BG＝8 cm， AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝__6__c_m___.
1．如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠A＝30°，则∠B＝( B ) A．150° B．75° C．60° D．15°
2．下列判断正确的是( C ) A．平分弦的直径垂直于弦 B．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
3．如图，在⊙O 中，A，C，D，B 是⊙O 上四点，OC，OD 交 AB 于 点 E，F，且 AE＝FB，下列结论中不正确的是( C )
(2)设他在不弯腰的情况下向 CD 左侧活动时他的头顶与A︵C的接触点 为点 E，向 CD 右侧活动时他的头顶与B︵C的接触点为点 F，连结 EF，则 EF⊥OC.设垂足为点 G，连结 OE.由题意，得 OG＝3－2.3＋1.7＝2.4(m)．在 Rt△OEG 中，EG＝ OE2－OG2＝ 32－2.42＝1.8(m)，∵OC⊥EF，∴EF＝ 2EG＝3.6 m，∴该菜农在不弯腰的情况下，横向活动的范围有 3.6 m.
苏科版数学九上第二章轴对称图形--圆复习
B．130°
C．120°
D．60°
2.5.直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
r
O
┐d
●
相交
r
O
┐d
●
相切
1、直线和圆相交
d < r.
2、直线和圆相切
d = r.
3、直线和圆相离
d > r.
r
O
d
●
┐
相离
2.5 直线与圆的位置关系
二、切线的判定定理
经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
线平分两条切线的夹角.
A
∵PA,PB切⊙O于A,B
∴PA=PB ∠1=∠2
P
1
2
O
●
B
练习
1、已知：如图1，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径 的⊙O交
AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交 BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；（2）DF是⊙O的切线．
A
A
D
E
B
O
C
P
F
C
图1
B
图2
2、如图2，PA、PA是圆的切线，A、B为切点，AC为
．
练习
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三
30
角形的面积为______．
2.5直线与圆的位置关系
七、圆线与圆的位置关系
⌒ ⌒
圆的对称性练习题
圆的对称性（一）练习题1．下列说法中正确的是()A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等，所对的圆心角相等2．在e O中，圆心角∠AOB＝80°，圆心角∠COD＝40°，那么下列说法中正确的是()A．»»2AB CD=B．»»2AB CD>C．»»2AB CD<D．AB＝2CD3．如图，C，D为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有()①AD=CD=BC②∠AOD=∠DOC=∠BOC③AD=CD=OC④△AOD沿OD翻折与△C OD重合A．1个B．2个C．3个D．4个4．若e O内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且e O的半径为R，那么这条弦的长为()A．R B．2RC．2R D．3R5．如图，O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与该角的两边所在直线分别交于点A，B和C，D，则AB与CD的关系是()A．AB＝CD B．AB＞CDC．AB＜CD D．无法确定6．如图，AB，CD是e O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为__________．7．如图，在e O中弦AB=AC，AD是e O的直径，试判断弦BD与CD是否相等，并说明理由．8．如图，在ABCD中，以A为圆心，以AB为半径作圆交A D于点F，交BC于点G，BA的延长线交e A于点E，求证：»»EF FC=.9．如图，AB，CD是eO的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE＝OF，请你来猜想一下，»»AC BD=吗？请加以说明．圆的对称性（二）练习题1．下列说法中正确的是( )A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴2．如图，AB 是e O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ， 则下列结论中不一定成立的是( ) A ．∠COE =∠DOE B ．CE =DEC ．OE =BED ．»»BDBC 3．如图所示，e O 的弦AB 垂直平分半径OC ， 则四边形OACB 是( )A ．正方形B ．长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4．如图，AB 是e O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6cm ， OD ＝4cm ，则DC 的长为( )A ．5cmB ．2.5cmC ．2cmD ．1cm 5．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为( )A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm6．右图是一个单心圆隧道的截面，若路面AB 宽为10m ， 拱高CD 为7m ，则此隧道单心圆的半径OA 是( )A ．5mB ．377mC ．375m D ．7m7．如图，AB ，AC 分别是e O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BC ，若BC ＝12，则OD ＝__________ 8．如图，在e O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ， AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为_________． 9．如图，已知e O 的半径为5，弦AB =6，M是AB上任意一点，则线段OM 的长可能是( ) A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.510．在半径为5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则两弦之间的距离为__________．11．在直径为650mm 的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如图所示，若油面宽为600mm ，求油的最大深度．12．有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，现有一艘宽3m ，船舱顶部为长方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？。
北京课改版九年级数学上册 《圆的对称性》 同步练习(含答案)
北京课改版九年级上册圆的对称性同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，直径AB 平分弦CD ，交CD 于点E ，则下列结论错误的是( ) A.AC ︵＝AD ︵ B.BC ︵＝BD ︵C ．AB ⊥CD D ．OE ＝BE2．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BODC ．∠C ＝∠BD ．∠A ＝∠BOD3．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为() A ．2 B ．4C ．6D ．84．下列命题中正确的是( )A ．弦的垂线平分弦所对的弧B ．平分弦的直线垂直于这条弦C ．过弦的中点的直线必经过圆心D ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分这条弦且过圆心5．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OM 垂直于弦AC ，垂足为E ，MN ⊥AB 于N ，下列结论：①AM ︵＝CM ︵；②∠OMN ＝∠OAE ；③BC ︵＝MC ︵；④MN ＝12AC.其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④C ．①③④D ．②③④6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点M 在弦CD 上，CM ＝DM ，下列结论不成立的是( )A ．AB ⊥CD B ．CB ＝DBC ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD7. 如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm8. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，则AB ＝8 cm ，则AC 的长为( )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD．2 3 cm或4 3 cm9. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长度是( )A．3 cm B. 6 cmC．2.5 cm D. 5 cm10．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为()A．圆B．直线C．正方形D．多边形二．填空题（共8小题，3*8=24）11．世界上因为有了圆的图案，万物显得更富有生机，以下图形(如图)都有圆，它们看上去是多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称性．图中的三个图形是轴对称图形的有____________；(分别用三个图的序号填空)12．如图，AB，AC分别是⊙O的弦，D，E分别是AB，AC的中点，∠DOE＝120°，则∠DAC的度数为_______．13．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，求CD的长．14．如图，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为_______cm.15．如图，⊙O 的直径AB 平分CAD ︵，AB 交CD 于E ，AE 与BE 的长度之比为5∶1，CD ＝16 cm ，则⊙O 的半径为_______cm.16．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G ，B ，F ，E ，GB ＝8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝________.17．如图所示，以O 为圆心的同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ，如果AB ＝3cm ，CD ＝2cm ，那么AC ＝__ __cm.18. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为_______．三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，求DM 的长．20. (6分) 如图，AB 为⊙O 的直径，从圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O于P ，求证：AP ︵＝BP ︵.21. (6分)若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，求该铅球的直径.22．(6分) “圆材埋壁”是我国古代著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 题目用现在的数学语言表达是：如图所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD 的长．23. (6分) 已知以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到AB的距离为6，求AC的长．24. (8分) 已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于点F，点E在CD上，且AE＝CE.(1)求证：CA2＝CE·CD；(2)已知CA＝5，EA＝3，求sin∠EAF25. (8分) 已知圆的半径为5 cm，两弦AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则两弦AB，CD 的距离是多少？参考答案1-5DBDDB 6-10DCCDA11. ①②③12. 60°13. 6 cm14. 2415. 245516. 6cm17. 0.518. 419. 解：连结AO ，∵OM ⊥AB ，∴AM ＝12AB ＝4. 在Rt △AOM 中，AO ＝5，AM ＝4，∴由勾股定理得OM ＝3，则DM ＝5＋3＝8.20. 解：连结OP ，∵OC ＝OP ，∴∠OCP ＝∠P ，又∠DCP ＝∠OCP ，∴∠DCP ＝∠P ，∴CD ∥OP ，∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵21. 解：如图所示，依题意，得AB ＝10 cm ，CD ＝2 cm.连结OA ，作OC ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，∴AD ＝12AB ＝12×10＝5(cm)． 设铅球的半径为k cm ，则OD ＝(k －2)cm ，在Rt △AOD 中，AD 2＋OD 2＝OA 2，∴52＋(k －2)2＝k 2，解得k ＝7.25，∴2k ＝14.5.22. 解：连结OA.∵CD ⊥AB 于E ，CD 为直径，∴AE ＝12AB ＝12×10＝5(寸)． 在Rt △AEO 中，设AO ＝x ，则OE ＝(x －1)寸．由勾股定理得x 2＝52＋(x －1)2，解得x ＝13，∴OA ＝13寸，∴CD ＝2OA ＝26寸，∴直径CD 的长为26寸．23. 解：(1)作OH ⊥CD 于点H ，在小圆中，CH ＝DH ；在大圆中，AH ＝BH ，∴AH －CH ＝BH －DH ，即AC ＝BD(2)在Rt △OCH 中，CH ＝OC 2－OH 2＝82－62＝27，在Rt △OAH 中，AH ＝OA 2－OH 2＝102－62＝8，∴AC ＝8－2724. 解：(1)∵CD ⊥AB ，∴AC ︵＝AD ︵，∴∠D ＝∠C ，又∵AE ＝EC ，∴∠CAE ＝∠C ，∴∠CAE ＝∠D ，∠C 是公共角，∴△CEA ∽△CAD ，∴CA CD ＝CE CA，即CA 2＝CE·CD (2)∵CA 2＝CE·CD ，AC ＝5，EC ＝EA ＝3，∴52＝CD×3，∴CD ＝253， 又∵CF ＝FD ，∴CF ＝12CD ＝12×253＝256，∴EF ＝CF －CE ＝76， 在Rt △AFE 中，sin ∠EAF ＝EF AE ＝763＝71825. 解：如图：分2种情况。
青岛版九年级数学上册圆的对称性练习题
3.1 圆的对称性【知识要点】圆的轴对称性和中心对称性以及相关性质.【能力要求】理解圆的对称性及相关性质，体会和理解研究几何图形的各种方法. 【基础练习】 一、填空题：1. P 是⊙O 半径上一点，OP = 5, 经过点P 的最短的弦长为24, 则⊙O 的半径为 ；2.如图3-1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB , 垂足为P ，若AP ∶PB = 1∶4, CD = 8, 则AB 的长为= ；3.如图3-2，⊙O 的半径为25cm ，弦AB = 48cm, OD ⊥AB 于C 交⊙O 于D , 则AD = .二、选择题：1. 下列命题中，假命题是（ ）A. 平分弧的直径必平分这条弧所对的弦B. 圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心C. 平分弦的直径垂直于弦D. 垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧2. “圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图3-3，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径的长”. 依题意，CD 长为（ ）A. 252寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸三、解答题：1. 已知：如图3-4，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB = 10 cm, PA = 4 cm, OP = 5 cm, 求⊙O 的半径.2. 已知：如图3-5，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB⌒的中点，AB、OC相交于点P，试判断：四边形OACB是何种特殊的四边形.3.1 圆的对称性一、填空题1. 圆是轴对称图形，它有条对称轴，圆又是对称图形，圆心是它的；2. 如图3-6，在⊙O中，如果AB⌒ = CD⌒，那么AB = ，∠AOB =∠，若OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，则OE OF；3. 已知：⊙O的弦AB = 24 cm，OC⊥AB，垂足为C. 若OC = 43cm，则⊙O直径长为 cm.二、选择题1. 已知：AB⌒、CD⌒是⊙O的两条劣弧，且AB⌒ = 2CD⌒，则弦AB与CD之间的关系为（）A. AB = 2CDB. AB < 2CDC. AB > 2CDD. 不能确定2. 下列说法中，正确的是（）A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 相等的圆心角所对的弦相等C. 相等的弧所对的弦相等D. 相等的弦所对的弧相等三、解答题1. 已知：如图3-7，⊙O中，AB⌒ = BC⌒ = CD⌒，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比较∠OEF与∠OFE 的大小，并证明你的结论.2. 如图3-8，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO=∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？3. 如图 3-9，已知：⊙O的两弦AB、CD相交于点P，如果AB= CD，那么OP与AC互相垂直吗？为什么？3.1 圆的对称性一. 选择题1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（）A B.1 C. D.2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（）A.2B.3C. 4D. 53. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）A. B. C. D.4. 一种花边由如图的弓形组成，的半径为，弦AB＝2，则弓形的高CD为（）A. B. C. 1 D.5. 下列命题中正确的是（）A. 圆只有一条对称轴B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于弦的直径平分这条弦D. 相等的圆心角所对的弧相等6. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（）A. AB＞CDB. AB＝CDC. AB＜CDD. 不能确定二. 填空题7. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。
九年级数学上册 圆的对称性练习 试题
轧东卡州北占业市传业学校圆的对称性知识点：点在圆外，即这个点到圆心的距离 ________________半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离 ________________半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离 ________________半径； 反过来，也成立〔即判定位置关系的方法〕圆是 图形，其对称轴是 ，因此有 条对称轴。
定理一： 〔垂径定理〕定理二： 〔垂径定理逆定理〕 定理三： 定理四： 例一：⊙0的面积为25π。
（1）假设PO=，那么点P 在________；〔2〕假设PO=4，那么点P 在________； 〔3〕假设PO=________，那么点P 在⊙0上。
例二：设AB=3cm ，作图说明：到点A 的距离小于2cm ，且到点B 的距离大于2cm③、：如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点0，它的四个顶点A、B 、C 、D 是否在以点0④、如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高。
求证：A 、B 、C 、D 、E 在同一个圆上。
⑤、设AB=3cm ，作图说明满足以下要求的图形：〔1〕到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形。
〔2〕到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形。
【例1】判断正误： 〔1〕直径是圆的对称轴．〔2〕平分弦的直径垂直于弦．B【例2】假设⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，假设直线EF平移到与直径AB相交于点P〔P不与A、B重合〕，在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.〔〕⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.〔〕⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.〔〕⑷圆的两条弦所夹的弧相等，那么这两条弦平行. 〔〕⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 〔〕2、：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，假设油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6．“五段彩虹展翅飞〞，我利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥〔如图3-2-16〕已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图〔1〕．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图〔2〕那么这个圆拱所在圆的直径为米．三、课后练习：1、，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD2、AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两局部，求：圆心O到弦AB的距离3、：⊙O弦AB∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两局部,求：弦AB的长．5、：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF6、：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，⋂=⋂BC21 AE7、：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：⑴OE＝OF ⑵ CE＝DF8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB9、如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长10、：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇11、：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF【例1】A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．二、课内练习：1、判断题〔1〕相等的圆心角所对弦相等〔〕〔2〕相等的弦所对的弧相等〔〕2、填空题⊙O中，弦AB的长恰等于半径，那么弦AB所对圆心角是________度．3、选择题如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，假设AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm ，OA ＝5 cm ，那么AB 长度是___________． A 、6 cm B 、8 cm C 、7 cm D 、7.5 cm 三、课后练习：1 〕A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．以下说法中，正确的选项是〔 〕 A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等3 〕A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．以上都不对 4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于〔 〕A ．43R B ．23R C ．3RD ．23R5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，那么弦CD 的长为〔 〕 A ．23B ．3C ．5D ．256．：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，那么⊙O 的半径为〔 〕 A ．4cmB ．5cmC ．42cmD ．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为〔 〕 A ．3：2B ．5：2C ．5：2D ．5：48．半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，假设两弦的弦心距分别为OE 、OF ，那么OE ：OF=〔 〕 A ．2：1B ．3：2C ．2：3D ．09．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，那么⊙O 的直径的长为〔 〕 A ．42B ．82C ．24D ．1610．如果两条弦相等，那么〔 〕 A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对11．⊙O中假设直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，那么弦AB的长为．12．假设圆的半径为2cm，圆中的一条弦长23cm，那么此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为．13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，那么AB= ．14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，那么过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．15．弓形的弦长6cm，高为1cm，那么弓形所在圆的半径为 cm．16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．17．一条弦把圆分成1：3两局部，那么弦所对的圆心角为．18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，那么∠EOD ∠BOF，⌒AC⌒AE，AC AE．20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．21．如图6，以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．〔1〕求证：AC=DB；〔2〕如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？24．一弓形的弦长为46，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．25．如图，⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，⌒⌒EFCD ，O1M和O2M相等吗？为什么？。
【中考冲刺】初三数学培优专题 18 圆的对称性(含答案)(难)
圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EF B ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EFD ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB AC ．（天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．ABCD E图1图2【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结P A ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BP A =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BP A ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造P A +PF ，PB +PD 相关线段；③取BD 的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，P A +PBPH ； ⑵如图2，P A +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则P A +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图C ABCDDO BA3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —AB —BO 的路径运动一周. 设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ）A ．0. 5c mB ．1c mC ．1. 5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmt sOAt sO BtsO CsO DA OCD AE CD FBABC DF EP （第6题图）APB C（第4题图）（第7题图）（第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=1 2（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1D12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为960，BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）O A E CD FBABCDE A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）A D CB NOJ MK L（第12题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） ABC ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN=3AC （武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A C O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0. 6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）AD O BE GFN ACBDO P（第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ．（江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）10．⑴如图1，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．x（第9题图）ABC D O M （第8题图）A图1CPBDEO A图2C PB D EO11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．专题18 圆的对称性例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论． 例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB ·cos 30°＝2×32＝3，∴OH ＝AF ＋FH －OA ＝3＋2－r ．在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，∴(32r +-)2＋12＝r 2，解得r ＝2．(2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2．例4 提示：BD 2－AD 2＝(BE 2＋ED 2)－(AE 2＋ED 2)＝(BE ＋AE )(BE －AE )＝AB (BE －AE )，只需要证明AC ＝AC O LE BDMH（第11题图）AC M N OD B（第12题图）BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ． 例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1．例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得AB ＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG ＝2．(3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥PA 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt △ASM ≌Rt △FTM ，Rt △PMS ≌Rt △PMF ．∴PS ＝12PM ．∴PA ＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ＝3PM ．∴13333PA PF PM PB PD PM +===+为定值．A 级 1．49或7 2. 85 3．1 4．335．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE 2＝AO 2－AE 2＝(4214AB -)，OF 2＝OD 2－FD 2＝414-CD 2，∴OE 2＋OF 2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB 2＋CD 2＝28．得x 1＝－3(舍去)，x 2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145.B 级1. 26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2. 103 3. 3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R. 4. D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2(2－a)2＋(12)2＝r 2 ，解得a ＝1316，r ＝51716 5. A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6. 解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF. 又DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠AFO. ∴△ODE ≌△OAF. ∴AF ＝DE. ∵DE ＝3∴AC ＝6. 解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证＝2＝＋＝，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7. 连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1. 于是AD ＝AC 2－CD 2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH 2＋BH 2＝2＋4＝6，BC ＝AC 2－AB 2＝9－6＝ 3. ∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8. 提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9. ⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB ∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485. ∴D(－485，245). ⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP 上.10. ⑴在AE上截取AF＝BP，连结AC，BC，FC，PC，可证明△CAF≌△CBP，CF＝CP. 又CD⊥PA，则PE＝FE，故AE＝PB＋PE. ⑵AE＝PE－PB，在PE上截取PF＝PB，连结AC，BC，FC，PC，可证明△CPF≌△CPB，CF＝CB＝CA. 又CD⊥AP，则FE＝AE，故AE＝PE－PB.11. 连结BD，∠CBA＝∠DBA，CB＝BD，由∠AOC＝∠CBD，∠A＝∠BDE，得△AOH∽△DBM，∴OHOA＝BMBD＝12，即BM＝12BC.12. 延长AC至点E，使CE＝BC，连结MA，MB，ME，BE. ∵AD＝DC＋BC＝DC＋CE＝DE，又MD ⊥AE，∴MA＝ME，∠MAE＝∠MEA. ∵∠MAE＝∠MBC，，又由CE＝BC得∠CEB＝∠CBE，∴∠MEB＝∠MBE，得MA＝ME＝MB，即M为优弧的中点，而MN⊥AB，∴MN是⊙O的直径.。
27.1《圆的对称性》同步练习
《圆的对称性》同步练习一．选择题（共10小题）1．下列说法，正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径2．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧4．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧6．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2B．C1＜C2C．C1=C2D．不能确定7．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或无数条8．下列结论错误的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．半圆不是弧D．同圆中，等弧所对的圆心角相等9．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm10．在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定二．填空题（共8小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．12．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是．13．已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，那么线段OA的取值范围是．14．若⊙O的半径为6cm，则⊙O中最长的弦为厘米．15．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心距离等于半径的点都在．16．下列说法正确的是（）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．17．与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是．18．如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦，它们分别是．三．解答题（共2小题）19．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．。
《圆的对称性》练习题
14．如图，已知⊙O 的半径等于 1 cm，AB 是直径，C，D 是⊙O 上的 ︵ ︵ ︵ 两点，且AD＝DC＝CB，则四边形 ABCD 的周长等于( B ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
15．(导学号：37554049)如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝110°， ︵ 将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在AB上的点 D 处， ︵ 折痕交 OA 于点 C，则AD所对的圆心角的度数为( B A．40° B．50° C．60° D．70° )
20．如图，A，B，C 是半径为 2 的圆 O 上的三个点，其中点 A 是弧 BC 的中点，连接 AB，AC，点 D，E 分别在弦 AB，AC 上，且满足 AD＝CE. (1)求证：OD＝OE； (2)连接 BC，当 BC＝2 2时，求∠DOE 的度数．
(1) 证明：连接 OA ， 图略．∵点 A 是弧 BC 的中点 ， ∴∠ AOB ＝ ∠AOC.∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACO，∵AD＝CE， ∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE (2)连接 BC 交 OA 于点 F，图略．由 三线合一知 OA⊥BC，BF＝ 2.在 Rt△BFO 中，由勾股定理可求 OF＝ 2 ， ∴ BF ＝ OF ， ∴∠ AOB ＝ 45 ° . ∵△ AOD ≌△ COE ， ∴∠ AOD ＝ ∠COE，∴∠BOD＝∠AOE，∴∠DOE＝∠AOB＝45°
︵ 的三 连接 AC，BD，图略．∵在⊙O 中，半径 OA⊥OB，C，D 为AB 1 1 等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝ ∠AOB ＝ ×90°＝30°， 3 3 AC＝CD＝BD.∵OA＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA＝45°，∵∠AOC＝ ∠BOD＝30°，∴∠OEF＝∠OAB＋∠AOC＝45°＋30°＝75°，同 理∠OFE＝75°，∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝30°， 180°－30° ∴∠ACO＝∠BDO＝ ＝75°.∵∠AEC＝∠OEF＝75°， 2 ∠ BDO ＝∠OFE ＝ 75 ° ， ∴∠ ACO ＝∠AEC ， ∠ BDO ＝∠BFD ， ∴ AE＝AC，BD＝BF，又∵AC＝CD＝BD，∴AE＝BF＝CD
九年级数学圆的对称性
在a,d,r,h中，已知其中任意两个 量,可以求出其它两个量.
做一做
8
驶向胜利 的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
想一想
垂径定理的逆应用
9
驶向胜利 的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
想一想
7
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E A D B
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545 m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
• 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
O
做一做
5
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
• 相信自己能独立 完成解答.
北大师版九年级数学下册--第三单元 3.2《圆的对称性(2)》同步练习(含答案)
圆的对称性（2）附答案一．选择题（共10小题）1．（2011•黄石）有如下图形：①函数y=x﹣1的图象；②函数的图象；③一段圆弧；④平行四边形．其中一定是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．5 D．33．（2013•内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cmC．cm D．4cm 4．（2013•牡丹江）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（）A．10 B．4C．10或4D．10或25．（2013•丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A． 4 B．5 C．6 D 86．（2013•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．7．（2012•淄博）如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．8．（2012•泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．= C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD9．（2013•台湾）如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若=62°，则的度数为何？（）A．56 B．58C．60 D．6210．（2013•乐山）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．12．（2013•襄阳）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为_________m．13．（2013•来宾）如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=13，水面宽AB=24，则水的深度CD是_．14．（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_________．15．（2012•珠海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=．16．（2012•嘉兴）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为____．17．（2011•永州）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，CB，已知⊙O的半径为2，AB=，则∠BCD=_________度．18．（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=_________．19．（2013•西宁）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB=_．20．（2013•吉林）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是_________cm（写出一个符合条件的数值即可）三．解答题（共4小题）21．（2013•大庆）如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．22．（2012•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．23．（2011•资阳）如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．24．（2012•雅安）已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．（1）求证：CA2=CE•CD；（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．25.半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?26.在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在⊙O 上滑动(滑动过程中AB的长度不变),请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.27.如图,点A 是半圆上的三等分点,B 是»BN的中点,P 是直径MN 上一动点.⊙O 的半径为1,问P 在直线MN 上什么位置时,AP+BP 的值最小?并求出AP+BP 的最小值.NMBPAO参考答案一．选择题（共10小题）1． C ．2． C ．3． A ．4． D ．5． C ．6． C ．7． D ．8． D9． A ．10． C ． 二．填空题（共10小题）11． 48．12． 0.2．13． 8．14．（3，2）．15．．16． 24．17． 30．18．．19． 4 20． 6．三．解答题（共4小题） 21．解：（1）过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，则MA=MB ，连结AC ，如图∵点C 的坐标为（2，），∴OM=2，CM=，在Rt △ACM 中，CA=2，∴AM==1，∴OA=OM ﹣AM=1，OB=OM+BM=3，∴A 点坐标为（1，0），B 点坐标为（3，0）；（2）将A （1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c 得，解得．所以二次函数的解析式为y=x 2﹣4x+3．22．解：过点O 作弦AB 的垂线，垂足为E ，延长OE 交CD 于点F ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OF ⊥CD ，∵AB=30cm ，CD=16cm ，∴AE=AB=×30=15cm ，CF=CD=×16=8cm ，在Rt △AOE 中，OE===8cm ，在Rt △OCF 中，OF===15cm ，∴EF=OF ﹣OE=15﹣8=7cm ．答：AB 和CD 的距离为7cm ．23．解：（1）连接OB 、OF ．∵A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB=∠AOF=60°，∴△AOB 、△AOF 是等边三角形．∴AB=AF=AO=OD ，∴AB+AF=AD ． （2）当P 在上时，PB+PF=PD ；当P 在上时，PB+PD=PF ；当P 在上时，PD+PF=PB ．24．（1）证明：在△CEA 和△CAD 中， ∵弦CD ⊥直径AB ，∴=，∴∠D=∠C ，又∵AE=EC ，∴∠CAE=∠C ，∴∠CAE=∠D ，∵∠C 是公共角，∴△CEA ∽△CAD ，∴，即CA 2=CE •CD ； （2）解：∵CA 2=CE •CD ，AC=5，EC=3，∴52=CD •3，解得：CD=，又∵CF=FD ，∴CF=CD=×=，∴EF=CF ﹣CE=﹣3=，在Rt △AFE 中，sin ∠EAF=．25.可求出长为6cm 的弦的弦心距为4cm,长为8cm 的弦的弦心距为3cm. 若点O 在两平行弦之间,则它们的距离为4+3=7cm, 若点O 在两平行弦的外部,则它们的距离为4- 3=1cm, 即这两条弦之间的距离为7cm 或1cm.26.可求得OC=4cm,故点C 在以O 为圆心,4cm 长为半径的圆上,即点C 经过的路线是O 为圆心,4cm 长为半径的圆.27.作点B 关于直线MN 的对称点B ′,则B ′必在⊙O 上,且¼»'BN NB . 由已知得∠AON=60°,故∠B ′ON=∠BON= 12∠AON=30°,∠AOB ′=90° 连接AB ′交MN 于点P ′,则P ′即为所求的点.此时AP ′+BP ′=AP ′+P ′B ′=2,即AP+BP 的最小值为2.。
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3.2 圆的对称性 同步练习
一、填空题:
1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____.
2.已知⊙O 的半径为R,弦AB 的长也是R,则∠AOB 的度数是_________.
3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.
4.已知⊙O 中,OC ⊥弦AB 于C,AB=8,OC=3,则⊙O 的半径长等于________.
5.如图1,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是_____.
B
P
A
O D
C
B
A
E
D
C
B
A
O
（1） （2） （3） 6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.
7.如图3,D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点,CD ⊥OA,CE ⊥OB,CD= CE, 则AC 与CB 弧长的大小关系是_________.
8.如图4,在⊙O 中,AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB,OE ⊥AC,垂足分别为D 、E,若AC=2cm,则⊙O 的半径为_____cm.
E D
C B
A
O
B
A
O
B
P
A
O
（4） （5） （6） （7） 二、选择题:
9.如图5,在半径为2cm 的⊙O
中有长为的弦AB,则弦AB 所
对的圆心角的度数为( )
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
10.如图6,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11.如图7,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.4条 三、解答题:
12.如图,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC=BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由.
D
C
B
A
O
13.如图,⊙O 表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4, 求工件半径的长.
M
B
A
O
14.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA
倍,C 为AB 的中
点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.
M
C
B
A
O
15.如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=DPB,DB BC
,试比较线段PC、PD的大小关系.
A
B
16.半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?
17.在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点
A、B在⊙O上滑动(滑动过程中AB的长度不变),请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.
18.如图,点A是半圆上的三等分点,B是BN的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.
N
M
B
P
A
O
答案:
1.中心 过圆心的任一条直线 圆心
2.60°
3.2cm
4.5
5.3≤OP≤5
6.10
7.相等
9.C 10.B 11.A
12.过O 作OM ⊥AB 于M,则AM=BM.又AC=BD,故AM-AC=BM-BD,即CM=DM,又OM ⊥CD,
故△OCD 是等腰三角形.即OC=OD.(还可连接OA 、OB.证明△AOC ≌△BOD).
13.过O 作OC ⊥AB 于C,则BC=152
cm.由BM:AM=1:4,得BM=15
×
5=3 ,故CM=152
-3=4.5 .
在Rt △OCM 中, OC
2
=2
2
9175
824⎛⎫-=
⎪⎝⎭
.连接OA,
则10=,即工件的半径长为
10cm.
14.是菱形,理由如下:由BC AC =,得∠BOC=∠AOC. 故OM ⊥AB,从而AM=BM.
在Rt △AOM 中,sin ∠AOM=2
AM
OA
=,
故∠AOM=60°,
所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC, 故△BOC 与△AOC 都是等边三角形, 故OA=AC=BC=BO=OC, 所以四边形OACB 是菱形.
15.PC=PD.连接OC 、OD,则∵BC DB =,∴∠BOC=∠BOD, 又OP=OP,∴△OPC ≌△OPD,∴PC=PD.
16.可求出长为6cm 的弦的弦心距为4cm,长为8cm 的弦的弦心距为3cm.
若点O 在两平行弦之间,则它们的距离为4+3=7cm, 若点O 在两平行弦的外部,则它们的距离为4- 3=1cm, 即这两条弦之间的距离为7cm 或1cm.
17.可求得OC=4cm,故点C 在以O 为圆心,4cm 长为半径的圆上,即点C 经过的路线是O 为圆心,4cm 长为半径的圆.
18.作点B 关于直线MN 的对称点B′,则B′必在⊙O 上,且'B N NB =. 由已知得∠AON=60°, 故∠B′ON=∠BON=
1
2
∠AON=30°,∠AOB′=90°. 连接AB′交MN 于点P′,则P′即为所求的点.
此时2, 即AP+BP2。